1. Arbeiten mit Zahlen in Dezimalschreibweise

Skript für Mathematik / Modul M1
Fernstudium BG/BRG für Berufstätige: Mathematik – 1. Semester; Modul M1
Inhalt:
Arithmetik:
1. Natürliche Zahlen ................................................................................................................................................ 2
1.1 Menge der Natürlichen Zahlen ...................................................................................................................... 2
1.2 Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen: ............................................................................................... 2
1.3 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen: ........................................................................................... 3
1.4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in N: .......................................................................................... 4
1.5 Die Rolle der Zahl Null beim Multiplizieren und Dividieren ........................................................................ 4
2. Arbeiten mit Zahlen in Dezimalschreibweise ...................................................................................................... 5
2.1 Prozentrechnen .............................................................................................................................................. 5
3. Arbeiten mit ganzen Zahlen ................................................................................................................................ 6
3.1 Die ganzen Zahlen ......................................................................................................................................... 6
3.2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen .................................................................................................... 7
3.3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen................................................................................................ 9
3.4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Z .......................................................................................... 10
3.5 Rechnen mit Potenzen (Die Potenzschreibweise) ....................................................................................... 11
4. Arbeiten mit rationalen Zahlen in Bruchschreibweise ....................................................................................... 12
4.0 Begriff ......................................................................................................................................................... 12
4.1 Kürzen und Erweitern von Brüchen ............................................................................................................ 13
4.2 Bruchzahl als relativer Anteil ...................................................................................................................... 13
4.3 Teilbarkeitsregeln........................................................................................................................................ 14
4.4 Vergleichen und Ordnen von rationalen Zahlen .......................................................................................... 15
4.5 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen.............................................................................................. 15
4.6 Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen ......................................................................................... 16
4.7 Die Menge Q der rationalen Zahlen ............................................................................................................ 17
4.8 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Q ......................................................................................... 17
5._Die reellen Zahlen R ........................................................................................................................................ 19
6. Elementare Algebra - Gleichungen ................................................................................................................... 21
6.1 Rechnen mit Termen ................................................................................................................................... 21
6.2 Gleichungen ................................................................................................................................................ 22
6.3 Beschreibung von Sachverhalten durch Terme und Formeln ...................................................................... 26
6.4 Potenzen mit natürlichen Exponenten ......................................................................................................... 28
7. Geometrische Grundkenntnisse ......................................................................................................................... 29
7.1 Grundbegriffe .............................................................................................................................................. 29
7.2 Das Dreieck ................................................................................................................................................. 33
8. Längen und Flächeninhaltsberechnungen .......................................................................................................... 40
8.1 Eigenschaften von Vierecken ...................................................................................................................... 40
8.2 Flächenformeln............................................................................................................................................ 40
9. Ähnlichkeit ........................................................................................................................................................ 44
9.1 Verhältnis und Proportionen ....................................................................................................................... 44
9.2 Ähnliche Dreiecke / Strahlensatz ................................................................................................................ 45
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Skript für Mathematik / Modul M1
1. Natürliche Zahlen
1.1 Menge der Natürlichen Zahlen
Zahlenmengen:
In der Mathematik wird das Wort „Menge“ in folgendem Sinne verwendet.
Menge: Zusammenfassung gleichartiger Dinge (Elemente) zu einem Ganzen.
Man gibt eine Menge an, indem man z. B. ihre Elemente aufzählt. Dabei schreibt man die Elemente
zwischen zwei geschwungenen Klammern (Mengenklammern) an:
Beispiele:
Menge der natürlichen Zahlen: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
Bem.: Die drei Punkte deuten an, dass die Menge N unendlich ist. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.
Die natürlichen Zahlen haben sich aus dem Zählen entwickelt.
Natürliche Zahlen ohne Null: N* = {1, 2, 3, …}
Graphische Darstellung der nat. Zahlen auf dem Zahlenstrahl:
1.2 Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen:
Addition: 3 + 2 = 5
|
|
|
Summanden Summe
Veranschaulichung:
2+3=5
Vertauschungsgesetz: Die Addition von natürlichen Zahlen ist kommutativ (vertauschbar).
a+b=b+a
Bem.: a und b stellen hier sogenannte Platzhalter dar. Diese halten den Platz z.B. für natürliche Zahlen frei. Für diese
Platzhalter kann man wieder bestimmte Zahlen einsetzen.
Weiters gilt: Die Summe zweier natürlichen Zahlen ist stets wieder eine natürliche Zahl.
Man sagt: Die Menge N ist bezüglich der Addition abgeschlossen.
Subtraktion: 5 - 3
=
2
|
Differenz
Veranschaulichung:
3-5=?
(= -2)
Die Subtraktion von natürlichen Zahlen ist nicht kommutativ.
Bei der Subtraktion von natürlichen Zahlen entsteht, wenn der die zweite Zahl größer ist als die
erste, eine Zahl, die in der Menge der natürlichen Zahlen nicht mehr enthalten ist.
Man sagt: Die Menge N ist nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion.
Bem.: Dies führt später auf die Menge der ganzen Zahlen: Z = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Verbindungsgesetz beim Addieren
(B) (12 + 3) + 4 = 15 + 4 = 19
12 + (3 + 4) = 12 + 7 = 19
Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet (Klammerregel).
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Skript für Mathematik / Modul M1
Aus diesen und ähnlichen Beispielen erkennen wir das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) der
Addition:
Verbindet man in einer Summe die Summanden beliebig zu Teilsummen, so ändert das den Wert der
Summe nicht.
(a + b) + c = a + (b + c)
Das Verbindungsgesetz gilt bei der Subtraktion nicht. Probieren Sie selbst ein Beispiel dazu!
Addieren und Subtrahieren innerhalb einer Rechnung
Zusammenfassen von Subtrahenden:
(B) 100-28-44-19=9
100-(28+44+19)=9
Statt einzeln zu subtrahieren, kann man zuerst alle Subtrahenden addieren und dann die Summe von
100 subtrahieren.
Daraus folgt: a - b - c = a - (b + c)
Zusammenfassen mehrerer Summanden und Subtrahenden:
(B) 100-28+44-19 =
1. Art
100-28+44-19 =
72 + 44-19 = 116-19 = 97
2. Art
100+44-(28+19)
144-47 = 97
Bei der ersten Art werden die Rechnungen in der gegebenen Reihenfolge ausgeführt. Bei der
zweiten Art addiert man zunächst alle Summanden bzw. alle Subtrahenden und zieht die Ergebnisse
voneinander ab. Überlegen Sie, bei welcher Art weniger Rechnungen auszuführen sind.
1.3 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen:
Multiplikation
5 . 9 = 45
| |
|
Faktoren Produkt
9 . 5 = 45
Die Multiplikation von 2 Zahlen ist kommutativ: a . b = b . a
Bedeutung der Multiplikation: 5 . 9 = 9+9+9+9+9 (Addition gleicher Summanden).
Die Menge N ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation.
Division:
6 :
2 =
3
|
Quotient
Bedeutungen:
2:6 = ?
(= 1/3 = 0,333...= 0,3 )
Division ist nicht kommutativ.
Die Menge N ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division.
Bem.: Dies führt später auf die Menge der Bruchzahlen (rationale Zahlen)
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Skript für Mathematik / Modul M1
Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) der Multiplikation
(B)
(2 . 5) . 3 = 10 . 3 = 30
2 . (5 . 3) = 2 . 15 = 30
Es gilt: Wenn man in einem Produkt Faktoren beliebig zu Teilprodukten verbindet, ändert sich der
Wert des Produktes nicht. (a . b) . c = a . (b . c)
Bem.: Das Verbindungsgesetz gilt bei der Division nicht. Probieren Sie selbst ein Beispiel dazu!
1.4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in N:
Vorrangregeln:
(B)
1 + 3 . 9 = 1 + 27 = 28
(1 + 3) . 9 = 4 . 9 = 36
(B) 24 - 30 : 3 + 7 - 4 : 2 = 24 - 10 + 7 - 2 = 19
Die Rechnungsarten zweiter Stufe (Multiplikationen und Divisionen) haben Vorrang vor den
Rechnungsarten erster Stufe (Additionen und Subtraktionen).
Kurzsprechweise: „Punktrechnung“ vor „Strichrechnung“.
Treten in einer Rechnungsart Rechnungsarten erster und zweiter Stufe sowie Klammern auf, so sind
auszuführen:
zuerst die Rechnungen in den Klammern,
dann die Rechnungsarten zweiter Stufe,
zuletzt die Rechnungsarten erster Stufe.
Das Verteilungsgesetz der Multiplikation
(B)
(4 + 5) . 3 = 9 . 3 = 27
4 . 3 + 5 . 3 = 12 + 15 = 27
(B)
(7 - 3) . 5 =
7.5-3.5=
Setzt man an Stelle der Zahlen Platzhalter, so erhält man das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) der
Multiplikation (bezüglich der Add. bzw. Subtr.)
(a + b ) . c = a . c + b . c
(a - b) . c = a . c - b . c
1.5 Die Rolle der Zahl Null beim Multiplizieren und Dividieren
(B)
3.0=0+0+0=0
(B)
0:3=0
0.3=0
Probe 0 . 3 = 0
allg.: a . 0 = 0 und 0 .a = 0
allg.: 0 : a = 0
Wie viel ist 3 : 0?
Vermutungen: 3 : 0 = 0 Probe: 0 . 0 = 0
3 : 0 = 3 Probe: 3 . 0 = 0
Beide Ergebnisse sind falsch. Ebenso wäre jede andere Zahl aus N ein falsches Ergebnis. Denn es gibt
keine Zahl, die mit 0 multipliziert die Zahl 3 ergibt.
Die Division durch Null ist sinnlos. Durch Null kann man nicht dividieren.
Damit gilt insbesondere auch: 0 : 0 ist sinnlos.
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Skript für Mathematik / Modul M1
2. Arbeiten mit Zahlen in Dezimalschreibweise
Runden von Dezimalzahlen:
(B) 11,248 auf Zehntel gerundet: 11,248  11,2
auf Hundertstel gerundet: 11,248  11,25
(...ungefähr gleich)
Beim Runden auf eine bestimmte Stelle ist immer die Ziffer an der nächstkleineren Stelle
entscheidend, ist diese 1,2,3,4 - wird die Zahl abgerundet; | 5,6,7,8 oder 9 - so wird sie
aufgerundet.
Verbindung der vier Grundrechnungsarten
Für die vier Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen gelten dieselben Gesetze und Regeln wie für
das Rechnen mit natürlichen Zahlen.
Die Vorrangregel und die Klammerregel gelten genauso für das Rechnen mit Dezimalzahlen.
2.1 Prozentrechnen
(B1) Die Erdoberfläche umfasst 510 Millionen km2, davon sind 71% Wasserfläche und der Rest
Landfläche.
Berechnen Sie die Landfläche und Wasserfläche in km2!
Wasserfläche: 510 * 0,71 = 362,1 Mill. km2
Landfl.: 147,9 Mill. km2
(B2) Die Geschäftsführerin eines Elektrogeschäftes kauft beim Großhändler Fernsehapparate zu
einem Preis von 588,-€. Zur Deckung der eigenen Spesen und für den Gewinn schlägt sie 30%
Spanne auf. Für den Kunden kommen dann noch 20% MWSt. dazu.
Wie hoch ist der Endpreis?
588 * 1,3 * 1,2 = 917,28 €  917 €
(B3) Eine 2500 € teure Ware wird um 8% billiger, dann nochmals um 5% des letzten Preises.
a) Kostet Sie mehr, weniger oder gleich viel, wenn die Reihenfolge der Verbilligungen
umgekehrt wird?
b) Bleibt der Endpreis gleich, wenn die Ware um 13% ermäßigt wird?
a) 2500 * 0,92 * 0,95 = 2185
2500 * 0,95 * 0,92 = 2185
b) 2500 * 0,87 = 2175
