Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik

Grundbegriffe und Beweismethoden der
Mathematik (Vorkurs)
Dr. Florian Möller
16.09.2014
Inhaltsverzeichnis
0 Grundlagen
0.1 Natürliche und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Ungleichungen und Abschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
1 Aussagenlogik
1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Operationen mit Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
8
2 Beweistechniken
2.1 Beweis von Implikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Beweis von Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Widerlegen von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
12
3 Rekursion und vollständige Induktion
3.1 Rekursion . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vollständige Induktion . . . . . . . .
3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Abarten der vollständigen Induktion .
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13
13
14
15
17
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19
19
21
22
23
5 Abbildungen I: Bild, Urbild und Graph
5.1 Bild und Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
6 Abbildungen II: Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
28
4 Mengen
4.1 Notationen . . . . . . . . . . . .
4.2 Operationen mit Mengen . . . .
4.3 Rechenregeln der Mengenlehre
4.4 Kartesisches Produkt . . . . . .
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1
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0 Grundlagen
0.1 Natürliche und ganze Zahlen
Wir beginnen mit einer kleinen Wiederholung über natürliche Zahlen1 .
Mit dem Symbol ℕ bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen, also
ℕ ∶= {1, 2, 3, 4, … }.
Der Doppelpunkt auf der linken Seite des obigen Gleichheitszeichen bedeutet, dass die linke
Seite, also das Symbol ℕ, durch die rechte Seite definiert wird. Das setzt natürlich voraus, dass
wir die rechte Seite, also die Menge {1, 2, … } schon verstehen können.
Mit ℕ0 bezeichnen wir die Menge
ℕ0 ∶= {0, 1, 2, 3, … }.
Unter den ganzen Zahlen ℤ verstehen wir die Menge
ℤ ∶= {… , −2, −1, 0, 1, 2, … }.
Alle diese Definitionen sind mit Vorsicht zu genießen, weil nicht klar ist, was …“ bedeuten
”
soll.
Definition 0.1 Wir sagen, die ganze Zahl 𝑎 teilt die ganze Zahl 𝑏, falls es eine ganze Zahl 𝑘
gibt, so dass 𝑎𝑘 = 𝑏. Wir sagen in diesem Fall auch, dass 𝑎 ein Teiler von 𝑏 sei und schreiben 𝑎|𝑏.
Andernfalls sagen wir, dass 𝑎 kein Teiler von 𝑏 sei und schreiben 𝑎 ∤ 𝑏.
Beispiel 0.2 Es gilt
(a) 2 ∤ 3,
(b) 2 ∣ 4,
(c) 0 ∣ 0,
(d) 0 ∤ 𝑧 für alle ganzen Zahlen 𝑧 ≠ 0 und
(e) 𝑧 ∣ 0 für alle ganzen Zahlen 𝑧.
Definition 0.3 Ganze Zahlen, die von 2 geteilt werden, nennen wir gerade Zahlen. Alle anderen
ganzen Zahlen nennen wir ungerade Zahlen.
Definition 0.4 Eine natürliche Zahl 𝑛 heißt Primzahl, wenn sie ungleich 1 ist und nur durch
±1 und ±𝑛 teilbar ist.
Die Menge der Primzahlen bezeichnen wir mit ℙ.
Beispiel 0.5 Die Zahl 2 ist eine Primzahl. Da 2 ∤ 3, ist auch 3 eine Primzahl. Wegen 4 = 2 ⋅ 2
ist 4 keine Primzahl.
In Ihrem Studium werden Sie an verschiedenen Stellen sehen, dass Primzahlen eine fundamentale Bedeutung in der Mathematik haben. Im Augenblick benötigen wir die Menge der
Primzahlen aber nur, um Beispiele zu den folgenden Abschnitten diskutieren zu können.
1
Was natürliche Zahlen sind, scheint intuitiv klar und aus der Schule bekannt. Tatsächlich machen wir es uns
hier ein bisschen einfach. Im Studium der Mathematik wird man eine gewisse Zeit darauf verwenden, sauber
zu definieren, was natürliche Zahlen sind. Das führt aber schon über den Vorkursstoff hinaus.
2
0.2 Ungleichungen und Abschätzungen
In der Schule wird vorwiegend der Umgang mit Gleichungen gelehrt. Im Studium jedoch müssen Sie an vielen Stellen souverän mit Ungleichungen umgehen können. Wir wiederholen daher in diesem Abschnitt wichtige Rechenregeln für Ungleichungen sowie einige Techniken zur
Abschätzung von Termen. Die auftretenden Variablen sind alle als reelle Zahlen (allgemeiner:
Elemente eines angeordneten Körpers) aufzufassen.
Wir definieren die Zeichen ≤“, <“, ≥“ und >“ nicht, sondern setzen deren Bedeutung als
”
”
”
”
bekannt voraus.2
Definition 0.6 Unter einer Ungleichungskette verstehen wir eine Ungleichung der Form
𝑎1 < 𝑎 2 < 𝑎 3 < ⋯ < 𝑎 𝑛 .
Sie ist wie folgt zu lesen: Die Ungleichungen
𝑎1 < 𝑎2
und
𝑎2 < 𝑎3
…
und
und
𝑎𝑛−1 < 𝑎𝑛
sollen zugleich erfüllt sein.
Satz 0.7
• Die Ungleichungen
𝑎<𝑏
und
𝑎+𝑐 <𝑏+𝑐
sind äquivalent (d.h. gleichbedeutend; Genaueres hierzu im nächsten Abschnitt).
• Für positive 𝑐 sind
𝑎<𝑏
und
𝑐𝑎 < 𝑐𝑏
𝑎<𝑏
und
𝑐𝑎 > 𝑐𝑏
äquivalent.
• Für negative 𝑐 sind
äquivalent.
Analoge Resultate gelten für schwache Ungleichungen (d.h. ≤“ statt <“).
”
”
Satz 0.8 Gleichsinnige Ungleichungen dürfen“ addiert werden, genauer: Aus
”
𝑎<𝑏
folgt
und
𝑐<𝑑
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.
Sind beide Ungleichungen schwach, so ist auch die Ergebnis-Ungleichung schwach.
Satz 0.9 Genau dann gilt 𝑎𝑏 > 0, wenn 𝑎 und 𝑏 entweder beide positiv oder beide negativ sind.
Genau dann gilt 𝑎𝑏 < 0, wenn eine der Variablen positiv, die andere negativ ist.
Korollar 0.10
3
Gilt 𝑎 ≠ 0, so ist 𝑎2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0.
Tatsächlich ist es nicht einfach, eine saubere mathematische Definition von <“ zu geben. Man kann zwar sagen,
”
dass 𝑎 < 𝑏 bedeuten soll, dass 𝑏 − 𝑎 positiv ist. Dies führt aber auf das Problem, den Begriff positiv“ zu
”
definieren.
Eine Lösung dieses Problems wird in der Analysis gegeben — lassen Sie sich überraschen.
3
Ein Korollar (von lat. corollarium – Zugabe“, Geschenk“) ist eine (zumeist einfache) Folgerung aus einem
”
”
mathematischen Satz.
2
3
Satz 0.11 Gleichsinnige Ungleichungen dürfen“ miteinander multipliziert werden, wenn alle
”
Glieder positiv sind, genauer: Aus
0<𝑎<𝑏
folgt
0<𝑐<𝑑
und
0 < 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑.
Analog für schwache Ungleichungen.
Satz 0.12 Einen Bruch mit positivem Zähler und positivem Nenner kann man vergrößern, indem
man
• den Zähler vergrößert oder
• den Nenner verkleinert (aber positiv hält).
Beispiel 0.13 (a) Die komplexen Zahlen ℂ entstehen, indem man zu den reellen Zahlen
ein Element 𝑖 hinzufügt, das der Gleichung 𝑖2 = −1 genügt, und dann die Grundrechenarten auf dieses Element erweitert.
In ℂ kann man Ungleichungen nicht sinnvoll definieren. Man sagt auch, dass ℂ nicht
angeordnet sei.
Denn wegen Korollar 0.10 wären −1 = 𝑖2 und 1 = 12 positiv, also
−1 > 0
1 > 0.
und
Wegen Satz 0.8 folgt dann aber 0 > 0 — Widerspruch.
(b) Sind 𝑏, 𝑑 > 0 und gilt
𝑎
𝑏
< 𝑑𝑐 , so gilt
𝑎
𝑏
<
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
< 𝑑𝑐 .
Wir zeigen, dass das erste <“-Zeichen stimmt: Das Element 𝑏(𝑏 + 𝑑) ist positiv. Daher
”
sind die Ungleichungen
𝑎
𝑎+𝑐
<
𝑏 𝑏+𝑑
und
𝑎(𝑏 + 𝑑) < (𝑎 + 𝑐)𝑏
äquivalent. Ausmultiplizieren liefert
𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 < 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐,
Multiplikation mit der positiven Zahl
1
𝑏𝑑
𝑎𝑑 < 𝑏𝑐.
also
liefert
𝑎
𝑐
< .
𝑏 𝑑
𝑎+𝑐
Die Gleichung 𝑎𝑏 < 𝑏+𝑑
ist daher äquivalent zur als wahr vorausgesetzten Ausgangsglei𝑎
𝑐
chung 𝑏 < 𝑑 und damit ebenfalls wahr.
Der Beweis der zweiten Ungleichung funktioniert analog.
(c) Für alle natürlichen Zahlen 𝑛 gilt
3𝑛 − 6
3
≤ .
𝑛2 + 2𝑛 + 3 𝑛
Denn wir haben
3𝑛 − 6
𝑛2 + 2𝑛 + 3
Zähler vergrößern
≤
3𝑛
𝑛2 + 2𝑛 + 3
4
Nenner verkleinern
≤
3𝑛 3
= .
𝑛
𝑛2
1 Aussagenlogik
Mit Hilfe der formalen Logik können mathematische Aussagen exakt formuliert oder bewiesen werden.
Wir klären zuerst, was man unter einer mathematischen Aussage zu verstehen hat.
