Division mit Rest - Österreichische Mathematische Gesellschaft

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-100-
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:;';'?"
Division mit Rest -der heimliche Hauptsatz der
Algebra
FranzPauer
Institut fiir Mathematik, Universität Innsbmck,
Technikerstr.
25, A-6020Innsbmck,Österreich.
[email protected]
3. Juni2004
1
Einleitung
Die Themen "Rechnen mit ganzen (und rationalen) Zahlen" und "Rechnen mit Polynomen" spielen im Mathematikunterricht an höheren Schuleneine zentrale Rolle. Die
Theorie dieser zwei Teilgebiete der Algebra verläuft weitgehend parallel, Aufgaben
und Sätzedes einen Gebieteshaben meistensein Analogon im anderen.In diesem Beitrag soll diese Parallelität verdeutlicht und der Grund dafür aufgezeigt werden: sowohl
fiir das Rechnen mit ganzen Zahlen als auch fiir das Rechnen mit Polynomen gibt es
einen grundlegenden Satz und einen grundlegenden Algorithmus, nämlich den Satz
über die Division mit Rest (fiir Zahlen und fiir Polynome) und den Divisionsalgorith-
mus.
Wir betrachten zu Beginn einige einfach formulierbare Aufgaben (in der linken
Spalte fiir Zahlen, in der rechten fiir Polynome), deren systematischeLösung in den
folgenden Abschnitten besprochenwird.
-101-
..:~:\
-:,-c
Aufgaben
N
sei die
nem
Anzahl
Sack.
zur
der
EuromÜDzen
Berechne
Basis
10 und
zur
die
Ziffern
Basis
2 !
in eivon
N
Berechne
Bruchzahlen
x3 +
2X2
-3x
C3(X
-1)3
+
Co I Cl I C2 I C3 so, dass
+ 1 =
C2(X
-Ir
+
Cl (X -1)
+
Co
ist!
Kürze
~
1832051
,
.2:1:.+:1:.-3:1:"+4:1:'+4:1:-3
Kürze
2:1:4_3:1:3_7:1:2_3:1:-9
Berechne
die
Anzahl
I
der Nullstellen
x7 +2X6_2x3+3x2_!!x5_~x+~x4+!!
4
Berechne
187u
ganze
+
102v
Zahlen
=
u und
v so,
dass
Berechne
34 ist!
(x4
Polynome
-2X2
=x2+x-5
Finde
eine
von
t'
1S.
18z
.
2
ganze
nach
z so, dass
durch
der
23
Rest
gleich
"'4'
üblich
mit
Rest
bezeichnen
wir
von
mit
die
Mengen
4
9 so, dass
(x5
+
x3
-5)9
=
Bruchzahlen
S, t, u
313'2' 2 = sW
+
t?f2
+
so,
u
dass
ist!
v~+
Zahlen
mit
N:=
und
+
4
ist!
Finde
1
v"+
Division
Wie
Zahl
Division
/ und
+ x -5)/
von
2
{O, 1,2,...}
Z:={...,-2,-1,0,1,2,...}
tion
+,
,,(a
b)
In
Ring"
natürlichen
Multiplikation
+
aus.
der
.C
=
a .C +
der Algebra
und
"die
Zahlen
., Ordnung
b .cI'
werden
oder
und
der
ganzen
:5 und
die
Rechenregeln
"aus
diese
a
:5 b folgt
a +
Voraussetzungen
Rechenoperationen
+
und
.sind
Zahlen.
mit
mit
Wir
(wie
C :5 b +
,,(Z,
der
setzen
dazu
cI') als
+,,)
ist ein
Ordnung
die
zum
Addi-
Beispiel
bekannt
vor-
kommutativer
:5 verträglich"
kurz
zusammengefasst.
