Die Faszination der Primzahlen

Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Die Faszination
der Primzahlen
Jürg Kramer
Riemannsche
Zetafunktion
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
27. April 2015
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Grundlegendes
zu Primzahlen
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Die natürlichen Zahlen.
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Menge der natürlichen Zahlen:
N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Die natürlichen Zahlen.
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen:
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Rechenoperationen:
Addition +
n, m ∈ N
=⇒
n+m ∈ N.
=⇒
n•m ∈ N.
Multiplikation •
n, m ∈ N
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Bausteine der natürlichen Zahlen.
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsen
darstellen, z.B.
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Bausteine der natürlichen Zahlen.
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsen
darstellen, z.B.
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Riemannsche
Zetafunktion
Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Bausteine der natürlichen Zahlen.
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsen
darstellen, z.B.
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Riemannsche
Zetafunktion
Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.
Welches sind die multiplikativen Bausteine von N?
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Definition.
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist und
p nur die Teiler 1 und p besitzt.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Definition.
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist und
p nur die Teiler 1 und p besitzt.
Fundamentalsatz der Arithmetik.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine von N.
Mit anderen Worten:
Alle natürlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolge)
eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen, z.B.
1 456 848 = 24 · 32 · 67 · 151.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Liste von Primzahlen.
Beispiel: Die Primzahlen zwischen 1 und 100:
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.
Riemannsche
Zetafunktion
Man erhält also 25 Primzahlen.
Im Folgenden bezeichne P die Menge der Primzahlen.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sieb des Eratosthenes.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sieb des Eratosthenes.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sieb des Eratosthenes.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sieb des Eratosthenes.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sieb des Eratosthenes.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sieb des Eratosthenes.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn .
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn .
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn .
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,
da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn .
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,
da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Menge
der Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn enthalten.
Grundlegendes zu Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn .
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,
da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Menge
der Primzahlen p1 , p2 , . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme.
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Nützlichkeit von
Primzahlen
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Primzahlen und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei:
Verwendung von EC-Karten.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Primzahlen und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei:
Verwendung von EC-Karten.
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sicheren Kommunizieren.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Primzahlen und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei:
Verwendung von EC-Karten.
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sicheren Kommunizieren.
Verwendung des Internets.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Primzahlen und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei:
Verwendung von EC-Karten.
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Sicheren Kommunizieren.
Verwendung des Internets.
...
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat.
Es sei p eine Primzahl und es bedeute Rp (b) den Rest von
b ∈ N nach Division durch p. Dann besteht für a ∈ N mit
p 6 |a die Beziehung
Rp (ap−1 ) = 1
⇐⇒
Rp (ap ) = a.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat.
Es sei p eine Primzahl und es bedeute Rp (b) den Rest von
b ∈ N nach Division durch p. Dann besteht für a ∈ N mit
p 6 |a die Beziehung
Rp (ap−1 ) = 1
⇐⇒
Rp (ap ) = a.
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Beispiele: p = 5 und a = 2, 3, 4:
R5 (21 ) = 2, R5 (22 ) = 4, R5 (23 ) = 3, R5 (24 ) = 1.
R5 (31 ) = 3, R5 (32 ) = 4, R5 (33 ) = 2, R5 (34 ) = 1.
R5 (41 ) = 4, R5 (42 ) = 1, R5 (43 ) = 4, R5 (44 ) = 1.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Public Key Cryptography“ verwendet allgemeiner:
”
Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene Primzahlen und m = p · q. Dann besteht für zu m teilerfremde a ∈ N die Beziehung
Rm a(p−1)(q−1) = 1 ⇐⇒ Rm a(p−1)(q−1)+1 = a.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Public Key Cryptography“ verwendet allgemeiner:
”
Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene Primzahlen und m = p · q. Dann besteht für zu m teilerfremde a ∈ N die Beziehung
Rm a(p−1)(q−1) = 1 ⇐⇒ Rm a(p−1)(q−1)+1 = a.