1.1 Aussagen
Unter einer mathematischen Aussage verstehen wir ein sprachliches Gebilde, bei dem es
sinnvoll ist, zu fragen, ob es entweder wahr“ (abgekürzt: 𝑤“) oder falsch“ (abgekürzt: 𝑓“)
”
”
”
”
ist (Prinzip der Zweiwertigkeit der mathematischen Logik4 ). Es ist nicht erforderlich, sagen zu
können, welcher Wahrheitswert der Aussage zukommt.
Beispiel 1.1 Welche der folgenden Sätze sind Aussagen in obigem Sinne?
(a) Wie ist das Wetter heute?“
”
(b) Heute ist Montag und morgen ist Mittwoch.“
”
(c) Heute ist Montag.“
”
(d) Dieser Satz ist eine falsche Aussage.“
”
Aussagen werden oft mit Großbuchstaben 𝐴, 𝐵, 𝐶 … bezeichnet.
Beispiel 1.2 Ein paar Beispiele für Aussagen:
𝐴: 9 ist eine Primzahl.“
”
𝐵: Jede Primzahl ist ungerade.“
”
𝐶: Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist das Produkt aus genau zwei Primzahlen.“
”
𝐷: Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist die Summe aus genau zwei Primzahlen.“
”
Aussage 𝐴 ist offenbar falsch (denn 3 ⋅ 3 = 9).
2 ist gerade und eine Primzahl, also ist auch Aussage 𝐵 falsch.
Auch Aussage 𝐶 ist falsch, denn 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ist zwar das Produkt dreier Primzahlen, aber nicht
das Produkt zweier Primzahlen.
Aussage 𝐷 ist die sogenannte Goldbachsche Vermutung, an der sich die Mathematiker schon
seit 1742 die Zähne ausbeißen. Trotzdem, 𝐷 ist entweder wahr oder falsch und damit eine
Aussage.
1.2 Operationen mit Aussagen
Aus einfachen“ Aussagen gewinnt man durch logische Verknüpfungen kompliziertere“
”
”
Aussagen. Die Wahrheitswerte der einfachen“ Aussagen legen dabei den Wahrheitswert der
”
komplizierteren“ Aussage eindeutig fest. Die wichtigsten logischen Verknüpfungen sind:
”
(a) Konjunktion ( und“), Schreibweise: 𝐴 ∧ 𝐵.
”
Beispiel: Seien 𝐴 und 𝐵 die Aussagen aus Beispiel 1.2. Dann bedeutet die Aussage 𝐴 ∧
𝐵∶
4
Es gibt auch mehrwertige oder sogar unscharfe (Fuzzy-)Logik, die in der Anwendung eine gewisse Rolle spielt.
Diese ist aber zur Grundlegung der Mathematik eher ungeeignet.
5
9 ist eine Primzahl und jede Primzahl ist ungerade.
Das ist eine neue Aussage (und zwar eine falsche).
Der Wahrheitswert der neuen Aussage 𝐴∧𝐵 ist durch folgende Tabelle (eine sogenannte
Wahrheitstafel) definiert:
𝐴
𝑤
𝑤
𝑓
𝑓
𝐵
𝑤
𝑓
𝑤
𝑓
𝐴∧𝐵
𝑤
𝑓
𝑓
𝑓
Sind also 𝐴 und 𝐵 falsch, so ist auch 𝐴 ∧ 𝐵 falsch (4. Zeile der Wahrheitstafel).
Durch die folgende Wahrheitstafel werden weitere logische Verknüpfungen definiert.
𝐴
𝑤
𝑤
𝑓
𝑓
𝐵
𝑤
𝑓
𝑤
𝑓
¬𝐴
𝑓
𝑓
𝑤
𝑤
𝐴∧𝐵
𝑤
𝑓
𝑓
𝑓
𝐴∨𝐵
𝑤
𝑤
𝑤
𝑓
𝐴⟹𝐵
𝑤
𝑓
𝑤
𝑤
𝐴 ⟺ 𝐵
𝑤
𝑓
𝑓
𝑤
(b) Disjunktion oder“, Schreibweise: 𝐴 ∨ 𝐵 5
”
So gilt z. B. für die Aussagen
𝐶1 ∶
und
Die Zahl 2 ist gerade.“
”
𝐶2 ∶
Die Zahl 2 ist eine Primzahl.“,
”
dass die Aussage 𝐶1 ∨ 𝐶2 wahr ist, da mindestens eine der beiden Aussagen 𝐶1 , 𝐶2 wahr
ist. Tatsächlich sind aber sowohl 𝐶1 als auch 𝐶2 wahr.
(c) Negation ( nicht 𝐴“), Schreibweise: ¬𝐴.
”
Die Negation von 2 ist keine Primzahl.“ ist 2 ist eine Primzahl.“.
”
”
(d) Implikation ( A impliziert B“, aus 𝐴 folgt 𝐵), Schreibweise: 𝐴 ⟹ 𝐵
”
Achtung: Eine Implikation 𝐴 ⟹ 𝐵 ist stets wahr, wenn 𝐴 falsch ist! Aus einer falschen
Aussage kann man alles folgern!
So ist z. B. die Aussage
Ist 9 eine Primzahl, so gilt die Goldbachsche Vermutung.“
”
wahr, weil 9 keine Primzahl ist.
(e) Äquivalenz ( 𝐴 ist äquivalent zu 𝐵“, 𝐴 genau dann, wenn 𝐵),
”
Schreibweise: 𝐴 ⟺ 𝐵
Sei 𝑞 eine natürliche Zahl. Die Aussagen 𝑞 ist eine gerade Primzahl“ und 𝑞 ist 2“ sind
”
”
äquivalent. Sie sind entweder beide wahr (nämlich wenn 𝑞 = 2 gilt) oder beide falsch
(falls 𝑞 ≠ 2).
5
Das logische oder“, ∨, ist kein exklusives Oder. Hier unterscheidet sich die mathematische Logik von der Um”
gangssprache.
6
Beweisverfahren für Tautologien
Mit Hilfe von Wahrheitstafel kann man Rechenregeln“ (sog. Tautologien) für logische Aus”
drücke beweisen.
Z. B. stellt man fest, dass die Aussage 𝐴 ∧ 𝐵 genau dann wahr ist, wenn 𝐵 ∧ 𝐴 wahr ist. Diese
sogenannte Kommutativität von ∧ zeigt man, indem man die Tabelle
𝐴
𝑤
𝑤
𝑓
𝑓
𝐵
𝑤
𝑓
𝑤
𝑓
𝐴∧𝐵
𝑤
𝑓
𝑓
𝑓
𝐵∧𝐴
𝑤
𝑓
𝑓
𝑓
ausfüllt und die Spalten 3 und 4 vergleicht. Man sieht, dass die Wahrheitsbelegungen in jedem
möglichen Fall, also immer, übereinstimmen.
Alle folgenden Tautologien lassen sich auf ähnliche Weise zeigen.
(a) Kommutativität:
𝐴 ∧ 𝐵 ⟺ 𝐵 ∧ 𝐴,
𝐴 ∨ 𝐵 ⟺ 𝐵 ∨ 𝐴.
(b) Assoziativität:
𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) ⟺ (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶,
𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ⟺ (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶.
(c) Distributivität:
𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶) ⟺ (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶),
𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) ⟺ (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ 𝐶).
(d) Doppelte Negation:
¬(¬𝐴) ⟺ 𝐴.
(e) De Morgansche Regeln:
¬(𝐴 ∧ 𝐵) ⟺ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵,
¬(𝐴 ∨ 𝐵) ⟺ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵.
(f) Kontraposition:
(𝐴 ⟹ 𝐵) ⟺ (¬𝐵 ⟹ ¬𝐴).
Verwechseln Sie nicht die Kontraposition mit der Umkehrung des Folgepfeils!
Die Aussagen 𝐴 ⟹ 𝐵 und (¬𝐵) ⟹ (¬𝐴) sind logisch äquivalent. Die Aussagen
𝐴⟹𝐵
und
𝐴⟸𝐵
haben jedoch i. A. nichts miteinander zu tun!
(g) Syllogismus:
((𝐴 ⟹ 𝐵) ∧ (𝐵 ⟹ 𝐶)) ⟹ (𝐴 ⟹ 𝐶),
(𝐴 ∧ (𝐴 ⟹ 𝐵)) ⟹ 𝐵.
7
(h) Umformulierung der Implikation
(𝐴 ⟹ 𝐵) ⟺ (¬𝐴 ∨ 𝐵).
(i) Umformulierung der Äquivalenz
(𝐴 ⟺ 𝐵) ⟺ ((𝐴 ⟹ 𝐵) ∧ (𝐵 ⟹ 𝐴)).
1.3 Quantoren
Mathematische Aussagen hängen oft von Variablen ab. Zum Beispiel hängt die Aussage
𝑛 ist größer als 2𝑛“
”
von der Variable 𝑛 ab. Oft schränkt man den Grundbereich, aus dem die Variablen stammen
dürfen, ein. Man definiert sich hierzu eine Menge 𝑀 und fordert, dass die Variablen 𝑛 in 𝑀
liegen müssen. Man schreibt 𝑛 ∈ 𝑀 hierfür. Wir werden später auf die Notation ∈“ zurück”
kommen.
Definition 1.3 Sei 𝐴(𝑛) eine von der Variablen 𝑛 ∈ 𝑀 abhängige Aussage.
(a) Wir schreiben
∀𝑛 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴(𝑛)
für die Aussage
Für alle 𝑛 aus der Menge 𝑀 ist die Aussage 𝐴(𝑛) wahr.“
”
∀𝑛 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴(𝑛)“ ist also genau dann wahr, wenn 𝐴(𝑛) für jede Belegung der Variablen 𝑛
”
mit Werten aus 𝑀 wahr ist.
Man nennt ∀ den Allquantor.
(b) Wir schreiben
∃𝑛 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴(𝑛)
für die Aussage
Es existiert ein 𝑛 ∈ 𝑀, so dass 𝐴(𝑛) wahr ist.“
”
∃𝑛 ∈ 𝑀 ∶ 𝐴(𝑛)“ ist also genau dann wahr, wenn nur ein einziges 𝑛 ∈ 𝑀 existiert, so dass
”
𝐴(𝑛) wahr ist.
