Beispiel: Die Strahlung eines schwarzen Körpers

Beispiel: Die Strahlung eines schwarzen Körpers
Wir fassen die Strahlung als Gas auf, als Gas von Photonen. Denn auch Photonen
üben einen Druck aus, das Gas verfügt über eine innere Energie, etc. Strahlung
verhält sich oft wie ein Gas! Auch Photonen haben einen Impuls p~, treffen sie
auf eine Wand und werden dort reflektiert, so ändert sich ihr Impuls auch um
2px. Dies entspricht einem Kraftstoß F dt. Die Zeit dt ist gerade die Zeit, die
das Photon braucht, um zur Wand zu kommen. Folglich ist die Anzahl Stöße von
Photonen mit der Wand gleich der Anzahl Photonen, die die Wand innerhalb von
dt erreichen können, nämlich nAvxdt, wo n die Teilchenzahldichte bedeutet. Mit
P = F/A erhalten wir also den Druck auf eine Wand in x-Richtung Px = 2npxvx.
Den Druck an jeder Stelle finden wir wieder durch Mittelung aller Impulse und
Geschwindigkeiten,
P V = N h~
p · ~v i/3
Nun stellt sich die Frage, was denn für Photonen p~ · ~v bedeutet? Impuls und
Geschwindigkeit zeigen in dieselbe Richtung, die Geschwindigkeit ist natürlich c
und folglich (wie für alle relativistischen Teilchen ohne Ruhemasse) E = pc. Also
ist der Druck gerade gleich einem Drittel der inneren Energie des Photonengases!
U
PV =
3
Wir können nun mit Hilfe des ersten Hauptsatzes und unter Anwendung der
freien Energie (isochor und isotherm) zeigen, dass die Energiedichte u = U/V
proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist, u(T ) ∝ T 4. Denn
∂U
∂V
= u(T )
T
aus dem ersten Hauptsatz haben wir dU = T dS − P dV und folglich
∂U
∂V
= u(T ) = T
T
∂S
∂V
− P.
T
Wir haben bereits gesehen, dass die freie Energie dF = −SdT − P dV ein
vollst. Differential ist. Allg. gilt für vollst. Differentiale df
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
df
=
∂A
∂y
∂f 2
∂f 2
=
gilt
= A(x, y)dx + B(x, y)dy und wegen
∂x∂y ∂y∂x
∂B
∂S
∂P
=
und somit
=
∂x
∂V T
∂T V
Dies setzen wir oben ein,
∂U
∂V
= u(T ) = T
T
∂P
∂T
− P.
V
Wie wir aber schon herausgefunden haben, ist der Druck der Wärmestrahlung
gegeben durch p = u/3, womit wir erhalten, dass
T du u
u =
−
3 dT
3
dT
du
= 4
u
T
ln u = 4 ln T + const.
u = const.T 4
Die Energiedichte eines Photonengases im thermodynamischen Gleichgewicht ist
also proportional zur Temperatur zur vierten Potenz. Die Berechnung der Proportionalitätskonstanten σ erfordert bereits Konzepte aus der Quantenmechanik.
Wie realisiert man ein Photonengas im thermischen Gleichgewicht? Hat ein
Körper eine Temperatur T , so strahlt er Photonen ab (Im Wesentlichen, weil
die ihn konstituierenden Moleküle und Atome sich thermisch bewegen und mit
ihnen ihre elektrisch geladenen Elektronen und Kerne. Beschleunigte elektrische
Ladung emitieren, wie wir im nächsten Semester sehen werden, elektromagnetische
Strahlung, Licht.). Der Körper kühlt ab weil er durch die Strahlung Energie verliert,
seine innere Energie nimmt ab. Könnten wir ihm aber alle abgestrahlte Energie
wieder zuführen, so würde sich bald ein Gleichgewicht einstellen. Dies kann
erreicht werden, indem wir den Körper in einen inwandig verspiegelten Kasten
stellen. Es stellt sich heraus, dass die Wände nicht einmal besonders verspiegelt
sein müssen, auch sie werden bald im Gleichgewicht mit dem Körper sein und
gleichviele Photonen zurückschicken, wie sie absorbieren, genauso, wie dies der
Körper auch tun wird. Die Wände und der Körper absorbieren jetzt gleichviele
Photonen wie sie absorbieren, sie sind sogenannte schwarze Körper.
