Licht und Strahlung
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Licht und Strahlung Wir haben im vergangenen Semester die Wärmestrahlung kennengelernt und dabei festgestellt, dass es sich dabei um eine Form von Licht handelt. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen dieser Form von Licht und der als elektromagnetische Strahlung bezeichneten Form von Licht? • Wärmestrahlung einer Lampe • Schwarzer Körper • Photonengas Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers • Intensität I = σT 4 K T = 500 • Frequenzabhängig K T = 1000 K Strahlungsleistung [W/(m Hz)] T = 1500 K 2 T = 2000 • Wiensches Verschiebungsgesetz K T = 2500 0 1 2 3 14 Frequenz ν [10 Hz] 4 5 6 Schwarzkörperstrahlung Mit dem nun erworbenen Wissen wollen wir uns die Strahlung ei0,5 nes schwarzen Körpers noch ein0 mal überlegen. Auf einem Leiter -0,5 würde ein elektrisches Feld sofort ausgeglichen und verschwinden. Ei-1 π 0 π/2 3π/2 ne elektromagnetische Welle muss ~ = 0 aufweisen. Die auftretenden Knoten also an der Oberfläche eines Leiters E definieren also die erlaubten Wellen im Innern des Hohlköpers. In einem fiktiven eindimensionalen Hohlkörper der Länge a folgt mit ν = c/λ und 2a/λ = n gerade ν = cn/2a. Im Frequenzintervall dν sind also gerade 1 N (ν)dν = 4a dν, c Wellen erlaubt, wobei der zusätzliche Faktor 2 aufgrund der Polarisation der Wellen auftritt. In einem dreidimensionalen Körper müssen wir uns ebenfalls überlegen, wieviele verschiedene Wellen darin “Platz” haben. Wenn wir für jede Wellenzahl n in x, y und z Richtung eine Zahl nx, ny und nz notieren, so spannen diese wiederum einen Körper auf, in dessen Volumen wir die Anzahl Wellen leicht bestimmen können. Sie ist gerade das Volumen der Kugelschale (in der Figur links zwischen der schwarzen und der roten Kugel). Eine Welle braucht in diesem Körper ein Volumen von (c/2a)3, also müssen wir das Volumen der Kugelschale durch diesen Wert di- vidieren. µ ¶3 2a . c Nun haben wir aber das Volumen nur in einer Richtung berechnet, es gibt deren aber acht, also lautet das korrekte Resultat N (ν)dν = 4πν 2dν · 8πa3 2 N (ν)dν = 3 ν dν c wenn wir die Polarisation auch wieder berücksichtigen. Energie im schwarzen Körper Wieviel Energie steckt nun im schwarzen Körper? Wir haben bereits gesehen, dass in der elektromagnetischen Strahlung die Energie sowohl im Magnetfeld wie auch im elektrischen Feld steckt. In beiden steckt die Energie kT /2, so dass jede Welle im Durchscnitt einen Energiebeitrag kT liefert. Damit ist der spezifische Energieinhalt eines schwarzen Strahlers (Energie pro Kubikmeter) 8πν 2kT dν, ρ(ν)dν = c3 das Resultat von Raleigh-Jeans. In der Wärmelehre (V12) hatten wir gesehen, dass dies zur sog. Ultraviolett-Katastrophe führt, der Energiegehalt über alle Frequenzen integriert wird unendlich! Die Lösung Die Lösung dieses Dilemmas haben wir in der Wärmelehre bereits kurz besprochen, siehe V12. Ein Quantisieren der Energie einer Welle führt zu einer Formel, die auch für kleine Frequenzen endlich bleibt, hν 8πν 2 dν, ρ(ν)dν = 3 hν/kT c e −1 das Plancksche Schwarzkörperspektrum. Eine “Herleitung” ist in V12 diskutiert und soll hier nicht wiederholt werden. Das Wiensche Verschiebungsgesetz λmax = b/T 10000 K 5000 K log J [a.u.] 2000 K Rayleigh-Jeans Näherung 1000 K 500 K 200 K 2 10 3 10 4 10 5 10 Wellenlänge [Å] 6 10 7 10 8 10 Na und? Eine der Konsequenzen der Quantisierung der Energie müsste doch nun sein, dass Licht eine ganz bestimmte Energie hat, die nur von seiner Frequenz oder Wellenlänge und nicht von seiner Intensität abhängt! Bei der Beleuchtung von Körpern wird nun festgestellt, dass diese Elektronen emittieren können. Genauere Untersuchungen haben ergeben, dass die kinetische Energie dieser Photoelektronen nicht von der Lichtintensität, sondern von der Frequenz abhängt. Nicht jedes Licht vermag Photoelektronen zu erzeugen, es braucht eine Schwellenfrequenz, bzw. Schwellenenergie, die sog. Austrittsarbeit. Die Photoelektronen werden prompt emittiert, was darauf hin deutet, dass das Licht nicht nur energetisch quantisiert ist, sondern auch örtlich. Das Licht besteht aus Teilchen! Der Photoelektrische