Man nennt ∃ den Existenzquantor.
Beispiel 1.4 Die folgenden Aussagen seien für ganze Zahlen 𝑛 bzw. 𝑚 erklärt.
(a) Die Aussage 𝐴(𝑛) ∶ 𝑛 ist größer als 2𝑛 ist für alle natürlichen Zahlen 𝑛 falsch. Aufgrund
der Zweiwertigkeit der mathematischen Logik ist dann ¬𝐴(𝑛) für alle natürlichen Zahlen
wahr. Es gilt also
∀𝑛 ∈ ℕ ∶ ¬𝐴(𝑛).
(b) Sei nun 𝐵(𝑛) die Aussage 𝑛2 > 𝑛. Für gewisse 𝑛 ist diese Aussage wahr (etwa für 𝑛 = 3).
Somit ist
∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝐵(𝑛)
wahr.
8
Bemerkung 1.5 Bei der Negation einer quantisierten Aussage vertauschen ∀ und ∃ ihre Rollen. Es gilt
¬ (∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝐴(𝑛)) ⟺ ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ ¬𝐴(𝑛).
Oder in Worten ausgedrückt: Ist 𝐴(𝑛) nicht für alle 𝑛 richtig, dann gibt es mindestens ein 𝑛, so
dass ¬𝐴(𝑛) wahr ist.
Analog gilt
¬ (∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝐴(𝑛)) ⟺ ∀𝑛 ∈ ℕ ∶ ¬𝐴(𝑛).
Oder in Worten: Gibt es kein 𝑛, so dass 𝐴(𝑛) gilt, so ist ¬𝐴(𝑛) für alle 𝑛 wahr.
Beispiel 1.6 Die Aussage
𝐴 ∶ Für jede natürliche Zahl 𝑚 gibt es eine natürliche Zahl 𝑛, so dass 𝑛 > 𝑚 ist.“
”
kann man abkürzend schreiben
𝐴 ∶ ∀𝑚 ∈ ℕ ∶ ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 > 𝑚.
𝐴 ist völlig verschieden von der Aussage
𝐵 ∶ ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ ∀𝑚 ∈ ℕ ∶ 𝑛 > 𝑚.
𝐵 in Worten: Es gibt eine natürliche Zahl 𝑛, so dass für jede natürliche Zahl 𝑚 die Ungleichung
”
𝑛 > 𝑚 gilt.“
Eine Aussage kann sich also ändern, wenn man die Reihenfolge von Quantoren vertauscht.
Aussage 𝐴 ist wahr, Aussage 𝐵 ist falsch.
Die Negation von 𝐴 ist
¬𝐴 ∶ ∃𝑚 ∈ ℕ ∶ ∀𝑛 ∈ ℕ ∶ ¬(𝑛 > 𝑚).
In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl 𝑚, so dass für jede natürliche Zahl 𝑛 die Unglei”
chung 𝑛 ≤ 𝑚 gilt.“
Achtung: Die Symbole ∧, ∨, ¬, ⟹, ⟺ , ∀ und ∃ sind oft sehr nützlich, etwa wenn man
verschachtelte logische Ausdrücke negieren will.
Keinesfalls sollten sie aber im Sinne stenographischer Abkürzungen in einem mathematischen
Text (z. B. bei der Bearbeitung von Übungsblättern, Klausuraufgaben oder Bachelorarbeiten)
verwendet werden.
Ein mathematischer Text sollte immer aus vollständigen Sätzen bestehen.
9
2 Beweistechniken
2.1 Beweis von Implikationen
Gegeben seien zwei Aussagen 𝐴 und 𝐵. Eine Grundaufgabe der Mathematik ist es, die Implikation
𝐴⟹𝐵
zu beweisen. Die wichtigsten Beweismethoden hierfür sind:
direkter Beweis Man nehme 𝐴 als wahr an (für falsches 𝐴 ist die Implikation sowieso wahr)
und folgere durch eine Kette logischer Schlüsse, dass auch 𝐵 wahr sein muss.
Kontraposition Man beweist die Aussage
¬𝐵 ⟹ ¬𝐴.
Aufgrund der Kontrapositionsregel zeigt dies, dass auch 𝐴 ⟹ 𝐵 wahr ist.
Man verneint also 𝐵 und zeigt, dass hieraus die Verneinung von 𝐴 folgt.
Widerspruchsbeweis Man benutzt hier die Äquivalenz von
¬(𝐴 ⟹ 𝐵)
und
𝐴 ∧ (¬𝐵).
Um zu zeigen, dass 𝐴 ⟹ 𝐵 wahr ist, zeigt man, dass 𝐴 ∧ (¬𝐵) falsch ist.
Man nimmt also an, dass 𝐴 und ¬𝐵 zugleich wahr sind. Nun führt man solange logische
Schlüsse durch, bis man auf einen Widerspruch stößt. Dies zeigt, dass 𝐴 ∧ (¬𝐵) falsch
ist. 𝐴 ⟹ 𝐵 ist also wahr.
Die Beweistypen Kontraposition und Widerspruchsbeweis nennt man indirekte Beweise.
Beispiel 2.1 Sei 𝑞 eine natürliche Zahl. Ferner seien die Aussagen
𝐴∶
und
𝑞 ist gerade und Primzahl.“
”
𝐵∶
𝑞 < 5“
”
gegeben. Wir beweisen die Aussage 𝐴 ⟹ 𝐵 auf verschiedene Weisen:
per direktem Beweis Sei 𝑞 gerade und eine Primzahl. Dann lässt sich 𝑞 wegen Definition 0.3
schreiben in der Form 𝑞 = 2 ⋅ 𝑥 mit einer natürlichen Zahl 𝑥. Es gilt also 2 ∣ 𝑞 und 𝑥 ∣ 𝑞.
Da 𝑞 zudem als Primzahl vorausgesetzt war, folgt 𝑥 = 1, also 𝑞 = 2. Also ist 2 = 𝑞 < 5.
per Kontraposition Die Verneinung von 𝐵 ist 𝑞 ≥ 5“, die von 𝐴 ist 𝑞 ist ungerade oder
”
”
keine Primzahl“.
Sei also 𝑞 ≥ 5. Ist 𝑞 ungerade, so ist ¬𝐴 wahr. Ist 𝑞 jedoch gerade, so ist 2 ∣ 𝑞. Dies zeigt,
dass 𝑞 keine Primzahl ist. Wieder ist ¬𝐴 wahr.
In jedem Fall gilt also ¬𝐵 ⟹ ¬𝐴. Damit ist aber 𝐴 ⟹ 𝐵 gezeigt.
per Widerspruchsbeweis Sei 𝑞 gerade und eine Primzahl. Ferner sei 𝑞 ≥ 5. Dann ist 2 ∣ 𝑞.
Wegen 𝑞 ≥ 5 ist dies ein Widerspruch zur Tatsache, dass 𝑞 eine Primzahl ist.
Daher ist 𝐴 ∧ (¬𝐵) falsch. Es muss daher ¬(𝐴 ∧ (¬𝐵)), also 𝐴 ⟹ 𝐵, wahr sein.
10
2.2 Beweis von Äquivalenzen
Gegeben seien Aussagen 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 . Zu zeigen ist, dass alle diese Aussagen untereinander äquivalent sind, d.h. es ist zu zeigen, dass
𝐴𝑖 ⟺ 𝐴 𝑗
für alle Indizes 𝑖 ≠ 𝑗
gilt.
direkter Beweis Man folgere durch eine Kette von Äquivalenzen, dass für je zwei Aussagen
𝐴𝑖 , 𝐴𝑗 die Aussage 𝐴𝑖 ⟺ 𝐴𝑗 wahr ist.
Diese Beweisstrategie kommt häufig beim Lösen von (Un-)Gleichungen vor.
Beispiel 2.2 Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen 𝑛, die der Ungleichung
−3𝑛 + 2 < −7
genügen!
Es ist
−3𝑛 + 2 < −7 ⟺ −3𝑛 < −9 ⟺ 𝑛 > 3.
Die Ungleichung also von allen natürlichen Zahlen 𝑛 ≥ 4 gelöst.
Reduktion auf Implikationen Die Beweisidee ist, statt der Äquivalenz 𝐴
beiden Implikationen
𝐴⟹𝐵
und
𝐵⟹𝐴
⟺
𝐵 die
zu zeigen. Hierfür kann man Methoden aus dem vorherigen Abschnitt benutzen.
Nachteil: Zeigt man die Äquivalenz von 𝑛 Aussagen auf diese Weise, so muss man 𝑛(𝑛 − 1) =
𝑛2 − 𝑛 Implikationen beweisen.
In der Praxis benutzt man daher oft das Ringschlussprinzip: Man zeigt die 𝑛 Implikationen
𝐴 1 ⟹ 𝐴 2 , 𝐴 2 ⟹ 𝐴 3 , 𝐴 3 ⟹ 𝐴 4 , … , 𝐴𝑛 ⟹ 𝐴 1 .
Dies beweist dann die Äquivalenz aller Aussagen untereinander. (Man folge den Implikationspfeilen so lange, bis man von der Aussage 𝐴𝑖 zur Aussage 𝐴𝑗 gelangt.)
Beispiel 2.3 Zeige, dass für eine natürliche Zahl 𝑛 die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) 𝑛 ist gerade.
(b) 𝑛2 ist durch 4 teilbar.
(c) 𝑛2 ist gerade.
Beweis per Ringschluss:
(𝑎) ⟹ (𝑏)“: Sei 𝑛 gerade. Dann ist 𝑛 = 2𝑥 mit einer natürlichen Zahl 𝑥. Also ist 𝑛2 = (2𝑥)2 =
” 2
4𝑥 . Somit ist 4 ∣ 𝑛2 .
(𝑏) ⟹ (𝑐)“: Sei 𝑛2 durch 4 teilbar. Dann existiert eine natürliche Zahl 𝑥 mit 𝑛2 = 4𝑥. Dann
” 2
ist 𝑛 = 2 ⋅ (2𝑥). Also ist 𝑛2 gerade.
