2 Rationale und reelle Zahlen

2
Rationale und reelle Zahlen
K
2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form
= (K, 0, 1, +, ·) mit einer Grundmenge
K, zwei zweistelligen Operationen + und ·, für die die Körperaxiome gelten:
(K1) (K, 0, +) ist abelsche Gruppe.
(K2) (K \ {0}, 1, ·) ist abelsche Gruppe.
(K3) Es gilt das Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c.
Das inverse Element von a bezüglich der Addition schreiben wir als −a, das der Multiplikation als
a−1 . Üblicherweise verwendet man a − b statt a + (−b) und ab statt a · b. Weiter gilt die bekannte
Regel Punktrechnung geht vor Strichrechnung“.
”
Hieraus lassen sich alle Rechenregeln ableiten, die wir von den rationalen oder reellen Zahlen
kennen:
Satz Sei (K, +, ·, 0, 1) ein Körper. Dann gilt:
(a) Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt.
(b) Das inverse Element −a der Addition und das inverse Element a−1 , a 6= 0, der Multiplikation
sind eindeutig bestimmt.
(c) Es gilt a · 0 = 0, (−1)a = −a, (−a)b = −ab.
(d) Ist a 6= 0, so folgt aus ab = ac, dass b = c.
(e) Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0.
Beweis: (a) und (b) folgen aus Satz 1.8.
(c) Aus a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 folgt a0 = 0. Aus 0 = 0a = (1 + (−1))a = a + (−1)a folgt
(−1)a = −a. Mit (−1)a = −a folgt (−a)b = (−1)ab = (−1)(ab) = −ab.
(d) Dies ist wieder Satz 1.8.
(e) Ist ab = 0 und b 6= 0, so a = abb−1 = 0b−1 = 0 wegen (c).
Der Begriff des Körpers ist ähnlich schillernd wie der der Gruppe. Der kleinste Körper besteht
nur aus den Elementen 0 und 1 mit den Standardwerten für x + y und xy abgesehen von 1 + 1 = 0..
Sind a1 , a2 , . . . , an ∈ K, so schreiben wir Summe und Produkt kürzer
n
X
ai = a1 + a2 + . . . + an ,
n
Y
ai = a1 a2 . . . an .
i=1
i=1
Aufgrund der Körperaxiome sind die Werte solcher Ausdrücke unabhängig von Reihenfolge oder
Klammerung.
2.2 Potenzen und binomische Formel
definieren
a0 = 1,
In jedem Körper
K können wir induktiv Potenzen
an+1 = a · an .
Die Potenzgesetze
(2.1)
am+n = am · an ,
an bn = (ab)n ,
(am )n = amn
lassen sich leicht durch vollständige Induktion beweisen. Für a 6= 0 setzen wir a−n = (a−1 )n , (2.1)
bleibt dann richtig für m, n ∈ .
Z
12
Für a, b ∈
K und n ∈ N0 gilt die binomische Formel
(a + b)n =
n X
n
i
i=0
an−i bi = an +
n
1
an−1 b + . . . +
n n−1
ab
+ bn ,
n−1
die durch Induktion über n bewiesen wird. Für n = 0 ist sie richtig. Unter der Annahme, dass sie
für n richtig ist, folgt
(a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) =
n n
X
n n−i+1 i X n n−i i+1
a
b +
a b
i
i
i=0
i=0
Mit Umnummerierung erhalten wir für den ersten Summanden
n X
n
i
i=0
an−i+1 bi = an+1 +
i=0
daher
(a + b)
n+1
=a
n+1
n−1
X
+
n−1
X i=0
n n−i i+1
a b ,
i+1
n n n−i i+1
+
a b
+ bn+1 .
i
i+1
Die Behauptung folgt aus der Additionseigenschaft des Binomialkoeffizienten in Lemma 1.6.
2.3
Die geometrische Summenformel
n
X
Die geometrische Summenformel lautet für q 6= 1
qi =
i=0
1 − q n+1
.
1−q
Man beweist sie, in dem man den Teleskopeffekt“ beachtet,
”
n
n
n
X
X
X
i
i
q i+1 = 1 − q n+1 .
q −
q (1 − q) =
i=0
i=0
i=0
2.4 Angeordneter Körper Sei K ein Körper und <“ eine zweistellige Relation. K mit der
”
Relation < heißt angeordneter Körper, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
(A1) Trichotomiegesetz: Für beliebige a, b ∈ K gilt genau eine der Beziehungen a < b, b < a oder
a = b.
