Ferienkurs Experimentalphysik 4 - TUM

Physik-Department
Ferienkurs zur Experimentalphysik 4
Michael Mittermair, Daniel Jost
01/09/14
Technische Universität München
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1
2
Quantenmechanik
1
2.1
2.2
2.3
1
2
4
3
Wellencharakter und Elektronenwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenpakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Heisenberg’sche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung
3.1
3.2
3.3
3.4
Observable, Operatoren, Erwartungswert und Eigenwert . . . . .
Eigenschaften und spezielle Lösungen der Schrödingergleichung
Drehimpulsquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
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5
6
7
8
1 Einleitung
Ziel dieses Ferienkurses ist es, die Studenten auf die Zweitklausur im Fach Experimentalphysik 4 vorzubereiten. Das vorliegende Skript beschränkt sich in seiner Ausführung
auf wesentliche Aspekte der Vorlesung. Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Ferienkurses auf eine Woche werden diese Aspekte oberflächlich wiederholt. Die zum
Ferienkursskript korrespondierenden Aufgaben basieren teilweise auf den hier behandelten Themen, fordern an anderer Stelle jedoch Vorwissen der Studenten.
2 Quantenmechanik
Unter Quantenmechanik1 versteht man den Teilbereich der Physik, der sich mit physikalischen Phänomenen im nanoskopischen Bereich beschäftigt. Die Quantenmechanik
bietet ein mathematisches Gerüst, um den Dualismus zwischen Welle und Teilchen in
diesem Größenordnungsregime zu beschreiben.
Abbildung 1
2.1 Wellencharakter und Elektronenwelle
Hinweise auf den Welle-Teilchen-Dualismus von Licht liefern zum einen Beugungsund Interferenzexperimente, sowie Photo- oder Comptoneffekt. Für die Energie eines
1 Quantum
von lat. quantus wie viel.
2
Quantenmechanik
Photons sowie dessen Impulses gilt
E = h̄ · ω
(1)
p = h̄ · k
(2)
Für subatomare Teilchen mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse gilt, dass sich ihr
Wellencharakter mithilfe der de-Broglie-Wellenlänge beschreiben lässt. Diese Beziehung
ergibt sich aus Gleichung 2 mit λ = 2π/k zu
λ=
h
h
=√
p
2m0 Ekin
(3)
Abbildung 2: Caption.
Dies wurde beispielsweise mit der Beugung von Elektronenwellen an einem Kristallgitter verifiziert (vgl. Abbildung 2). Freie Elektronen durchlaufen die Beschleunigungsspannung UB und werden an einem Kristallgitter gestreut mit der Bragg-Bedingung
2 · ∆s = 2d sin θ = n · λ
(4)
mit der de-Broglie-Wellenlänge λ, die nach Gleichung 3 von der Beschleunigungsspannung der Elektronen abhängt. Für 100 V liegt die Wellenlänge im Ângström-Bereich.
2.2 Wellenpakte
Analog zu Lichtwellen können Materiewellen mit ebenen Wellen der Form
i
ψ(r, t) = ψ0 exp [i(k.r − ωt)] = ψ0 exp (p.r − Et)
h̄
(5)
beschrieben werden. Diese Darstellung birgt jedoch Probleme. Die Gleichung 5 ist
unendlich ausgedehnt und daher nicht normierbar. Die Teilchen sind nicht lokalisiert.
2
2
Quantenmechanik
Zudem tritt - wie wir später feststellen - bei Materiewellen Dispersion auf. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist frequenzabhängig. Es wird daher das sogenannte Wellenpaket
eingeführt, das aus einer Überlagerung vieler ebener Wellen besteht.
ψ( x, t) =
Z k0 +∆k
k0 −∆k
c(k)ψ0 exp [ik ( x − ω (k )t)]
(6)
Abbildung 3: Darstellung eines Wellenpaketes; Überlagerung ebener Wellen.