11
(𝑐) ⟹ (𝑎)“; per Kontraposition: Sei 𝑛 ungerade. Dann lässt sich 𝑛 darstellen in der Form
”
𝑛 = 2𝑥 − 1
mit einer natürlichen Zahl 𝑥. Es ist folglich
𝑛2 = (2𝑥 − 1)2 = 4𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 1 + 2⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
⋅ (2𝑥2 − 𝑥) .
gerade
Es folgt, dass 𝑛2 ungerade ist.
2.3 Widerlegen von Aussagen
Um eine Aussage zu widerlegen, müssen Sie sie als falsch nachweisen. Dies geschieht bei Aussagen der Form Stets gilt …“ durch die Angabe eines Gegenbeispiels, das möglichst einfach
”
und konkret sein sollte.
Beispiel 2.4 Widerlege die Aussage
Für jede natürliche Zahl 𝑚 gibt es eine natürliche Zahl 𝑛, so dass 𝑛 + 𝑚 = 𝑛𝑚.“
”
Ein Gegenbeispiel zur Aussage ist 𝑚 = 1, denn hier ergibt sich die Gleichung
𝑛 + 1 = 𝑛,
die von keinem natürlichen 𝑛 gelöst wird.
Bemerkung 2.5 Zum Widerlegen reicht ein einziges Gegenbeispiel aus. Ein Beispiel reicht
allerdings i. A. nicht als Beweis!
12
3 Rekursion und vollständige Induktion
Sowohl die vollständige Induktion als auch die Rekursion nutzen die Eigenschaft der natürlichen Zahlen aus, zu jedem Element 𝑛 auch dessen eindeutigen Nachfolger 𝑛 + 1 zu enthalten.
Diese Eigenschaft ist kennzeichnend für die natürlichen Zahlen: Man kann ℕ definieren als
kleinste Menge, die 1 enthält und obige Nachfolgereigenschaft besitzt. (Man muss dann allerdings wissen, was 1“ ist, was kleinste“ bedeutet und was ein Nachfolger“ ist.)
”
”
”
Man sieht dann, dass jedes Element aus ℕ außer 1 auch einen eindeutigen Vorgänger hat und
sich jedes 𝑛 ∈ ℕ schreiben lässt in der Form
𝑛 = 1⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
+ 1 + ⋯ + 1.
𝑛-mal
3.1 Rekursion
Das Verfahren der Rekursion benutzt man vorwiegend zur Definition von mathematischen
Ausdrücken.
Definition 3.1 (Summenschreibweise) Seien 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ und 𝑎𝑘 Zahlen. Man setzt
⎧0
⎪
∑ 𝑎𝑘 ∶= ⎨𝑎𝑥
⎪∑𝑦−1 𝑎 + 𝑎
𝑘=𝑥
⎩ 𝑘=𝑥 𝑘
𝑦
𝑦
falls 𝑦 < 𝑥,
falls 𝑥 = 𝑦,
sonst.
Hierdurch wird eine Kurzschreibweise für Summen definiert.
Die eigentliche Rekursion verbirgt sich in der letzten Zeile der geschweiften Klammer: Das
𝑦
𝑦−1
Symbol ∑𝑘=𝑥 𝑎𝑘 wird hier durch das Symbol ∑𝑘=1 𝑎𝑘 definiert. Ist dieses Symbol ebenfalls
𝑦−2
unbekannt, so wird es durch ∑𝑘=𝑥 𝑎𝑘 definiert. Setzt man diesen Schritt lange genug fort, so
landet man bei dem Symbol ∑𝑥𝑘=𝑥 𝑎𝑘 . Dieses ist aber konkret gegeben.
Beispiel 3.2 Seien 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 beliebige Zahlen. Dann ist
3
2
1
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 + 𝑎3 = ∑ 𝑎𝑘 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 .
Analog definieren wir für Produkte
Definition 3.3 Seien 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ und 𝑎𝑘 Zahlen. Man setzt
⎧1
⎪
𝑎
∶=
𝑘
⎨𝑎𝑥
∏
⎪∏𝑦−1 𝑎 ⋅ 𝑎
𝑘=𝑥
⎩ 𝑘=𝑥 𝑘 𝑦
𝑦
falls 𝑦 < 𝑥,
falls 𝑥 = 𝑦,
sonst.
Rekursionen werden auch oft benutzt, um sog. Folgen (das sind geordnete Reihen von Zahlen)
zu definieren.
Beispiel 3.4 Sei 𝑎 eine positive Zahl. Wir setzen
𝑎1 ∶= 𝑎
und
1
𝑎
𝑎𝑛+1 ∶= (𝑎𝑛 + ) für 𝑛 ∈ ℕ.
2
𝑎𝑛
13
Auf diese Weise wird eine Folge 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … definiert. Man kann zeigen, dass 𝑎𝑛 für große 𝑛
dem Wert √𝑎 beliebig nahe kommt.
Diese Folge lässt sich sehr einfach rekursiv definieren. Einen expliziten Term für 𝑎𝑛 anzugeben
ist jedoch äußerst schwierig.
Setzen wir z. B. 𝑎 = 2, so ergibt sich
𝑛=
1
2
3
4
⋮
|𝑎𝑛 − √2| ≈
0,5858
0,0858
0,0025
𝑎𝑛 =
2
3/2
17/12
577/408
⋮
2,1 ⋅ 10−6
⋮
Definition 3.5 (Fakultät) Für 𝑛 ∈ ℕ0 setzen wir
𝑛! ∶=
𝑛
∏
𝑘=1
𝑘.
Insbesondere gilt 0! = 1.
Definition 3.6 (Potenzen) Für eine Zahl 𝑎 und 𝑛 ∈ ℕ0 setzen wir
𝑛
𝑛
𝑎 ∶= ∏ 𝑎.
𝑘=1
Insbesondere gilt 𝑎0 = 1 für alle 𝑎.
3.2 Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist eine Methode, die sich zum Beweis von Aussagen der Form
∀𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝐴(𝑛)
eignet.
Beispiel 3.7 Betrachten Sie die Aussagen
𝐴∶
und
𝑛
Für alle 𝑛 ∈ ℕ ist die Zahl 22 + 1 eine Primzahl.“
”
Für alle 𝑛 ∈ ℕ ist die Zahl 22𝑛 − 1 durch 3 teilbar.“
”
Sind diese Aussagen wahr?
𝐵∶
𝑛
Man könnte vermuten, dass 𝐴 wahr ist, denn man rechnet leicht nach, dass 22 + 1 für 𝑛 =
5
1, 2, 3, 4 eine Primzahl ist. Es gilt aber 22 + 1 = 4294967297 = 641 ⋅ 6700417. Die Aussage 𝐴
ist hiermit also widerlegt.
Die Aussage 𝐵 ist allerdings wahr. Dies stellt uns vor ein Problem, denn egal, wie viele natürliche Zahlen 𝑛 wir testen, wir werden nie einen Widerspruch erzeugen können. Andererseits
können wir durch solche Tests die Aussage auch nicht beweisen, denn es gibt unendlich viele
natürliche Zahlen, und wir können nicht alle überprüfen.
Wie beweist man also Aussagen dieses Typs?
14
Prinzip der vollständigen Induktion
Für jede natürliche Zahl 𝑛 ∈ ℕ sei eine Aussage 𝐴(𝑛) gegeben. Ferner gelte:
(a) 𝐴(1) ist wahr.
(b) Die Aussage 𝐴(𝑛) ⟹ 𝐴(𝑛 + 1) ist für alle 𝑛 ∈ ℕ wahr, d.h. gilt die Aussage 𝐴(𝑛) für ein
𝑛 ∈ ℕ, so ist stets auch 𝐴(𝑛 + 1) wahr.
Dann stimmt die Aussage 𝐴(𝑛) für alle 𝑛 ∈ ℕ.
Man kann sich dieses Prinzip wie folgt klarmachen:
Gilt die Aussage 𝐴(1), dann folgt nach (b), dass auch 𝐴(2) wahr ist. Wieder folgt mit (b), dass
auch 𝐴(3) gilt. Hieraus folgt die Gültigkeit von 𝐴(4), usw.
Dass die Aussage 𝐴 nun für alle 𝑛 ∈ ℕ wahr ist, ergibt sich daraus, dass man jede natürliche
Zahl als hinreichend hohen Nachfolger der 1 schreiben kann.
Die Forderung in (a) nennt man den Induktionsanfang.
Der Beweis der Implikation in (b) kann im Prinzip mit allen Beweismethoden aus dem vorherigen Abschnitt geschehen. Oft benutzt man aber folgendes Vorgehen:
Man nimmt an, dass 𝐵(𝑛) für ein festes, aber beliebiges 𝑛 ∈ ℕ wahr ist. Diese Annahme nennt
man Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung.
Im nun folgenden Induktionsschluss zeigt man, dass aus der wahren Aussage 𝐵(𝑛) auch
𝐵(𝑛 + 1) folgt6 .
Bitte gewöhnen Sie sich an, alle drei Schritte, also Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss, in Ihren Lösungen kenntlich zu machen.
3.3 Beispiele
Wir stellen hier einige Induktionsbeweise vor.
Satz 3.8 ( kleiner Gauß“) Für alle natürlichen Zahlen 𝑛 ∈ ℕ gilt
”
𝑛
∑𝑘 =
𝑘=1
𝑛(𝑛 + 1)
.
2
Beweis. Wir beweisen die Aussage mit vollständigen Induktion.
Die zu beweisende Aussage ist
𝐴(𝑛) ∶
𝑛
Es gilt ∑ 𝑘 =
𝑘=1
𝑛(𝑛 + 1)
.
2
Induktionsanfang 𝐴(1) ist wahr, denn
1
∑𝑘 = 1 =
𝑘=1
1⋅2
.
2
Induktionsvoraussetzung Die Aussage 𝐴(𝑛) sei wahr für ein festes, aber beliebiges 𝑛 ∈ ℕ.
6
Tipp: Wer beim Induktionsschluss die Induktionsannahme nicht benutzt hat, hat ziemlich sicher etwas falsch
gemacht.
15
Induktionsschluss Dann ist auch 𝐴(𝑛 + 1) wahr, denn
𝑛+1
∑𝑘
Def. von Σ
=
𝑘=1
=
Der Term
(𝑛+1)(𝑛+2)
2
𝑛
𝑛(𝑛 + 1)
+𝑛+1
2
𝑘=1
𝑛(𝑛 + 1) + 2(𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
=
.