Jeder,
verteilt
Sack
an.
k
:
,C"k
,"C
der
hat,
hat
mindestens
Andernfalls
einmal
schon
den
Inhalt
einmal
b Zuckerln
gibt
dadurch
UDl b kleiner
weniger
als b Zuckerln
ist diese
Anzahl
der
man
Sackes
durch
Wenn
Kind
geworden.
sind.
Rest
sind.
jedem
Rest und
eines
mit
Sobald
die
nicht,
ein Zuckerl,
Diesen
die
Anzahl
voller
Zuckerln
b dividiert:
Vorgang
Anzahl
fängt
Man
man
die
wiederholt
der
der Zuckerln,
mit
Anzahl
Zuckerln
auf
b Kinder
schaut
dem
der
man
im
die jedes
zuerst
gerecht
nach,
Verteilen
ob im
gar
Zuckerln
im
so lange,
bis
nicht
Sack
ist
im
Sack
als
bist,
Sack
kleiner
Kind
bekommen
hat,
,
ist der gan77.ahlige
Quotient.
Formal
sieht das so aus:
C
.-102-
.
"~';
Satz 1. (Division mit Rest von ganzen Zahlen)
Zuje zwei natürlichen Zahlen a und b mit b '" 0 gibt es eindeutig bestimmtenatürliche
Zahlen mund r mit den Eigenschaften
a=m.b+r
und
O.$:r<b.
Die Zahl m heißt ganzzahliger Quotient von a und b, die Zahl r Rest von a nach
Division durch b.
Divisionsalgorithmus (Berechnung von m und r):
.Setze m := 0 und r := a.
.Solange r ?: b ist, ersetzer durch r -bund
m durch m + 1.
Die Bedeutung diesesSatzesliegt darin, dassdie drei "strukturen" +,' und ~ auf
Z zueinander in Beziehung gesetztwerden.
3
Eine erste Anwendung: Darstellung von Zahlen durch
Züfern
Nehmen wir an, Sie kommen mit einem Sack voller EuromÜDzenin eine Bank und
wollen diesesGeld auf ihr Sparbucheinzahlen. Die Anzahl der EuromÜDzenim Sack
ist eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl N. Bevor diese Zahl in Ihr Sparbucheingetragen werden kann, muss der Bankbeamte ihre Zifferndarstellung (zur Basis 10)
berechnen. Eine Zahl ist also nicht immer schon in Zifferndarstellung gegeben,sondern diese ist eine "zusatzinformation" über die Zahl. Wie wird die Zifferndarstellung
zur Basis 10 von N ermittelt? Man bildet aus den Euromünzen solange "zehnerstapei", bis nur noch weniger als zehn Münzen übrigbleiben, das heißt: N wird mit Rest
durch 10 dividiert. Die Anzahl der übriggebliebenenEuromÜDzenist dann die "Einerziffer' von N. Macht man dasselbenun mit den Zehnerstapelnstatt mit den Münzen,
dann erhält man die "zehnerzifIer' von N, usw.
Satz 2. Seien a und b positive ganze Zahlen und b ?: 2. Dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen n, Zo,Zl,. .., Zn so, dass
Zn'" 0, 0 ~ Zo,Zl,"',
Zn < b
und
a = znbn + Zn-1bn-1 +...
+ zlb1 + Zo
ist.
Wennb fest gewählt ist, dann ist a durch die Zahlen n, Zo,Zl, ..., Zn eindeutig bestimmt. Man wählt Zeichenfür die Zahlen von 0 bis b -1 und schreibt dann
ZnZn-1"'Zo
statt
"'Co
."'
--;,;;;,1:_L2::::::iL~~-
Znbn + Zn-1bn-l +... + zlb1 + Zo.
Die Zanlenzo;i1,~.. .~..;in heißenZiffern von a iiilBasis 6 (filrb-;';;:-2
für b = 10 .,Dezimalziffem").
'"
..."-C;"C
.a
-103-
"
.'
,;,),c
-,~
Algorithmus zur Berechnungder Ziffern Die Ziffern z, von a ;.f 0 zur Basis b
könnenmit demfolgendenVerfahrenberechnet
werden:
.Setze i := O.
