Licht und Strahlung

Licht und Strahlung
Wir haben im vergangenen Semester die Wärmestrahlung kennengelernt und
dabei festgestellt, dass es sich dabei um eine Form von Licht handelt. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen dieser Form von Licht und der als
elektromagnetische Strahlung bezeichneten Form von Licht?
• Wärmestrahlung einer Lampe
• Schwarzer Körper
• Photonengas
Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers
• Intensität I = σT 4
K
T = 500
• Frequenzabhängig
K
T = 1000
K
Strahlungsleistung [W/(m Hz)]
T = 1500
K
2
T = 2000
• Wiensches Verschiebungsgesetz
K
T = 2500
0
1
2
3
14
Frequenz ν [10 Hz]
4
5
6
Schwarzkörperstrahlung
Mit dem nun erworbenen Wissen
wollen wir uns die Strahlung ei0,5
nes schwarzen Körpers noch ein0
mal überlegen. Auf einem Leiter
-0,5
würde ein elektrisches Feld sofort
ausgeglichen und verschwinden. Ei-1
π
0
π/2
3π/2
ne elektromagnetische Welle muss
~ = 0 aufweisen. Die auftretenden Knoten
also an der Oberfläche eines Leiters E
definieren also die erlaubten Wellen im Innern des Hohlköpers. In einem fiktiven
eindimensionalen Hohlkörper der Länge a folgt mit ν = c/λ und 2a/λ = n gerade
ν = cn/2a. Im Frequenzintervall dν sind also gerade
1
N (ν)dν =
4a
dν,
c
Wellen erlaubt, wobei der zusätzliche Faktor 2 aufgrund der Polarisation der
Wellen auftritt.
In einem dreidimensionalen Körper müssen wir
uns ebenfalls überlegen, wieviele verschiedene
Wellen darin “Platz” haben. Wenn wir für jede
Wellenzahl n in x, y und z Richtung eine Zahl
nx, ny und nz notieren, so spannen diese wiederum einen Körper auf, in dessen Volumen wir
die Anzahl Wellen leicht bestimmen können. Sie
ist gerade das Volumen der Kugelschale (in der
Figur links zwischen der schwarzen und der roten Kugel). Eine Welle braucht in diesem Körper
ein Volumen von (c/2a)3, also müssen wir das
Volumen der Kugelschale durch diesen Wert di-
vidieren.
µ
¶3
2a
.
c
Nun haben wir aber das Volumen nur in einer Richtung berechnet, es gibt deren
aber acht, also lautet das korrekte Resultat
N (ν)dν = 4πν 2dν ·
8πa3 2
N (ν)dν = 3 ν dν
c
wenn wir die Polarisation auch wieder berücksichtigen.
Energie im schwarzen Körper
Wieviel Energie steckt nun im schwarzen Körper? Wir haben bereits gesehen,
dass in der elektromagnetischen Strahlung die Energie sowohl im Magnetfeld wie
auch im elektrischen Feld steckt. In beiden steckt die Energie kT /2, so dass jede
Welle im Durchscnitt einen Energiebeitrag kT liefert. Damit ist der spezifische
Energieinhalt eines schwarzen Strahlers (Energie pro Kubikmeter)
8πν 2kT
dν,
ρ(ν)dν =
c3
das Resultat von Raleigh-Jeans. In der Wärmelehre (V12) hatten wir gesehen,
dass dies zur sog. Ultraviolett-Katastrophe führt, der Energiegehalt über alle
Frequenzen integriert wird unendlich!
Die Lösung
Die Lösung dieses Dilemmas haben wir in der Wärmelehre bereits kurz besprochen,
siehe V12. Ein Quantisieren der Energie einer Welle führt zu einer Formel, die
auch für kleine Frequenzen endlich bleibt,
hν
8πν 2
dν,
ρ(ν)dν = 3 hν/kT
c e
−1
das Plancksche Schwarzkörperspektrum. Eine “Herleitung” ist in V12 diskutiert
und soll hier nicht wiederholt werden.
Das Wiensche Verschiebungsgesetz
λmax = b/T
10000 K
5000 K
log J [a.u.]
2000 K
Rayleigh-Jeans Näherung
1000 K
500 K
200 K
2
10
3
10
4
10
5
10
Wellenlänge [Å]
6
10
7
10
8
10
Na und?
Eine der Konsequenzen der Quantisierung der Energie müsste doch nun sein,
dass Licht eine ganz bestimmte Energie hat, die nur von seiner Frequenz oder
Wellenlänge und nicht von seiner Intensität abhängt!
Bei der Beleuchtung von Körpern wird nun festgestellt, dass diese Elektronen
emittieren können. Genauere Untersuchungen haben ergeben, dass die kinetische
Energie dieser Photoelektronen nicht von der Lichtintensität, sondern von der
Frequenz abhängt. Nicht jedes Licht vermag Photoelektronen zu erzeugen, es
braucht eine Schwellenfrequenz, bzw. Schwellenenergie, die sog. Austrittsarbeit.
Die Photoelektronen werden prompt emittiert, was darauf hin deutet, dass das
Licht nicht nur energetisch quantisiert ist, sondern auch örtlich. Das Licht besteht
aus Teilchen!