2
2
∑ 𝑘 + (𝑛 + 1)
Induktionsvoraussetzung
=
ist dabei gerade die rechte Seite von 𝐴(𝑛 + 1).
Die Aussage ist daher mit vollständiger Induktion bewiesen.
Hier ein anderes Beispiel.
Satz 3.9 Sei 𝑥 ≠ 1 und 𝑛 ∈ ℕ. Dann gilt
𝑛
𝑘−1
(1 + 𝑥2
∏
𝑘=1
Beweis.
)=
𝑛
1 − 𝑥2
.
1−𝑥
Wir führen den Beweis per Induktion.
Ind.anf. Die Aussage gilt für 𝑛 = 1, denn
𝑛
∏(1 + 𝑥
𝑘=1
2𝑘−1
1
(1 + 𝑥)(1 − 𝑥) 1 − 𝑥2
)=1+𝑥 =1+𝑥 =
=
.
1−𝑥
1−𝑥
𝑥≠1
20
Ind.vor. Die Aussage sei wahr für ein festes, aber beliebiges 𝑛 ∈ ℕ.
Ind.schl. Dann ist die Aussage auch für 𝑛 + 1 wahr, denn
𝑛+1
𝑘−1
2
∏(1 + 𝑥
𝑘=1
)
Def. von Π
=
𝑛
𝑛
(1 + 𝑥2 ) ⋅ ∏(1 + 𝑥2
𝑘=1
Ind.vor.
=
=
=
=
=
𝑘−1
)
𝑛
1 − 𝑥2
1−𝑥
𝑛
2𝑛
(1 + 𝑥 )(1 − 𝑥2 )
1−𝑥
𝑛
1 − (𝑥2 )2
1−𝑥
𝑛
1 − 𝑥2⋅2
1−𝑥
𝑛+1
1 − 𝑥2
1−𝑥
𝑛
(1 + 𝑥2 ) ⋅
2𝑛+1
Da der Term 1−𝑥
wieder der rechten Seite der Behauptung für 𝑛 + 1 entspricht, ist die
1−𝑥
Behauptung per Induktion gezeigt.
Wir kommen nun zu unserem ursprünglichen Problem zurück:
Satz 3.10 Die Zahl 22𝑛 − 1 ist für jedes 𝑛 ∈ ℕ durch drei teilbar.
Beweis.
… siehe Tafel.
16
3.4 Abarten der vollständigen Induktion
Verallgemeinerung auf verwandte Zahlbereiche
Die vollständige Induktion ist nicht auf die natürlichen Zahlen beschränkt. Man kann auch
Aussagen vom Typ
∀𝑧 ∈ ℤ, 𝑧 ≥ 𝑧0 ∶ 𝐴(𝑧)
mit einem festen 𝑧0 ∈ ℤ beweisen. Hierzu ändert man das Induktionsprinzip wie folgt ab:
Sei 𝑧0 ∈ ℤ eine feste ganze Zahl. Für jede ganze Zahl 𝑧 ≥ 𝑧0 sei die Aussage 𝐴(𝑧) gegeben.
Ferner gelte:
(a) 𝐴(𝑧0 ) ist wahr.
(b) 𝐴(𝑧) ⟹ 𝐴(𝑧 + 1) ist für alle ganzen Zahlen 𝑧 ≥ 𝑧0 wahr.
Dann gilt die Aussage 𝐴(𝑧) für alle ganzen Zahlen 𝑧 ≥ 𝑧0 .
Hier passiert nichts Neues. Im Prinzip lassen wir die natürlichen Zahlen nur bei 𝑧0 beginnen.
Als Beispiel beweisen wir
Satz 3.11 Für 𝑛 ≥ 4 gilt die Abschätzung 2𝑛 < 𝑛!
Beweis.
Ind.anf. Die Abschätzung gilt für 𝑛 = 4, denn
24 = 16 < 24 = 4!
Ind.vor. Die Behauptung sei wahr für ein festes, aber beliebiges 𝑛 ≥ 4 .
Ind.schl. Dann gilt die Behauptung auch für 𝑛 + 1, denn
2𝑛+1 = 2 ⋅ 2𝑛
Ind.vor.
<
2<𝑛+1
2 ⋅ 𝑛! < (𝑛 + 1) ⋅ 𝑛! = (𝑛 + 1)!
Verallgemeinerung auf ℤ
Bisher haben wir Induktion nur auf solchen Mengen benutzt, die ein kleinstes Element besitzen.
Man kann aber auch über ℤ induzieren:
Für jede ganze Zahl 𝑧 sei die Aussage 𝐴(𝑧) gegeben. Ferner gelte:
(a) 𝐴(0) ist wahr.
(b) 𝐴(𝑧) ⟹ 𝐴(𝑧 + 1) ist für alle ganzen Zahlen 𝑧 ≥ 0 wahr.
(c) 𝐴(𝑧) ⟹ 𝐴(−𝑧) ist für alle natürlichen Zahlen 𝑧 wahr.
Dann gilt die Aussage 𝐴(𝑧) für alle ganzen Zahlen.
Wir beweisen zur Illustration der Technik
17
Satz 3.12 Für alle ganzen Zahlen 𝑧 ist 𝑧3 − 𝑧 durch 3 teilbar.
Beweis.
Ind.anf. Die Aussage stimmt für 𝑧 = 0, denn
3 ∣ 0 = 03 − 0.
Ind.vor. Die Aussage gelte für ein festes, aber beliebiges 𝑧 ≥ 0.
Ind.schl. 1 Dann gilt die Aussage auch für 𝑧 + 1, denn
(𝑧 + 1)3 − (𝑧 + 1) = (𝑧3 + 3𝑧2 + 3𝑧 + 1) − (𝑧 + 1) = (𝑧3 − 𝑧) + 3𝑧2 + 3𝑧.
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist 3 ∣ 𝑧3 − 𝑧. Wegen 3𝑧2 + 3𝑧 = 3 ⋅ (𝑧2 + 𝑧) ist 3
auch ein Teiler von 3𝑧2 + 3𝑧. Insgesamt folgt 3 ∣ (𝑧 + 1)3 − 𝑧3 .
Ind.schl. 2 Dann gilt die Aussage auch für −𝑧, denn
(−𝑧)3 − (−𝑧) = −(𝑧3 − 𝑧).
Da 𝑧3 − 𝑧 nach Induktionsvoraussetzung von 3 geteilt wird, wird auch −(𝑧3 − 𝑧) von 3
geteilt.
Insgesamt folgt die Gültigkeit der Behauptung für alle ganzen Zahlen.
18
4 Mengen
Wir werden den Begriff der Menge nicht präzise definieren, sondern naiv mit ihm umgehen —
mathematisch fundierte Mengenlehre wird schnell sehr abstrakt und beweislastig und liefert
im Rahmen des Vorkurses keine neuen Erkenntnisse.
Für uns gilt daher:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung 𝑀 von bestimmten wohlunterschiede”
nen Objekten 𝑚 unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von 𝑀 genannt
werden) zu einem Ganzen.“
Diese nette Definition“ ist leider widersprüchlich: Sei z. B. 𝑀 die Menge aller Mengen, die
”
nicht Element von sich selbst sind.
Ist dann 𝑀 ein Element von sich selbst?
4.1 Notationen
Ist 𝑀 eine Menge und 𝑥 ein Element von 𝑀, so schreiben wir
𝑥 ∈ 𝑀.
Wir sagen auch: 𝑥 gehört zu 𝑀“ oder 𝑥 liegt in 𝑀“. Ist 𝑥 kein Element von 𝑀, so schreiben
”
”
wir
𝑥 ∉ 𝑀.
Stets gilt entweder 𝑥 ∈ 𝑀 oder 𝑥 ∉ 𝑀.
Eine Menge kann durch Aufzählung ihrer Elemente erklärt werden, z. B. ist
𝑀 ∶= {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
die Menge, die genau die Elemente 𝑎, 𝑏, 𝑐 und 𝑑 enthält. Oft benutzt man den Platzhalter …“,
”
um anzudeuten, dass eine Menge weitere Elemente enthält, die sich aus den bereits angegebenen Elementen ergeben“.
”
Meist werden Mengen aber durch Angabe einer Eigenschaft beschrieben. Schreibweise:
𝑀 = {𝑥 ∣ 𝑥 ℎ𝑎𝑡 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠𝑐ℎ𝑎𝑓 𝑡 𝐸}
Beispiel 4.1
oder
𝑀 = {𝑥 ∶ 𝑥 ℎ𝑎𝑡 𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠𝑐ℎ𝑎𝑓 𝑡 𝐸}.
(a) Die Menge der natürlichen Zahlen
ℕ ∶= {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.
(b) Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0
ℕ0 ∶= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.
(c) Die Menge der geraden natürlichen Zahlen
2ℕ ∶= {2, 4, 6, …} = {𝑛 ∈ ℕ ∶ 2 ∣ 𝑛}.
(d) Die Menge der Primzahlen
ℙ ∶= {𝑝 ∈ ℕ | 𝑝 = 𝑝1 𝑝2 für 𝑝1 , 𝑝2 ∈ ℕ mit 𝑝1 ≤ 𝑝2 impliziert 𝑝1 = 1 < 𝑝2 }.
Mengen haben aber nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun. Zum Beispiel wird in der Mathematik mit Mengen von Mengen, Mengen von Abbildungen usw. gearbeitet.
19
Definition 4.2 Zwei Mengen 𝑀 und 𝑁 sind gleich, in Zeichen 𝑀 = 𝑁, wenn jedes Element
von 𝑀 auch ein Element von 𝑁 ist, und umgekehrt.
Die Aussage 𝑀 = 𝑁 ist also definiert durch die Aussage 𝑥 ∈ 𝑀 ⟺ 𝑥 ∈ 𝑁.
Beispiel 4.3 Es gilt {1, 2, 3} = {1, 1, 1, 1, 1, 2, 3}. Zwar kommt das Element 1 in der rechten
Menge öfters“ vor, aber dies wird in der Definition der Mengengleichheit nicht überprüft.