.Solange a nicht0 ist: Die i-te Ziffer z, ist derRestvon a nachDivision durchb.
Ersetzea durchdengan77Ahligen
Quotientenvon a undb. Ersetzei durchi + 1.
4
Polynomfunktionen und Polynome
Mit Q bezeichnen
wir die Menge
a
{b I a, bE Z, b;.f O}
der rationalenZahlen(oderBruchzahlen).
SeiennE N und ao,al,..., an E Q. Dann
ist die Funktion
f: Q -+ Q,
n
Z t-+ao +alz +a2z2 +... + anzn = ~asz',
i=O
eine Polynom
funktion von Q nachQ. Die Zahlen ao,..., an sind die Koeffizienten
von f. Die endlicheFolge a := (ao,... ,an) heißtPolynom.Wir schreibenfür a im
weiteren
n
ao + al X + a2x2+... + anxn oder ~asxi
i=O
und sprechendannvoneinemPolynomin der Variablenx mit Koeffizientenin Q. Für
die MengedieserPolynomeschreibenwir Q[x].
Wennan ;.f 0 ist, ist grad(a) := n der Gradvonf und lk(a) := an der Leitkoeffizientvona.
DurchdasPolynoma ist die Polynomfunktionf eindeutigbestimmt.Weil Q eine
unendlicheMenge ist, kann ausAbschnitt8 leicht abgeleitetwerden,dassauchdie
Koeffizientenao,al, ..., an durchdie Polynomfunktionf eindeutigbestimmtsind.
Wlf könnenim weiterendahereinPolynomunddie entsprechende
Polynomfunktionen
als gleichauffassen.
Fürdie Addition
n
n
n
~ a,xi + ~ bixi := ~(ai + bi)x'
i=O
i=O
i=O
und die Multiplikation
n
(~aixi).
i=O
;..~<;":"cc.~:,,: c
-I;'.""'"
~;,,:;
~~
n
(~bixi)
i=O
2n
b,_;)xi
i=O ;=0
(mit as := 0, bi := 0 für i > n) geltendie gleichenRechenregeln
wie für die Additionund Multiplikation vonganzenZahlen,genauer:(Q[x], +,.) ist einkommutativer ~:;;.::c..c'",:'i:
Ring. Die Rolle der Ordnung.$:aufZ wird (in gewisserHinsicht)von der durchden
c "'c,
GradbestimmtenTeilordnungübernommen.
;
i
:= ~(~a;.
,c
,--
~
-104,
.,~));':;
~cF
5
Division mit Rest von Polynomen
(vergleiche Abschnitt 2)
Satz 3. (Division mit Rest von Polynomen)
Zu je zwei Polynomen a und b mit b # 0 gibt es eindeutig bestimmtePolynome mund
r mit den Eigenschaften
a = m. b + rund
[r = 0 oder grad(r) < grad(b)].
Das Polynom m heißt polynomialer Quotient von a und b,das Polynom r Rest von a
nach Division durch b.
Divisionsalgorithmus (Berechnung von m und r):
.Setze m := 0 und r := a.
.Solange r # 0 und grad(r) ;?: grad(b) ist, ersetzer durch r -h.
m + h, wobei
h := lk(r) .lk(b)-l
bund m durch
.xgrad(r)-grad(b) ist.
Der Grad von r -h .b ist kleiner als der Grad von r, weil (nach Definition von
h) die Grade und die Leitkoeffizienten von r und h .b gleich sind. Würde man (wie
bei Zahlen) r nur durch die Differenz r -b ersetzen,wäre das nicht der Fall und der
Algorithmus würde nicht nach endlich vielen Schrittenenden.