Eine Realisierung eines schwarzen Körpers ist links gezeigt. Die
Strahlung ist innen “gefangen”, nur ein kleiner Bruchteil der Strahlung kann durch das kleine Loch entweichen. Deshalb befindet sich
die Strahlung innen im Gleichgewicht. Strahlung, die von außen
nach innen kommt, wir vollständig absorbiert, eine Definition eines
schwarzen Körpers.
Wir betrachten nun den Bruchteil der Strahlung, der den schwarzen Körper
durch ein Loch, welches gerade einen Raumwinkel von 1 steradian aufspanne,
verlassen kann. Der Energiefluss durch die Öffnung ist gleich der Energiedichte
mal die Lichtgeschwindigkeit (wie jeder Fluss Dichte mal Geschwindigkeit ist)
geteilt durch 8π . Ein Faktor 1/2 kommt aus der Überlegung, dass ja nur der
Fluss hinaus interessiert (die Schwarzkörperstrahlung ist isotrop), die restlichen
4π wegen des Raumwinkels. Der so definierte Strahlungsfluss lautet
J = σT 4, wo σ = 5.67051(19) · 10−8W/m2K4
und heisst Strahlungsgesetz von Stefan-Boltzmann, σ heisst dementsprechend
die Stefan-Boltzmann Konstante.
Technisch wird ein schwarzer Körper durch eine Anordnung von mehreren Blenden
in einem geheizten Rohr realisiert:
Heute werden (wesentlich ausgereiftere und kompliziertere) Radiometer u. a. zur
Bestimmung der Solarkonstante verwendet:
Die Solarkonstante beträgt
bei 1 AE Entfernung von
der Sonne also S0 =
1365.5 W/m2. Sie strahlt,
wie links gesehen werden
kann, in guter Näherung
wie ein schwarzer Körper.
Solar Spectrum
1
10
Fitted black-body spectrum:
0
-1
Solar irradiance [W cm nm ]
10
5
I=(15953.8/λ) /(exp(26269/λ) - 1))
Fit and
extrapolation
-1
-2
10
-2
10
Übung: Berechne die Temperatur eines Staubkorns
im interplanetaren Raum
in Abhängigkeit vom heliozentrischen Abstand. [279
K bei 1 AE]
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
1
10
2
10
3
10
Wavelength [Å]
4
10
5
10
6
10
Wir können nicht nur die Gleichgewichtstemperatur eines interplanetaren Staubkorns, sondern auch der Erde berechnen. Das Resultat voriger Übung war ja vom
Radius unabhängig! Also müsste die Erde eine Gleichgewichtstemperatur von
279 Grad Kelvin aufweisen - das wäre ungemütlich kühl! Insbesondere wäre die
Oberflächentemperatur während der Nacht ja 0 K! Das einfache Modell versagt
aus verschiedenen Gründen:
• Die Erde und insbesondere deren Ozeane, hat bzw. haben eine Wärmekapazität.
Diese gleicht die täglichen Temperaturschwankungen aus.
• Der horizontale (meridionale) Wärmeaustausch wird nicht berücksichtigt.
• Die Erde ist kein schwarzer Körper, sondern hat eine sog. Albedo.
• Der Treibhauseffekt der Atmosphäre wurde nicht berücksichtigt.
Die spektrale Form der Schwarzkörperstrahlung
Die Wärmestrahlung eines Körpers ist nicht bei jeder Wellenlänge gleich intensiv.
Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts wurde fieberhaft nach einem allgemein
gültigen Gesetz für die funktionale Abhängigkeit gesucht. Mit Erfolg hatte man
für den langwelligen (niedrigfrequenten) Bereich der Strahlung die Formel
2ω 2
I(ω) = 3 kT
πc
gefunden, das sog. Rayleigh’sche Strahlungsgesetz. Dies besagt, dass wir für
jede Temperatur starke Ultraviolet- und sehr, sehr viele Röntgenstrahlung haben
müssten, was unserer Erfahrung widerspricht. Dies war absurd, und die Leute
wussten es, konnten aber keine bessere Erklärung finden!
Planck gelang es empirisch einen Zusammenhang zu finden, der auch das Wiensche Verschiebungsgesetz erklärte
λmax = b/T, wo b = 2.8978 · 10−3mK.
Zwei Monate später hatte er durch das Einführen eines “Wirkungsquantums” h,
welches die Strahlung “quantisierte” die korrekte Formel gefunden:
1
2hν 3
I(ν) = 2 hν/kT
,
c e
−1
bzw. in Abhängigkeit von der Wellenlänge
1
2c2h
I(λ) = 5 hc/λkT
.
λ e
−1
Das Wiensche Verschiebungsgesetz
λmax = b/T
10000 K
5000 K
log J [a.u.]
2000 K
Rayleigh-Jeans Näherung
1000 K
500 K
200 K
2
10
3
10
4
10
5
10
Wellenlänge [Å]
6
10
7
10
8
10
Keine Herleitung der spektralen Form der
Schwarzkörperstrahlung
Die Idee, wie sich die spektrale Form der Schwarzkörperstrahlung herleiten lässt,
folgt aus der Quantenmechanik. Wir stellen uns einen Ofen aus lauter Oszillatoren
bestehend vor. Davon sind einige im Grundzustand, andere in einem ersten
angeregten Zustand, etc. Aus der Quantenmechanik wissen wir, dass sich die
Zustände jeweils um eine Energie E = hν = h̄ω unterscheiden. Uns interessiert
nun die über alle Oszillatoren gemittelte Energie - die mittlere Energie des
Körpers bzw. der damit im thermischen Gleichgewicht stehenden Strahlung. Wir
bezeichnen mit N0 die Anzahl Oszillatoren im Grundzustand, mit N1 die Anzahl
im ersten angeregten Zustand, etc.
In Analogie (die in der Quantenmechanik begründet wird) mit unserer Überle-
gung für die barometrische Höhenformel oder die Maxwell-Boltzmann-Verteilung
nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, die Energie E = ihν aufzuweisen
auch von der Form exp(−Energie/kT ) ist, nämlich pi = exp(−ihν/kT ). Damit
ist N1 = N0 exp(−hν/kT ), und allg. Ni = N0 exp(−ihν/kT ). Wir definieren
.
x = exp(−hν/kT ).
Die totale Energie des Systems stammt aus der Summe der Energien aller
Oszillatoren. Vom Grundzustand kommt kein Beitrag, vom ersten angeregten
Zustand kommt N1hν = N0hνx, vom zweiten N22hν = 2N0hνx2, . . . ,Niihν =
iN0hνxi. Die mittlere Energie des Systems ist also die totale Energie geteilt durch
die Anzahl Oszillatoren
P∞
2
3
i
N0hν 0 + x + 2x + 3x + . . .
ix
Etot
i=0
P
hEi =
=
=
hν
∞
i
Ntot
N0 (1 + x + x2 + x3 + . . .)
i=0 x
Die auftretenden Summen können einfach berechnet werden. Oben steht x mal
die Ableitung nach x von der unteren. Die Ableitung ist eine lineare Operation
und kann vor die Summe gezogen werden. Die Summe
∞
X
1
x =
1−x
i=0
i
kann nun eingesetzt werden und man erhält nach wenig Rechnen die für die
Schwarzköperstrahlung wichtige spektrale Abhängigkeit
1
ehν/kT
−1
.
Eine Konsequenz dieser Erklärung ist die Beobachtung, dass Elektronenaustritt
aus Oberflächen nicht von der Intensität des Lichtes, sondern von der Frequenz,
also der Energie, der Photonen abhängt (Photoeffekt). Die erforderliche Energie
des Photons ist Eγ > WA, wo WA die Austrittsarbeit des Materials ist.