”
Definition 4.4 Eine Menge 𝑀 heißt Teilmenge einer Menge 𝑁, in Zeichen 𝑀 ⊂ 𝑁, falls jedes
Element von 𝑀 auch zu 𝑁 gehört.
Insbesondere gilt 𝑀 ⊂ 𝑁, falls 𝑀 = 𝑁.7
Will man ausdrücken, dass 𝑀 eine echte Teilmenge von 𝑁 ist, d.h. es gilt 𝑀 ⊂ 𝑁 und
𝑀 ≠ 𝑁, so schreibt man 𝑀 ⊊ 𝑁.
Zusammenfassend gilt also
𝑀 =𝑁
∶⟺
(𝑥 ∈ 𝑀 ⟺ 𝑥 ∈ 𝑁)
𝑀 ≠𝑁
∶⟺
¬(𝑀 = 𝑁)
𝑀 ⊂𝑁
∶⟺
(𝑥 ∈ 𝑀 ⟹ 𝑥 ∈ 𝑁)
𝑀 ⊃𝑁
∶⟺
(𝑥 ∈ 𝑀 ⟸ 𝑥 ∈ 𝑁)
(Hierbei steht ∶⟺ “ für wird definiert durch“.)
”
”
Aus den Definitionen folgt sofort
Satz 4.5 (Gleichheitskriterium für Mengen) Seien 𝑀, 𝑁 Mengen. Genau dann gilt 𝑀 = 𝑁,
wenn 𝑀 ⊂ 𝑁 und 𝑁 ⊂ 𝑀.
Definition 4.6 (leere Menge) Die Menge
∅ ∶= {} = {𝑥 ∈ 𝑀 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}
heißt leere Menge. Sie ist eindeutig bestimmt und hängt nicht von der Ausgangsmenge 𝑀 ab.
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge. ∅ enthält kein Element.
Definition 4.7 (Potenzmenge) Sei 𝑀 eine Menge. Unter der Potenzmenge 2𝑀 von 𝑀 verstehen wir die Menge
2𝑀 ∶= {𝑁 ∣ 𝑁 ⊂ 𝑀} = {𝑁 ∣ 𝑁 ist Teilmenge von 𝑀}
aller Teilmengen von 𝑀. Daher ist 2𝑀 eine Menge von Mengen.
Statt 2𝑀 schreibt man für die Potenzmenge oft auch ℙ(𝑀), 𝒫 (𝑀) oder 𝔓(𝑀).
Beispiel 4.8 Es gelten
2{0,1} = {∅, {0}, {1}, {0, 1}},
7
2∅ = {∅},
∅
22 = {∅, {∅}}.
Dies wird leider nicht einheitlich gehandhabt. In manchen Büchern und Vorlesungen werden die Symbole ⊆
(statt ⊂) bzw. ⊂ (statt ⊊) benutzt.
20
4.2 Operationen mit Mengen
Im Folgenden stellen wir einige wichtige Operationen mit Mengen vor. Im Wesentlichen
handelt es sich hier um die Übertragung der logischen Operatoren in die Mengenlehre.
Die Vereinigung
Die Vereinigungsmenge
𝑀 ∪ 𝑁 ∶= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ 𝑁}
zweier Mengen 𝑀, 𝑁 besteht genau aus den Elementen, die in 𝑀 oder 𝑁 liegen.
Beispiel 4.9
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
Sei allgemeiner 𝑆 eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Die Vereinigung der Mengen aus 𝑆 ist die Menge
⋃
𝑀∈𝑆
𝑀 ∶= {𝑥 ∣ ∃ 𝑀 ∈ 𝑆 ∶ 𝑥 ∈ 𝑀}.
⋃𝑀∈𝑆 𝑀 ist also die Menge der Elemente, die mindestens einem 𝑀 ∈ 𝑆 angehören.
Oft wird das Mengensystem 𝑆 indiziert, d.h. jedem Element von 𝑆 wird ein eindeutiger Index
𝑖 aus einer Indexmenge 𝐼 zugeordnet, d.h.
𝑆 = {𝑀𝑖 ∣ 𝑖 ∈ 𝐼}.
Statt ⋃𝑀∈𝑆 𝑀 schreibt man dann ⋃𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 . Es gilt
⋃
𝑖∈𝐼
𝑀𝑖 = {𝑥 ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ 𝑀𝑖 } .
Beispiel 4.10 Sei 𝐼 ∶= ℕ und 𝑀𝑖 ∶= {𝑖, 𝑖 + 1, … , 2𝑖} für 𝑖 ∈ 𝐼. Dann ist
⋃ 𝑀𝑖 = ℕ.
𝑖∈𝐼
Beweis:
⊂“ Da jede der Mengen 𝑀𝑖 Teilmenge von ℕ ist, gilt auch ⋃𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 ⊂ ℕ.
”
⊃“ Wir müssen also noch zeigen, dass auch ℕ ⊂ ⋃𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 gilt.
”
Sei also 𝑛 ein beliebiges Element aus ℕ. Dann ist 𝑛 ∈ 𝑀𝑛 . Folglich ist
𝑛 ∈ ⋃ 𝑀𝑖 = ⋃ 𝑀𝑛 .
𝑖∈𝐼
𝑛∈ℕ
Da 𝑛 beliebig war, gilt ℕ ⊂ ⋃𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 .
Der Durchschnitt
Der Durchschnitt zweier Mengen 𝑀 und 𝑁
𝑀 ∩ 𝑁 ∶= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁}
besteht genau aus denjenigen Elementen, die sowohl in 𝑀 als auch in 𝑁 liegen.
21
Beispiel 4.11
2ℕ ∩ ℙ = {2}.
Allgemeiner ist
⋂
𝑀∈𝑆
𝑀 ∶= {𝑥 ∣ ∀ 𝑀 ∈ 𝑆 ∶ 𝑥 ∈ 𝑀}
der Durchschnitt einer nichtleeren Menge 𝑆 von Mengen. Er besteht genau aus den Elementen, die in allen 𝑀 ∈ 𝑆 liegen. In Indexschreibweise ergibt sich
⋂
𝑖∈𝐼
𝑀𝑖 = {𝑥 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ 𝑀𝑖 }.
Beispiel 4.12 Sei 𝐼 ∶= ℕ und 𝑀𝑖 ∶= {𝑛 ∈ ℕ | 𝑖 < 𝑛 < 4𝑖} für 𝑖 ∈ 𝐼. Dann ist
⋂
𝑖∈𝐼
𝑀𝑖 = ∅.
Wie könnte man diese Behauptung beweisen?
Das Komplement
Unter dem Komplement oder der Differenz einer Menge 𝑁 in 𝑀 versteht man die Menge
𝑀 ∖ 𝑁 ∶= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∉ 𝑁}.
Man liest 𝑀 ∖ 𝑁 auch als 𝑀 ohne 𝑁“.
”
𝑀 ∖ 𝑁 besteht aus allen Elementen von 𝑀, die nicht zu 𝑁 gehören.
Beispiel 4.13 ℕ ∖ 2ℕ ist genau die Mengen der ungeraden natürlichen Zahlen.
4.3 Rechenregeln der Mengenlehre
Für Mengen 𝑀, 𝑁, 𝐿, 𝑋 gelten folgende Aussagen:
(a) 𝑀 ∖ 𝑀 = ∅, 𝑀 ∖ ∅ = 𝑀.
(b) 𝑀 ∩ 𝑀 = 𝑀, 𝑀 ∪ 𝑀 = 𝑀.
(c) Kommutativität:
(d) Assoziativität:
(e) Distributivität:
𝑀 ∪ 𝑁 = 𝑁 ∪ 𝑀,
𝑀 ∩ 𝑁 = 𝑁 ∩ 𝑀.
(𝑀 ∪ 𝑁) ∪ 𝐿 = 𝑀 ∪ (𝑁 ∪ 𝐿),
(𝑀 ∩ 𝑁) ∩ 𝐿 = 𝑀 ∩ (𝑁 ∩ 𝐿).
(𝑀 ∩ 𝑁) ∪ 𝐿 = (𝑀 ∪ 𝐿) ∩ (𝑁 ∪ 𝐿),
(𝑀 ∪ 𝑁) ∩ 𝐿 = (𝑀 ∩ 𝐿) ∪ (𝑁 ∩ 𝐿).
(f) Für Teilmengen 𝑀, 𝑁 einer Menge 𝑋 gelten:
(1)
𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑀) = 𝑀.
22
(2)
𝑋 ∖ (𝑀 ∩ 𝑁) = (𝑋 ∖ 𝑀) ∪ (𝑋 ∖ 𝑁)
𝑋 ∖ (𝑀 ∪ 𝑁) = (𝑋 ∖ 𝑀) ∩ (𝑋 ∖ 𝑁) }
(De Morgansche Regeln)
(3) Die de Morganschen Regeln gelten sogar allgemeiner für Mengensysteme:
𝑋∖
𝑋∖
⋂
𝑀∈𝑆
⋃
𝑀∈𝑆
𝑀
=
𝑀
=
⋃
𝑀∈𝑆
⋂
𝑀∈𝑆
(𝑋 ∖ 𝑀)
(𝑋 ∖ 𝑀)
Solche Regeln kann man – ähnlich wie in der Aussagenlogik – durch Wahrheitstafeln beweisen.
Wir führen dies am Beispiel der zweiten de Morganschen Regel einmal vor:
Beweis von 𝑋 ∖ (𝑀 ∪ 𝑁) = (𝑋 ∖ 𝑀) ∩ (𝑋 ∖ 𝑁)
Auf der linken als auch rechten Seite des Gleichheitszeichens stehen Teilmengen von 𝑋. Sei
also 𝑥 ∈ 𝑋. Dann gilt
𝑥∈𝑀
𝑤
𝑤
𝑓
𝑓
𝑥∈𝑁
𝑤
𝑓
𝑤
𝑓
𝑥 ∈ 𝑋 ∖ (𝑀 ∪ 𝑁)
𝑓
𝑓
𝑓
𝑤
𝑥∈𝑋∖𝑀
𝑓
𝑓
𝑤
𝑤
𝑥∈𝑋∖𝑁
𝑓
𝑤
𝑓
𝑤
(𝑋 ∖ 𝑀) ∩ (𝑋 ∖ 𝑁)
𝑓
𝑓
𝑓
𝑤
Man entnimmt der obigen Tabelle, dass für alle 𝑥 ∈ 𝑋 gilt
𝑥 ∈ 𝑋 ∖ (𝑀 ∪ 𝑁) ⟺ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝑀) ∩ (𝑋 ∖ 𝑁).