(A2) Transitivitätsgesetz: Ist a < b und b < c, so gilt a < c.
(A3) Monotoniegesetze: Ist a < b, so folgt
a + c < b + c für jedes c,
ac < bc für jedes c > 0.
Wir schreiben a > b, wenn b < a, sowie a ≤ b, wenn a < b oder a = b. Wir sprechen von positiven
oder negativen a, wenn a > 0 beziehungsweise a < 0 gilt. Auch hier wollen wir die bekannten
Rechenregeln für die Ordnung < aus den Axiomen herleiten:
(i) a < b ⇔ −b < −a
(ii) Es gilt
ab > 0 ⇔ a, b > 0 oder a, b < 0.
Insbesondere ist a2 > 0 für a 6= 0 sowie 1 = 12 > 0.
(iii) Ist a < b, so gilt ac > bc für c < 0.
13
Die Beweise lassen sich auch hier leicht führen. Auf a < b wenden wir zweimal das erste Monotoniegesetz an, es gilt dann a − b < b − b = 0 sowie −b = a − b − a < −a. Für den Beweis von (ii) sei
zunächst ab > 0. Wegen a · 0 = 0 müssen dann beide Faktoren ungleich Null sein. Angenommen,
a > 0 und b < 0. Dann ist nach (i) −b > 0 und nach dem zweiten Monotoniegesetz −ab > 0 im
Gegensatz zu ab > 0. Die umgekehrte Richtung folgt aus dem Monotoniegesetz und (−a)(−b) = ab.
Kommen wir nun zu (iii). Nach (i) gilt −c > 0 und nach dem Monotoniegesetz daher −ac < −bc.
Wiederum nach (i) folgt ac > bc.
2.5 Ganze und rationale Zahlen Kombinieren wir 1 > 0 mit dem ersten Monotoniegesetz, so
erhalten wir 0 < 1 < 1 + 1 < . . . . Wir können diese Folge mit den natürlichen Zahlen identifizieren,
also ⊂ für jeden angeordneten Körper . Mit n ∈ K ist auch −n ∈ K, womit auch die ganzen
Zahlen
in K sind. Ferner ist m/n ∈ K für m ∈
und n ∈ \ {0}. Damit finden wir auch
den aus ganzzahligen Brüchen bestehenden Körper der rationalen Zahlen in jedem angeordneten
Körper wieder. Gleichzeitig ist
der minimale angeordnete Körper wie wir oben gesehen haben.
Wir können also die Grundrechenarten innerhalb von uneingeschränkt ausführen, trotzdem lässt
noch einige Wünsche offen:
N K
Z
K
Q
Q
Z
Z
Q
Q
Satz Es gibt keine rationale Zahl r mit r2 = 2.
N
2
2
2
Beweis: Angenommen, für teilerfremde m, n ∈ wäre ( m
n ) = 2. Dann folgt m = 2n . Da die
rechte Seite durch 2 teilbar ist, muß auch die linke durch 2 teilbar sein, also m = 2k und 4k 2 = 2n2 .
In dieser Identität kann durch 2 geteilt werden, 2k 2 = n2 . Mit der gleichen Argumentation wie
vorher folgt, dass auch n durch 2 teilbar ist. Da m und n durch 2 teilbar sind, erhalten wir einen
Widerspruch zur Annahme, dass m und n teilerfremd sind.
Später werden wir sehen, dass im Körper der reellen Zahlen die Gleichung a2 = 2 eine eindeutige
positive Lösung besitzt.
2.6 Beschränkte Mengen, Infimum und Supremum Eine Teilmenge A in einem angeordneten Körper heißt nach unten (oben) beschränkt, wenn es ein ξ ∈ K gibt mit ξ ≤ a (ξ ≥ a) für alle
a ∈ A. ξ heißt in diesem Fall untere (obere) Schranke von A. Ist die Menge A sowohl nach unten
als auch nach oben beschränkt, so heißt A beschränkt.
ξ heißt größte untere Schranke von A oder Infimum von A, wenn für jede andere untere Schranke
ξ ′ gilt ξ ′ ≤ ξ. Entsprechend heißt ξ kleinste obere Schranke oder Supremum von A, wenn für jede
andere obere Schranke ξ ′ gilt ξ ′ ≥ ξ. In diesen Fällen schreiben wir ξ = inf A beziehungsweise
ξ = sup A. Gehört ein Infimum (Supremum) selber zu A, so heißt es Minimum (Maximum).