gleich viel
nein
(B4) Eine Schreibmaschine kostet ohne MWSt. 385 €. Beim Kauf muss man noch 20% MWSt.
dazurechnen. Im Räumungsverkauf wird sie um 20% billiger angeboten.
a) Wie viel € kostet die Schreibmaschine im Räumungsverkauf?
370 €
b) Erklären Sie, warum der Endpreis nicht 385 € beträgt!
(B5) Eine Gemeinde erhält von der Landesregierung für den Bau einer Schule einen Betrag von
945 000 €, das sind 45% der Baukosten. Berechnen Sie die gesamten Baukosten!
2 100 000 €
(B6) Eine Ware kostet inklusive 20% MWSt. 309,60 €
Wie viel kostet die Ware ohne MWSt.?
309,60 : 1,2 = 258 €
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Skript für Mathematik / Modul M1
(B7) Wie hoch ist die Versicherungssumme einer Feuerversicherung, wenn die Jahresprämie 6,1%o
der Versicherungssumme ausmacht und 366 € beträgt?
60000 €
(B8) Die Donau hat eine Länge von 2850 km, auf einer Strecke von 350 km durchfließt sie Österreich.
Welchen relativen Anteil (in %) hat die österreichische Donau an der Gesamtlänge.
350
2850
= 350 : 2850 = 0,1228  12,3%
(B9) Benzin verbilligte sich von 0,814 € (1985) auf 0,610 € (1986).
Wie viel % betrug die Verbilligung?
Angenommen, der Benzinpreis erhöht sich von 0,610 € auf 0,814 €.
Wie viel % beträgt dann die Verteuerung.
25,1%; 33,4%
(B10) Bei einem Test waren 7 von 42 Fremdwörtern falsch geschrieben. Berechnen Sie die relative
Häufigkeit (den relativen Anteil) in %!
 16,7%
3. Arbeiten mit ganzen Zahlen
3.1 Die ganzen Zahlen
a) Einführung der negativen ganzen Zahlen
(B)
3–5=?
Bsp.: Thermometer: zuerst 3°C, dann fällt Temperatur um 5°C  Anzeige: -2°C
Weiteres Bsp.: Schulden
Negative Zahlen: -1, -2, ...
Dies führt auf die Menge der ganzen Zahlen: Z = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Natürliche Zahlen werden auch als positive ganze Zahlen bezeichnet.
Null ist weder negativ noch positiv.
Veranschaulichung auf der Zahlengeraden:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Jetzt ist folgende Subtraktion ausführbar
(B) 3 – 5 = -2
Veranschaulichung:
-2 -1 0 1 2 3
(„Zurückzählen“)
Bem.: 3 – 5 = -2
|
|
Rechenzeichen Vorzeichen
Positive ganze Zahlen werden manchmal mit Vorzeichen geschrieben: +5 statt 5
b) Die Ordnung der ganzen Zahlen
Die auf der Zahlengeraden weiter links liegende
Zahl ist kleiner als die rechts liegende.
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Bsp.: -5 < -3 (Zu -5 muss man eine positive Zahl addieren, um zu -3 zu gelangen.)
Bezeichnungen:
Z+ = {xZ|x>0} ... Menge der positiven ganzen Zahlen
(Sprechweise: Menge aller x aus Z, für die gilt: x ist größer als Null)
Z- = {xZ|x<0} ... Menge der negativen ganzen Zahlen
 … Element, > … größer, < … kleiner
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Skript für Mathematik / Modul M1
Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger in der Menge der ganzen Zahlen.
c) Zahl und Gegenzahl - Der Betrag einer Zahl
Zwei ganze Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen.
Bsp.: Die Gegenzahl zu +4 ist -4.
Die Gegenzahl zu -4 ist +4.
allg.: Die Gegenzahl zu +a ist -a.
-4
0
+4
Man sieht.: -4 ist genauso weit vom Nullpunkt entfernt wie +4.
Def.: Man nennt den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt den (absoluten) Betrag einer Zahl.
Schreibweise.: |+3| = 3, |-5| = 5
Der Betrag einer ganzen Zahl ist stets eine natürliche Zahl.
Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag.
Darstellung einer ganzen Zahl.:
Eine ganze Zahl kann dargestellt werden: - als Punkt auf der Zahlengeraden
- als Pfeil
Bsp.: +3 kann dargestellt werden als Pfeil nach rechts mit der Länge 3,
-3 als Pfeil nach links mit der Länge 3.
Die Pfeildarstellung ist besonders zweckmäßig, wenn die Zahl eine Zustandsänderung beschreiben
soll (z.B.: eine Temperaturänderung).
3.2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen
a) Addieren ganzer Zahlen
(B) (+2) + (+3) = (+5)
(-2) + (+3) = (+1)
+2 +3 +4 +5
-2 -1 0 +1
Das Addieren einer positiven ganzen Zahl kann man als Weiterzählen auffassen. Veranschaulichung
wie bei den natürlichen Zahlen.
Zweite Art der Veranschaulichung:
Pfeildarstellung: Man fügt an den Bildpunkt des ersten Summanden die Pfeildarstellung des zweiten
Summanden an. Die Pfeilspitze zeigt dann den Bildpunkt der Summe.
Das Addieren einer negativen ganzen Zahl kann mit der Pfeildarstellung veranschaulicht werden.
(B) (+5) + (-3) = (+2)
(+1) + (-3) = (-2)
(-2) + (-1) = (-3)
Zweites Bsp. in Pfeildarstellung:
-2 -1 0 +1
b) Subtrahieren ganzer Zahlen
Das Subtrahieren einer positiven ganzen Zahl kann man als Zurückzählen auffassen.
(B) (+5) – (+3) = (+2)
(+1) – (+3) = (-2)
(-2 ) – (+1) = (-3)
Veranschaulichung für zweites Bsp.:
-2 -1 0 +1
Aus diesen und ähnlichen Beispielen erkennt man:
Das Subtrahieren einer positiven ganzen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.
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Skript für Mathematik / Modul M1
Subtrahieren einer negativen ganzen Zahl:
(Ba) (+4) – ( -3) = ?
(+4) – (-3) = x
Additionsprobe für Subtraktion: x + (-3) = (+4)
Welche Zahl muss man zu -3 addieren, um (+4) zu erhalten? Antwort: x = (+7)
Vergleicht man nun: (+4) – (-3)=(+7) mit (+4)+(+3)=(+7), so erkennt man auch hier, daß das
Addieren der Gegenzahl zum selben Ergebnis führt, also:
Das Subtrahieren einer ganzen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.
(Bb) Zeigen Sie das ebenso am Beispiel: (-4) – (-3) = ?
c) Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen in vereinfachter Schreibweise.
Addieren
(B) (+2)+(+3) = (+5) schreibt man als 2+3 = 5
(-2) +(+3) = (+1)
als -2+3 = 1
Beim Addieren einer positiven ganzen Zahl kann man die Klammern mit dem Vorzeichen weglassen.
(B) (+5)+(-3) = (+2) schreibt man als 5-3 = 2
(+1)+(-3) = (-2)
als 1-3 =-2
( -2)+(-1) = (-3)
als -2-1 =-3
Beim Addieren einer negativen ganzen Zahl wird beim Weglassen der Klammer das Vorzeichen „-“
zum Rechenzeichen „–„.
...+(+... = ...+...
...+(- ... = ...- ...
„Kurzsprechweise“
Subtrahieren (Addieren der Gegenzahl)
(B) (+5)-(+3) = (+5)+(-3) = (+2) schreibt man als 5-3 = 2
(+1)-(+3) =
= (-2)
als 1-3 =-2
(-2) -(+1) =
= (-3)
als -2-1 =-3
Beim Subtrahieren einer positiven Zahl bleibt beim Weglassen der Klammer das Rechenzeichen „-“
erhalten.
(B) (+4)-(-3) = (+4)+(+3) = (+7) schreibt man als 4+3 = 7
(-4)-(-3) =
= ( -1)
als -4+3 =-1
Beim Subtrahieren einer negativen Zahl werden beim Weglassen der Klammer die beiden
Minuszeichen zum Rechenzeichen „+“.
...-(+... = ...-...
...-(- ... = ...+...
Diese vereinfachte Schreibweise führt zu einer Reduktion auf folgende 4 Fälle in den Berechnungen:
2+3=5
-2 - 1=-3
gleiche Vor- u. Rechenzeichen: Beträge addieren
-2 + 3 = 1
1 - 3 = -2
verschiedene Vor- u. Rechenzeichen: Differenz der Beträge bilden,
Endergebnis erhält jenes Vorzeichen, wie jenes Vor- oder Rechenzeichen, das
vor der Zahl mit dem größeren Betrag steht.
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Übungen:
(B1) (+7)+(-3) = 7-3 = 4
(-3)+(+7) = -3+7 = 4
Die Addition ganzer Zahlen ist kommutativ.
(vertauschbar)
a+b=b+a
(B2) [(-5)+(-2)]+(-6) = [-5-2]-6 = [-7]-6 = -13
(-5)+[(-2)+(-6)] = -5+[-2-6] = -5+[-8] = -5-8 = -13
Die Addition ganzer Zahlen ist assoziativ.
(Verbindungsgesetz)
(a + b) + c = a + (b + c)
Berechnen Sie und stellen Sie fest, ob die Subtraktion ganzer Zahlen kommutativ bzw. assoziativ ist!
(B3) (-2)-(-9) =
(-9)-(-2) =
Lösg.: +7, -7; nein
(B4) (-2)-[(-5)-(+3)] =
[(-2)-(-5)]-(+3) =
6, 0; nein
(B5) (-2)-(+3)-(-7)+(-6) = -2 - 3 + 7 - 6 = 7 - 11 = -4
(Hinweis: geeignet zusammenfassen -
(B6) (+27)+(-31)-(-18)-(+14)+(+9) =
(B7) -8 + 11 -(+7)-(-9)+(-12)-15 =
Lösg.: 9
-22
wie in der Menge N.)
(B8) (-6)+[(-3)+(-5)-(-9)] = -6 + [-3-5+9] = -6 + [1] = -5
Rechnungen innerhalb der Klammer haben Vorrang. Klammern sind von innen nach außen aufzulösen.
(B9) -12-[17+(-3+18)-(-12+9)] =
Lösg.: -47
3.3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen
a) Multiplizieren ganzer Zahlen
(Ba) (+4).(+2) = 4.2 = 4+4 = 8
b) (-4).(+2) = (-4).2 = (-4)+(-4) = -8.
Das Multiplizieren mit einer natürlichen Zahl (hier 2) kann als wiederholtes Addieren aufgefasst
werden.
(Bc) (+2).(-4) = -8
(+).(+) = +
Damit ist die Multiplikation ganzer Zahlen kommutativ.
(- ).(- ) = +
(Bd) (-4).(-2) = +8
Überlegungen zeigen, dass es sinnvoll, ist die Multiplikation
(+).(-) = zweier negativer Zahlen in dieser Weise festzulegen.
(-).(+) = Bem.: (+a).(-1) = -a
Das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit -1 führt zur Gegenzahl.
(B10) Berechnen Sie und vergleichen Sie die Ergebnisse! (Welches Rechengesetz ist gemeint?)
[(-2).(-6)].(+5) =
(-2).[(-6).(+5)] =
Lösg.: 60; 60; Assoziativgesetz
(B11a) (-2).(+5).(-3).(-9) =
b) (-3).5.0.(-6) =
-270; 0
b) Dividieren ganzer Zahlen
(B) (+12):(+4) = (+3)
( -12):(+4) = ( -3)
(+12):( -4) = ( -3)
( -12):( -4) = (+3)
weil (+3).(+4) = (+12)
weil ( -3).(+4) = (-12)
weil
weil
ergibt. (Multiplikationsprobe!)
ergibt.
ergibt.
ergibt.
Bem.: Verwechseln Sie nicht die VZ-Regel bei Additionen/Subtraktionen mit den
VZ-Regeln bei Multiplikationen/Divisionen/bzw. beim Klammerauflösen.
-3 -5 = -8
(-3).(-5) = 15
-3+6 =+3
(+6):(-3) = -2
-9-
(+):(+) = +
( -):( -) = +
(+):( -) = ( -):(+) = -
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Berechnen Sie und stellen Sie fest, ob die Division ganzer Zahlen kommutativ bzw. assoziativ ist!
(B12) (+15):(-5) =
(-5):(+15) =
Lösg.: -3; nicht ausführbar in Z; nein
(B13) [(-36):(+6)]:(+3) =
(-36):[(+6):(+3)] =
-2; -18; nein
Bem.: Es gilt z.B. 0:(-7)=0 (Multiplikationsprobe), aber: (-7):0 nicht erlaubt. Durch Null kann man
nicht dividieren.
Bem.: Die Menge Z ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Subtraktion u. Multiplikation; sie ist
nicht abgeschlossen bezüglich der Division.
(Wenn man zwei ganze Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert, kommt wieder eine ganze
Zahl heraus; beim Dividieren muss das nicht der Fall sein).
3.4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Z
Es gelten dieselben Vorrangregeln wie in der Menge N:
- „Punktrechnung“ (.,:) vor „Strichrechnung“ (+,-),
- Rechnungen innerhalb der Klammer haben Vorrang,
- gleichwertige Rechenoperationen werden von links nach rechts ausgeführt.
(B14) 3 + (-4).(-2) = 3 + 8 = 11
(3+(-4)).(-2) = (3-4).(-2) = (-1).(-2) = 2
(B15a) (+3).[(-4)+(-9)] =
b) (+3).(-4) + (+3).(-9) =
= 3.(-4-9) = 3.(-13) = -39
= -12 + (-27) = -12 - 27 = -39
Daraus ist zu erkennen, dass das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) der Multiplikation bezüglich
der Addition auch bei ganzen Zahlen gilt: a . (b + c) = a . b + a . c
(B16a) (-8) . (+13) + (+6) . (+13) =
b) [(-8) + (+6)] . (+13) =
L.: -26; -26
(B17a) (+7) . (-21) – (+5) . (-21) =
b) [(+7) – (+5)] . (-21) =
Verteilungsgesetz der Multiplikation bezüglich der Subtraktion: a . b – c . b = (a – c) . b
-42; -42
(B18) Zeigen Sie mit den Zahlen (-10), (-15) und (+5), dass in der Menge der ganzen Zahlen das
Verteilungsgesetz der Multiplikation bezüglich der Subtraktion gilt!
(B19) (+4).(-3).(+2)-[(+24):(-3)-(-36):(+9)] =
= -24 - [ -8 - (-4)] =
= -24 – [-8 +4] = -24 - (-4) = -24 + 4 = -20
Klammern sind von innen nach außen aufzulösen. In diesem Beispiel sind zuerst die
Rechnungen innerhalb der eckigen Klammer auszuführen (dabei verschwinden natürlich die
runden Klammern) , bis sich innerhalb dieser nur mehr eine Zahl befindet.
(B20a) (-63) : (-7) + (+63) : (-7) =
(B21a) (-45) – (-3).(-6) =
c) (+36) : (-4) – 5 =
e) (-7).(-2) + (-9) : 3 =
g) (+45) – (+15) . (-3) =
b) [(-63) + (+63)] : (-7) =
b) (+15) – (-90) : (+6) =
d) (-9) + (+84) : (-6) =
f) (-20) – (+36) : (-9) . 2 =
h) (-9) + (+84) : (-6) =
-10-
0; 0
-63; 30
-14; -23
11; -12
90; -23
Skript für Mathematik / Modul M1
3.5 Rechnen mit Potenzen (Die Potenzschreibweise)
Flächeninhalt A = 3 . 3 = 32 = 9 cm2
(Sprechweise: 3 zum Quadrat, oder 3 hoch 2)
(B) geg.: Quadrat
a = 3 cm
Volumen: V = 2 . 2 . 2 = 23 = 8 cm3
geg.: Würfel
a=2 cm
allg.:
(Sprechweise: 2 zur Dritten, od. 2 hoch 3)
Exponent (Hochzahl)
|
Potenz:
5
2 = 2.2.2.2.2
|
Basis (Grundzahl)
Eine Potenz ist ein Produkt gleicher Faktoren. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor
auftritt.
Bem.: Unterscheiden Sie: 3 . 2 (bedeutet 3+3) und 32 (bedeutet 3.3)!
(Ba) 21 = 2, 14 = 1, 05 = 0
Potenzieren negativer Zahlen:
(Bb) (-2)1 = -2
(-2)2 = (-2).(-2) = +4
(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8
(-2)4 = ....... = +16
Eine gerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine positive Zahl.
Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl.
(B22) 82 – 2 . 33 = 64 – 2 . 27 = 64 – 54 = 10
Potenzieren hat Vorrang.
Der Exponent bezieht sich nur auf die Zahl unmittelbar davor, außer es ist ein größerer
Bereich (mehrere Zahlen, Vorzeichen, Bruch) davor („darunter“) mit eingeklammert.
(B23) (2.32-3.22)3 = (2.9-3.4)3 = (18-12)3 = 63 = 216
(B24) -22 = -4
-23 = -8
(B25) (-3)2 . (-2)3 - 43 + (-4)3 = 9.(-8) - 64 - 64 = -72-64-64 = -200
(B26a) 10. (-2)4 + 2 . (-2)3 = 10 . 16 + 2 . (-8) = 160 - 16 = 144
b) 16 . (-23) + (-22) . 3 = 16 . (-8) + (-4) . 3 = - 128 – 12 = -140
c) (-2)4 . 2 + (-24) = 16 . 2 + ( -16) = 32 – 16 = 16
(B27a) 3 . (-2)4 - (-34)
c) (-3).(-3)2 + 8.(-3)3
b) (-2)3.(-3) - 23 =
d) -5 . (-34) - (-32) . (-2)3 =
(B28a) 62 : (-32+23)2 =
b) 1- (2.24-2.33)2 =
-11-
L.: 129; 16
-243; 333
36; -483
Skript für Mathematik / Modul M1
4. Arbeiten mit rationalen Zahlen in Bruchschreibweise
4.0 Begriff
Bezeichnung und Schreibweise: Bruch =
Zähler
(B)
Nenner
2
3
Interpretation: - Bruchteile können als Teile eines Ganzen interpretiert werden.
Zerlegt man ein Ganzes in drei Teile, so heißt ein Teil ein Drittel.
Der Zähler gibt an, wie viele solcher Teile gemeint sind.
2
- Eine Bruchzahl kann als Division interpretiert werden:

