Ubungen zur Kombinatorik Musterlösung zu ¨Ubungsblatt 5

UNIVERSITÄT ULM
Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungen zur Kombinatorik
Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck
Gesamtpunktzahl: 24 Punkte
Musterlösung zu Übungsblatt 5
Abgabe: Freitag, 20. November 2009, vor den Übungen
1. (a) Es seien p1 , . . . , pj Primzahlen und N ∈ N. Zeige, daß dann für die Anzahl A(N ) der Zahlen
≤ N , die durch keine der Primzahlen p1 , . . . , pj teilbar sind, gilt:
A(N ) = N +
j
X
(−1)
k=1
k
X
1≤r1 <...<rk ≤j
N
.
pr1 · · · prk
Dabei bedeutet [x] die größte ganze Zahl ≤ x (Gaußklammer).
Um die Anzahl der zu p1 , . . . , pj teilerfremden Zahlen ≤ N er erhalten, müssen im ersten
Schritt alle Vielfachen der
h zu
i Grunde liegenden Primzahlen von N abgezogen werden. Es gibt
unterhalb von N genau pNi Vielfache von pi (pi selbst eingeschlossen). Somit ergibt sich der
Ausdruck
N
N
N−
− ... −
.
p1
pj
Nun wurde aber ein Vielfaches von pi und pj , für das gilt pi · pj ≤ N doppelt gezählt. Diese
müssen wieder dazuaddiert werden, und es ergibt sich
N
N
N
N
N−
− ... −
+
+ ... +
p1
pj
p1 · p2
pj−1 · pj
Dies wird nun alternierend fortgesetzt bis zum j- ten Schritt, in dem alle Primzahlen der
Auswahl vorkommen. Dies hat dann schließlich folgende Gestalt:
N
N
N
N
N
N
N−
−...−
+
+...+
−
− . . . + (−1)j
.
p1
pj
p1 · p2
pj−1 · pj
p1 · p2 · p3
p1 · · · pj
Um dies in eine geschlossene Form zu bringen, macht man sich klar, daß man hier über zwei
Anzahlen summiert: zum einen über die Anzahl der Primzahlen und zum anderen über die
Primzahlen der Auswahl (mit einer jeweils festen Anzahl):
j
X
X
k
A(N ) = N +
(−1)
1≤r1 <...<rk ≤j
k=1
N
.
pr1 · · · prk
Die äußere Summe steht für die Anzahl der Primzahlen, die betrachtet werden und die innere
steht dann (bei fester Primzahlauswahl) für die einzelnen Primzahlen der Auswahl. Der Ausdruck (−1)k berücksichtigt die verschiedene Art der Summierung. Die Zahl N ist klar.
Anmerkung:
Auf dem gedruckten Übungsblatt und einige Zeit auch in der online verfügbar gestellten Version
stand anstelle des Wortes Zahlen“ in der Aufgabenstellung in der ersten Zeile das Wort
”
Primzahlen“. Primzahlen sind aber immer teilerfremd zu anderen Primzahlen; die gesuchten
”
Primzahlen wären dann schließlich alle Primzahlen, die kleiner als N sind und die nicht in der
ursprünglichen Auswahl enthalten sind. Diese Anzahl wäre schlichtweg A(N, P) = π(N ) − j
mit der Primzahlzählfunktion π(x) := |{p ∈ P| p ≤ x}|.
(b) Es sei n ∈ N. Zeige, daß dann die Anzahl der natürlichen Zahlen ≤ n, die zu n teilerfremd
sind, durch
Y
1
ϕ(n) = n ·
1−
p
p|n
gegeben ist.
Wir wenden die Aufagbe a) an, um diese Darstellung zu zeigen. Wir setzen N := n und als
αj
1
Primfaktoren verwenden wir genau die Primfaktoren, die n besitzt, also sei n = pα
1 · · · pj
mit den Primfaktoren p1 , . . . , pj und α1 , . . . , αj ∈ N. Die Anzahl der Zahlen kleiner gleich n,
die zu allen Primzahlen p1 , . . . , pj (und damit zu n) teilerfremd sind, beträgt damit nach der
Aufgabe a) genau
j
X
X
N
ϕ(n) = A(n) = n +
(−1)k
pr1 · · · prk
1≤r1 <...<rk ≤j
k=1
"
#
αj
j
1
X
X
pα
αj
1 · · · pj
α1
k
= p1 · · · pj +
(−1)
pr1 · · · prk
1≤r1 <...<rk ≤j
k=1
αj
αj
αj
αj −1
α1 −1
α1
α2 −1