Infimum und Supremum einer Menge A sind eindeutig bestimmt, denn wären beispielsweise ξ
und η Infima, so würde aufgrund der Definition sowohl ξ ≤ η als auch η ≤ ξ gelten, was wegen des
Trichotomiegesetzes ξ = η impliziert.
Beispiel Wir bestimmen Infimum und Supremum der Menge
1 1
M = x+ : <x≤2
x 2
und untersuchen, ob M Minimum und Maximum besitzt. Aus (x − 1)2 ≥ 0 folgt für x > 0
x2 − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x +
1
≥ 2.
x
Da der Wert 2 für x = 1 angenommen wird, ist das Infimum 2 auch Minimum. Für x ∈ [ 12 , 2] gilt
x −
5 3
≤
4
4
14
und nach Quadrieren und Division durch x folgt
x+
5
1
≤ .
x
2
Damit ist das Supremum 25 , das für x = 2 angenommen wird.
von M.
2.7
Sei
Das Vollständigkeitsaxiom
5
2
∈ M ist daher auch das Maximum
K ein angeordneter Körper. Ist zusätzlich noch
(V) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.
erfüllt, so heißt
K der Körper der reellen Zahlen und wird mit R bezeichnet.
Der Leser hat vielleicht bemerkt, dass im Gegensatz zu den bisherigen Definitionen die letzte
auch eine Aussage enthält, dass nämlich der Körper eindeutig durch die Axiome festgelegt wird.
Zur Präzisierung dieser Aussage sind leider umfangreiche Vorbereitungen notwendig, die sich bis in
das 3. Kapitel erstrecken.
R
Q
gilt das Vollständigkeitsaxiom nicht, denn wir hatten bereits in Abschnitt 2.5
Im Körper
gesehen, dass x2 = 2 in
keine Lösung besitzt. Damit hat die nach oben beschränkte Menge
2
M =√
{x : x < 2} kein Supremum in . Wie wir später sehen werden, enthält neue Zahlen wie
eben 2, die wir irrationale Zahlen nennen.
Q
Q
R
2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu
jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt.
Satz (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n ≤ a für alle n ∈
N.
N mit b < an.
(c) Zu reellen Zahlen a, b mit a < b gibt es ein n ∈ N mit a + n1 < b.
(d) Ist a ≥ 0 eine reelle Zahl mit a ≤ 1/n für alle n ∈ N, so gilt a = 0.
(b) Zu reellen Zahlen a, b mit a > 0 gibt es ein n ∈
(e) Zu zwei reellen Zahlen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b.
Beweis: (a) Wäre die Menge der natürlichen Zahlen beschränkt, so würde nach dem Vollständigkeitsgesetz ξ = sup existieren. Nach Definition des Supremums gibt es ein n ∈ mit ξ − 1 < n,
was wegen ξ < n + 1 einen Widerspruch ergibt.
N
N
(b) Wegen (a) existiert n > ab .
1
b−a .
< a1 für
(c) Wegen (a) existiert n >
(d) Wäre a > 0, so wäre n
alle n ∈
N im Widerspruch zu (a).
(e) Ist a < 0, so können wir durch Addition einer natürlichen Zahl die Situation a > 0 herstellen.
Sei also 0 < a < b. Nach (b) gibt es ein n ∈ mit n(b − a) > 1, also 0 < n1 < b − a. Nach (a) gibt
es ein m ∈ mit m > na, also m
n > a. Die Menge
N
N
m∈
N : mn > a
ist daher nichtleer und besitzt ein kleinstes Element k, für das
a<
gilt. Wäre
k
n
≥ b, so
k
,
n
a≥
k−1
n
k−1
1
≥ b − > b − (b − a) = a,
n
n
was einen Widerspruch bedeutet.
R
Für die Eigenschaft (e) sagt man auch: Die rationalen Zahlen liegen dicht in . Denn aus (e)
folgt auch, dass man eine Irrationalzahl a durch rationale Zahlen beliebig genau approximieren
15
R
kann. Auch die Irrationalzahlen liegen dicht in . Zu reellen Zahlen Zahlen a < b finden wir nach
liegt auch die Irrationalzahl
(e) eine
√ rationale Zahl r mit a < r < b. Für genügen großes n ∈
r + 2/n zwischen a und b.
N
N
2.9 Die n-te Wurzel Satz Ist a ≥ 0 und n ∈ , so besitzt die Gleichung xn = a genau
√
eine reelle Lösung x mit x ≥ 0. Diese Lösung wird mit n a bezeichnet und die n-te Wurzel aus a
genannt.
