1. Mengentheoretische Grundbegriffe Cantors (1845

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1. Mengentheoretische Grundbegriffe
Cantors (1845 – 1918) naiver Mengenbegriff“:
”
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Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten, wohl”
unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“
Schreibweise: M := {x | ϕ(x)}, wobei ϕ eine Eigenschaft von Mengen ist.
Ferner: x ∈ M für x ist Element von M“
”
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Antinomie-Dilemma und Ausweg
; Russelsche Antinomie:
R := {x | x ∈
/ x}
= Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten
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Es gilt: R ∈ R ⇐⇒ R 6∈ R.
; Axiomatische Mengenlehre ZF von Zermelo (1908) und Fraenkel
(1927): Nur solche Objekte werden als Mengen zugelassen, die aufgrund
der Axiome der Mengenlehre existieren.
Intuition: Das Aussonderungsprinzip M := {x | ϕ(x)} ist nur dann
zugelassen, falls M in einer bereits definierten Menge enthalten ist.
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Teilmenge, leere Menge, Vereinigung und Durchschnitt
Def. Seien A, B, C, D, A0 , A1 , A2 , . . . Mengen.
• A ⊆ B : ⇐⇒ ∀a ∈ A : a ∈ B
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• A = B : ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
• {A1 , . . . , An } := {x | x = A1 ∨. . .∨ x = An }
• ∅ ist die Menge mit ∅ ⊆ A für alle A.
• A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Teilmenge“
”
Gleichheit“
”
Endliche Mengen“
”
die leere Menge“
”
Vereinigung“
”
Durchschnitt“
”
&
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natürliche Zahlen und geordnete Mengen
Def. fortges.
• 0, 1, 2, . . . induktiv definiert“:
die natürlichen Zahlen“
”
”
0 := ∅, n + 1 := n ∪ {n}
Bsp. 1 = {∅}, 2 = {∅, {∅}}, 3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, u.s.w.
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• (A, B) := {{A}, {A, B}}
Bem. (A, B) = (C, D) =⇒ A = C ∧ B = D
geordnete Paare“
”
• n-Tupel induktiv definiert“:

”
 ∅
n=0
(A0 , . . . , An−1 ) :=
 ((A0 , . . . , An−2 ), An−1 ) sonst
Bem. Das 0-Tupel () ist ∅,
1-Tupel (A0 ) haben die Gestalt {{∅}, {∅, A0}}.
&
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Verallgemeinerung von Vereinigung und Durchschnitt
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Def. Seien A, B und I Mengen und Ai für i ∈ I Mengen.
S
Ai := {x | ∃i ∈ I : x ∈ Ai }
•
Vereinigung“
”
i∈I
•
T
Ai := {x | ∀i ∈ I : x ∈ Ai }, I 6= ∅
Durchschnitt“
”
i∈I
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•
S
A := {x | ∃y ∈ A : x ∈ y}
•
T
A := {x | ∀y ∈ A : x ∈ y}, A 6= ∅
Vereinigung“
”
Durchschnitt“
”
Bsp. Führt man die natürlichen Zahlen wir oben ein, so gilt für
S
T
A := {0, {1, 3}, {3, 4}}: A = {1, 3, 4} und A = ∅, aber
T
{4, {1, 3}, {3, 4}} = {3}.
&
%
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Kartesisches Produkt und endliche Folgen
Def. fortges.
• A1 ×. . .×An := {(x1 , . . . , xn ) | x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An }
Kartesisches Produkt“
”
Bsp. A1 := {1, 2} und A2 := {3, 1}.
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A1 × A2 = {(1, 3), (1, 1), (2, 3), (2, 1)}
• An := {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . , xn ∈ A}
n-Tupel über A“
”
• Seq(A) := {(a1 , . . . , an ) | n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ A}
S n
=
A
Endliche Folgen über A“
”
n∈N
&
%
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endliche Folgen über einem Alphabet
Spezialfall: A ist ein Alphabet {a0 , . . . , an } mit Buchstaben
a0 , . . . , an . Dann schreibt man:
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• A∗ für Seq(A)
• b1 . . . bl für (b1 , . . . , bl ) in A∗
• ε für ()
Wörter über A“
”
Wort über A“
”
leeres Wort“
”
Bsp. {0, 1}∗ ist die Menge der Binärstrings.
&
%
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Komplement und Mächtigkeit
Def. Seien A, B, A1 , . . . , An Mengen.
• A\B := A−B := {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
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Komplement“
”
Spezialfall: Ist B ⊆ A und A (aus dem Kontext heraus)
bekannt, so schreibt man B für A\B.
Bsp. B := {u0v | u, v ∈ {0, 1}∗}. Dann ist B = {1}∗ .