Für die Phasengeschwindigkeit eines solchen Wellenpakets gilt
ω
k
(7)
dω
dv
= v Ph − λ Ph
dk
dλ
(8)
v Ph =
und für die Gruppengeschwindigkeit
vGr =
Aus Gleichung 8 geht hervor, dass für eine explizite Wellenlängenabhängigkeit der
Phasengeschwindigkeit diese nicht mehr identisch mit der Gruppengeschwindigkeit
ist. Das bedeutet, dass die unterschiedlichen monochromatischen Wellen des Wellenpaketes voneinander unterscheidbare Ausbreitungsgeschwindigkeiten besitzen. Das
Wellenpaket wird dadurch signifikant deformiert, d. h. das Paket wird breiter während
sich die Amplitude reduziert. Man nennt diesen Vorgang Dispersion. Betrachte man
hierzu ein nichtrelativistisches Teilchen der Energie
E=
m0 v2T
p2
=
2m0
2
mit der Teilchengeschwindigkeit v T . Die Gruppengeschwindigkeit entspricht
vGr =
dω
d(h̄ω )
dE
p
=
=
=
= vT
dk
d(h̄k)
dp
m0
3
2
Quantenmechanik
der Teilchengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit erhält man durch Einsetzen
von ω = h̄k2 /2m0 in Gleichung 7:
v Ph =
h̄k
1
= vT
2m0
2
Für Gleichung 6 erhält man eine Lösung der Form
r
2
sin(∆k (ω0 .t − x ))
a(k0 ) exp [i(k0 .x − ω.t)]
ψ( x, t) =
π
ω0 .t − x
(9)
2.3 Heisenberg'sche Unschärferelation
Abbildung 4
Für ein Wellenpaket mit der Standardabweichung ∆x und der Breite ∆k der Amplitudenverteilung gibt es eine untere Grenze für die Genauigkeit einer Messung der beiden
Größen
∆x · ∆k ≥ 1
(10)
beziehungsweise
∆x · ∆p ≥ h̄
(11)
wobei die Gleichheitszeichen für ein gaußförmiges Wellenpaket gelten. Die Unschärferelation besagt, dass man Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig
genau oder „scharf “messen kann. Die zeitliche Entwicklung der Standardabweichung
ist
h̄
t + ∆x0
(12)
∆x (t) = vGr · t + ∆x0 =
m∆x0
Ein weiterer Messprozess, der der Unschärferelation unterliegt, ist die Energieunschärfe mit
∆E · ∆t ≥ h̄
(13)
4
3
Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung
Welche Voraussetzung erfüllt sein muss, sodass zwei Messgrößen nicht gleichzeitig
beliebig genau messbar sind, wird später besprochen.
3 Grundlagen der Quantenmechanik und
Schrödinger-Gleichung
3.1 Observable, Operatoren, Erwartungswert und Eigenwert
In der Quantenmechanik ersetzt man den Begriff der Messgröße durch den Begriff der
Observablen. Man interpretiert die Wellenfunktion statistisch, d. h.
ψ( x, t) = A( x, t) exp [i(k0 .x − ω0 .t)]
respektive die Überlagerung eben dieser ebenen Wellen zu einem Wellenpaket ist per
se zunächst nutzlos und bespielsweise erst ihr Absolutquadrat ergibt physikalisch Sinn.
Für die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen am Ort r zur Zeit t zu finden, gilt
P(r, t) = |ψ(r, t)|2 dV
(14)
Ein Attribut der Wellenfunktion, das bereits im vorigen Kapitel angedeutet worden ist,
ist ihr Normierung auf 1. Es wird gefordert, dass
Z
R
|ψ(r, t)|2 dV
(15)
Die Wellenfunktion kann auch verwendet werden, um den Erwartungswert, oder
Mittelwert, einer Observablen A zu bestimmen. Im Allgemeinen gilt:
h Ai =
Z
ψ∗ ÂψdV
(16)
Die Repräsentation dieser Messgröße  nennt man Operator. Jeder Messgröße ist ein
solcher Operator zugeordnet. Hierzu Tabelle 1 mit einigen Operatoren.
Tabelle 1: Häufig verwendete Operatoren in der Quantenmechanik.