Der Zifferndarstellung bei Zahlen entsprichtder folgende Satz:
Satz 4. Seien a und b Polynome # 0 und grad(b) ;?: 1. Dann gibt es eine eindeutig
bestimmte natürliche Zahl n und Polynome Zo,Zl, ..., Zn so, dass
(Zo = 0 oder grad(zo) < grad(b)),...,
(Zn-l = 0 oder grad(zn-J
< grad(b)),
Zn # 0 und grad(zn) < grad(b)
und
a = znbn + Zn-lbn-l
+ ...+
zlb1 + Zo
ist.
Algorithmus zur Berechnung der Polynome Zo,..., Zn
.Setze i := O.
.Solange a nicht 0 ist: Das Polynom zi ist der Rest von a nach Division durch b.
Ersetze a durch denpolynomialen Quotienten von a und b. Ersetzei durch i + 1.
Beispiel S. Sei a := x3 + 2x2 -3x + 1 und b := x-I.
Wir berechnendie Polynome
Zo,... ,Z3 mit demComputeralgebrasystemMaple9. Mitrem(a,b,x) wird der Rest von
a nach Division durch b berechnet,mit quo(a,b,x)der polynomiale Quotient von a und
b.
: -XA3_+~~~~_2_-_3~~X:~~~
+~2-X2-'=-3x+ 1
>
b:=x-l;
.-105-r
..:'I~\;'
-:'"
b := x -1
>
z_o: =rem (a,b,x)
>
al:=quo(a,b,x).;
>
z_l:=rem(al,b,x);
>
a2:=quo(al,b,x);
>
z_2:=rem(a2,b,x);
>
a3:=quo(a2,b,x);
>
z_3:=rem(a3,b,x);
;
z_O:= 1
a1 := x2 + 3 x
z_l := 4
a2 := x + 4
z_2 := 5
a9:= 1
z_9 := 1
Also: x3 + 2X2-3x + 1 = (x -1)3 + 5(x -1)x2 + 4(x -1) + 1 .
6
Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen
Seiena, b,c ganzeZahlen,alle ~ O.Dannist
a
b
-=-EQ
Der Übergangvon
a.c
b.c
a.c
-nach
b.c
.
-a
b
heißtdurchc kürzen.
Kürze"bestmöglich"I
Der größtegemeinsame
Teilervon zwei vonNull verschiedenen
ganzenZahlenist
die größteganzeZahl,die beideteilt.
Es seia ~ c .b. Dannist
ggT(a, b) = ggT(a -c. b, b),
insbesondere
(falls a ~ bist)
ggT(a, b) = ggr(a -b, b).
Satz 6. (EuklidischerAlgorithmusfiir ganzeZahlen)Mit demfolgendenVerfahren
kann der größtegemeinsameTeilervonpositivenganzenZahlena und b berechnet
werden:
.Solange die zweiZahlenverschieden
sind, ersetzedie größeredurchdie Differenzdergrößerenundder kleineren.
-
.Wenn die zweiZahlengleichsind, dannist dieseZahl derggr( G,b).
-
~
.-106\'
..
..."1"')." .
.
-,,7
Ersetzt
man mehrfaches
dann hat dieses Verfahren
.Solange
keine der zwei Zahlen
zwei Zahlen
.Wenn
durch ihren
In Maple
wird
derselben
mit igcd(a,b)
mit iquo(a,b)
Zahl
durch eine
Division
mit Rest,
Form:
ein Teiler der anderen
Rest nach Division
eine der zwei Zahlen
b berechnet,
Beispiel
Abziehen
die folgende
ein Teiler der anderen
der größte gemeinsame
der ga!l~~l!lige
ist, ersetze die größere
der
durch die kleinere.
Quotient
ist, dann ist sie der ggT(a,
Teiler
der ganzen Zahlen
b).
a und
von a und b.
7.
>
igcd(1243168,1832051);
53
>
iquo(1243168,53);
>
iquo(1832051,53);
23456
34567
Die Bruchzahl
7
~
kann also einfacher
durch ~
dargestellt
werden.