Sicherheit der Verschlüsselung:
Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m in die
Primfaktoren p und q, falls p, q jeweils etwa 200-stellig
sind.
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Ein bescheidenes“ Beispiel:
”
m = 11438162575788886766923577997614
Grundlegendes
zu Primzahlen
66120102182967212423625625618429
Nützlichkeit
Primzahlen
35706935245733897830597123563958
Formeln für
Primzahlen
705058989075147599290026879543541.
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Nützlichkeit von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Ein bescheidenes“ Beispiel:
”
m = 11438162575788886766923577997614
Grundlegendes
zu Primzahlen
66120102182967212423625625618429
Nützlichkeit
Primzahlen
35706935245733897830597123563958
Formeln für
Primzahlen
705058989075147599290026879543541.
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
p = 34905295108476509491478496199038
98133417764638493387843990820577,
q = 32769132993266709549961988190834
461413177642967992942539798288533.
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Formeln für Primzahlen
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Mersennesche Primzahlen:
p = 2n − 1,
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
wobei notwendigerweise n selbst
auch eine Primzahl ist.
n = 2:
22 − 1 = 3.
n = 3:
23 − 1 = 7.
n = 5:
25 − 1 = 31.
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Mersennesche Primzahlen:
p = 2n − 1,
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
wobei notwendigerweise n selbst
auch eine Primzahl ist.
n = 2:
22 − 1 = 3.
n = 3:
23 − 1 = 7.
n = 5:
25 − 1 = 31.
Gegenbeispiel: 211 − 1 = 2047 = 23 · 89.
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Fermatsche Primzahlen:
p = 2n + 1,
wobei n = 2m mit m ∈ N ist.
Formeln für
Primzahlen
n = 20 : p = 21 + 1 = 3.
Zählen von
Primzahlen
n = 21 : p = 22 + 1 = 5.
Riemannsche
Zetafunktion
n = 22 : p = 24 + 1 = 17.
n = 23 : p = 28 + 1 = 257.
n = 24 : p = 216 + 1 = 65 537.
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Fermatsche Primzahlen:
p = 2n + 1,
wobei n = 2m mit m ∈ N ist.
Formeln für
Primzahlen
n = 20 : p = 21 + 1 = 3.
Zählen von
Primzahlen
n = 21 : p = 22 + 1 = 5.
Riemannsche
Zetafunktion
n = 22 : p = 24 + 1 = 17.
n = 23 : p = 28 + 1 = 257.
n = 24 : p = 216 + 1 = 65 537.
Gegenbeispiel (Euler):
5
p = 22 + 1 = 4 294 967 297 hat den Teiler 641.
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Die Formel von Matjasevich. Wir betrachten das folgende
Polynom P = P(A, B, . . . , Y , Z ) mit den 26 Buchstaben des
Alphabets als Variablen:
(K + 2) 1 − [WZ + H + J − Q]2 − [(GK + 2G + K + 1)·
(H + J) + H − Z ]2 − [16(K + 1)3 (K + 2)(N + 1)2 + 1 − F 2 ]2 −
Formeln für
Primzahlen
[2N + P + Q + Z − E ]2 − [E 3 (E + 2)(A + 1)2 + 1 − O 2 ]2 −
Zählen von
Primzahlen
[(A2 − 1)Y 2 + 1 − X 2 ]2 − [16R 2 Y 4 (A2 − 1) + 1 − U 2 ]2 −
Riemannsche
Zetafunktion
[N + L + V − Y ]2 − [(A2 − 1)L2 + 1 − M 2 ]2 − [AI + K + 1−
L − I ]2 − [((A + U 2 (U 2 − A))2 − 1)(N + 4DY )2 + 1−
(X + CU)2 ]2 − [P + L(A − N − 1) + B(2AN + 2A − N 2 −
2N − 2) − M]2 − [Q + Y (A − P − 1) + S(2AP + 2A − P 2 −
2P − 2) − X ]2 − [Z + PL(A − P) + T (2AP − P 2 − 1) − PM]2 .
