Mathematische Grundlagen der Informatik

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Fachbereich Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Theoretische Informatik
Prof.
Dr. L. Staiger / Dr. R. Winter / M. Lutzemann / R. Polley
,
Ausgabe: 22.10.2009
Abgabe: 29.10.2009 vor der Vorlesung
Mathematische Grundlagen der Informatik
3.
Alle Lösungen in sämtlichen Aufgaben sind zu begründen bzw. zu beweisen.
Aufgabe 1 (Punkte: 2 + 2 + 1)
Zeigen Sie, dass jede aussagenlogische Formel ϕ mit beliebigen Junktoren aus der Menge
{¬, ∨, ∧, →, ↔} zu einer Formel ψ semantisch äquivalent ist, die nur die folgenden Junktoren
enthält:
a)
{¬, ∨}
b)
{¬, →}
Geben Sie für beide Fälle eine zur Formel ¬(q ↔ ¬p) semantisch äquivalente Formel an.
Aufgabe 2 (Punkte: 2 + 2)
a)
Zeigen Sie durch semantisch äquivalente Umformungen, dass die Formel
(ϕ → ψ) ↔ (¬ψ → ¬ϕ) eine Tautologie ist.
b)
Beweisen Sie folgende Aussage durch Kontraposition (siehe a)):
Für beliebige natürliche Zahlen n mit der Eigenschaft, dass n2 gerade ist, ist auch n
gerade.
Aufgabe 3 (Punkte: 4)
Beweisen Sie Satz 1.3 aus der Vorlesung durch strukturelle Induktion.
Satz 1.3 (Ersetzbarkeitstheorem):
Für drei Formeln ϕ, ψ, η ∈ AL(P ), wobei ψ ≡ η und ψ eine Teilformel von ϕ ist, gilt:
ϕ ≡ ϕ′ , wobei ϕ′ entsteht, wenn in ϕ ein Vorkommen von ψ durch η ersetzt wird.
Bitte wenden!
Aufgabe 4 (Punkte: 2 + 2 + 2 + 2)
Gegeben sei die Formelmenge Φ = {¬(p ∧ q ∧ r), ¬p ∨ r, q → (p ∧ r)}.
a)
Ist die Formel ¬(¬p ∨ ¬r) → ¬q aus Φ folgerbar?
b)
Ist die Formel (p ∨ q) ∧ ((q ∨ r) → ¬q) aus Φ folgerbar?
c)
Geben Sie eine Formel ϕ an, die r nicht enthält, sodass r aus der Formelmenge Φ ∪ {ϕ}
gefolgert werden kann.
d)
Geben Sie eine Formel τ an, sodass die Formelmenge Φ ∪ {τ } kein Modell hat.
Alle Aussagen sind zu begründen.
Lösen Sie die aktuellen Autotool-Aufgaben.
Selbsttestaufgabe 1
Zeigen Sie die Richtigkeit folgender Aussagen:
Für alle Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P ) gilt
a)
Mod(¬ϕ) = W(P ) \ Mod(ϕ)
b)
Mod(ϕ ∨ ψ) = Mod(ϕ) ∪ Mod(ψ)
c)
Mod(ϕ ∧ ψ) = Mod(ϕ) ∩ Mod(ψ)
Selbsttestaufgabe 2
Geben Sie für die folgenden Formeln je eine äquivalente Formel in disjunktiver Normalform
und in konjunktiver Normalform an.
a)
(r ↔ q) ∨ (q ↔ p)
b)
(r ↔ q) ∧ (q ↔ p)
c)
(¬r ∨ (q ↔ p)) → (¬(r ∧ q) → (p → q))
Mail: {staiger, winter}@informatik.uni-halle.de
Achtung Änderung!
weitere Infos zur Vorlesung unter
http://nirvana.informatik.uni-halle.de/~theo/THEOlehre/THEOaktuell.html