= 2:3 = 0,666... = 0, 6
3
(B)
1
= 1:4= 0,25
(B)
4
4

= 4 : 11= 0,3636... = 0, 36
11
Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben. Dabei treten entweder endliche
Dezimalzahlen oder periodische Dezimalzahlen auf.
Einteilung: Echte Brüche: Zähler < Nenner (B)
2
3
Unechte Brüche: Zähler > Nenner
(B)
7
=1+
5
2
2
=1
5
5

Uneigentliche Brüche:
3
= 3,
1
2
Gemischte Zahl
12
= 1, 4 = 3 (Zähler ist Vielfaches vom Nenner.)
2
Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch: (B) 2
3
3
=2+
4
3
Dezimalzahl - Dezimalbruch: 0,3 =
0,75 =
10
75
2
2,2 = 2
100
11
= 4
4
=
10
22
10
Eine endliche Dezimalzahl lässt sich als Bruch schreiben.
Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:
(B) 0, 4 = ?
Man setzt an: x = 0, 4
bildet nun 10.x = 4,444...
subtrahiert
x = 0,444...
und erhält
9.x = 4
damit gilt:
x=
4
9
=
(B) analog gilt 0, 3
3
und 0, 9 =
9
 =?
(B) 0,3555... = 0,3 5
9
=1
9
Lösg.:
32
90
Man kann zeigen: Jede periodische Dezimalzahl kann in Bruchform dargestellt werden.
-12-
Skript für Mathematik / Modul M1
Negative Bruchzahlen:
6
Jede Division kann als Bruch geschrieben werden. z.B.: 6:(-3) =
-6
=-2 bzw. (-6):3 = 3 = -2
3
Es gilt natürlich -2 = -
6
3
a
Allgemein:
b

a

b
a
(b0)
b
Def.: Eine Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, heißt rationale Zahl.
Menge der rationalen Zahlen:
a
Q={
b
| a, b  Z  b0}
(...und)
Veranschaulichung rationaler Zahlen auf der Zahlengeraden:
(durch Punkte bzw. Pfeile)
Ordnung der rationalen Zahlen: für zwei verschiedene
rationale Zahlen a und b gilt a<b, wenn auf der Zahlengeraden
5
der Bildpunkt von a links vom Bildpunkt der Zahl b liegt. (B) -
< -0,5
2
Betrag einer rationalen Zahl: Abstand vom Nullpunkt:
|-
5
2
|=
5
= 2,5
2
4.1 Kürzen und Erweitern von Brüchen
a) Kürzen:
(Ba)
2
4
2 :2
[=
4 :2
1
]=
2
Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl (0) dividiert. Dabei ändert sich der
Wert des Bruches nicht.
:5
15
Schreibweisen: (Bb)
=
80
14 7
3
(Bc)
16
126
7
=
144
(Hier wurde zuerst durch 9 u. dann durch 2 gekürzt.)
8
16 8
1 2
Kürzen von Faktoren: (Bd)
4 .5 .6
3.5
=
4 .2
=8
1
1 1
b) Erweitern: (Ba)
1
1.2
[=
2.2
2
]=
2
4
Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl (0) multipliziert. Dabei ändert sich
der Wert des Bruches nicht.
.9
(Bb)
5
=
6
45
(Bc)
54
7
=
4
68
4.2 Bruchzahl als relativer Anteil
Bsp.: Von den rund 8 Millionen Einwohnern Österreichs sind rund 1,5 Millionen jünger als 15 Jahre.
Berechnen Sie den relativen Anteil der Kinder unter 15 Jahren an der Gesamtbevölkerung!
1500000
8000000
=
15
80
=
3
= 0,1875 = 18,75% 19%
16
-13-
Skript für Mathematik / Modul M1
Man erhält den relativen Anteil, indem man die Anzahl der Personen (bzw. Dinge, Objekte,...) mit
einer bestimmten Eigenschaft durch die Gesamtanzahl dividiert.
4.3 Teilbarkeitsregeln
Eine Zahl a heißt Teiler der Zahl b, wenn b durch a teilbar ist. (Wenn man b durch a dividiert, bleibt
kein Rest.)
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Einerziffer 0,2,4,6,8 ist,
- durch 5 teilbar, wenn ihre Einerziffer 0 oder 5 ist
- durch 10 teilbar, wenn ihre Einerziffer 0 ist.
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.
- durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.
(B) 33 - Ziffernsumme 6 - durch 3 teilbar, 648 - Ziffernsumme 18 - durch 9 teilbar
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. (B) 12
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist. (B) 75
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn sie eine Hunderterzahl ist, oder die aus den letzten beiden Ziffern
gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. (B) 736
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn sie eine Hunderterzahl ist, oder ihr zweistelliges Ende durch 25
teilbar ist.
Primzahlen:
Natürliche Zahlen, die nur 1 und sich selbst als Teiler haben, heißen Primzahlen.
Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl.
Ein Verfahren, Primzahlen zu finden, ist das Sieb des Eratosthenes
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Man streicht zuerst die Vielfachen der Primzahl 2, beginnend bei 4 (=2.2). Die erste nicht gestrichene
Zahl ist dann die nächste Primzahl, hier 3. Nun streicht man alle Vielfachen von 3, beginnend bei 9
(=3.3). Als nächstes alle Vielfachen der Primzahl 5 (beginnend bei 25=5.5), usw. Um alle Primzahlen
bis zu einem beliebigen N zu erhalten, genügt es, dieses Verfahren für die Primzahlen p  N
durchzuführen.
So erhält man die folgenden Primzahlen: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
Primfaktorenzerlegung
Jede natürliche Zahl n>1, die nicht selbst schon Primzahl ist, läßt sich als Produkt von Primzahlen
schreiben.
(B) 4=2.2 10=2.5 27=3.3.3
(B) 72 = ?
Verfahren:
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
Dividieren Sie durch die kleinste in der Zahl enthaltene Primzahl.
Schreiben Sie den Quotienten unter die ursprüngliche Zahl! Führen Sie das Verfahren
fort, bis sich der Quotient 1 ergibt!
72 = 2.2.2.3.3 = 23.32
-14-
Skript für Mathematik / Modul M1
4.4 Vergleichen und Ordnen von rationalen Zahlen
Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen
Bsp: gemeinsame Vielfache der Zahlen 3 und 4
Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
-„- von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24,…
Die gemeinsamen Vielfachen sind unterstrichen.
12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 3 und 4. Schreibweise: kgV(3,4) = 12
(B1) Ordnen Sie folgende Brüche:
2 3
3 5
3 5
4 6
; ; ;
der Größe nach (kleinster Bruch links)
1. Art: Ausdividieren der einzelnen Brüche.
2. Art: Brüche auf (kleinsten) gemeinsamen Nenner bringen.
Im kleinsten gemeinsamen Nenner müssen alle Nenner ohne Rest enthalten sein. 
Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der
gegebenen Brüche.
kgV(5,3,4,6) = ... = 60.
.20
2
. 12
40
=
3
;
60
3
3
2
<
5
=
3
3
3
;
60
5
<
.15
36
<
4
=
5
;
60
4
Die jeweiligen Erweiterungsfaktoren ergeben sich durch Division des
.10
45
50
=
gemeinsamen Nenners (60) durch die einzelnen Nenner (5, 3, 4, 6).
60
6
5
6
(B2) Ordnen Sie folgende Brüche:
5
8
7
,
12
,
11
L.:
18
7
12
<
11
18
<
5
8
4.5 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen
Es gelten dieselben Vorzeichenregeln wie bei den ganzen Zahlen.
Veranschaulichung durch Pfeile wie bei den ganzen Zahlen. Subtrahieren kann wieder als Addieren
der Gegenzahl aufgefasst werden.
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche:
(B3)
2
4
-
9
+
9
5
=
245
=
9
9
3
=
9
1
3
Zähler werden addiert bzw. subtrahiert, der Nenner bleibt unverändert.
Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche:
(B4)
1
2

