Übung zu Mechanik 4 Seite 8 Aufgabe 16 Aufgabe 17

Übung zu Mechanik 4
Seite 8
Aufgabe 16
Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) rollt wie skizziert nach einer kleinen Auslenkung um den Winkel ϕ0 auf einer Kreisbahn (Radius R). Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz (auch mit Hilfe des Energiesatzes)!
Gegeben:
m, r, R, ϕ0
sin ϕ ≈ ϕ
cos ϕ ≈ 1 -
ϕ2
2
Aufgabe 17
Ein gerader, homogener Stab (Masse m, Länge l) wurde wie skizziert in seinem Drittelspunkt um 90° gebogen und im Knickpunkt gelenkig gelagert. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz des Systems für kleine Auslenkungen!
Gegeben:
m = 6 kg
Übung zu Mechanik 4
Seite 9
Aufgabe 18
Gegeben ist eine homogene Walze (Masse m, Radius r) auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α), deren Achse wie skizziert von einer Normalkraftfeder (Federkonstante cF)
gehalten wird. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz des Systems unter der Voraussetzung, daß die Walze rollt!
Gegeben:
m, r, cF, α
Aufgabe 19
Eine Einzelmasse m wird wie skizziert von zwei masselosen, linear elastischen und druckschlaffen Seilen gehalten und kann auf der Unterlage reibungsfrei gleiten. Beide Seile sind
in der Ruhelage ungespannt. Gesucht ist das Verhältnis der Ausschläge nach rechts und
links bei Schwingungen um die Ruhelage.
Wie groß ist die Schwingungsdauer?
Gegeben:
EA1, EA2
l1, l2
Übung zu Mechanik 4
Seite 10
Aufgabe 20
Ermitteln Sie für das unten dargestellte System den Bereich, in dem eine statische Ruhelage möglich ist! Berechnen Sie die Eigenfrequenz des Systems und bestimmen Sie die
Auslenkung x(t) und die Geschwindigkeit x& (t) zum Zeitpunkt t0 = π/80 [s-1], wenn das Sys-
tem um x0 = 0,2 m ausgelenkt und aus der Ruhe losgelassen wird! In der skizzierten Lage
ist der Stab kräftefrei.
Gegeben:
m = 12,5 kg
µ=
1
3
α = 30°
EA = 2500 N
l = 0,5 m
g = 10 m/s2
Übung zu Mechanik 4
Seite 11
Aufgabe 21
Eine homogene Walze (m, r) wird wie skizziert durch zwei vorgespannte Federn (Federkonstante cF, Vorspannkraft F) auf eine reibungsbehaftete Unterlage gedrückt. Der Reibungskoeffizient zwischen Walze und Unterlage ist µ = µH = µG. Wie groß ist der Winkel
der ersten entgegengesetzten Auslenkung, wenn die Walze zunächst um einem Winkel ϕ0
aus der Ruhelage ausgelenkt wird?
Gegeben:
m = 600 kg
r = 50 cm
cF = 1 kN/cm
µ = 0,1
ϕ0 = 5° = 0,087 rad
F = 2 kN
Aufgabe 22
Der dargestellte Schwinger wird durch trockene Reibung gedämpft. Die Normalkraftfeder
(Federkonstante cF) ist in der Ruhelage (x = 0) entspannt. Geben Sie den Bereich xl ≤ x ≤
xr an, in dem eine statische Ruhelage möglich ist! Nach welcher Zeit t ist das System wieder in Ruhe, wenn der Massepunkt m in der Grenzlage xr durch einen Stoß die Geschwindigkeit v0 erhält?
Gegeben:
m = 10 kg
cF = 10 N/cm
µ = 0,2
v0 = 110 cm/s
Übung zu Mechanik 4
Seite 12
Aufgabe 23
Der skizzierte, durch trockene Reibung gedämpfte Schwinger führt nach dem Durchtrennen des Fadens in 5 Sekunden 10 Halbschwingungen aus und steht dann still. Zwischen
welchen Grenzwerten liegt der Betrag der Reibungskraft, wenn die Normalkraftfeder (Federkonstante cF) vor dem Durchtrennen um 10 cm zusammengedrückt ist?