Dies entspricht aber exakt der Definition der Gleichheit der beiden Mengen.
4.4 Kartesisches Produkt
Das geordnete Paar oder Tupel zweier Objekte 𝑥, 𝑦 ist das Objekt (𝑥, 𝑦) mit der Eigenschaft
(𝑥, 𝑦) = (𝑥′ , 𝑦′ ) ⟺ 𝑥 = 𝑥′ und 𝑦 = 𝑦′ .
Insbesondere ist (𝑥, 𝑦) ≠ (𝑦, 𝑥), falls 𝑥 ≠ 𝑦.
Formal kann man (𝑥, 𝑦) als Menge definieren durch
(𝑥, 𝑦) ∶= {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}}.
Man kann dann zeigen, dass die obige Eigenschaft erfüllt ist.
Definition 4.14 Das kartesische Produkt zweier Mengen 𝑀, 𝑁 ist die Menge
𝑀 × 𝑁 ∶= {(𝑥, 𝑦) ∣ 𝑥 ∈ 𝑀 𝑢𝑛𝑑 𝑦 ∈ 𝑁}.
Beispiel 4.15 Die Menge ℕ × ℕ besteht aus den Paaren (𝑎, 𝑏) mit 𝑎 ∈ ℕ und 𝑏 ∈ ℕ. Also
ℕ × ℕ = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), … }.
23
Definition 4.16 Seien 𝑛 ≥ 2 eine natürliche Zahl und 𝑀1 , … 𝑀𝑛 Mengen. Unter dem kartesischen Produkt der Mengen 𝑀1 , … , 𝑀𝑛 verstehen wir die Menge
𝑀1 × ⋯ × 𝑀𝑛 ∶= {(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∣ 𝑥1 ∈ 𝑀1 ∧ ⋯ ∧ 𝑥𝑛 ∈ 𝑀𝑛 }.
Dabei werden die 𝑛-Tupel (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) rekursiv durch
(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∶= ((𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 ), 𝑥𝑛 )
definiert. Es gilt
(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) ⟺ 𝑥1 = 𝑦1 ∧ … ∧ 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 .
Gilt 𝑀 = 𝑀1 = ⋯ = 𝑀𝑛 , so schreibt man statt 𝑀1 × 𝑀2 × … × 𝑀𝑛 oft auch 𝑀 𝑛 .
Beispiel 4.17 Aus der Schule kennen Sie die Menge
ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∣ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}.
Man kann diese Menge mit den Punkten des Raums identifizieren.
Satz 4.18 Seien 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑁 Mengen. Dann gelten die folgenden Aussagen:
(a) (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) × 𝑁 = (𝑀1 × 𝑁) ∩ (𝑀2 × 𝑁).
(b) (𝑀1 ∪ 𝑀2 ) × 𝑁 = (𝑀1 × 𝑁) ∪ (𝑀2 × 𝑁).
Beweis.
Übungsaufgabe.
24
5 Abbildungen I: Bild, Urbild und Graph
Eine Abbildung oder Funktion 𝑓 einer Menge 𝑀 in eine Menge 𝑁 ist eine Vorschrift, die
jedem Element 𝑥 ∈ 𝑀 jeweils ein eindeutig bestimmtes Element 𝑦 ∈ 𝑁 zuordnet.
Genauer definiert man
Definition 5.1 (Abbildung) Seien 𝑀, 𝑁 Mengen und 𝑅 ⊂ 𝑀 × 𝑁. Wir nennen das Tupel
𝑓 = (𝑀, 𝑁, 𝑅)
eine Abbildung oder eine Funktion von 𝑀 nach 𝑁, wenn es zu jedem 𝑥 ∈ 𝑀 genau ein 𝑦 ∈ 𝑁
mit (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 gibt.
Man nennt 𝑀 den Definitionsbereich von 𝑓 und 𝑁 den Zielbereich von 𝑓 .
Statt (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 schreibt man auch
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
und nennt 𝑦 das Bild von 𝑥 unter 𝑓 .
Statt 𝑓 = (𝑀, 𝑁, 𝑅) schreibt man auch
𝑓 ∶ 𝑀 → 𝑁,
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥).
Beispiel 5.2 Oft werden Abbildungen durch Terme definiert, z. B.
𝑓 ∶ ℕ → ℕ,
𝑧 ↦ 𝑧2 .
Es gibt aber auch Funktionen, die sich nicht durch Terme beschreiben lassen:
𝑔 ∶ ℕ → ℕ,
𝑛 ↦ kleinste Primzahl, die größer als 𝑛 ist.
Im zweiten Beispiel ist nicht klar, ob 𝑔 überhaupt eine Funktion ist, d.h. ob jeder natürlichen
Zahl auch ein eindeutiger Wert aus der Zielmenge zugeordnet wird.
Gibt es zu jedem 𝑛 ∈ ℕ immer eine eindeutige kleinste Primzahl die größer ist als 𝑛? Die Frage
kann man bejahen, wenn man weiß, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Da zwei Tupel genau dann gleich sind, wenn sie in ihren Einträgen übereinstimmen, folgt
Definition 5.3 (Gleichheit von Abbildungen) Seien 𝑓1 = (𝑀1 , 𝑁1 , 𝑅1 ) und 𝑓2 = (𝑀2 , 𝑁2 , 𝑅2 )
Abbildungen. Dann gilt 𝑓1 = 𝑓2 genau dann, wenn
• 𝑀1 = 𝑀2 und
• 𝑁1 = 𝑁2 und
• 𝑅1 = 𝑅2 gilt.
Oder anders formuliert:
Zwei Abbildungen 𝑓1 und 𝑓2 sind genau dann gleich, wenn ihre Definitions- und Zielbereiche
übereinstimmen und für alle Elemente 𝑥 des Definitionsbereichs stets 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) gilt.
Bitte beachten Sie: Um eine Abbildung zu definieren werden drei Angaben benötigt: Definitionsbereich, Zielbereich und die Abbildungsvorschrift, die wie oben als Term oder Menge
angegeben werden kann.
25
Beispiel 5.4 Betrachten Sie die Abbildungen
𝑓 ∶ ℕ → ℕ, 𝑧 ↦ 2𝑧 ,
𝑔 ∶ ℕ → 2ℕ, 𝑧 ↦ 2𝑧
und
ℎ ∶ ℕ → ℕ,
ℎ(𝑧) ∶= Anzahl der Elemente der Menge {𝑧 + 1, 𝑧 + 2, … , 3𝑧}.
Obwohl 𝑓 (𝑧) = 𝑔(𝑧) für alle 𝑧 ∈ ℕ gilt, ist 𝑓 ≠ 𝑔. Andererseits sind die Abbildungen 𝑓 und ℎ
gleich.
5.1 Bild und Urbild
Wir führen eine Reihe wichtiger Bezeichnungen ein:
Definition 5.5
(a) Der Graph einer Abbildung 𝑓 ∶ 𝑀 → 𝑁 ist die Menge
Γ𝑓 ∶= {(𝑥, 𝑓 (𝑥)) ∣ 𝑥 ∈ 𝑀} ⊂ 𝑀 × 𝑁.
Der Graph von 𝑓 stimmt also genau mit der Menge 𝑅 aus der Funktionsdefinition überein.
(b) Das Bild einer Teilmenge 𝐴 ⊂ 𝑀 unter 𝑓 ∶ 𝑀 → 𝑁 ist die Menge
𝑓 (𝐴) ∶= {𝑓 (𝑥) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊂ 𝑁.
𝑓 (𝑀) heißt Bildmenge oder Bild von 𝑓 .
(c) Das Urbild einer Menge 𝐵 ⊂ 𝑁 ist die Menge
𝑓 −1 (𝐵) ∶= {𝑥 ∈ 𝑀 ∣ 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵} ⊂ 𝑀.
(d) Sei 𝐴 eine Teilmenge von 𝑀. Dann nennt man
𝑓 |𝐴 ∶ 𝐴 → 𝑁,
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥)
die Einschränkung von 𝑓 auf 𝐴.
Beispiel 5.6 Es sei
𝑓 ∶ ℕ → ℕ,
𝑛↦
1
{ 𝑛2
falls 𝑛 ≥ 4,
falls 𝑛 < 4.
(a) Das Bild von ℙ unter 𝑓 ist 𝑓 (ℙ) = {1, 4, 9}, denn 𝑓 (2) = 4, 𝑓 (3) = 9 und 𝑓 (𝑛) = 1 für
alle 𝑛 ∈ ℙ mit 𝑛 ≥ 4.
(b) Das Urbild von ℙ ⊂ ℕ unter 𝑓 ist 𝑓 −1 (ℙ) = ∅, denn 𝑓 (𝑛) ist für kein 𝑛 ∈ ℕ eine Primzahl.
Beispiel 5.7 Der Graph Γ einer Funktion ℝ → ℝ ist eine Teilmenge des ℝ2 . Identifiziert man
die Elemente von Γ mit Punkten des ℝ2 , so kann man diese in ein Koordinatensystem einzeichnen und erhält eine graphische Darstellung von 𝑓 .
Es gelten die folgenden Regeln für Bild- und Urbildmengen.
Satz 5.8 Für jede Abbildung 𝑓 ∶ 𝑀 → 𝑁 und Teilmengen 𝐴, 𝐴1 , 𝐴2 ⊂ 𝑀, 𝐵1 , 𝐵2 ⊂ 𝑁 gilt:
(a)
𝑓 −1 (𝐵1 ∪ 𝐵2 ) = 𝑓 −1 (𝐵1 ) ∪ 𝑓 −1 (𝐵2 ),
26
(b)
(c)
(d)
(e)
Beweis.