2
3

3
5
= ?
Brüche vor dem Rechnen in gleichnamige Brüche verwandeln!
Die Erweiterungsfaktoren der Zähler erhält man durch Division des gemeinsamen Nenners (hier
30) durch die jeweiligen Nenner. [30 : 2 = 15; 30 : 3 = 10; 30 : 5 = 6]
1
2

2
3

3
5
=(
1.15
30

2.10
30

1
3
7
2
2
4
8
3
3.6
30
(B5) ( 1 )  (  )  (  )  ( 1 ) 

15
30

20
30

18
30
15  20  18
13

30
30
(Aus dieser Summe nicht herauskürzen!)
)=
Vorzeichenregeln wie bei den ganzen Zahlen.
-15-
Skript für Mathematik / Modul M1
3
= 
2

3

4
7

8
5
3

Gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche verwandeln,
- 3.12 - 3.6 + 7.3 - 5.8
(=
dann auf gemeinsamen Nenner bringen.
=)
24
- 36 - 18 + 21 - 40
=
=
24
- 73
=
24
2
2
3
10
(B6) 0,2 + (-3 ) =

1
(Bem.: 
24
3
2

3
2
, analog bei
1
1
 ( )  ( ) 
8
24
6
)
24
1
1
1
3
4
5
b)   (  )  (  ) 
7
2
9
3
(B8a) (+ ) + (-1,3) + (- ) + (-3,6) =
b) 3
5
- (-1
6
5
8
1
6
9
3
L.: a)
1
b) 
) – (+2
14
5
)=
a) -4
23
60
4
3
71
b) 2
90
21
(-2 )-(+1, 4 )-[(+ )-(-2 )] =
(B9)
 73
11 1 11 3  55
52
  

3 5 3
15
15
1
(B7a)
...  3
-7
17
21
1
2
4.6 Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen
Multiplikation: Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner
multipliziert.
3 2
6
. 
5 7 35
(Ba)
2
(Bc) 6 .
(Bd)
3
2
3
.1
(Bb)

6 2
. =4
1 3

3 11 11
.

2 9
6
2
9
4 15 3
.

5 16 4
(Zuerst kürzen, dann multiplizieren!)
Gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche verwandeln, dann kürzen, dann mult.
3
5
15
4
7
28
Es gelten dieselben Vorzeichenregeln wie bei ganzen Zahlen: (Be) (  ).(  )  
Bedeutung des Multiplizierens:
(Bf) 2 . 4
2 mal 4 nehmen (= das Doppelte von 4)
1
2
.4=2
1 1
.
2 4
2
6.
2
3
2
3
3
=
ein Halb mal 4 nehmen (= die Hälfte von 4)
1
ein Halb mal ¼ nehmen (= die Hälfte von ¼ )
8
6 mal
=4
2
.6=4
von
3
4
3
=
2
3
nehmen (= das Sechsfache von 2/3)
von 6 nehmen = 4
2 3 1
. 
3 4 2
Division: Man dividiert einen Bruch durch einen anderen Bruch, indem man den ersten mit dem
Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
Kehrwert: Zähler mit Nenner vertauschen
(ersten Bruch gleichlassen)
(Bg)
3
4
:
5
6

3 6
9
. 
4 5 10
(Zuerst Kehrwert bilden, dann kürzen (wenn möglich), dann
multiplizieren!)
-16-
Skript für Mathematik / Modul M1
3
(Bh) 6 : 5 
7
45 5 45 1 9
: 
. 
7 1
7 5 7
3
1
4
2
Auch beim Dividieren rationaler Zahlen gelten die üblichen Vorzeichenregeln: (Bi) (  ) : (  )  1,5
Bedeutung des Dividierens:
(Bj)
1
:
2
1
8

3
1 8
. 4
2 1
(Bk) 1 : 4 =
5
1
8
8 1
2
. 
5 4 5
ist in
3
8
5
5
1 =
1
2
4 mal enthalten
= teilen durch 4
Doppelbruch: (Hauptbruchstrich als Divisionzeichen auffassen.)
5
(Bl)
5 15 5 4
1
8
 :
 .

8 4
8 15 6
15
Doppelbruch als Division schreiben.
4
5
oder
6
5 4
1
8


8

15
6
15
Außengliedx Außenglied
6
(Bm)
Innengliedx Innenglied
3
4
5

1
.....  10
3
5
4.7 Die Menge Q der rationalen Zahlen
Die Menge Q enthält alle Zahlen, die als Bruch darstellbar sind. Die Menge der rationalen Zahlen ist
abgeschlossen bezüglich der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Das Ergebnis der
genannten Rechenoperationen ist wieder eine rationale Zahl). Die Division durch Null ist beim
Rechnen ausgeschlossen. Kommutativ-, Assoziativ- u. Distributivgesetze gelten analog zu den ganzen
Zahlen.
Bsp. Welche Zahl liegt genau zwischen
1
1
5 1
5
3
2
6 2
12
x =(  ) : 2  . 
5
12
1
3
1
und
Probe:
2
5
12
?

1
3
 ....
1
2

5
12
 ....
ist wieder eine rationale Zahl.
Nun kann man in derselben Art weiterfragen:
Welche Zahl liegt genau zwischen
1
3
und
5
12
?
Man erhält wieder eine rationale Zahl, usw.
Auf diese Art (durch fortgesetztes Mittelwert bilden) kann man zeigen: Zwischen
1
3
und
1
2
liegen unendlich viele rationale Zahlen.
Allgemein gilt: Zwischen zwei beliebigen (verschiedenen) rationalen Zahlen gibt es unendlich viele
rationale Zahlen. Man sagt auch: die Menge der rationalen Zahlen ist überall dicht.
4.8 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Q
Es gelten die gleichen Regeln wie in der Menge Z. (Vorrangregeln, Klammerregel, VZ-Regeln)
-17-
Skript für Mathematik / Modul M1
1
2
2
7
(B10) (3  4 ).(3
2
7 30
35 49  60
35
11
35 5
1
)  (  )  ( ) 
.( )   .( )   2
11
2 7
11
14
11
14
11 2
2
(Bruchstrich „hält wie Klammer zusammen“)
5 2
3 5 5 15 40  45 85
13
1 2
1 4

3
(B11) 2 .  ( 1 ) :  .  (  ).   
2 3
2 4 3 8
24
24
24
2 3
2 5
1
17
1
17 13
30
15
 3, 25

3




15  3
45
1
4
4 
4
4 
4
4
(B12)
 2 

 22

2 3
2 3 11
2 6  11
2 5
1
2 1
2
2
 
 .(  1,1)   (  )  
3 5 10
3 10
3 10
3
3 5
4
(B13) Vergleichen Sie die Ergebnisse
5
7
1
4
3
5
7
5
: ( ) 
3
6
a) [ .( )].(  ) 
b) 
5
1
3
.[( ).( )] 
7
4
5
3
5
2
5
c) 2 .( )  3 .( ) 
5
4
5
4
3
2
5
[2  3 ].( ) 
5
5
4
5
7
: ( ) 
6
3
1
1
1
1
d) (2 ) : (  )  (4 ) : (  ) 
5
2
2
2
1
1
1
[(2 )  (4 )] : (  ) 
5
2
2
1
3
2
2
4
9
(B14a) ( ) : ( )  3.( ) 
5
( 2 ).(3)
6

(B15a)
3
( 2)  ( 1 )
4
L.: a)

3
2
1
4
3
2
b) ( ).( )  ( ) 
1
2
( 8 ).(1 )
4
3
b)

1
5
( 7 )  ( 1 )
3
6
3
28
;
3
28
4
5
5
14
b) -2 ; c) 1; 1
2
2
5
5
d) -13 ; -13 ;
7
c) ( ) :
8
1
: (4) 
4 3
a) 4/3 b) 0 c) -5/4
3

a) -34 b) 2,5
Die Potenzschreibweise mit Brüchen
2
(B) ( )3 =
3
2 2 2
8
. . 
3 3 3 27
3
8
1
4
(B16a) ( ) 2  ( ) 2 
2
3
3
4
9
1
94
5



64 16
64
64
2
5
1
3
(B17) (  ) 3 .( ) 2  (  ) 2 .(3)  ….
4
3
4
3
(B18a) (  ) 2  (  ) 3 =
5
6
(b) (  ) 3 .( ) 2  
8 25
2
.

125 36
45
L.: 1/6
b) ( 
42
2 4
):( ) 
9
3
-18-
a) 4
4
27
b) –9
Skript für Mathematik / Modul M1
5._Die reellen Zahlen R
Quadratwurzeln
Die Zahl x ≥ 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x² = a ist.
Das Berechnen der Wurzel heißt Wurzelziehen.
x=
a
a…Radikand (lat. radix „Wurzel“), „x ist die Wurzel aus a“
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens.
Aus einer negativen Zahl z. B. -25 kann keine Wurzel gezogen werden, denn es gibt keine Zahl, deren
Quadrat ein negatives Vorzeichen hat. 5² = +25 und (-5)² = +25
z.B.:
 
400  20 , ( 5
81  9 ,
2
 5,
0,16  0,4 ,…
Rechnen mit Quadratwurzeln
Bei + oder – darf man nicht getrennt Wurzelziehen:
a b 
Bei einem Produkt oder einer Division ist es erlaubt:
ab 
z.B.:
36  49 
z.B.:
x4 
a 
b
a . b und
und
a b 
a

b
a 
a
b
36. 49  6  7  42
x² . x²  x  x  x²
Man kann auch teilweise Wurzelziehen:
z.B.:
500 
5  100 
5. 100  10  5
Es gibt Wurzeln, die nur näherungsweise berechnet werden können. Sie sind unendlich und nicht
periodisch. Das sind z.B.: 2 , 3 , 41 , …
Solche Zahlen nennt man irrational. Die Zahl π gehört ebenfalls dazu.
Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Sie lassen sich nicht in
Bruchform anschreiben. Prinzipiell können sie nur näherungsweise angegeben werden.
Grafisch ist die
2 darstellbar. Man zeichnet ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. Nach dem
Pythagoräischen Lehrsatz (a² + b² = c²) kann man sich die Diagonale d berechnen mit:
1² + 1² = d² → 2 = d² und d =
Satz:
2.
2 ist keine rationale Zahl.
Die irrationalen und rationalen Zahlen (Menge Q) ergeben zusammen die reellen Zahlen.
Die Menge R ist zusätzlich abgeschlossen bezüglich des Wurzelziehens aus positiven Zahlen.
Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt.
z.B.:
82 ist  R, aber  N,  Z und  Q
z.B.:
81 ist  R, und  N, Z und Q (da
81 = 9)
-19-
b
Skript für Mathematik / Modul M1
16
ist  R und  Q (da
25
z.B.:
16
4
 ), und  N, Z
25
5
196
ist  R und  Q und  Z (da 
4
z.B.: -
196
  49  7 ), aber  N
4
Teilmengen:
Die Zahlenmengen, beginnend mit der kleinsten, als Teilmengen angeschrieben, lautet:
NZQR
Die Teilmengen sind auch grafisch in einem VENN-Diagramm darstellbar.
Übungsaufgaben:
1.a)
2500 =
b)
u2v2 =
c) 5 25x 2 =
169
=
225
d)
e)
81
=
144
2. Welche Aufgabe ist richtig, welche wurde falsch gerechnet! Zeichne den Fehler an!
A
36  64 
100  10
B
36  64 
36 
64  6  8  14
3. Kreuze in jeder Zeile alle zutreffenden Aussagen an:
a)
N
Z
Q
R
0,03
-6
3000



□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□
□


□
□
□
□

□
□
□
□
N
Z
Q
R

□
□
□
□
0,16


□
□
□
□
□
□
□
□
16
4

□
□
□
□
81
25

□
□
□
□
.
1
3
-2
3 10
b)
2 2
1,5
4. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an:
3
8
4
.
4
3,27 10  Z
 Q
 N
2
3
□
□
□
5
 Q
5
□
.
-3
3 10  Z
□
Lösungen:
1.a) 50b) uv c) 25x d) 13/15 e) 9/12=3/4 2. A r B falsch. Unter der Wurzel ist eine Summe.
Das Wurzelzeichen wirkt hier wie eine Klammer. 3.a)0,03  Q,R; -6  Z,Q,R; 3000  N,Z,Q,R;
 13  Q,R; 3.10-2  Q,R.
b)  2 2  R; 1,5 = 1 95  Q,R; 0,16=
16
100