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Satz von Matjasevich. Für jede Primzahl p ∈ P gibt es
a, b, . . . , y , z ∈ N mit der Eigenschaft
p = P(a, b, . . . , y , z).
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Das ist natürlich nicht sehr nützlich!
Formeln für Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Die derzeit größte bekannte Primzahl (gefunden: 2013):
p = 257 885 161 − 1.
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Dies ist eine Zahl mit 17 425 170 Stellen.
http://primes.utm.edu/largest.html
Zählen von
Primzahlen
Etwa 4900 eng bedruckte DIN-A4 Seiten, beginnend mit
Riemannsche
Zetafunktion
581887266232246442175100212113232368636370852325
421589325781704480584492761707442316428281349423
376942979071335489886655517752224731316967316601
101080371457923021838436917492197333394648729851
218665756323673512565202964097437803696250542088
744968273344617858384022131920787583935917496283
612402707082209797985800006635414921583881775901 . . .
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Zählen von Primzahlen
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Primzahlfunktion. Für x ∈ R>0 , definieren wir die
Treppenfunktion
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Primzahlfunktion. Für x ∈ R>0 , definieren wir die
Treppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Primzahlfunktion. Für x ∈ R>0 , definieren wir die
Treppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Primzahlfunktion. Für x ∈ R>0 , definieren wir die
Treppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Primzahlfunktion. Für x ∈ R>0 , definieren wir die
Treppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Primzahllücken: Primzahllücke der Länge 5.
Sei q = 2 · 3 · 5 = 30.
Dann sind die 5 Zahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
30 + 2, . . . , 30 + 6
keine Primzahlen!
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Primzahllücken: Primzahllücke der Länge 5.
Sei q = 2 · 3 · 5 = 30.
Dann sind die 5 Zahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
30 + 2, . . . , 30 + 6
keine Primzahlen!
Allgemein: Primzahllücke der Länge k ∈ N.
Sei q das Produkt aller Primzahlen ≤ k + 1.
Dann sind die k Zahlen
q + 2, . . . , q + k + 1
keine Primzahlen!
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten Primzahlen.
Kleinste Primzahlzwillinge:
(2, 3), (5, 7), (11, 13), . . .
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten Primzahlen.
Kleinste Primzahlzwillinge:
(2, 3), (5, 7), (11, 13), . . .
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Größter bekannter Primzahlzwilling (Stand: Dez. 2011):
(3756801695685 · 2666669 − 1, 3756801695685 · 2666669 + 1).
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten Primzahlen.
Kleinste Primzahlzwillinge:
Grundlegendes
zu Primzahlen
(2, 3), (5, 7), (11, 13), . . .
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Größter bekannter Primzahlzwilling (Stand: Dez. 2011):
(3756801695685 · 2666669 − 1, 3756801695685 · 2666669 + 1).
Offene Frage:
Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?
Yitang Zhang (Mai 2013), James Maynard (Nov. 2013):
Es gibt unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand,
der höchstens 272 beträgt!
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallée-Poussin).
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Für x 0, d.h. für sehr große x, gilt die Asymptotik:
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
π(x) ∼
x
.
ln(x)
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallée-Poussin).
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Für x 0, d.h. für sehr große x, gilt die Asymptotik:
Nützlichkeit
Primzahlen
π(x) ∼
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
y
Riemannsche
Zetafunktion
exp(x)
x
x
.
ln(x)
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallée-Poussin).
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Für x 0, d.h. für sehr große x, gilt die Asymptotik:
Nützlichkeit
Primzahlen
π(x) ∼
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
y
x
.
ln(x)
y
Riemannsche
Zetafunktion
ln(x)
exp(x)
x
x
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
D.h. es gilt:
lim
x→∞
π(x)
x/ ln(x)
= 1.
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
D.h. es gilt:
lim
x→∞
π(x)
x/ ln(x)
= 1.