 n falls A = {a , . . . , a }
1
n
• |A| :=
 ∞ sonst
Bem. |A| , |B| < ∞ =⇒ |A×B|= |A|·|B|
&
Mächtigkeit“
”
%
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Relationen
Def. Seien A, A1 , . . . , An Mengen.
• R ⊆ A1 ×. . .×An heißt n-stellige Relation.
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• R ⊆ An heißt n-stellige Relation über A.
Bsp. R := {(i, j) | i, j ∈ N, ∃k ∈ N : i = k·j} ⊆ N2
Schreibweise: R(x1 , . . . , xn ) für (x1 , . . . , xn ) ∈ R
R trifft auf (x1 , . . . , xn ) zu“
”
In obigem Bsp steht R(i, j) für i ist Vielfaches von j“.
”
&
%
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Abbildungen
Def. Seien A und B Mengen.
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• Eine Abbildung von A nach B, in Zeichen f : A → B, ist eine
links-totale, rechtseindeutige Relation R ⊆ A×B, d.h.
∀a ∈ A ∃b ∈ B : R(a, b)
∀a ∈ A ∀b, b0 ∈ B : R(a, b) ∧ R(a, b0 ) =⇒ b = b0 .
Jedes a ∈ A besitzt genau ein Bild f (a) ∈ B unter f ,
”
d.h. R(a, f (a))“.
&
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Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
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Def. Seien A, B, X Mengen und f : A → B eine Abbildung.
• f ist surjektiv : ⇐⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f (a)
jedes b ∈ B ist Bild eines a ∈ A unter f“
”
• f ist injektiv : ⇐⇒ ∀a, a0 ∈ A : f (a) = f (a0 ) =⇒ a = a0
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gleiche Bilder unter f haben gleiche Urbilder“
”
• f ist bijektiv : ⇐⇒ f ist surjektiv und injektiv.
Bsp. f : N → N, g : N → N, π : N×N → N.
surjektiv, nicht injektiv:
f (x) := x DIV (k+2)
injektiv, nicht surjektiv:
g(x) := 2x+1
P
i) + y
bijektiv: π(x, y) := (
i≤x+y
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Funktionenräume und Potenzmengen
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Def. Seien A, B und X Mengen.
• B A := {f | f : A → B ist Abb.}
Abbn von A nach B“
”
|A|
Lemma (A). A, B endlich =⇒ B A = |B|
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• P(X) := {A | A ⊆ X}
Potenzmenge von X“
”
Bsp. X := {a, b}. P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Lemma (B). X endlich =⇒ ∃ Bijektion f : P(X) → {0, 1}X
Also: |P(X)|= 2|X|
Folg (B). Es gibt genau 2k Binärstrings der Länge k.
&
%
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2. Beweise mittels Induktion
Def. Sei ϕ(n) eine Eigenschaft von natürlichen Zahlen n
Ziel: Beweis von ∀n ∈ N : ϕ(n)
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Genügt: Beweis durch vollständige Induktion, d.h. zeige
Induktionsanfang ( n = 0 ): ϕ(0)
Induktionsschritt ( n → n+1 ): Für beliebiges n ∈ N gilt:
ϕ(n) =⇒ ϕ(n + 1)
ϕ(n) im I.S. heißt Induktionsvoraussetzung (I.V.).
&
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Variante der vollständigen Induktion
Def. Häufige Variante der vollständigen Induktion im Alltag“:
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Ziel: Beweis von ∀n ≥ k : ϕ(n), k ∈ N Konstante.
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Genügt: Zeige
n = k : ϕ(k)
n ≥ k → n+1 : Für beliebiges n ≥ k gilt:
ϕ(n) =⇒ ϕ(n + 1)
&
%
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Wertverlaufsinduktion
Ziel: Beweis von ∀n ∈ N : ϕ(n)
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Genügt: Beweis mittels Wertverlaufsinduktion, d.h. zeige
Induktionsschritt (I.S.): Für beliebiges n ∈ N gilt:
(∀i < n : ϕ(i)) =⇒ ϕ(n)
∀i < n : ϕ(i) im I.S. heißt Induktionsvoraussetzung (I.V.).
&
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Korrektheit der Wertverlaufsinduktion – 1
Voraussetzung: ∀n ∈ N : (∀i < n : ϕ(i)) =⇒ ϕ(n)
Beh. Dann gilt ∀n ∈ N : ϕ(n)
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Beweis: Zeige ∀m ∈ N : ∀i < m : ϕ(i) mittels vollst. Induktion.
|
{z
}
φ(m)
m = 0 . Beachte:
∀i < 0: ϕ(i)
Def
≡
∀i ∈ N : (i < 0 =⇒ ϕ(i))
⇐⇒
∀i ∈ N : ( ¬(i < 0) ∨ ϕ(i))
| {z }
wahr
Also gilt φ(0) ≡ ∀i < 0: ϕ(i).
&
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Korrektheit der Wertverlaufsinduktion – 2
m → m + 1 . Es gilt:
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(a)
φ(m) nach I.V.
(b)
φ(m) =⇒ ϕ(m) nach Voraussetzung für n := m
Aus (a) und (b) folgt ϕ(m). Wegen (a) gilt damit wie gewünscht:
φ(m + 1) ≡ ∀i < m + 1: ϕ(i)
&
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