Größe
Operator
r
p
r̂ = r
~
p̂ = ∇
L
~
L̂ = r̂ × p̂ = −ih̄(r × ∇)
E pot
V̂ (r) = V (r)
Ekin
E
~2
p̂2
h̄2 ∇
2m = − 2m
2~ 2
∇
− h̄2m
+ V̂ (r)
Êkin =
Ĥ =
5
3
Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung
Um herauszufinden, ob zwei physikalische Größen gleichzeitig beliebig genau messbar
sind oder der Unschärferelation unterliegen, verwendet man die Kommutatorrelation:
Definition 3.1. Seien  und B̂ zwei Operatoren, so nennt man
Â, B̂ = Â B̂ − B̂ Â
(17)
die Kommutatorrelation und es gilt für
Â, B̂ = 0
dass  und B̂ vertauschbar sind.
Ein weiterer wichtiger Begriff ist der Eigenwert eines Operators.
Definition 3.2. Gegeben sei die Eigenfunktion ψ zu dem Operator Â. Dann ist aa
Eigenwert von  und es gilt:
Âψ = aψ
(18)
a Naives
Beispiel hierfür ∂/∂x exp[ ax ] = a exp[ ax ]
Für den Eigenwert a gilt, dass er dem Erwartungswert der Messgröße A entspricht.
3.2 Eigenschaften und spezielle Lösungen der Schrödingergleichung
Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist
Definition 3.3.
ih̄
∂
Ψ = HΨ
∂t
mit dem Hamiltonoperator H, der eingesetzt
!
~2
h̄2 ∇
∂
−
+ V (r, t) ψ(r, t) = ih̄ ψ(r, t)
2m
∂t
(19)
(20)
liefert. Für ein zeitunabhängiges Potential V (r, t) = V (r) kann man Gleichung 20
mithilfe eines Seperationsansatzes in die stationäre Schrödingergleichung überführen:
!
~2
h̄2 ∇
−
+ V (r) ψ(r) = Eψ(r)
(21)
2m
Die Schrödingergleichung 20 ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit und
2. Ordnung im Ort. Damit ist die Schrödingergleichung nicht relativistisch invariant.
Sie ist linear in ψ, womit das Superpositionsprinzip gilt. Wie zu erkennen ist, entspricht
der Eigenwert des Hamiltonoperators Ĥ gerade der Energie. Um Lösungen für ein
gegebenes Problem zu erhalten, müssen die Randbedingungen eben dieses Problems
berücksichtigt werden.
6
3
Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung
3.3 Drehimpulsquantisierung
Der Drehimpulsoperator ist gegeben mit
~
L̂ = r̂ × p̂ = −ih̄(r × ∇)
(22)
In Kugelkoordinaten kann man schreiben:


∂
sin φ + cot θ cos φ ∂φ


∂
∂ 
−
cos
φ
+
cot
θ
sin
φ
L̂ = ih̄ 
∂θ
∂φ 

∂
− ∂φ
(23)
Das Betragsquadrat des Drehimpulses ist proportional zum Winkelanteil des LaplaceOperators:
1 ∂
∂
1 ∂2
2
2
~ 2θ,φ
sin θ
+
= −h̄2 ∇
(24)
L̂ = −h̄
2
2
sin θ ∂θ
∂θ
sin θ ∂φ
Das bedeutet, dass die Kugelflächenfunktionen Ylm Eigenfunktionen von L̂2 sind. Liegt
ein kugelsymmetrisches Potential V (r) = V (r ) vor, so erhält man eine Lösung der
Schrödingergleichung aus dem Produkt eines Radialanteils R(r ) und eines Winkelanteils Y(θ, φ) = Θ(θ ) · Φ(φ) mit der Polarlösung Θ(θ ) und der Azimuthallösung Φ(φ).
Die Kugelflächenfunktionen sind außerdem Eigenfunktionen von L̂z und es gelten
folgende Eigenwertgleichungen:
L̂2 Ylm (θ, φ) = h̄2 l (l + 1)Ylm (θ, φ)
(25)
L̂z Ylm (θ, φ) = h̄ml Ylm (θ, φ)
(26)
mit der Bahndrehimpulsquantenzahl l, l ∈ N und der Magnetquantenzahl ml , −l ≤
ml ≤ l.
Frage 1. Was bedeutet es für die gleichzeitige Messung von L̂ und L̂z , dass die Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, φ) zu beiden Operatoren Eigenfunktionen sind?