M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich für x → ∞
immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an.
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
D.h. es gilt:
Grundlegendes
zu Primzahlen
lim
x→∞
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
π(x)
x/ ln(x)
= 1.
M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich für x → ∞
immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an.
D.h. die Funktion
π(x) −
x
ln(x)
wächst für x → ∞ von niedriger Ordnung als x/ ln(x).
Zählen von Primzahlen
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Restgliedabschätzung.
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Vermutung.
Es existiert eine Konstante C > 0,
so dass die Ungleichung
√
π(x) − x < C · x · ln(x)
ln(x)
für x → ∞ besteht.
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Die Riemannsche
Zetafunktion
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Definition. Die Riemannsche Zetafunktion
ist gegeben durch
∞
X
1
ζ(s) =
ns
n=1
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
=1+
1
1
+ s + ···
s
2
3
ζ(s) definiert eine glatte Funktion für s > 1.
ζ(s) wird singulär für s = 1 (harmonische Reihe).
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Es besteht die Eulersche Produktentwicklung
ζ(s) =
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Y
p∈P
=
1
1− s
p
−1
1
1
1
1
·
·
·
···
1 − 2−s 1 − 3−s 1 − 5−s 1 − 7−s
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Beweisidee. Mit Hilfe der geometrischen Reihenentwicklung
∞
X
1
=
p −ms ,
1 − p −s
m=0
erhält man
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Y
1 −1
1− s
=
p
p∈P
1
1
1
1
1 + s + 2s + . . .
1 + s + 2s + . . . · · · =
2
2
3
3
Riemannsche
Zetafunktion
1+
1
1
1
1
1
+ s + 2 s + s +
+ ...
2s
3
(2 )
5
(2 · 3)s
Die Behauptung ergibt sich nun sofort unter Verwendung des
Fundamentalsatzes der Arithmetik.
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Zusammenfassung. Wir haben folgende Äquivalenzen:
Eulersche Produktentwicklung
⇐⇒
Fundamentalsatz
der Arithmetik
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Zusammenfassung. Wir haben folgende Äquivalenzen:
Eulersche Produktentwicklung
⇐⇒
Fundamentalsatz
der Arithmetik
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Da ζ(1) divergiert, haben wir weiter
ζ(s) divergiert
bei s = 1
⇐⇒
Satz von
Euklid
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Man kann ζ(s) auch als komplexwertige Funktion der
komplexen Variablen
s = (Re(s), Im(s))
⇐⇒
s = Re(s) + i Im(s)
auffassen. Sowohl Definitions- als auch Wertebereich sind
dann reell 2-dimensional.
Im(s)
O
Riemannsche
Zetafunktion
/
Re(s)
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Ein Millenniumsproblem.
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Die Riemannsche Vermutung.
Formeln für
Primzahlen
ζ(s) besitzt alle ihre (komplexen) Nullstellen
bei s = (1/2, Im(s)),
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
mit Ausnahme der trivialen“ Nullstellen
”
bei s = −2, −4, −6, . . .
Die Riemannsche Vermutung ist äquivalent mit der Vermutung über die Restgliedabschätzung des Primzahlsatzes!
40i
O
_
30i
_
•
•
•
•
20i
_
•
_
•
10i
Im(s)
/
-10i _
-20i
_
-30i
_
-40i
_
•
•
•
•
•
•
Re(s)
Die Riemannsche Zetafunktion
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Graph des Betrags der Riemannschen Zetafunktion auf
der kritischen Geraden“ Re(s) = 1/2, d.h. der Funktion
”
|ζ(1/2 + it)| für 0 ≤ t ≤ 50:
Faszination
Primzahlen
Jürg Kramer
Grundlegendes
zu Primzahlen
Nützlichkeit
Primzahlen
Formeln für
Primzahlen
Zählen von
Primzahlen
Riemannsche
Zetafunktion
Herzlichen Dank für
Ihre Aufmerksamkeit!