Der Photoelektrische Effekt
Der soeben besprochene Tatbestand, der
photoelektrische Effekt, erlaubt eine Bestimmung von h. Mit Emax = hν − w0 erhalten
wir h als Steigung der Geraden. Millikan hat
h mit verschiedenen Stoffen bestimmt und
h = 6.57 · 10−34 Js erhalten. Dieser Wert
stimmte gut mit dem von Planck aus Spektren von schwarzen Strahlern bestimmten
Wert und dem heutigen Wert
Ekin,max
[eV]
1.5
Emax = hν − w0
1.0
0.5
0
2
4
6 ν [1014 Hz]
h = 6.626 · 10−34 Js
überein. Der Effekt wurde von A. Einstein theoretisch erklärt, wofür er 1921 den
Nobelpreis erhielt.
Alte Übungen
Magnetspule
Eine Spule mit Induktivität 2 H und Widerstand 10Ω sei wie in der dazugehörenden Figur gezeichnet an eine (widerstandslose) Batterie mit Spannung
100 V angeschlossen.
a.) Der Schalter S befinde sich in Position A. Wie groß ist der Endstrom in der
Spule, sowie die im Magnetfeld gespeicherte Energie?
[10 A, 100 J]
b.) Nun wird der Schalter in Position B gekippt, was einem Kurzschließen
der Spule gleichkommt. Nach wie langer Zeit ist der Strom auf 37 % seines
ursprünglichen Wertes abgeklungen?
[0.2 s]
c.) Zeichne den zeitlichen Verlauf des Stromes für beide Fälle auf.
A
U0 = 100 V B
........
........
.
......
.....
......
......
.
.
.
.
.
......
......
.....
......
..............
.
.
.
....
Schalter S
Figur zu Magnetspule
........
R = 10Ω
.
..........
.......................................
. ...... ..
.......................................
......................
................
..
.....
L=2H
Verschiebungsstrom
An einem kreisförmigen Plattenkondensator mit Radius R = 50 mm wird ein
12
=
10
V/ms). Das rasch ändernde
elektrisches Feld sehr schnell geändert ( dE
dt
E-Feld induziert analog zum Gesetz von Faraday ein B-Feld. Wir schreiben
analog
Z
d
~
~
d l B = α ΦE .
dt
a.) Wie groß ist α? Das Vorzeichen ist positiv. (Tip: Dimensionsanalyse)
[α = µ0ε0]
b.) Wie lautet der Ausdruck für das induzierte B-Feld innerhalb und ausserhalb
µ0 ε0 dE
µ0 ε0 R2 dE
des Kondensators? Wo ist B maximal? [B = 2 r dt , B = 2 r dt , r = R]
c.) Wie groß ist der Verschiebungsstrom? Dies ist auch der Strom der in der
Zuführung fliesst. Wie gross ist das B-Feld an der Oberfläche des Zuführungsleiters (Annahme r = 1mm)?
[70 mA, 14 µ
T]
d.) Nun, wieso hat es so lange gedauert, bis die Notwendigkeit des
Verschiebungsstromes eingesehen wurde?
Bohrsches Magneton
a.) Berechne das magnetische Moment eines Elektrons auf einer Kreisbahn mit
e ~
|l|]
Radius r.
[IA = 2m
e
b.) Nach den Gesetzen der klassischen Quantenmechanik (Bohr’sches Atommodell) ist der Drehimpuls ~l quantisiert: mvr = nh̄. Berechne den Wert des
Bohr’schen Magnetons µB (n = 1). Stimmen die Einheiten? [µB = 9.27·10−24
J/T]
c.) Mit Reineisenpermanentmagneten können magnetische Induktionen von
bis zu 2 T erzielt werden. Wieviele Elektronen pro Atom tragen zu dieser
Magnetisierung bei, wenn man annimmt, ein Elektron könne ein Bohr’sches
Magneton beitragen?
[n ≈ 2]
RCL Schaltung
a.) Berechne die totale Impedanz für die in der dazugehörenden Figur abgebildete Schaltung.
1
)]
[Z = R + i(ωL − ωC
b.) Resonanzfrequenz?
[wr =
√1 ]
LC
c.) Es ist nützlich, die dimensionslose Grösse ω 0 = ωωr einzuführen. Phasenwinkel
p
0
[Φ = arctan L/C R1 (w0 − ω10 )]
als Funktion von ω ?
p
p
1
d.) Den Faktor L/C R im vorigen Resultat schreiben wir als Q = L/C R1 .
Stelle für Q = 1, 3, 10, 30 Φ(ω 0) und R/|Z| graphisch dar. Wieso heisst Q oft
Qualitätsfaktor?
gur zu RCL-Schaltung
..
........
........ ...............
..........................................
...... .........
.....................................
. ................
.
.....
..................
..
............
..
0
.................
... .. ...
.... ................
.
...
..................
Bandpass
Die in der dazugehörenden gezeichnete Schaltung ist eine Kombination eines
Hoch- und eines Tiefpassfilters.
2
a.) Welches Verhältnis V = U
U1 haben die Ausgangsspannung U2 und die
Eingangsspannung U1 beim gezeichneten Vierpol in Abhaängigkeit von der
Frequenz f ?
b.) Bei welcher Frequenz wird V maximal? Wie groß ist Vmax? [∼ 500 Hz, 0.5]
1
1
gur zu Bandpass
= 1 µF
= 100kΩ
....
.....
.....
.. ..
1
.....
....
= 10 pF
2
= 100kΩ
2
......
...