4
25
 Q,R;
4. x . x . .
-20-
16
4
= 4 = 2 N,Z,Q,R;
81
25
=
81
25

9
5
 Q,R;
Skript für Mathematik / Modul M1
6. Elementare Algebra - Gleichungen
6.1 Rechnen mit Termen
Variable: sind Buchstaben, die durch Zahlen ersetzt werden können (Platzhalter).
Terme: sind Rechenausdrücke, die man mit Hilfe von Zahlen und Variablen bilden kann.
z. B.: 2.(a + b), (2.y – 5.z)
Eingliedrige Terme: Ausdrücke wie 3.b, 6.x. Es kommen weder Summen noch Differenzen vor.
Addieren und Subtrahieren einfacher Terme:
(B) a + a = 2.a
Bezeichnungen:
2.a
Koeffizient Variable
Meist wird der Malpunkt zwischen Koeffizient und Variable weggelassen; man schreibt statt
2 . a kurz 2a, 3.x.y = 3xy, 2.(a + b) = 2(a + b)
Beim Term a . 2 darf der Malpunkt nicht weggelassen werden.
(B) a – b + 2a – b = 3a – 2b
Man darf nur Terme mit gleichen Variablen zusammenfassen.
a – b kann man als a + (-b) betrachten (Subtrahieren bedeutet Addieren der Gegenzahl).
In einer Summe kann man die Summanden beliebig vertauschen und zusammenfassen.
3a – 2b lässt sich nicht mehr weiter vereinfachen, da a und b verschiedene Variable sind.
Addieren und Subtrahieren zusammengesetzter Terme - Rechnen mit Klammern
Rechengesetz der Addition: Der Wert einer Summe ändert sich nicht, wenn man Summanden beliebig
zu Teilsummen zusammenfasst (Assoziativgesetz).
Also gilt: (a + b) + c = a + (b + c). Statt (a + b) + c schreiben wir kurz a + b + c
Analog gilt: (a + b) – c = a + (b – c) Statt (a + b) – c schreiben wir kurz a + b – c
Obige Ausdrücke kann man von links nach rechts lesen und erhält damit folgende
Zusammenfassung:
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer beim
Vereinfachen des Termes weggelassen werden.
(B) 5x + (2x + 4) = 5x + 2x + 4 = 7x + 4
Rechenregel bei der Subtraktion: Treten mehrere Subtrahenden auf, so kann man die Subtrahenden
zunächst addieren. Dann zieht man die erhaltene Summe vom Minuenden ab.
a – b – c = a – (b + c)
Bsp. dazu: 10 – 3 – 4 = 10 – (3 + 4)
Diese Rechenregel von rechts nach links gelesen und ein weiterer analoger Fall ergeben:
a – (b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – b + c
Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so müssen beim Auflösen
der Klammer die Vor- und Rechenzeichen innerhalb der Klammer
geändert werden.
(B) 5x – (2x + 4) = 5x – 2x – 4 = 3x – 4
5x – (2x – 4) = 5x – 2x + 4 = 3x + 4
Bem.: Zur Kontrolle (Probe) einer Termrechnung setzt man für die Variablen Zahlen ein.
letztes Bsp. oben: x = 3: 5 . 3 – (2 . 3 – 4) = ......
3 . 3 + 4 = .....
-21-
Skript für Mathematik / Modul M1
Multiplikation einfacher Terme
(B) 2 . (3 . a) = (2 . 3) . a = 6 . a
(kurz: 2 . 3 . a = 6a)
Zahlenbeispiel: a = 4
(Assoziativgesetz)
2 . (3 . 4) = 2 . 3 . 4 = 24
2 . 12 = 24 6 . 4 = 24
(B) 4 . a . 3 . b = 12 . a . b = 12ab
Wir können in einem Produkt die Faktoren beliebig vertauschen und zusammenfassen.
Variablen werden meist alphabetisch angeordnet.
Multiplikation von Summentermen (Klammertermen) mit eingliedrigen Termen
Es gelten folgende Verteilungsgesetze (Distributivgesetze der Mult. bzgl. der Add. bzw. Subtr.)
Jedes („Summen“) Glied innerhalb der Klammer wird mit dem
Faktor multipliziert.
(a + b) . c = a . c + b . c
(a – b) . c = a . c – b . c
Geometrische Veranschaulichung des ersten
Gesetzes mit Hilfe von Rechtecksflächen:
c
a
(Ba) (2x + 3y) . 4z = 8xz + 12yz
(Bb) a . (b + c – d) = ab + ac – ad
(Bc) 2x(4x2 – 8x3 + 1) = 8x3 – 16x4 + 2x
(Bd) (3a + 6c).
1
= 3a .
3
1
3
+ 6c .
1
A=a.c+b.c
od. A = (a+b).c
b
a+b
= a + 2c
3
(Be) 2(3 + 3a ) = 6 + 6a
6.2 Gleichungen
(B1) x + 4 = 6
x=6–4
x=2
|–4
(B1) x + 4 = 6
|–4
x+4–4=6–4
x=2
Umkehroperation: Die umgekehrte Rechenoperation zur Addition ist
Subtraktion
auf beiden Seiten 4 subtrahieren
(Waagemethode)
Waagemethode: Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl subtrahieren.
(Modell: Wegnahme gleicher Gewichte auf beiden Waagschalen ändert das
Gleichgewicht nicht.)
Durch die Subtraktion der gleichen Zahl auf beiden Seiten entsteht eine äquivalente (gleichwertige)
Gleichung. Die entsprechende Umformung heißt Äquivalenzumformung.
Ziel: Die Unbekannte (oben x) soll alleine auf einer Seite stehen.
Man kann die entsprechende Äquivalenzumformung auch als Umkehroperation („Hinüberbringen“)
deuten.
(B2) 5 – y = 2
5=2+y
5–2=y
3=y
y=3
|+y
|–2
Umkehroperation: Umkehrung zur Subtraktion ist die Addition
Waagemethode: Man darf auf beiden Seiten die gleiche Zahl (bzw.
Variable od. Term addieren.)
Probe: y = 3 in gegebene Gleichung einsetzen
5–3=2
2 = 2 w. A. (wahre Aussage)
-22-
Skript für Mathematik / Modul M1
(B2) 5 – y = 2 | – 5
-y = 2 – 5
-y = -3 | .(-1)
y=3
2 . Art
Multiplikation mit -1 ändert auf beiden Seiten das Vorzeichen.
(B3) 4 . x = 6 | : 4 Umkehrmethode
4.x=6 |:4
x=
6
4
4. x 6

4
4
x=
3
2
x=
Waagemethode
3
2
Umkehroperation: Was auf der einen Seite multipliziert wird, wird durch Dividieren auf die andere
Seite gebracht.
Waagemethode: Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung durch dieselbe Zahl (0) dividieren.
(Waagemodell: Gleiche Teilung der Gewichte auf beiden Waagschalen ändert das Gleichgewicht
nicht.)
(B4)
x
=7 |.3
3
x
=7 |.3
3
Umkehrmethode
x=7.3
x
.3=7.3
3
x = 21
x = 21
Waagemethode
Umkehroperation zur Division ist die Multiplikation
Waagemethode: Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl (0)
multiplizieren.
(B5) 2x – 3 = 15 | + 3
2x = 18
|:2
x=9
Wichtig ist die Reihenfolge der Umformungen.
Dazu muss man die Termstruktur der Gleichung erkennen.
Nebenstehende Gleichung hat die Termstruktur A – B = C
(Punktrechnung 2x „verbindet stärker“ als Strichrechnung – 3).
Deshalb muss man zuerst 3 „wegaddieren“.
Angenommen, Sie dividieren zuerst durch 2, dann wird das Beispiel wesentlich aufwändiger zu
rechnen, der Beginn ist hier angegeben:
2x – 3 = 15 | : 2
2 x  3 15

2
2
2 x 3 15
 
2
2
2
..................
1
(B6)
.x+3=7
2
1. Art:
1
.x+3=7 |–3
2
Termstruktur: A + B = C
2. Art:
1
.x=4 |.2
2
1
.x+3=7 |.2
2
(
x=8
1
. x + 3) . 2 = 7 . 2
2
x+3.2=7.2
x + 6 = 14 | – 6
x =8
Bei der 2. Art ist darauf zu achten, dass auch das Summenglied 3 auf der linken Seite mit 2 zu
multiplizieren ist, nicht nur die Zahl 7 auf der „anderen“ Seite (Waagemethode!). Ich habe das in der
zweiten Zeile ausführlich angeschrieben. Man vergleiche dazu auch die 2. Version des Beispiels (B5).
Die Begründung liegt im Verteilungsgesetz (Distributivgesetz).
-23-
Skript für Mathematik / Modul M1
(B7)
2z  1
=6 |.2
2
Reihenfolge: Termstruktur:
2z+1 = 12 | – 1
2z = 11 | : 2
A
=C
B
Bruchstrich verbindet wie Klammer;
deshalb: zuerst mit 2 multiplizieren.
11
z= 2
Ein Fehler wäre es, zuerst 1 zu subtrahieren. Schreiben wir diesen Umformungsschritt einmal
ausführlich mit der Waagemethode an, so erhalten wir:
2z  1
=6 |–1
2
2z  1
–1=6–1
2
Dabei ist zu erkennen, dass 1 auf der linken Seite nicht, wie gewünscht, wegfällt.
Ich möchte darauf hinweisen, dass das ausführliche Anschreiben der Waagemethode oft über
unsichere Situationen hinweghilft, während beim kurzen Anschreiben der Umkehroperation öfters
Fehler auftreten.
(B8) 8y – 7 = 3y – 3 | –3y + 7
8y – 3y = -3 + 7
5y = 4 |:5
y alleine auf eine Seite „zusammenbringen“
- durch Additionen bzw. Subtraktionen
(Variablen auf einer Seite, Zahlen auf der anderen)
y= 4
5
x  9 7 x  18
(B9)

2
5
|.2
|.5
(x + 9) . 5 = (7x + 18) . 2
5x + 45 = 14x + 36 | –5x – 36
45 – 36 = 14x – 5x
9 = 9x |:9
x=1
x
x7
=3–
2
3
6  3x 18  ( x  7).2

6
6
(B10) 1 –
6 – 3x = 18 – 2x – 14
-3x + 2x = 4 – 6
-x = -2 | . (-1)
x=2
„kreuzweise multiplizieren“
(wenn „durchgehende Bruchstriche“ links u. rechts)
Links u. rechts auf gemeinsamen Nenner bringen.
|.6
Wichtig: Beim Term (x+7) Klammer verwenden.
| + 2x – 6
denn: – vor Bruch (dieser verbindet wie Klammer)
Dann: Gemeinsamen Nenner weglassen
Probe: 2 in die gegebene Gleichung einsetzen: 1 –
nicht umformen
2
9
=3–
2
3
 1 – 1 = 3 – 3  0 = 0 w.A.
(B11) 2(a –2) = -4a – 2[(a – 1) + 2a]
3a – 1
2a – 4 = -4a – 6a + 2
2a – 4 = -10a + 2 | +10a + 4
12a = 6
a = 1/2
Links bzw. rechts zusammenfassen.
(B12) 1 – [2z + 3(4z – 7)] = 36
1 – [2z + 12z – 21] = 36
14z - 21
-24-
Skript für Mathematik / Modul M1
1 – 14z + 21 = 36
-14z + 22 = 36 | – 22
-14z = 14 | : (- 14)
z = -1
(B13)
[ oder | : (14) u. anschließend | . (-1) ]
2 x x 1
1

 5.(  x )
4
3
2
5
  5x
2
( 2  x) . 3  ( x  1) . 4 30  60 x

12
12
Zuerst rechts ausmultiplizieren.
| . 12
6 – 3x – 4x – 4 = 30 – 60x
2 – 7x = 30 – 60x | – 2 + 60x
53x = 28 | : 53
x=
28
53
2x  1
1 3x  5
 
