Blatt 6

Blatt 6
Aufgabe 1
Zerlegen sie einen Würfel durch einen ebenen Schnitt in zwei gleiche Teile, so dass die Schnittfläche ein regelmässiges Sechseck ist.
Aufgabe 2
Zerlegen Sie ein gleichseitiges Dreieck in 6 kleinere gleichseitige Dreiecke.
Aufgabe 3
15 weisse und 15 schwarze Spielsteine werden auf eine Kreislinie gelegt. Man zählt in Uhrzeigersinn die Spielsteine und entfernt jeden neunten Spielstein. Wie muss man die Spielsteine auf der
Kreislinie anordnen, damit nach 15 Schritte nur die weisse Spielsteine auf der Kreislinie bleiben?
Aufgabe 4
Einige weisse Würfel mit Kantenlänge 1 werden so zusammengesetzt, dass sie einen grösseren
Würfel bilden. Einige Seiten des so entstandenen Würfels werden rot gefärbt. Der grosse Würfel
wird dann abgebaut und man stellt fest, dass 24 Einheitswürfel noch völlig weiss sind. Wieviele
Seiten des grossen Würfel wurden gefärbt?
Aufgabe 5
Ein geometrischer Körper heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten, die zu ihm gehören, auch die
Strecke zwischen diesen Punkten vollständig zu diesem Körper gehört. Hierdurch werden alle
Körper ausgeschlossen, die Löcher“ oder Dellen“ enthalten.
”
”
Platonische Körper sind konvexe Körper, die von kongruenten, regelmässigen Vielecken gebildet
werden und bei denen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Vielecken zusammentreffen.
Zeigen Sie, dass es nicht mehr als fünf Platonische Körper geben kann.
Definition 1
Ein Polyeder ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht.
Aufgabe 6
Die Eulersche Charakteristik eines Polyeders ist durch:
E−K +F
gegeben, wobei E die Anzahl Ecken, K die Anzahl Kanten und F die Anzahl Flächen bezeichnet.
a. Bestimmen Sie die Eulersche Charakteristik eines regelmässigen Tetraeders, eines Würfels
und eines Oktaeders.
b. Bestimmen Sie die Anzahl Ecken, Kanten und Flächen des Ikosaeders und des Dodekaeders
und berechnen Sie damit ihre eulersche Charakteristik.
Aufgabe 7
a. Gegeben sei ein beliebiges n−Eck. Wieviel beträgt E − K + F ?
b. Zum ursprünglichen n−Eck wird ein m−Eck geklebt und zwar so, dass die zwei Vielecke
genau eine gemeinsame Seite und genau zwei gemeinsamen Ecken besitzen. Wie verändert
sich die Summe E − K + F ?
H
m−Eck
n-Eck
@
@
A
A
c. Gegeben ist ein Würfelnetz:
Wie verändert Sich die Summe E − K + F beim Zusammenkleben der gleich gefärbten
Strecken?
d. Beweisen Sie den Eulerschen Polyedersatz: Bezeichnet F die Anzahl der Flächen, K die
Anzahl der Kanten und E die Anzahl der Ecken eines konvexen Polyeders, so gilt
E−K +F =2
Aufgabe 8
Bei der folgenden Aufgabe geht es um die sogenannte Kochsche Schneeflocke (auch Kochsche
Insel genannt). Wir konstruieren sie schrittweise wie folgt:
• Wir gehen von einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 1 aus und bezeichnen diese
Figur als F0 .
• Im zweiten Schritt teilen wir jede Seite in drei gleiche Teile. Der mittlere bildet die Grundseite eines darauf errichteten gleichseitigen Dreiecks. Wir löschen die Grundseite und erhalten F1
• Dieser Prozess wird nun mit den neu entstandenen Seiten wiederholt.
...
Dieses Verfahren kann unendlich oft fortgesetzt werden, so dass ein fein ziselierter Rand entsteht:
die Kochsche Insel.
a. Zählen Sie die Anzahl der Abschnitte der ersten Stufen. Vervollständigen Sie die untenstehende Tabelle für die ersten Wachstumsstufen und verallgemeinern Sie die Anzahl Abschnitte für die n-te Stufe:
Stufe
0
1
2
3
4
5
6
n
Abschnitte
Stufe
Abschnitte
b. Bestimmen Sie den Umfang der Figur F10 .
c. Zeigen Sie, dass der Umfang der Figur Fn grösser als 3 + n ist.
Aufgabe 9
Verbinden Sie alle Punkte durch sechs Strecken, ohne den Stift abzusetzen.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Aufgabe 10
Ein Rechteck ABCD mit ganzzahligen Seitenlängen n und m wird in n · m Einheitsquadrate
unterteilt. Wieviele dieser Quadrate werden von der Diagonalen AC geschnitten?
D
C
A
B
Aufgabe 11
Um drei Uhr bilden die Uhrzeiger einen rechten Winkel. Wann werden sie zum ersten Mal nach
drei Uhr wieder einen rechten Winkel bilden?
* Aufgabe 12
a. Vereinfachen Sie den folgenden Term:
(1 + x + x2 + x3 + . . . + xn ) · (1 − x)
b. Berechnen Sie die Fläche der Kochschen Schneeflocke.