𝑓 −1 (𝐵1 ∩ 𝐵2 ) = 𝑓 −1 (𝐵1 ) ∩ 𝑓 −1 (𝐵2 ),
𝑓 (𝐴1 ∪ 𝐴2 ) = 𝑓 (𝐴1 ) ∪ 𝑓 (𝐴2 ),
𝑓 (𝐴1 ∩ 𝐴2 ) ⊂ 𝑓 (𝐴1 ) ∩ 𝑓 (𝐴2 ),
𝐴 ⊂ 𝑓 −1 (𝑓 (𝐴)).
Wir zeigen hier nur Aussage (a). Die restlichen Beweise verläufen ähnlich.
𝑓 −1 (𝐵1 ∪ 𝐵2 ) ⊂ 𝑓 −1 (𝐵1 ) ∪ 𝑓 −1 (𝐵2 )“:
”
Sei 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵1 ∪ 𝐵2 ). Dann ist 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵1 ∪ 𝐵2 . Somit liegt 𝑓 (𝑥) in 𝐵1 oder in 𝐵2 . Daher
liegt 𝑥 in 𝑓 −1 (𝐵1 ) oder in 𝑓 −1 (𝐵2 ), also
𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵1 ) ∪ 𝑓 −1 (𝐵2 ).
𝑓 −1 (𝐵1 ∪ 𝐵2 ) ⊃ 𝑓 −1 (𝐵1 ) ∪ 𝑓 −1 (𝐵2 )“:
”
Sei 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵1 ) ∪ 𝑓 −1 (𝐵2 ). Dann ist 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵1 ) oder 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵2 ). Dies zeigt 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵1
oder 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵2 , also 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵1 ∪ 𝐵2 . Es folgt
𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵1 ∪ 𝐵2 ).
27
6 Abbildungen II: Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Definition 6.1 (Surjektivität) Eine Funktion 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 heißt surjektiv, falls 𝑓 (𝑋) = 𝑌 .
Satz 6.2 Für eine Funktion 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 sind äquivalent:
(a) 𝑓 ist surjektiv.
(b) 𝑓 (𝑋) = 𝑌 .
(c) Zielbereich und Bild der Funktion stimmen überein.
(d) Jedes Element des Zielbereichs hat mindestens ein Urbild.
Beispiel 6.3 Eine Funktion 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ist surjektiv genau dann, wenn jede Parallele zur
𝑥-Achse den Funktionsgraphen in mindestens einem Punkt schneidet.
Definition 6.4 (Injektivität) Eine Abbildung 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 heißt injektiv, wenn für alle
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 gilt
𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓 (𝑥1 ) ≠ 𝑓 (𝑥2 ).
Satz 6.5 Für eine Funktion 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 sind äquivalent:
(a) 𝑓 ist injektiv.
(b) ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 ∶ 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓 (𝑥1 ) ≠ 𝑓 (𝑥2 ).
(c) ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2 .
Mit anderen Worten: Hat ein Element 𝑦 ∈ 𝑌 ein Urbild, so ist dieses Urbild eindeutig.
(d) Jedes 𝑦 ∈ 𝑌 hat höchstens ein Urbild.
Beispiel 6.6 Eine Funktion 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ist injektiv genau dann, wenn jede Parallele zur
𝑥-Achse den Funktionsgraphen in höchstens einem Punkt schneidet.
Definition 6.7 (Bijektivität) Eine Funktion 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 heißt bijektiv, wenn sie surjektiv
und injektiv ist.
𝑓 ist also bijektiv genau dann, wenn jedes 𝑦 ∈ 𝑌 genau ein Urbild 𝑥 ∈ 𝑋 besitzt.
Da eine bijektive Funktion zu jedem Element des Zielbereichs genau ein Urbild besitzt, kann
man eine neue Funktion definieren
Definition 6.8 (Umkehrfunktion) Sei 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 bijektiv. Dann ist auch
𝑔 ∶ 𝑌 → 𝑋,
𝑦 ↦ eindeutiges Urbild von 𝑦 unter 𝑓
eine Funktion. Man nennt sie die Umkehrfunktion oder Umkehrabbildung zu 𝑓 und schreibt
𝑓 −1 für sie.
Satz 6.9 Genau dann ist die Funktion 𝑓 bijektiv, wenn sie eine Umkehrfunktion besitzt. Diese
Umkehrfunktion ist durch 𝑓 eindeutig bestimmt.
bijektiv = es gibt eine Umkehrfunktion
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Beispiel 6.10
(a) Betrachten Sie die Abbildungen
𝑓 ∶ ℤ → ℤ, 𝑧 ↦ 𝑧2
𝑔 ∶ ℕ → ℕ, 𝑧 ↦ 𝑧2 .
und
𝑓 ist nicht surjektiv, denn es gibt Elemente im Zielbereich, die kein Urbild besitzen, z. B.
−1. Es ist
𝑓 (ℤ) ⊊ ℤ.
𝑓 ist auch nicht injektiv, denn die beiden Elemente 1 und −1 aus dem Definitionsbereich
haben dasselbe Bild
𝑓 (1) = 1 = 𝑓 (−1).
Auch 𝑔 ist nicht surjektiv, denn 2 ∈ ℕ hat kein Urbild unter 𝑔. Allerdings ist 𝑔 injektiv.
Denn für 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℕ mit 𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(𝑥2 ) folgt
𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(𝑥2 ) ⟹ 𝑥21 = 𝑥22 ⟹ |𝑥1 | = |𝑥2 |
𝑥𝑖 ist positiv
⟹
𝑥1 = 𝑥 2 .
Ein Element aus dem Bild von 𝑔 hat also ein eindeutiges Urbild.
(b) Die Funktion
𝑓 ∶ ℕ → 2ℕ,
𝑛 ↦ 2𝑛
ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist gegeben durch
𝑓 −1 ∶ 2ℕ → ℕ,
1
𝑛 ↦ 𝑛.
2
Definition 6.11 (Komposition) Es seien 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 und 𝑔 ∶ 𝑌 → 𝑍 Abbildungen. Die
Abbildung 𝑔 ∘ 𝑓 (gelesen: 𝑔 nach 𝑓“) ist dann definiert durch
”
𝑔 ∘ 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑍,
𝑥 ↦ 𝑔 (𝑓 (𝑥)).
Man nennt 𝑔 ∘ 𝑓 die Verknüpfung von 𝑓 mit 𝑔 oder die Komposition von 𝑓 mit 𝑔 oder die
Hintereinanderausführung von 𝑔 und 𝑓 .
Damit man die Komposition 𝑔 ∘ 𝑓 bilden kann, ist es notwendig, dass der Zielbereich von 𝑓
eine Teilmenge des Definitionsbereichs von 𝑔 ist.
Beispiel 6.12
(a) Betrachte
𝑓 ∶ ℕ → ℕ, 𝑛 ↦ 3𝑛
𝑔 ∶ ℕ → ℕ, 𝑛 ↦ 𝑛2 .
und
Wir können beide Kompositionen 𝑓 ∘ 𝑔 und 𝑔 ∘ 𝑓 bilden.
Es ist für 𝑛 ∈ ℕ
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑛) = 𝑔 (𝑓 (𝑛)) = 𝑔(3𝑛) = 9𝑛2 ,
Analog erhält man
also 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ ℕ → ℕ, 𝑛 ↦ 9𝑛2 .
𝑓 ∘ 𝑔 ∶ ℕ → ℕ,
𝑛 ↦ 3𝑛2 .
Es gilt 𝑔 ∘ 𝑓 ≠ 𝑓 ∘ 𝑔.
(b) Sei 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 bijektiv. Dann gilt für alle 𝑥 ∈ 𝑋
𝑓 −1 (𝑓 (𝑥)) = 𝑥.
Ferner haben wir für alle 𝑦 ∈ 𝑌
𝑓 (𝑓 −1 (𝑦)) = 𝑦.
29
Definition 6.13 Die Abbildung
id𝑋 ∶ 𝑋 → 𝑋,
𝑥↦𝑥
heißt Identität auf 𝑋. Sie ist bijektiv mit id−1
𝑋 = id𝑋 .
Satz 6.14 Genau dann ist 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 bijektiv, wenn es eine Abbildung 𝑔 ∶ 𝑌 → 𝑋 gibt, so
dass
𝑔 ∘ 𝑓 = id𝑋
und
𝑓 ∘ 𝑔 = id𝑌
gilt.
Beweis.
Die Abbildung 𝑔 stellt gerade die Umkehrabbildung zu 𝑓 dar.
Achtung: Eine Umkehrfunktion 𝑓 −1 ist nur für bijektive Abbildungen definiert.
Das Urbild 𝑓 −1 (𝐴) existiert für jede Abbildung 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 und jede Teilmenge 𝐴 ⊂ 𝑋.
Hier werden für zwei verschiedene Dinge ähnliche Notationen benutzt!
Der folgende Satz zeigt, unter welchen Umständen Abbildungseigenschaften von Funktionen
unter der Verkettung erhalten bleiben.
Satz 6.15 Es seien 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 und 𝑔 ∶ 𝑌 → 𝑍 Abbildungen.
(a) Sind 𝑓 und 𝑔 beide injektiv, so ist 𝑔 ∘ 𝑓 injektiv.
(b) Sind 𝑓 und 𝑔 beide surjektiv, so ist 𝑔 ∘ 𝑓 surjektiv.
(c) Sind 𝑓 und 𝑔 beide bijektiv, so ist auch 𝑔 ∘ 𝑓 bijektiv. In diesem Fall gilt
(𝑔 ∘ 𝑓 )−1 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔 −1 .
Beweis.
Wir beweisen nur Aussage (a).
Seien 𝑓 und 𝑔 injektiv. Wir müssen zeigen: Sind 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 und gilt (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥1 ) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥2 ),
so folgt 𝑥1 = 𝑥2 .
Gelte also (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥1 ) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥2 ). Dann ist
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥1 ) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥2 ) ⟹ 𝑔 (𝑓 (𝑥1 )) = 𝑔 (𝑓 (𝑥2 ))
Dies zeigt die Behauptung.
𝑔 ist injektiv
⟹
𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 )
𝑓 ist injektiv
⟹
𝑥1 = 𝑥 2 .
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