3
8
6
 ( 2 x  1) . 8  3  (3 x  5) . 4

24
24
(B14) 
| . 24
-16x – 8 = -3 – 12x + 20
-16x – 8 = 17 – 12x | + 12x + 8
-4x = 25
| : (-4)
x=-
25
= -6,25
4
Gleichungen mit keiner Lösung, bzw. mit mehr als einer Lösung
(B15a) 5m – (3 + 2m) = m – (4 – 2m)
5m – 3 – 2m = m – 4 + 2m
3m – 3 = 3m – 4
| – 3m
-3 = -4 f.A. (falsche Aussage)
Keine Zahl m erfüllt die gegebene Gleichung. Man schreibt: L = { }
(Die Lösungsmenge ist die leere Menge - Menge, die kein Element enthält.)
(B15b) (2 – 4x) . 5 + 6x = (5 – 7x) . 2
10 – 20x + 6x = 10 – 14x
10 – 14x = 10 – 14x | + 14x
10 = 10 w.A.
Jede Zahl x erfüllt die gegebene Gleichung.
Man schreibt auch: L = Q
(Die Lösungsmenge ist die gegebene Grundmenge. Wir verwenden als Grundmenge die
Menge Q der rationalen Zahlen.)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen! Führen Sie dabei gelegentlich eine Probe durch!
5a
(B16a) 6 – 3 = 7
c) 7 . y + 9 = 3 – 5 . y
b)
5
(3z – 2) = 2(z + 3)
L.: a) a = 12
b) z = 2
2
d) (y – 1) . 1,5 = 6
(B17a) 3 – [8 – (1 – y)] = 60 – 3y
b) 2[4z – 2(3 – 2z)] = 156
(B18) 17 – 3 . (-2x – 1) = 1 – 2 . (x+5)
c) y = -1/2 d) y = 5
a) y = 32
x= 
b) 10,5
29
8
-25-
= -3,625
Skript für Mathematik / Modul M1
(B19) x – 3.(x – 3) = x + 6 – 4.(x + 1)
(B20a) z – 3 = 3z – 2(z + 1)
(B21a)
(B23a)
b) (3u – 2) . 5 = (5u-1) . 3 – 7
6a  4 3a  8

3
4
(B22a) 2 x 
x = -7
b)
y2
+y=2-
y2
2
18 x  1
5 3  2x
1 
10
6
3
8
a) a =
3
b) 2 x  1 
2x  3 4x  9
9


15
20
40
a) L = { } b) L = Q
3
5
b) 4 
b) y = 2
3
3x  4 x  2

3
3
a) x = -2
b) x =
1
2
8  4x
3  5x
 1,25 
16
10
a) x =
3
b) x = 
8
21
5
6.3 Beschreibung von Sachverhalten durch Terme und Formeln
(B1) Ein rechteckiger Park besteht aus einer rechteckigen Rasenfläche
und einem herumführenden Spazierweg. Drücken Sie Umfang und
Inhalt der Rasenfläche durch einen Term in den gegebenen
Variablen aus!
(B2) Eine Ware kostete früher p Euro. Jetzt ist sie um ein Viertel billiger.
Drücken Sie den jetzigen Preis durch einen Term aus!
(B3) In einer Klasse sind k Knaben und m Mädchen. Was bedeutet folgende Formel:
a) m = k
b) m = k – 1
c) m = 2 . k
d) k = m : 3 (Was muss für m gelten?)
(B4) Peter hat p Kugeln, Anna hat a Kugeln. Deuten Sie folgende Gleichungen:
a) p = a + 12
b) a = p/5
c) a = 2 . p – 1
d) 2 . p = 3 . a
(B5) Toni hat h Hefte und b Bücher. Stellen Sie folgenden Sachverhalt durch eine Gleichung dar:
a) Er hat um 2 Hefte mehr als Bücher.
b) Er hat doppelt so viele Hefte wie Bücher.
c) Er hat um 6 Bücher weniger als Hefte.
d) Die Anzahl der Bücher beträgt 2/3 der Anzahl der Hefte.
(B6) Ein Rechteck hat die Länge a und die Breite b. Stellen Sie folgenden Sachverhalt durch eine
Formel dar:
a) Die Länge ist größer als die doppelte Breite.
b) Die Länge ist um 5 kleiner als die 4fache Breite.
(B7) Für ein Arbeitsvorhaben werden a Facharbeiter und b Hilfsarbeiter benötigt. Jeder Facharbeiter
bekommt einen Lohn von x Euro, jeder Hilfsarbeiter einen solchen von y Euro.
Was bedeuten die Ausdrücke:
a) x – y
b) a . x + b . y
c)
a.x  b. y
, wenn das Vorhaben in t Stunden beendet ist.
t
(B8) Bei einer Sonntagsfahrt verbraucht ein Reisebus a Liter pro Autobahnkilometer und b Liter pro
Kilometer Bergstrecke. Ein Liter Diesel kostet p Euro. Es werden x Kilometer auf der
Autobahn und y Kilometer auf Bergstraßen zurückgelegt.
Was bedeuten die folgenden Ausdrücke:
a) a . x + b . y
b) p . (a . x + b . y)
c)
a.x  b. y
x y
-26-
d) p .
a.x  b. y
x y
Skript für Mathematik / Modul M1
(B9) Eine Wandergruppe besteht aus k Kindern und e Erwachsenen.
Was bedeuten folgende Formeln:
a) k + e = 17
b) e = k – 6
c) 2 . k = e
d) k = 2 . e – 7
(B10) A-Dorf hat a Einwohner, B-Dorf b Einwohner. Was bedeuten die Formeln:
a) a < b
b) b = 3 . a
c) a =
b
+3
d) b =
2
3
.a
4
(B11) In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Stellen Sie folgenden Sachverhalt durch eine
Gleichung dar:
a) Es gibt 12mal so viele Schüler wie Lehrer.
b) Die Anzahl der Schüler ist um 350 größer als jene der Lehrer.
c) Die Anzahl der Lehrer ist um 9 kleiner als der zehnte Teil der Schüler.
(B12) In einer Schachtel liegen b blaue, s schwarze und w weiße Kugeln.
Schreiben Sie mit Hilfe einer Gleichung an:
a) Die Anzahl der schwarzen und weißen Kugeln ergibt die der blauen Kugeln.
b) Die Anzahl der weißen Kugeln ist vier Mal so groß wie jene der blauen und schwarzen
zusammen.
(B13) Annis Schulweg hat eine Länge von a Metern, jener von Georg eine Länge von g Metern.
Was bedeutet die Formel 4 . a = 3 . g ?
Wer hat den längeren Schulweg. Machen Sie ein Streckenbild!
(B14) Auf einem Lager sind n kg einer Ware vorrätig; a kg werden um p Euro verkauft.
Was bedeuten die Ausdrücke a) p/a b) p/a . n ?
(B15) In einem Schwimmbecken befinden sich V Liter Wasser. Pro Minute fließen m Liter ab.
a) Geben Sie eine Formel für das vorhandene Wasservolumen W nach t Minuten an !
b) Wann ist das Becken leer?
(B16) Auf einem LKW sind n Säcke Zement zu je k kg geladen.
a) Wie groß ist das „Gesamtgewicht“ g des LKW, wenn dieser ein „Eigengewicht“ von e
Kilogramm besitzt?
b) Wie viel könnte noch zugeladen werden, wenn das zulässige „Höchstgewicht“ von h
Kilogramm noch nicht erreicht ist?
(B17) Der Benzinverbrauch eines Autos beträgt bei annähernd gleicher Geschwindigkeit V Liter/km.
Der Tank fasst insgesamt L Liter.
a) Welche Benzinmenge B befindet sich nach einer Fahrt von k Kilometern im anfänglich
vollen Tank?
b) Da nur mehr B Liter im Tank sind, wird das Auto voll aufgetankt. Leiten Sie jetzt eine
Formel für den Benzinverbrauch pro km aus a) ab !
Lösg.: B4a) Peter hat um 12 Kugeln mehr als Anna b) Anna hat ein Fünftel der Kugeln von Peter c) Anna hat um eine
Kugel weniger als doppelt so viel wie Peter d) Die doppelte Anzahl der Kugeln von Peter ist gleich der
dreifachen Anzahl der Kugeln von Anna
B9a) Wandergruppe besteht insgesamt aus 17 Personen b) Es sind um 6 Erwachsene weniger als Kinder c) Es sind
doppelt so viele Erwachsene wie Kinder d) Die Kinderzahl ist um 7 kleiner als die doppelte Erwachsenenzahl
B10a) A-Dorf hat weniger Einwohner als B-Dorf b) B-Dorf hat 3mal so viele Einwohner als A-Dorf c) A-Dorf hat
um 3 Einwohner mehr als die halbe Einwohnerzahlt von B-Dorf d) B-Dorf hat drei Viertel der Einwohner von
A-Dorf
B12a) s + w = b b) w = 4 . (b + s)
B14a) Preis pro kg b) Gesamtpreis der im Lager vorrätigen Ware
B15a) W = V – m . t b) t = V/m
-27-
Skript für Mathematik / Modul M1
6.4 Potenzen mit natürlichen Exponenten
Def.: Potenz an = a.a. ...... .a
n mal
a1 = a
aR, nN
(Produkt gleicher Faktoren)
Exponent, Hochzahl
an
Basis
Add. u. Subtr.: 8a2 – 2b2 – (5a2 + b2 – a3) = .…………………………………….. = a3+3a2-3b2
Nur gleiche Potenzen (Basis u. Hochzahl gleich) darf man addieren u. subtrahieren.
Mult. u. Div.: a3 . a4 = a7
a5 : a 3 = a 2
an . am = an+m
an : am = an-m
n>m, a0
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Exponenten
addiert (subtrahiert).
Bew. der ersten Aussage: an . am = (a.a. ... .a)  (a.a. ... .a) = a.a. ...... .a = an+m
n Faktoren
m Faktoren
(n+m) Faktoren
Potenzieren eines Produktes (Quotienten):
(a . b)n = an . bn
Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert.
n
a n a
( )  n
b
b
Ein Quotient wird potenziert, indem man Zähler und Nenner getrennt
potenziert.
Liest man die letzten beiden Regeln in der umgekehrten Reihenfolge, so erkennt man, dass man
Potenzen mit gleichem Exponenten (beim Mult. u. Div.) unter einem Exponenten zusammenfassen
kann.
(a.b)n = (a.b).(a.b). ... .(ab) = a.a. ... .a . b.b. ... .b = an.bn
Bew. der ersten Regel:
n Faktoren
2
b) ( 
2
(B1a) (-8y) = 64y
3a
b
3
) 
27a
b
n Faktoren
3
c)
3
10
5
3
3
(
n Faktoren
10
5
3
3
) 2 8
Potenzieren von Potenzen.
(a2)3 = a2.a2.a2 = a6
(an)m = an.m
(B2a) [-a2]3 = -a6
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten
multipliziert.
b) (32)3 = 36 = 729 [2. Art der Berechnung: = 93 = 729]
4a 2 b 2
a 2 a2
)

(
)  4
12ab 3
3b 2
9b
(B3a) (
b) (
 5 xy 3 2
)  ...................
a 2b
Übg.: Vereinfachen Sie:
(B4a) a3 . a = ..........
(B5)
(B6a)
b)
b5 . b3 = ..............
3a4 – 2a2 + a – (a4 – 2a2) . 3 =
6a 4 y 5
 3a 3 y 2
b)
L.: 4a2 + a
 27 x 5 y 4 z
3x 2 y 4 z 5
L.: a) –2ay3
-28-
b)
 9x3
z4
Skript für Mathematik / Modul M1
7. Geometrische Grundkenntnisse
7.1 Grundbegriffe
LINIEN:
Strecke
Strahl
Gerade
Strahl, Gerade:
unbegrenzt
 immer nur
Ausschnitte zeichnen
B
A
A
2 Endpunkte
Strecke AB, Länge AB
A ... Anfangspunkt
Parallele Geraden (g || h)
h
keine Endpunkte
Orthogonale Geraden (n  g)
(Senkrechte bzw. normale Geraden)
n
g
g
Normalabstand d:
h
P
d
d
g
d
g
Streckensymmetrale: Die Streckensymmetrale sAB ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von zwei
festen Punkten A, B gleich weit entfernt sind.  sAB = {Punkte X | XA=XB}
Konstruktion:
(1) Um A und B Kreisbogen vom selben Radius r zeichnen.
(2) Verbinden Sie die beiden Schnittpunkte!
sAB
A
B
-29-
Skript für Mathematik / Modul M1
Winkelsymmetrale: Jene Punkte der Ebene, die von zwei einander schneidenden Geraden g und h gleich
weit entfernt sind (gleicher Normalabstand), liegen auf den Winkelsymmetralen
w1 und w2  w1  w2 = {Punkte X | Xg=Xh}
h
Konstruktion:
(1) beliebiger Kreisbogen um S
w1
(2) Um die beiden Schnittpunkte A und B Kreisbögen vom
w2
selben Radius r zeichnen.
(3) w1 verläuft durch den Schnittpunkt dieser beiden
Kreisbögen.
S
w
g
2 analog.
Die beiden Winkelsymmetralen w1 und w2 schneiden einander im rechten Winkel.
KREIS:
Kreislinie k:
k
X
r
Kreisfläche K:
M
Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt
genau den Abstand r haben.
k = {Punkte X | XM=r}
Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt
höchstens den Abstand r haben.
K = {Punkte X | XMr}
Bsp.: Zeichnen Sie einen beliebigen Kreis k.
Ziehen Sie eine Sehne und benennen Sie ihre Endpunkte mit A und B.
Begründen Sie, warum die Streckensymmetrale sAB durch den Mittelpunkt M des Kreises
verläuft!
sAB
M ist von allen Kreispunkten gleich weit entfernt.
M ist daher insbesondere auch von den Kreispunkten A und B
gleichweit (= r) entfernt.
 M liegt auf der Streckensymmetrale sAB, da diese alle Punkte
enthält, die von A und B gleich weit entfernt sind.
A
r
B
r
M
Kreistangente:
t
Normale auf Tangente im Berührungspunkt T geht ebenfalls
durch M.
anders ausgedrückt:
Die Kreistangente steht senkrecht auf den Berührradius.
T
M
-30-
Skript für Mathematik / Modul M1
WINKEL:
Winkelmaße: 1° = 1/360 eines Vollkreises.
Voller Winkel: 360°
Es gilt: 1°=60’ (1 Grad = 60 Minuten)
Man unterscheidet folgende Winkelarten:


Spitzer Winkel
(0<<90°)
Rechter Winkel
( = 90°)

Stumpfer Winkel
(90° <  < 180°)
Gestreckter Winkel
( = 180°)
Komplementärwinkel: Zwei Winkel, die einander auf 90° ergänzen, heißen komplementäre Winkel.
Supplementärwinkel: Zwei Winkel, die einander auf 180° ergänzen, heißen supplementäre Winkel.
+ = 90°
+ = 180°
 
 
Parallelwinkel: Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, heißen Parallelwinkel.
Parallelwinkel sind gleich groß oder supplementär.
(
180-


180-
)
180-


180-
Z- Regel
Normalwinkel: Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen, heißen Normalwinkel.
Normalwinkel sind gleich groß oder supplementär.

-31-
Skript für Mathematik / Modul M1
KOORDINATENSYSTEM:
Im Koordinatensystem kann jedem Punkt in der Zeichenebene genau ein Zahlenpaar zugeordnet werden.
Es setzt sich aus 2 Koordinatenachsen (waagrechte x-Achse, senkrechte y-Achse) zusammen, welche im rechten
Winkel zueinander stehen!
y-Achse
5
x-Koordinate
y-Koordinate
4
B(-2/3)
3
A(3/2)
2
1
0
-5
-4
-3
-2
x-Achse
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
C(-4/-2)
-3
-4
D(0/-4)
-5
Durch die Koordinatenachsen wird die Zeichenebene in 4 QUADRANTEN (= "Viertel") unterteilt.
y+
2. Quadrant
(-/+)
1. Quadrant
(+/+)
-
x
x+
0
3. Quadrant
(-/-)
4. Quadrant
(+/-)
y
-
-32-
Skript für Mathematik / Modul M1
7.2 Das Dreieck
GRUNDLAGEN:
C

Eckpunkte A, B, C
Seiten a, b, c (sie liegen den jeweils namensgleichen Eckpunkten
gegenüber)
a
b
Winkel  (alpha),  (beta),  (gamma).


A
B
c
C
  


A
Beweis (Skizze nebenan):
Ziehe durch C eine Parallele zur Seite c.
Die Parallele schließt mit den Seiten a und b Winkel ein, welche
gleichgroße Parallelwinkel von  und  sind.
Die im Eckpunkt C anliegenden 3 Winkel ergeben 180°.
a
b
c
In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme 180°.
 +  +  = 180°
B
DIE KONGRUENZSÄTZE:
Was heißt kongruent?
Zwei Dreiecke heißen kongruent zueinander, wenn sie deckungsgleich sind, d.h. völlig identisch sind.
2 Dreiecke sind kongruent, wenn sie
(1) in 3 Seiten übereinstimmen (SSS-Satz),
(2) in 1 Seite und 2 Winkeln übereinstimmen (SWW-Satz),
(3) in 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS-Satz),
(4) in 2 Seiten und jenem Winkel, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (SsW-Satz).
In der praktischen Bedeutung besagen jene Sätze, dass die Angabe von 3 (entsprechenden) Größen ein Dreieck
bereits eindeutig festlegen!
(1) SSS-Satz:
Fig. 192c (verkleinert)
a) Fertige eine Skizze an. Markiere die gegebenen Bestimmungsstück z.B. mit Farbstift! (Fig. 192a)
b) Beginne mit der Seite c = AB!
Ziehe um A einen Kreisbogen mit dem Radius b und um B einen mit Radius a.
Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist der Eckpunkt C. (Fig. 192 b)
-33-
Skript für Mathematik / Modul M1
Bemerkung:
Wenn drei Seiten gegeben sind, muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein.
a<b+c
b<a+c
Die Summe von 2 Seiten ist immer größer als die dritte Seite
c<a+b
!
Wäre dies nicht der Fall, dann kann kein Dreieck konstruiert werden!
Angenommen die Seite c wäre länger als a + b, dann könnten sich die Seiten a und b nie in einem
Eckpunkt C "treffen".
b
a
A
B
c
(2) SWW-Satz:
a) Skizze!
b) Beginne deine Zeichnung mit der gegebenen Seite (hier Seite c).
Zeichne dann die Winkel  und .
Der Schnittpunkt der gezeichneten Winkelschenkel ist der fehlende Eckpunkt (hier C).
(3) SWS-Satz:
a) Skizze!
b) Beginne (wenn möglich) mit der Seite c.
Zeichne den gegebenen Winkel . Der gezeichnete Winkelschenkel hat die Länge b.
Man erhält den Eckpunkt C.
-34-
Skript für Mathematik / Modul M1
(4) SsW-Satz:
a) Skizze!
b) Beginne mit der Seite c.
Zeichne den Winkel .
Ziehe um B den Kreisbogen mit Radius a. Man erhält den Eckpunkt C.
Im obigen Beispiel liegt der gegebene Winkel  der längeren Seite gegenüber, weil die Seite a länger
als die Seite c ist.
Die Konstruktion lieferte genau ein Dreieck!
Vertauschen wir nun die Längen der Seiten a und c, so liegt der Winkel  nun der
kürzeren Seite gegenüber.
Versuchen wir nun die Konstruktion, so werden wir zwei verschiedene Dreiecke
erhalten, welche die Angabe erfüllen (ABC und ABC1)
Beachte!
Ist ein Dreieck durch zwei Seitenlängen und durch jenen Winkel gegeben, welcher der längeren Seite
gegenüberliegt, dann ist es eindeutig konstruierbar.
Ansonsten können zwei Dreiecke oder es kann kein Dreieck konstruiert werden!
-35-
Skript für Mathematik / Modul M1
BESONDERE EIGENSCHAFTEN DES DREIECKS:
Höhen und Höhenschnittpunkt:
Unter einer Höhe versteht man den Normalabstand eines Eckpunktes zur gegenüberliegenden Seite.
Jedes Dreieck besitzt 3 Höhen: ha, hb und hc.
Konstruktion: Normale auf eine Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt!
In spitzwinkeligen Dreiecken schneiden einander die 3 Höhen in einem Punkt, dem sog.
Höhenschnittpunkt H.
In stumpfwinkeligen Dreiecken schneidet die Normale durch den Punkt C auf die
Dreiecksseite c nicht die Seite c selbst, sondern ihre Verlängerung.
Die Höhe hc liegt hier außerhalb des Dreiecks.
In stumpfwinkeligen Dreiecken müssen die Höhen verlängert werden, um den
Höhenschnittpunkt H zu erhalten. Er liegt außerhalb des Dreiecks.
Schwerlinien und Schwerpunkt:
Eine Schwerlinie verbindet den Mittelpunkt einer Seite mit dem
gegenüberliegenden Eckpunkt.
Jedes Dreieck besitzt 3 Schwerlinien: sA, sB und sC.
Jede der drei Schwerlinien halbiert die Dreiecksfläche in zwei flächeninhaltsgleiche
Hälften.
In jedem Dreieck schneiden einander die Schwerlinien in genau einem Punkt, dem
Schwerpunkt S.
Der Schwerpunkt teilt die Schwerlinien im Verhältnis 1 : 2.
-36-
Skript für Mathematik / Modul M1
Seitensymmetralen und Umkreismittelpunkt:
Ein Problem aus der Praxis:
Eine Supermarktkette will eine Filiale in der Nähe der drei Orte A, B und C errichten.
Diese Filiale soll von allen drei Orten gleichweit entfernt sein.
Gibt es überhaupt so einen Platz? Oder gibt es mehrere solcher Plätze?
C
A
Modellhaft können wir die drei Orte als Eckpunkte eines Dreiecks sehen.
Was wir suchen ist jener Punkt, der von den Eckpunkten A, B und C dieses Dreiecks gleichweit entfernt ist.
Sie wissen bereits, dass alle Punkte, die von A und B gleichweit entfernt sind, auf
der Streckensymmetrale sAB liegen (siehe S. 31).
Die Streckensymmetrale wird in diesem Fall auch Seitensymmetrale genannt, da
hier die Strecke AB die Seite eines Dreiecks darstellt.
Genauso liegen all jene Punkte, die von A und C gleichweit entfernt sind, auf der
Seitensymmetrale sAC.
Schneidet man nun die beiden Seitensymmetralen sAB und sAC, dann erhält man als
Schnittpunkt jenen Punkt, welcher gleichweit von A, B und C entfernt ist.
Zeichnet man noch die dritte Seitensymmetrale sBC ein, so zeigt sich, dass jener
Punkt auch darauf liegt. Begründe selbst!
Der erhaltenen Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines Kreises, der durch alle drei
Eckpunkte verläuft. Er wird Umkreis genannt.
Zusammenfassung:
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis.
Der Umkreismittelpunkt U ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen des Dreiecks.
Der Abstand von U zu den Eckpunkten des Dreiecks heißt Umkreisradius r.
-37-
B
Skript für Mathematik / Modul M1
Winkelsymmetralen und Inkreismittelpunkt:
Gesucht ist ein Kreis, der so innerhalb eines Dreiecks liegt, dass er alle drei Seiten berührt.
Wir nennen ihn INKREIS des Dreiecks ABC.
Wir wollen ihn konstruktiv ermitteln.
Für den Mittelpunkt dieses Inkreises muss gelten, dass er gleichweit von den 3 Seiten entfernt ist.
Sie wissen bereits, dass alle Punkte, die von den Seiten b und c denselben
Abstand haben, auf der Winkelsymmetrale w liegen.
Genauso liegen all jene Punkte, die von den Seiten a und c denselben
Abstand haben, auf der Winkelsymmetrale w.
Schneidet man nun die zwei Winkelsymmetralen w und w, so ist ihr
Schnittpunkt gleichweit von den Seiten a, b und c entfernt.
Zeichnet man noch die dritte Winkelsymmetrale w ein, so zeigt
sich, dass jener Punkt auch darauf liegt. Begründe selbst!
Zusammenfassung:
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis.
Der Inkreismittelpunkt I ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen des Dreiecks.
Der Normalabstand von I zu den Seiten des Dreiecks heißt Inkreisradius  (="rho").
Die Euler'sche Gerade:
Man nennt Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt S, Umkreismittelpunkt U und Inkreismittelpunkt I die vier
"merkwürdigen Punkte" eines Dreiecks.
In spitzwinkeligen Dreiecken liegen sie immer innerhalb der Dreicksfläche!
In stumpfwinkeligen Dreiecken hingegen liegen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt außerhalb der
Dreiecksfläche.
Für drei dieser merkwürdigen Punkte gilt eine interessante Besonderheit!
H, S und U liegen stets auf einer gemeinsamen Geraden g, der sog. Euler'schen Geraden (benannt nach dem
Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783)).
B1) Dreieck: a = 62 mm, b = 80 mm, c = 55 mm.
Ist das Dreieck eindeutig konstruierbar?
Dreiecksungleichung:
62 < 80+55 w.A.
80 < 62+55 w.A.
55 < 62+80 w.A.
Konstruieren Sie den Inkreismittelpunkt!
Wie groß ist der Inkreisradius?
 = 17 mm
B2) Dreieck: b = 55 mm, c = 35 mm,  = 130°.
Konstruieren Sie das Dreieck mit H, S und U!
Wie groß ist der Umkreisradius?
Zeichnen Sie die Euler'sche Gerade ein!
r = 53,5 mm
-38-
Skript für Mathematik / Modul M1
B3) Dreieck: b = 56 mm, c = 80 mm,  = 102°.
Ist das Dreieck eindeutig konstruierbar?
Ja, weil c>b, d.h.  liegt der längeren Seite
gegenüber!
Konstruieren Sie H und S !
B4) Dreieck: A(-2/-1,5), B(4,5/-0,5), C(-1,5/3,5).
Konstruieren Sie U und zeichnen Sie den Umkreis!
Koordinaten von U?
r=?
U(0,95/0,7)
r = 37,5 mm
SPEZIELLE DREIECKE
Gleichschenkeliges Dreieck (b=a)
Gleichseitiges Dreieck
60°
/2 /2
b=a
Schenkel
a
h

a
a
60°
=
60°
a
Basis c
Rechtwinkeliges Dreieck ( = 90°)
C
90°
Kathete b
Kathete a