Bemerkung Man beachte, dass wir die Wurzel nur aus nichtnegativen Zahlen ziehen und dass
diese Wurzel eine nichtnegative Zahl ist, obwohl (−2)2 = 4 und (−3)3 = −27. Dies geschieht auch
aus Bequemlichkeit, um die ansonsten notwendige Fallunterscheidung zu vermeiden, ob n gerade
oder ungerade ist.
Beweis: Da die Fälle n = 1 oder a = 0 klar sind, setzen wir n ≥ 2 und a > 0 voraus. Die
Teilmenge von
M = {x ≥ 0 : xn ≤ a}
R
ist nichtleer, weil sie die Null enthält, und nach oben beschränkt. Nach dem Vollständigkeitsgesetz
besitzt sie daher ein Supremum ξ. Durch einen indirekten Beweis zeigen wir, dass ξ n = a.
Angenommen, ξ n < a. Für m ∈
ξ+
b
1 n
≤ ξn + ,
m
m
N folgt aus der binomischen Formel
mit b =
n
1
ξ n−1 +
n
2
Wegen ξ n < a folgt aus dem Archimedischen Prinzip, dass (ξ +
1
daher ξ + m
∈ M und ξ ist gar nicht das Supremum von M.
ξ n−1 + . . . +
1 n
m)
n
n
.
< a für genügend großes m,
Angenommen, ξ n > a. Dann folgt für genügend großes m aus der Bernoulli-Ungleichung
ξ−
1 n
n 1 n
= ξn 1 −
≥ ξn 1 −
.
m
ξm
ξm
1 n
Für genügend großes m ist daher (ξ − m
) > a. Daher gibt es noch eine kleinere obere Schranke
als ξ, also ist ξ gar nicht das Supremum von M. Widerspruch!
2.10
Vorzeichen und Betrag Zu einer reellen Zahl heißt

1 für a > 0
y


0 für a = 0
sgn a =


−1 für a < 0
x
das Vorzeichen (=Signum) von a. Ferner heißt |a| = a sgn a oder
(
a für a ≥ 0
|a| =
−a für a < 0
y
x
der Betrag von a.
Der Betrag hat die drei grundlegenden Eigenschaften
(i) Für a 6= 0 ist |a| > 0.
(ii) Es gilt |ab| = |a| |b|.
(iii) |a + b| ≤ |a| + |b|
(Dreiecksungleichung).
16
Die Beweise von (i) und (ii) folgen direkt aus der Definition. (iii) ergibt sich aus ±a ≤ |a|, ±b ≤ |b|
und dem Monotoniegesetz,
a + b ≤ |a| + |b|,
−(a + b) ≤ |a| + |b|.
Wir notieren noch die umgekehrte Dreiecksungleichung
(iv) |a − b| ≥ ||a| − |b||,
die aus
|a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|,
|b| = |a − b + a| ≤ |a − b| + |a|
folgt.
2.11
Seien a, b ∈
Intervalle
R mit a < b. Man nennt
R : a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
abgeschlossenes Intervall
[a, b] = {x ∈
offenes Intervall
(nach rechts) halboffenes Intervall
(nach links) halboffenes Intervall
Unbeschränkte Intervalle werden mit Hilfe der Symbole ∞ und −∞ definiert. Für a ∈
die Mengen
(−∞, a) = {x ∈ : x < a}, (a, ∞) = {x ∈ : x > a}
R
R heißen
R
offene und die Mengen
R : x ≤ a}, [a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
abgeschlossene Intervalle. Die Menge R wird auch als Intervall (−∞, ∞) angesehen und sowohl als
(−∞, a] = {x ∈
offen als auch als abgeschlossen definiert.
R
R
Die positiven reellen Zahlen werden mit + , die negativen mit
+ = (0, ∞) und
− = (−∞, 0) sind demnach offene Intervalle.
R
R− bezeichnet. Die Mengen
Das Symbol ∞ für unendlich wird in der Analysis häufig benutzt, allerdings immer in einem genau präzisierten Sinn. Das Intervall (a, ∞) ist nur die Kurzbezeichnung für die angegebene
Punktmenge, weitreichende philosophische Gedanken wie beispielsweise der Zahlcharakter des Un”
endlichen“ oder die Inkommensurabilität des Unendlichen“ sollte man sich nicht machen.
”
Dagegen ist die Bezeichnung offen“ für eine Teilmenge der reellen Zahlen grundlegend für die
”
Analysis. Für a ∈ bezeichnen wir die Menge
R
Bε (a) = (a − ε, a + ε),
ε > 0,
als ε-Umgebung von a. Jede Menge, die ein Bε (a) enthält, wird als Umgebung von a bezeichnet.