Gegeben:
m = 10 kg
Aufgabe 24
Das skizzierte System führt eine freie Schwingung mit den Anfangswerten x(0) = 0 und
x& (0) = 5 cm/s aus. Bestimmen Sie die Periode T‘, das Dämpfungsmaß D sowie die Auslenkung und die Geschwindigkeit zur Zeit t = 5 T‘!
Gegeben:
m = 1 kg
cF = 4 N/m
d
= 2 Ns/m
Übung zu Mechanik 4
Seite 13
Aufgabe 25
Der dargestellte Schwinger mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung wird mit der Anfangsauslenkung x0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimmen Sie die Auslenkung x(t) für die
Dämpfungsmaße DA = 03, DB = 2 und DC = 1, und stellen Sie das Ergebnis graphisch dar!
Ermitteln Sie außerdem für DA = 0,3 das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden gleichen Vorzeichens und das Dämpfungsdekrement!
Gegeben:
m = 25 kg
cF = 10 N/cm
x0 = 10 cm
Aufgabe 26
Um die Eigenschaften eines gedämpften Feder-Masse-Systems zu ermitteln, wurde ein
Ausschwingversuch durchgeführt, dessen Ergebnis unten skizziert ist. Bestimmen Sie das
logarithmische Dekrement ϑ , das Dämpfungsmaß D, die Federkonstante cF und die
Dämpfungskonstante d sowie die Eigenkreisfrequenz ω0 des ungedämpften Systems!
Versuchsergebnis für m = 10 kg:
Übung zu Mechanik 4
Seite 14
Aufgabe 27
Ein homogener, starrer Stab (Masse m, Länge l) schwingt wie skizziert in einer zähen
Flüssigkeit, deren Widerstand dW der örtlichen Geschwindigkeit proportional ist (dW = k *
v(x) * dx). Geben Sie die Differntialgleichung der Schwingung für kleine Ausschläge und
unter Vernachlässigung des Auftriebs an! Wie groß darf der Proportionalitätsfaktor k höchstens sein, wenn noch periodische Bewegungen auftreten sollen?
Aufgabe 28
Bei dem Ausschwingversuch eines gedämpften Feder-Masse-Systems (m = 421 kg) wurde das dargestellte Diagramm aufgenommen. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante d
und die Federkonstante cF des Schwingers!
Übung zu Mechanik 4
Seite 15
Aufgabe 29
Die Einzelmasse m befindet sich wie skizziert in der Mitte eines masselosen Balkens auf
zwei Stützen mit der Biegesteifigkeit EJ. Außerdem wird m durch eine Feder mit der Federkonstanten cF und ein Dämpfungselement mit der Dämpfungskonstanten d gestützt.
a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T0 des ungedämpften Systems, d.h. für d = 0!
b) Wie groß muß das Dämpfungsmaß D sein, wenn das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden xn : xn+1 = e sein soll? (e = 2,7183)
c) Berechnen Sie für dieses Dämpfungsmaß D die Schwingungsdauer T‘ des gedämpften
Systems!
Gegeben:
l, EJ, m
cF =
16 EJ
l3
Übung zu Mechanik 4
Seite 16
Aufgabe 30
An einer masselosen Blattfeder (Biegesteifigkeit EJ) ist in der Mitte eine Punktmasse m
angebracht, die wie skizziert um 8 mm aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen wird. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz der entstehenden freien Schwingung,
wenn
a) diese ungedämpft verläuft!
b) die Masse geschwindigkeitsproportional gedämpft wird!
Geben Sie für den Fall b) die Amplitudenbeträge der ersten 4 Halbschwingungen an! Wie
groß müßte die Dämpfungskonstante d mindestens sein, wenn die Bewegung der Masse
nicht periodisch erfolgen soll?
Gegeben:
m = 3 kg
E
= 2,2 · 105 N/mm2
J
=
d
= 1 Ns/cm
25
· 10-2 cm4
12