Effekt Der soeben besprochene Tatbestand, der photoelektrische Effekt, erlaubt eine Bestimmung von h. Mit Emax = hν − w0 erhalten wir h als Steigung der Geraden. Millikan hat h mit verschiedenen Stoffen bestimmt und h = 6.57 · 10−34 Js erhalten. Dieser Wert stimmte gut mit dem von Planck aus Spektren von schwarzen Strahlern bestimmten Wert und dem heutigen Wert Ekin,max [eV] 1.5 Emax = hν − w0 1.0 0.5 0 2 4 6 ν [1014 Hz] h = 6.626 · 10−34 Js überein. Der Effekt wurde von A. Einstein theoretisch erklärt, wofür er 1921 den Nobelpreis erhielt. Alte Übungen Magnetspule Eine Spule mit Induktivität 2 H und Widerstand 10Ω sei wie in der dazugehörenden Figur gezeichnet an eine (widerstandslose) Batterie mit Spannung 100 V angeschlossen. a.) Der Schalter S befinde sich in Position A. Wie groß ist der Endstrom in der Spule, sowie die im Magnetfeld gespeicherte Energie? [10 A, 100 J] b.) Nun wird der Schalter in Position B gekippt, was einem Kurzschließen der Spule gleichkommt. Nach wie langer Zeit ist der Strom auf 37 % seines ursprünglichen Wertes abgeklungen? [0.2 s] c.) Zeichne den zeitlichen Verlauf des Stromes für beide Fälle auf. A U0 = 100 V B ........ ........ . ...... ..... ...... ...... . . . . . ...... ...... ..... ...... .............. . . . .... Schalter S Figur zu Magnetspule ........ R = 10Ω . .......... ....................................... . ...... .. ....................................... ...................... ................ .. ..... L=2H Verschiebungsstrom An einem kreisförmigen Plattenkondensator mit Radius R = 50 mm wird ein 12 = 10 V/ms). Das rasch ändernde elektrisches Feld sehr schnell geändert ( dE dt E-Feld induziert analog zum Gesetz von Faraday ein B-Feld. Wir schreiben analog Z d ~ ~ d l B = α ΦE . dt a.) Wie groß ist α? Das Vorzeichen ist positiv. (Tip: Dimensionsanalyse) [α = µ0ε0] b.) Wie lautet der Ausdruck für das induzierte B-Feld innerhalb und ausserhalb µ0 ε0 dE µ0 ε0 R2 dE des Kondensators? Wo ist B maximal? [B = 2 r dt , B = 2 r dt , r = R] c.) Wie groß ist der Verschiebungsstrom? Dies ist auch der Strom der in der Zuführung fliesst. Wie gross ist das B-Feld an der Oberfläche des Zuführungsleiters (Annahme r = 1mm)? [70 mA, 14 µ T] d.) Nun, wieso hat es so lange gedauert, bis die Notwendigkeit des Verschiebungsstromes eingesehen wurde? Bohrsches Magneton a.) Berechne das magnetische Moment eines Elektrons auf einer Kreisbahn mit e ~ |l|] Radius r. [IA = 2m e b.) Nach den Gesetzen der klassischen Quantenmechanik (Bohr’sches Atommodell) ist der Drehimpuls ~l quantisiert: mvr = nh̄. Berechne den Wert des Bohr’schen Magnetons µB (n = 1). Stimmen die Einheiten? [µB = 9.27·10−24 J/T] c.) Mit Reineisenpermanentmagneten können magnetische Induktionen von bis zu 2 T erzielt werden. Wieviele Elektronen pro Atom tragen zu dieser Magnetisierung bei, wenn man annimmt, ein Elektron könne ein Bohr’sches Magneton beitragen? [n ≈ 2] RCL Schaltung a.) Berechne die totale Impedanz für die in der dazugehörenden Figur abgebildete Schaltung. 1 )] [Z = R + i(ωL − ωC b.) Resonanzfrequenz? [wr = √1 ] LC c.) Es ist nützlich, die dimensionslose Grösse ω 0 = ωωr einzuführen. Phasenwinkel p 0 [Φ = arctan L/C R1 (w0 − ω10 )] als Funktion von ω ? p p 1 d.) Den Faktor L/C R im vorigen Resultat schreiben wir als Q = L/C R1 . Stelle für Q = 1, 3, 10, 30 Φ(ω 0) und R/|Z| graphisch dar. Wieso heisst Q oft Qualitätsfaktor? gur zu RCL-Schaltung .. ........ ........ ............... .......................................... ...... ......... ..................................... . ................ . ..... .................. .. ............ .. 0 ................. ... .. ... .... ................ . ... .................. Bandpass Die in der dazugehörenden gezeichnete Schaltung ist eine Kombination eines Hoch- und eines Tiefpassfilters. 2 a.) Welches Verhältnis V = U U1 haben die Ausgangsspannung U2 und die Eingangsspannung U1 beim gezeichneten Vierpol in Abhaängigkeit von der Frequenz f ? b.) Bei welcher Frequenz wird V maximal? Wie groß ist Vmax? [∼ 500 Hz, 0.5] 1 1 gur zu Bandpass = 1 µF = 100kΩ .... ..... ..... .. .. 1 ..... .... = 10 pF 2 = 100kΩ 2 ...... ...