Absorptions- und Emissionsvermögen realer Strahler
Die wenigsten Körper sind schwarze Körper. Wie verhalten sich die soeben
gefundenen Gesetze für reale Körper? Dazu betrachten wir den Leslieschen Würfel,
ein würfelförmiger Behälter mit vier verschieden beschaffenen Seitenwänden. Im
Innern befindet sich heißes Wasser, so dass alle Wände dieselbe Temperatur
aufweisen.
Wir messen die in einen Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung
dW
= E ⋆ dF dΩ.
dt
Sie hängt ab vom Emissionsvermögen E ⋆ der Oberfläche und von der Größe der
Fläche dF . Die zwar gleich großen, aber verschieden beschaffenen Oberflächen
zeigen verschiedene Emissionsvermögen E ⋆. Wir definieren das Absorbtionsvermögen einer Fläche A als den Quotienten von absorbierter Strahlung durch
auftreffende Strahlung
. absorbierte Strahlung
A=
.
auftreffende Strahlung
Für einen schwarzen Körper gilt A = 1, er absorbiert die gesamte auf ihn fallende
Strahlung. Das hier definierte Absorptionsvermögen ist also gemittelt über alle
Wellenlängen. Im thermischen Gleichgewicht müssen Emission und Absorption
im Gleichgewicht stehen, und zwar für alle Frequenzen. Bringen wir in einen
Hohlraum der Temperatur T einen weiteren Körper derselben Temperatur, so
absorbiert er im Frequenzintervall [ν, ν + dν] auf eine seiner Flächen dF aus dem
Raumwinkel dΩ die Leistung
dWA
= Aν Sν⋆dF dΩdν,
dt
wo Sν⋆ die spektrale Strahlungsdichte bedeutet (oben I(ν) genannt). Gleichzeitig
muss er die Leistung
dWE
= Eν⋆dF dΩdν
dt
emittieren, um im Gleichgewicht zu bleiben. Gleichsetzen der beiden Gleichungen
liefert das Kirchhoffsche Gesetz
Eν⋆
= Sν⋆(T ).
Aν
Für einen schwarzen Körper muss also gelten, dass er dasselbe Emissionsvermögen
hat, wie die Hohlraumstrahlung derselben Temperatur.
Übung: Erhält eine Pfanne auf dem Herd durch Wärmeleitung oder durch Strahlung mehr Leistung zugeführt? Annahme: Die Pfanne liegt an drei Stellen von
ca. 0.1 mm2 auf, der Rest sei durch Luft isoliert.
Pfanne
Annahmen: Edelstahlpfanne, Durchmesser D = 20 cm. Abstand d zur Herdplatte
im Mittel 0.3 mm, Herdtemperatur 400 Grad Celsius.
Wärmeleitfähigkeit von Stahl λS = 14W/(m K), von Luft λL = 0.025 W/(m K).
Die Fläche der Auflagepunkte AA = 0.3mm2 ist wesentlich kleiner, als die der
Herdplatte zugewandte Fläche der Pfanne AP = π0.12m2, selbst wenn man mit
der Wärmeleitfähigkeit von Stahl gewichtet.
∆Q
∆t
= λS d AA(TH − TP ) < λL d AP (TH − TP ) =
S
∆Q
∆t
,
L
deshalb vernachläßigen wir die Wärmeleitung durch die Auflagepunkte und ver-
gleichen nur noch die Wärmeleitung durch die Luft mit der Wärmestrahlung.
∆Q
∆t
=
H
4
σAP (TH
−TP4 )
und Abstrahlung
∆Q
∆t
= σ(AP +πDh)(TP4 −TU4 )
P
wo TU = 20 Grad Celsius die Umgebungstemperatur sei. Die Pfanne wird
höchstens 100 Grad Celsius warm (weil sie Wasser enthalten soll), womit wir
TP = 100 Grad Celsius einsetzen können.