Der größte gemeinsame Teiler von zwei Polynomen
Die Überlegungen
me übertragen
Seien
des letzten Abschnittes
für ganze Zahlen
a, b, c Polynome,
alle =F O. Dann
a
--b
Der Übergang
können
direkt aufPolyno-
werden:
von
ist
a.c
b.c'
a.c
a
-nach
-
b.c
b
heißt durch c kürzen.
KÜIze
"bestmöglich"
Der größte
Polynom
I
gemeinsame
größten
Teiler von zwei von Null
Es sei a =F c .b. Dann
(Euklidischer
.Solange
b) = ggT(a
Algorithmus
der größte gemeinsame
Teiler
-c.
für Polynome)
von a und b berechnet
keines der zwei Polynome
nom größeren
Polynomen
ist das
1 ist.
ist
ggT(a,
Satz 8.
verschiedenen
Grades, das beide teilt und dessen Leitkoeffizient
(oder gleichen)
ein Teiler
b, b) .
Mit dem folgenden
Verfahren
kann
werden:
des anderen
ist, ersetze das Poly-
Grades durch seinen Rest nach Division
durch das
andere.
J,,"
":
',--.
c
.Co
,
'"
i,
Wenn eines der zwei Polynome
sion durch den Leitkoeffizienten)
ein Teiler det anderen
der ggT(a,
b).
ist; dann mu
(naChDlV(-
;'t,";";~;
,(" ,,:,',;;;i'
;r',_'!:
,':
.-107-
'.;':!;J;
In Maple wird mit gcd(a,b)der größtegemeinsame
Teiler derPolynomea und b
berechnet,mit quo(a,b,x)derpolynomialeQuotientvon a und b.
Beispiel9.
.
>
gcd(2*xA4-3*xA3-7*xA2-3*x-9,2*xAS+xA4+4*xA2+4*x-3*xA3-3)
>
2x+3
quo(2*xA4-3*xA3-7*xA2-3*x-9,2*x+3,x);
>
quO(2*xAS+xA4+4*xA2+4*x-3*xA3-3,2*x+3,x);
x3-3x2+X-3
x4-x3+2x-l
Die rationaleFunktion 2.,4_3.,3_7"~-3.,-9kannalsoeinfacherdurch.,3-3"~+.,-3
2.,.+.,4_3""+4.,~+4x-3
.,4-.,3+2.,-1
dargestelltwerden.
S Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms
Seia := E~=o aixi E Q[x]. Dannist
TI
Da:= Liaixi-l
i=1
die Ableitungvon f.
Im allgemeinenist es nicht möglich,die komplexenNullstelleneinesPolynoms
(exakt)zu berechnen.
Aber: die AnzahlseinerNullstellen(ohneVielfachheiten)kann
leicht berechnet
werden.Auch derBeweisdesfolgendenSatzesist nichtschwierig.
Satz10. Die Anzahlder Nullstellenvon a in C ist
grad(a) -grad(ggT(a, Da)) .
In Maplewird mit di:ff(a,x)die AbleitungdesPolynomsa berechnet
und mit
degree(a,x)
derGradvona.
Beispiel11.
>
a:=xA7+2*xA6-2*xA3+3*xA2-11/4*xAS-3/2*x+3/4*xA4+1/4;
a :=
>
diff
x 7+
(a,x)
2 x6
-2
x3 +
3 X2 --x511
4
;
55
7x6 + 12x5 -6 X2+ 6 x --X4
4
> gcd(a,diff(a,x»;
--x 3
2
--+3
2
+
3
-x4
4
+
1-
4
3x3
1
2
--+x
":::;""";.c~i'"'-'"'J,,:;,::L_~~
,;'.",':'
L
'c.i'!;,
>
degree(a,x)
i
>
---~__7
degree(a,x)-degree(gcd(a,diff(a,x»,x);
6
~-~-~
L",Z:;;;~
"0..'"
;
,.
.-108,. "
0" ,I!'~:'
~,,-:-
Das Polynoma hatalsogenau6 Nu1lstellenin c.