α1
1
= pα
·
·
·
p
−
p
·
·
·
p
+
p
·
p
·
·
·
p
+
.
.
.
+
p
·
·
·
p
1
1
1
2
1
j
j
j
j
αj
αj−2
αj−1 −1
αj −1
α1 −1
α2 −1
α3
α1
+ p1
· p2
· p3 · · · pj + . . . + p1 · · · pj−2 · pj−1
· pj
α −1
1 −1
+ . . . + (−1)j · pα
· · · pj j
1
.
α
j
1
Wir klammern nun n = pα
1 · · · pj aus und erhalten
1
1
1
1
1
1
αj
j
1
+
+
.
.
.
+
+
+
.
.
.
+
±
.
.
.
(−1)
.
ϕ(n) = pα
·
·
·
p
1
−
1
j
p1
p2
pj
p1 · p2
pj−1 · pj
p1 · · · pj
Dies ist natürlich gerade
1
1
1
1
1
1
ϕ(n) = n · 1 −
+
+ ... +
+
+ ... +
± . . . (−1)j
.
p1
p2
pj
p1 · p2
pj−1 · pj
p1 · · · pj
2
Die Behauptung ist schließlich noch, daß der Ausdruck innerhalb der großen Klammer gerade
Y
1
1−
p
p|n
ist. Dies zeigen wir mittels vollständiger Induktion nach der Anzahl der Primfaktoren von n:
Falls n einen Primfaktor p1 besitzt ist
Y
1
1
1−
=1− ,
p
p1
p|n
und dies ist die obige Darstellung für j = 1.
Falls die Behauptung für ein j ∈ N gelte, so bedeute dies für j + 1, daß
Y Y
1
1
1
=
1−
· 1−
1−
p
p
pj+1
p1 ,...,pj |n
p1 ,...,pj+1 |n
1
1
1
1
1
1
1
j
=
1−
+
+ ... +
+
+ ... +
± . . . (−1)
· 1−
p1
p2
pj
p1 · p2
pj−1 · pj
p1 · · · pj
pj+1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
+
+ ... +
± . . . (−1)j
= 1−
p1
p2
pj
p1 · p2
pj−1 · pj
p1 · · · pj
1
1
1
1
1
−
+
+ ... +
−
+ ... +
pj+1
p1 · pj+1
pj · pj+1
p1 · p2 · pj+1
pj−1 · pj · pj+1
1
± . . . (−1)j
p1 · · · pj · pj+1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
+
+ ... +
,
= 1−
+
± . . . (−1)j
p1
p2
pj
pj+1
p1 · p2
pj · pj+1
p1 · · · pj+1
was zu zeigen war. Damit gilt
ϕ(n) = n ·
Y
1−
p|n
1
p
.
Diese Funktion heißt Eulersche ϕ- Funktion.
(10 Punkte)
2. Es sei cn die Anzahl der Möglichkeiten, einen Betrag von n Euro aus 1 Euro- und 2 Euro- Münzen,
sowie 5 Euro- und 10 Euro- Scheinen zusammenzustellen. Gib die erzeugende Reihe von (cn ) an.
Es sei nun A die Menge der Ein- Euro- Münzen, B die der Zwei- Euro- Münzen, C die Menge der
Fünf- Euro- Scheine und D diejenige der Zehn- Euro Scheine. Dann haben wir
A(x)
B(x)
C(x)
D(x)
=
=
=
=
1 + x + x2 + . . . =
∞
X
xk =
k=0
∞
X
1 + x2 + x4 + . . . =
x2k =
k=0
∞
X
1 + x5 + x10 + . . . =
1
1 − x2
x5k =
k=0
∞
X
1 + x10 + x20 + . . . =
k=0
3
1
1−x
1
1 − x5
x10k =
1
1 − x10
Die erzeugende Reihe ist damit
E(x)
=
∞
X
en xn = A(x)B(x)C(x)D(x) =
k=0
=
(1 − x) · (1 −
x2 )
1
· (1 − x5 ) · (1 − x10 )
1
.
(1 − x)4 · (1 + x)2 · (1 + x + x2 + x3 + x4 )2 · (1 − x + x2 − x3 + x4 )
Eine explizite Darstellung von en war nicht verlangt.
(6 Punkte)
3. Gib für die Anzahl der n- tupel (i1 , . . . , in ) mit n ≥ 1 und i ∈ {0, 1, 2}, in denen weder zwei Einsen
noch zwei Zweien aufeinanderfolgen dürfen, Rekursionsformeln an.
Hinweis:
Es sei an bzw. bn bzw. cn die Anzahl der Folgen der gegebenen Art, die auf 0 bzw. auf 1 bzw. auf
2 enden.


an


Der Vektor ~vn sei gegeben durch ~vn =  bn . Finde eine Matrix A, so daß ~vn+1 = A~vn gilt.
cn
Wir betrachten die Folgen der Länge n und bestimmen daraus eine Ausage für die Länge n + 1.
Folgen, die auf 0 enden, können beliebig fortgesetzt werden, Folgen, die auf 1 enden, nur mit 0 oder
2 und Folgen, die auf 2 enden, entsprechend nur mit 0 oder 1. Somit ergibt sich folgende Matrix als
Funktion für diese Rekursion


1 1 1


A = 1 0 1 ,
1
1
0
für die dann
A~vn = ~vn+1
gilt.
(8 Punkte)
4