Wärmeleitung durch Luft: 816 W, Wärmezustrahlung: 339 W.
(In einer realistischeren Rechnung müssten wir die Abkühlung der Pfanne vorallem
durch konvektive Strömungen in der umgebenden Luft berücksichtigen.
Strahlungsleistung und -intensität
Die Leistung einer Strahlungsquelle ist, wie jede Leistung, als die abgestrahlte
Energie pro Zeit definiert,
dE
,
Φ=
dt
die Messung ist von verschiedenen Größen abhängig, wie z. B. die Fläche des Messgerätes (Empfänger), Abstand von der Quelle, Orientierung Quelle-Empfänger,
etc. Deshalb wird oft die Strahlungsintensität I verwendet, die wir im Folgenden
definieren wollen.
Dazu stellen wir uns in einem beliebigen Strahlungsfeld ein Flächenelement dσ
mit einer Flächennormalen n vor und betrachten die in einer bestimmten Zeit dt
durch dσ in einem Winkel ϑ zu n in einen Raumwinkel dΩ = dΩ(ϑ, ϕ) tretende
Strahlungsenergie in einem Frequenzintervall [ν, ν + dν],
dE = Iν (ϑ, ϕ)dν cos ϑ dσ dΩ
Die Größe Iν (ϑ, ϕ) wird Strahlungsintensität genannt. Sie
dΩ beschreibt also die Energiemenge, die pro Sekunde in einen
Raumwinkel von 1 steradian im Frequenzbereich 1 Hz durch
eine zur Richtung (ϑ, ϕ) stehende Fläche von 1 m2 strömt.
Die Umrechnung in eine Abhängigkeit von der Wellenlänge ist
nun einfach, denn mit ν = c/λ folgt dν = −c/λ2
ddλ. Nun muss ja gelten
n
ϕ
ϑ
dσ
Iν dν = −Iλdλ und damit Iλ =
c
Iν .
2
λ
ϑ
dσ
ϑ′
r
dσ ′
Um die durch einen von dieser Anordnung im Abstand
r stehenden Detektor der Fläche dσ ′ gemessene Energiemenge dE pro Zeit dt zu bestimmen, betrachten wir
die Figur nebenan. Der Detektor dσ ′ füllt von dσ aus
gesehen den Raumwinkel dΩ = cos ϑ′ dσ ′/r2, folglich
cos ϑ dσ cos ϑ′ dσ ′
dE = Iν dν cos ϑ dσ dΩ bzw. dE = Iν dν
,
2
r
denn die Betrachtung könnte auch umgekehrt von Detektor zu Quelle geschehen,
dE = Iν dν cos ϑ′ dσ ′ dΩ′,
was durch die zweite Hälfte der oberen Gleichung ja gerade ausgesagt wird.
Insbesondere bedeutet dies auch, dass die Strahlungsintensität vom Abstand
unabhängig ist!
Dies entspricht nicht unbedingt unserer Erfahrung, dass die “Stärke” einer Strahlung mit dem Abstand variiert - wer hält sich schon gerne in unmittelbarer Nähe
eines Feuers auf! Die Intensität ist eben nicht diese “Stärke”, diese Größe kann
präziser als Strahlungsstrom πFν definiert werden, als die Energiemenge, die
im Frequenzintervall dν in Richtung n durch das Flächenelement dσ tritt. Mit
dΩ = sin ϑ dϑ dϕ haben wir
.
π Fν dσ =
Z
0
π
Z
2π
dϑ dϕ Iν (ϑ, ϕ) cos ϑ dσ sin ϑ.
0
In einem isotropen Strahlungsfeld (wie die Strahlung in einem schwarzen Körper)
ist selbstverständlich πFν = 0. Es ist deshalb sinnvoll, πFν in zwei Anteile Fν+
und Fν− zu zerlegen, einen für die Einstrahlung (π/2 ≤ ϑ ≤ π), einen für die
Ausstrahlung (0 ≤ ϑ ≤ π/2), womit
Fν = Fν+ + Fν−.