9
Ganzzablige lineare Gleichungen
Satz12. Esseiena undbpositiveganzeZahlen.Es gibt ganzeZahlen'U,v so, dass
'U. a + v. b = ggT(a, b)
ist. Diesekönnenmit demfolgendenVerfahren(ErweiterterEuklidischerAlgorithmus)
berechnet
werden:
.Setze A := (Al, A2, A3) := (a, 1,0) und
B:= (Bl,B2,B3):= (b,O,I).
.Solange Bl die Zahl Al nicht teilt, berechnedenganzzahligenQuotientenm
von Al und Bl undsetze0 := B, B := A -m. 0 :=
= (Al- m. Ol,A2 -mo 02,A3 -m. 03) undA:= O.
.Wenn Bl die Zahl Al teilt,dann ist
'U:= B2 undv := B3.
Satz13. Seiena, b,c ganzeZahlen.alle # 0.
Es gibt genaudannganzeZahlen'U,v mit a. 'U+ b. v = CowennggT(a, b) ein Teiler
vonc ist.
In Maple werdenmit igcdex(a,b,u,v)
der größtegemeinsame
Teiler ggT(a, b)der
Zahlenaund bberechnet
und darüberhinaus
Zahlenu undv mit ggT( a, b) = a.'U+b.v.
Beispiel14. BerechneganzeZahlen'Uund v so,dass187'U+ 102v= 34ist!
>
igcdex(187,102,u1,v1)
i
17
>
u1i
-1
>
v1i
2
>
irem(34,17)
i
o
>
iquo(34,17)
i
2
>
u:=2*u1i
'U:= -2
>
v:=2*v1i
v:=4
>
-2*187+4*102i
34
-Dalier ist 181-;-(~2}+ 102...4= 34.
';";;"~::".;;;if'~~~
~:.;;;--
-109-
0
~
'"
~
'.~;;'
10 Polynomiale lineare Gleichungen
SatzIS. Es seiena, bPolynome.beide# 0. Es gibt Polynomeu, v so. dass
u.a+v.
b = ggT(a,b)
ist. Diesekönnenmit demfolgendenVerfahren(ErweiterterEuklidischerAlgorithmus)
berechnet
werden:
.Setze A := (Al, A2, A3) := (a,1,0) und
B:= (Bl,B2,B3):= (b,0,1).
.Solange Bl dasPolynomAl nichtteilt. berechnedenpolynomialenQuotienten
m vonAl undBl undsetze0 := B. B := A -m .0 :=
= (Al -m. Ol,A2 -m. 02,A3 -m. 03) undA:= O.
.Wenn Bl dasPolynomAl teilt. dannist
u:= lk(Bl)-l. B2 undv:= lk(Bl)-l .B3.
Satz16. Seiena, b,c Polynome.alle # 0.
Es gibt genaudannPolynomeu, v mit a .u + b. v = c, wennggT(a, b) ein Teilervon
c ist.
In Maple werdenmit gcdex(a,b,u,v)
der größtegemeinsame
Teiler ggT(a, b) der
Polynomea und b berechnetund darüberhinaus
Polynomeu und v mit ggT(a, b) =
a .u + b .v.
Beispiel17. BerechnePolynome/ und 9 so,dass
(X4 -2X2 + x -5)/ + (x5 + x3 -5)g = X2+ x -5 ist!
>
gcdex(xA4-2*xA2+x-S,xAS+xA3-S,x,f1,gl)j
1
>
f1j
31
71
2
3
39
4
136
-&39 -2695 x + &39x -2695 x -2695 x
>
glj
384
>
3
46
136
2
39
3
-2695-2695x+2695x+2695x
f2:=(xA2+x-S)*f1j
31
71 2
3
39
136 3
/2 := (x 2 + x -5) (-&39
-2695
x + &39
x -2695
x 4 -2695
x )
>
g2:=(xA2+x-S)*glj
384
46
136 2
39 3
92 .= (x + x -5 )( -2695
-2695
x + 2695
x + 2695
x )
.2
11
Restklassenringe
Sein eineganzeZahl ?; 2.