Genau die offenen Intervalle haben die Eigenschaft, dass sie Umgebung für jeden ihrer Punkte sind.
Beispielsweise ist das Intervall [a, b) nicht offen, weil für jedes ε > 0 gilt Bε (a) 6⊂ [a, b).
2.12
Das Rechnen mit reellen Zahlen
M = x∈
Beispiel 1 Wir bestimmen die Menge
R:
x+4
<x .
x−2
Um den Bruch umzuformen, unterscheiden wir die Fälle x > 2 und x < 2,
M = M1 ∪ M2 ,
M1 = {x > 2 : 0 < x2 − 3x − 4},
17
M2 = {x < 2 : 0 > x2 − 3x − 4}.
Mit x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4) folgt dann
M1 = {x > 4},
M2 = {−1 < x < 2},
M = (4, ∞) ∪ (−1, 2).
Beispiel 2 Für a, b > 0 wollen wir die Ungleichung
√
√
b
a
√ + √ ≥ a+ b
a
b
beweisen. Bevor man solche Ungleichungen in seitenweisen Rechnungen umformt,
sollte man sie zu
√
vereinfachen suchen. In diesem Fall ist√es naheliegend, beide Seiten durch b zu teilen, was zu einer
√
äquivalenten Ungleichung in x = a/ b führt,
x2 +
1
≥ x + 1,
x
x > 0.
Auf diese Weise sind wir sowohl eine Variable als auch die Wurzel losgeworden. In dieser Gleichung
√
dürfen wir sogar x ≥ 1 annehmen, denn andernfalls teilen wir die Ausgangsungleichung durch a.
Wir setzen nun x = 1 + y mit y ≥ 0 und erhalten mit Hilfe der binomischen Formel
x3 − x2 − x + 1 = (y 3 + 3y 2 + 3y + 1) − (y 2 + 2y + 1) − (y + 1) + 1
= y 3 + 2y 2 + y ≥ 0.
Damit ist die behauptete Ungleichung bewiesen.
Beispiel 3 (Youngsche Ungleichung) Für a, b ∈
√
und es folgt die Youngsche Ungleichung
R und ε > 0 gilt
1 2
εa ± √ b ≥ 0
ε
ε
1
|ab| ≤ a2 + b2 .
2
2ε
Aufgaben
2.1 (2) Man bestimme Supremum und Infimum der folgenden Mengen und prüfe, ob diese Mengen ein
Minimum oder ein Maximum besitzen:
a)
|x|
:x∈
1 + |x|
R
,
b)
x
: x > −1 .
1+x
2.2 (2) Zur Menge
M = {2−m + n−1 : m, n ∈
N}
ermittle man gegebenenfalls Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.
2.3 (3) Für natürliche Zahlen k, n ist
√
k
n entweder eine natürliche Zahl oder irrational.
2.4 (1) Sei a 6= 0 rational, b irrational. Ist a + b irrational? Ist ab irrational?
2.5 (2) Man bestimme alle x ∈
R, für die gilt:
a)
|3 − 2x| < 5
b)
d)
|2x| > |5 − 2x|,
e)
x + 4
x − 2 < x,
1
< 2.
x + |x − 1|
18
c)
x(2 − x) > 1 + |x|,
2.6 (3) Man leite die für jedes ε > 0 gültigen Ungleichungen
2|ab| ≤ ε2 a2 +
für a, b ∈
1 2
b ,
ε2
(a + b)2 ≤ (1 + ε2 )a2 + 1 +
R ab. Wann besteht (bei gegebenem ε) Gleichheit?
2.7 (3) Für positive a, b, c, d mit
a
b
<
c
d
zeige man:
a+c
c
a
<
< .
b
b+d
d
2.8 (2) Zeigen Sie, dass für x > 0 gilt
1
1
x+
≥ 1.
2
x
2.9 (3) Man zeige (jeweils für n > 1):
a) (x1 + . . . + xn ) ·
1
1
+ ... +
x1
xn
≥ n2 für xi > 0,
b) (1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xn ) > 1 + x1 + x2 + . . . + xn für xi > 0,
c) (1 − x1 )(1 − x2 ) . . . (1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − . . . − xn für xi ∈ (0, 1).
2.10 (3) Man zeige: Für positive Zahlen a, b, c, d gilt
p
√
√
(a + b)(c + d) ≥ ac + bd.
19
1 2
b
ε2