Konventionell wählt man die z-Achse des Drehimpulses als Quantisierungsachse. L̂ x
und L̂y sind nicht gleichzeitig messbar, aber durch L̂ und L̂z eingeschränkt nach
L̂2x + L̂2y = L̂ − L̂2z = h̄2 l (l + 1) − m2l
7
(27)
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Grundlagen der Quantenmechanik und Schrödinger-Gleichung
Abbildung 5: Mögliche Richtungen des Drehimpulses bei festen hLi und h Lz i.
Die Länge, sowie die Projektion auf die Quantisierungsachse des Drehimpulses ist
wohldefiniert (vgl. Abbildung 6).
3.4 Spin
Abbildung 6: Schematischer Aufbau des Stern-Gerlach-Experiments: Ein Silberatomstrahl wird durch ein inhomogenes Magnetfeld gelenkt. Die tatsächlich
beobachtete Verteilung widerspricht der klassisch erwarteten; zwei Spots
werden beobachtet, was ein Hinweis für einen weiteren Freiheitsgrad ist.
Das Stern-Gerlach-Experiment lieferte erste Hinweise auf eine weitere Eigenschaft
von Teilchen. Ein in einem Atomstrahlofen erzeugter Silberatomstrahl wird in diesem
Versuch durch ein inhomogenes Magnetfeld gelenkt. Statt der klassisch erwarteten
Verteilung eines längsgezogenen Spots beobachtet man zwei distinktive Spots. Die
Beobachtung kann durch die Einführung eines weitere Freiheitsgrades von Teilchen
erklärt werden, dem so genannten Spin Ŝ. Obgleich es sich beim Spin um eine vektorielle Größe handelt, existiert kein klassisches Analogon dazu und ist ein intrinsisch
quantenphysikalisches Phänomen. Der Spin ist mit dem magnetischen Moment µ eines
Teilchens verknüpft und besitzt die Erwartungswerte
hŜ2 i = h̄2 s(s + 1)
8
(28)
Literatur
hŜz = h̄ms
(29)
Hierbei ist s die Spinquantenzahl und ms die Orientierungsquantenzahl mit −s ≤ ms ≤
s. Für Elektronen ist s = 1/2 und damit ms = ±1/2. Man nennt die beiden Zustände
Spin-Up, respektive Spin-Down. Der Spin hat keinen Einfluss auf die übrigen Eigenschaften eines Zustandes, weswegen sich die Gesamtwellenfunktion aus der bereits
bekannten Ortswellenfunktion ψ(r, t) und der Spinwellenfunktion χ(s) zusammensetzt.
Ψ(r, t) = ψ(r, t) · χ(s)
(30)
Teilchen mit ganzzahligem Spin nennt man Bosonen, solche mit halbzahligem Spin
nennt man Fermionen. Bosonen und Fermionen verhalten sich unterschiedlich, was
man beispielsweise mit Streuexperimenten zeigen kann. Dieser Unterschied liegt an
der Austauschsymmetrie der beteiligten Wellenfunktionen. Für zwei identische, nichtwechselwirkende Teilchen an den Koordinaten r1 und r2 existiert eine Gesamtwellenfunktion, für die unter Vertauschung Ψ(r2 , r1 ) der beiden Teilchen gelten muss,
dass
|Ψ(r1 , r2 |2 = |Ψ(r2 , r1 )|2
(31)
Das bedeutet, dass es für die Gesamtwellenfunktion zwei Möglichkeiten gibt:
Ψ(r1 , r2 ) = Ψ(r2 , r1 )
(32)
d. h. symmetrisch unter Austausch (Bosonen)
Ψ(r1 , r2 ) = −Ψ(r2 , r1 )
(33)
und antisymmetrisch unter Austausch (Fermionen). Man kann die Gesamtwellenfunktion also schreiben als
Ψ(r1 , r2 ) = C [ψ1 (r1 ) · ψ2 (r2 ) ± ψ1 (r2 ) · ψ2 (r1 )]
(34)
Liegen zwei Fermionen im gleichen Zustand vor, d. h. mit identischem Satz von Quantenzahlen, so ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude hierfür null. Zwei Fermionen können
also nicht im exakt gleichen Zustand mit einem identischen Satz von Quantenzahlen
existieren. Man nennt dieses Ausschlussprinzip auch Pauli-Prinzip.
Literatur
[1] Gross Skript IV - R. Gross
[2] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands
[3] Experimentalphysik 3 - Wolfgang Demtröder
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