Die MengeZn :~-{~!~~ ,n -1 }~t derAddition
a +n b:= Restvon a + b nachDivisiondW'Ch
n
.~
..
.-110"
""~:;
und der Multiplikation
a .nb:= Restvon a .b nachDivision durchn
heißt"Restklassenring
Z modulo n", DieseRestklassenringe
findenzum Beispielin
der Kodierungstheorie
oderbeiVerfahrenzum "schnellenRechnen"Anwendung.
Kann in Zn dividiert werden?Dasheißt: Gibt eszu a E Zn eineZahl b E Zn mit
a .n b = 1 ?
Das ist genaudannderFall, wennggT(a, n) = 1 ist: Dann gibt esnämlichZahlen
'Uund v so,dass'U' a+ v .n = 1 ist (sieheAbschnitt9). Divisionmit Restvon 'Udurch
n ergibt'U= m ' n + r mit 0 ~ r < n,
Darauserhältman r .a + (v + m ' a) .n = 1, also r .n a = 1.
Falls n einePrimzahlist, ist ggT(a, n) = 1 für alle 0 < a < n, also ist dannZn
einKörper.
Beispiel18. FindeeineganzeZahl z so, dassder Restvon 18znachDivision durch
23 gleich1 ist!
> igcdex(18,23,u,v)
j
1
>
Uj
>
irem(18*9,23)
9.
j
1
12 Algebraische Zahlen
Seih ein Polynomin Q[x] mit grad( h) ?; 1.
Die MengeQ[x]/h := {Polynomevom Grad< grad(h)} U {O} mit derAddition
a +h b:= Restvon a + b nachDivisiondurchh
und derMultiplikation
a .h b:= Restvon a .b nachDivisiondurchh
heißt"Restklassenring
Q[x] moduloh ". DieseRestklassenringe
findenzum Beispiel
zur Konstruktionvon Körpererweiterungen
von Q, in denenirreduziblePolynomein
Q[x] Nullstellenhaben,Anwendung,
Kann in Q[x]/h dividiert werden?Dasheißt: Gibt eszu a E Q[x]/h ein Polynom
bE Q[x]/h mit a 'h b = 1?
Das ist genaudannder Fall, wennggT(a, h) = 1 ist: Dann gibt es nämlichPolynome'Uund v so, dass'U.a + v. h = 1 ist (sieheAbschnitt10).Divisionmit Restvon
'Udurchhergibt 'U= m. h + r, r = 0 oder grad(r) < grad(h).
Darauserhältmanr. a+ (v +m. a). h = 1, alsor.h a = 1,
Fallsh einirreduziblesPolynomist, ist ggT(J, h) = 1 für alle f ~ 0 mit
grad(J) < grad(h), alsoist dannQ[x]/h ein Körper,
DasPolynomh hat in diesemKörpereineNullstelle,undzwar
.
..
"
-111-
..,~."i
;';:,-
Beispiel19. FindeBruchzahlen8, t, u so,dass
1
sl.-S/n
v4.+3v2+2
sI.- _S/n
= 8v4+tv2+u
ist!
Seih := x3 -2 und a := x2 + x + 2. Wir schreiben{/2 für die Nullstelle x von h in
Q[x]Jh,
.
>
h:=XA3-2;
>
f:=XA2+3*x+2;
>
gcdex(a,h,x,u,v);
>
u;
h := X3 -2
a := x2 + 3 x + 2
1
1
>
rem(u*f,h,x);
2
7 2
-i5-i5x+3öx
1
Also ist
f .h (~x2 -.:!:.-x -~)
=1
30
15
15
in Q[x]jh, somit
1
~+{/2+2=3ö
7W
2{i2
4-i5
1
2-i5'
"
-