A
+ = 90°
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber!
Die Katheten schließen den rechten Winkel ein!
B
Hypotenuse c
Satz von THALES: Der Winkel im Halbkreis ist immer ein rechter Winkel!
C
C
90°
A

In jedem rechtwinkeligen Dreieck liegt der Eckpunkt
C auf dem Halbkreis, welcher über der Hypotenuse c
errichtet wird (r = c/2)
90°
M

B
Hypotenuse c
-39-
Skript für Mathematik / Modul M1
8. Längen und Flächeninhaltsberechnungen
8.1 Eigenschaften von Vierecken
Parallelogramm
Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.
Die Parallelseiten sind gleich lang.
Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Zwei Winkel, die einer Seite anliegen, sind supplementär ( = 180-).
Die Diagonalen e, f des Parallelogramms halbieren einander.
D
C
a


M
b
e
 
B

a
A
Rhombus (Raute)
Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
Die Diagonalen eines Rhombus halbieren einander und stehen
normal aufeinander.
Die Diagonalen sind Winkelsymmetralen.
b
f
a
D
C
f
M
a
a
e
/2
/2
/2
/2
a
A
B
Trapez
D
 
Viereck mit zwei parallelen Seiten (a || c).
Die Winkel an einem Schenkel sind supplementär
( = 180 - ;  = 180 - )
Gleichschenkeliges Trapez (b = d)
c
C
 
b
d


A
a
Deltoid (Drachenviereck)
Besteht aus zwei gleichschenkeligen Dreiecken mit gemeinsamer Basis
( besitzt zwei Paar gleichlanger Seiten).
Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
Diagonale e: Symmetriediagonale
Winkel:  = 
A
B
a /2 /2 a
f

 D
e
b
/2 /2
C
8.2 Flächenformeln
RECHTECK
D
QUADRAT
C
D
C
b
a
d
A
a
A = a . b
d
B
A
Diagonalen im Quadrat
stehen aufeinander
normal !
-40-
a
B
A = a . a = a²
A =
d . d
d²
= 2
2
b
B
Skript für Mathematik / Modul M1
DREIECK
RECHTWINKELIGES DREIECK
C
C
b
b
hc
A
a
a
A
c
B
c
B
Unter der Höhe hc versteht man den Normalabstand des Eckpunktes C von der
gegenüberliegenden Seite c !
A =
c . hc
2
=
a . ha
2
=
b . hb
2
c . hc
2
a . b
A =
2
A =
Flächeninhalt des Dreiecks =
halber Flächeninhalt des Rechtecks.
Die Katheten a und b
stehen aufeinander
normal !
PARALLELOGRAMM
D
C
RHOMBUS / RAUTE
RHOMBUS/RAUTE D
ha
C
f
b
a
e
A
B
a
h
a
A
A = a . ha = b . h b
A = a . h
Die Höhen ha und hb sind
die Normalabstände der
zueinander parallelen
Seiten.
A =
e . f
2
Deltoid
(Deltoid)
TRAPEZ
c
Parallelogramm
Die Diagonalen e und f
stehen aufeinander
normal !
Flächeninhalt des Parallelogramms =
Flächeninhalt des Rechtecks
D
B
DELTOID
C
A
a
B
h
D
f
e
A
a
B
c
C
A =
(a + c) . h
2
A =
Die Trapezhöhe h ist der
Abstand der
Parallelseiten a und c!
e . f
2
Die Diagonalen e und f
stehen aufeinander
normal !
Flächeninhalt des Trapezes = halber
Flächeninhalt des Parallelogramms
Flächeninhalt des Deltoids =
halber Flächeninhalt des Rechtecks
-41-
Skript für Mathematik / Modul M1
B1) Um wie viel % ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit a = 7,5 cm und ha = 6,2 cm kleiner als
der Flächeninhalt des Rechtecks mit a = 8,4 cm und b = 13 cm?
Parallelogramm: A = a . ha = 7,5 . 6,2 = 46,5 cm2
Rechteck:
A = a . b = 8,4 . 13 = 109,2 cm2
109,2 cm2 ........ 100%
46,5 cm2 ..……….......?

1,092 cm2 ......... 1%
46,5 : 1,092 = 42,58 %
Flächeninhalt des Parallelogramms macht ca. 42,58 % vom Flächeninhalt des Rechtecks aus.
Antwort: Das Parallelogramm ist um 57,42% kleiner als das Rechteck.
B2) Parallelogramme mit derselben Seitenlänge a und derselben
dazugehörigen Höhe ha haben den gleichen Flächeninhalt: A = a . ha.
B3) Konstruieren Sie folgendes Parallelogramm: a = 7,8cm; b = 5cm; e = 12cm
Berechnen Sie den Flächeninhalt auf 2 Arten und bilden Sie den Mittelwert!
(Lösg,: ha ≈ 3,4 cm; hb ≈ 5,3 cm;
a
a
ha
a
A ≈ 26,51 cm2)
B4) Der Flächeninhalt eines Parallelogramms beträgt A = 13,56 cm2, die Seite a = 64 mm.
Wie groß ist die Höhe ha?
A = a . ha | :a
A
 ha = 2,12 cm
a
B5) Konstruieren Sie folgendes Dreieck: a = 12,3 cm, b = 8,7 cm,  = 78°
Zeichnen Sie die drei Höhen ha, hb, hc ein, messen Sie diese ab und berechnen Sie den Flächeninhalt
auf 3 Arten! Bestimmen Sie sodann den Mittelwert!
( A = 45,6 dm2)
B6) Gegeben ist folgendes Dreieck: A = 1,44 dm2; hc = 12,6 cm
c=?
c. hc
A=
| .2
2
2A = c . hc | :hc
2A
 c = 22,86 cm
hc
B7) a) Berechnen Sie den Flächeninhalt eines dreieckigen Grundstücks mit c = 82 m und h c = 64 m!
b) Um wie viel Prozent weicht der Flächeninhalt von Aufgabe a) ab, wenn fälschlicherweise
die Seite c um 1 m länger angegeben wird?
a) A = ½ . c . hc = ½ . 82 . 64 = 2624 m2
b) A = ½ . c . hc = ½ . 83 . 64 = 2656 m2
Differenz: 32 m2
2
2624 m ........ 100%
26,24 m2 ........ 1%
32 : 26,24 = 1,22% (Abweichung um etwa 1,22%)
B8) Deltoid A = 1872 m2, e = 390 dm, f = ?
A=
e. f
2
|.2
2.A=e.f
|:e
2A
2.1872
 f

f=
= 96 m
39
e
B9) Rhombus: A = 48,5 cm2; u = 38,8 cm
(Raute)
h=?
(1) u = 4 . a
a = u/4 = 9,7 cm
-42-
Skript für Mathematik / Modul M1
(2) A = a . h
|:a
A
=h
a
A
h = = 5 cm
a
B10) Trapez: A = 35 dm2, a = 95 cm, c = 4,7 dm
h=?
A=
( a  c). h
| .2
2
2A = (a+c) . h | : (a+c)
2A
 h = ... = 49,3 cm
ac
B11) Trapez: A = 1400 m2, a = 53 m, h = 40 m
c=?
A=
( a  c). h
|.2
2
2A = (a+c) . h | : h
2A
 ac | – a
h
2A
 a  c = ... = 17 m
h
B12) Dreieck: A = 9,4 m2; b = 75,2 dm
hb = ? (Zuerst Formel angeben!)
(hb = 25 dm)
B13) Von eine Raute kennt man die Diagonalen e = 0,94 dm u. f = 66 mm.
Zeichnen Sie die Raute und berechnen Sie den Flächeninhalt!
Messen Sie a und berechnen Sie die Höhe h! (Kontrolle durch Messung)
(A = 31 cm2)
(h = 5,3 cm)
B14) Von eine Parallelogramm kennt man a = 5,3 cm; b = 2,8 cm u. ha = 2,5 cm.
Konstruieren Sie das Parallelogramm und berechnen Sie hb! (Kontrolle durch Messung)
A = a . ha = 13,25 cm2
A = b . hb
A
b
 hb = 4,73 cm
B15) Wie ändert sich der Flächeninhalt eines a) Rechtecks, b) Dreiecks, wenn man alle
Seitenlängen (1) verdoppelt (2) verdreifacht?
-43-
Skript für Mathematik / Modul M1
9. Ähnlichkeit
9.1 Verhältnis und Proportionen
Um 2 Größen miteinander zu vergleichen gibt es grundsätzlich 2 Möglichkeiten:
1) DIFFERENZ
2) QUOTIENT (VERHÄLTNIS)
Nehmen wir zwei unterschiedlich hohe Türme:
Höhe des 1. Turmes h1 = 15 m;
Höhe des 2. Turmes h2 = 30 m;
Die Differenz berechnet den Höhenunterschied der beiden Türme:
h2 – h1 = 30 – 15 = 15 m höher.
Der Quotient gibt an, wie viel mal der eine Turm höher als der andere ist:
h2 : h1 = 30 : 15 = 2 mal so hoch.
Das Verhältnis gibt an, wie sich die Höhen der zwei Türme zueinander verhalten:
h2 : h1 = 30 : 15 = 2 : 1
h2 verhält sich zu h1 wie die Zahl 2 zur Zahl 1 (weil ebenfalls 2 doppelt so groß ist wie 1)!
Das Verhältnis ist ein nicht ausdividierter Quotient!
Man versucht jedoch diesen Quotienten zu vereinfachen, um damit das Größenverhältnis anschaulicher zu
machen!
Jedes Verhältnis lässt sich wie eine Bruchzahl kürzen und erweitern!
30 2
h2 : h1 = 30 : 15 =
= =2:1
15 1
Angenommen wir haben 3 unterschiedlich hohe Türme,
dann lässt sich aus den Höhen ein dreigliedriges Verhältnis bilden:
h1 : h2 : h3 = 15m : 30m : 60m = 1 : 2 : 4
Aussenglied
Aussenglied
Innenglieder
h 1 : h2 = 1 : 2
h1 1
=
|.2.h2
h2 2
2 . h1 = 1 . h2
 VERHÄLTNISGLEICHUNG (PROPORTION)

PRODUKTGLEICHUNG
Produkt der
Produkt der
=
Aussenglieder
Innenglieder
B1)
x:4=3:2
B2)
B3)
x : (x + 3) = 3 : 4
4.x = 3.(x + 3)
4x = 3x + 9
x=9
3 : (z – 2) = 9 : 12
3 . 12 = 9 . (z – 2)
36 = 9z – 18
54 = 9z
6=z
2x = 12
x=6
B4)
2
6

x3 x
| .x .(x+3)
2x = 6(x+3)
2x = 6x + 18
-4x = 18
x = - 18/4 = - 9/2
-44-
Skript für Mathematik / Modul M1
9.2 Ähnliche Dreiecke / Strahlensatz
Wir nehmen ein Dreieck und vergrößern dieses um den Faktor 2, d.h. die Seitenlängen werden verdoppelt.
(1) Messen Sie die Winkel der beiden Dreiecke!
(2) Bilden Sie das Verhältnis der 3 Seiten bei beiden Dreiecken!
Seiten verdoppeln
A1B1C1:
a1 = 3 cm, b1 = 4 cm, c1 = 5 cm
A2B2C2:
a2 = 6 cm, b2 = 8 cm, c2 = 10 cm
C2
2
a2 = 2.a1
b2 = 2.b1
C1
1
a1
b1
A1
1
1
B1
c1
A2
c2 = 2.c1
1 = ......
1 = ......
1 = ......
(1)
(2)
2
2
2 = ......
2 = ......
2 = ......
a1 : b 1 : c 1 = 3 : 4 : 5
a2 : b2 : c2 = 6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5
a2 : b2 : c2 = 2a1 : 2b1 : 2c1 = a1 : b1 : c1
Flächeninhalt ist ……………. so groß.
2 Dreiecke heißen zueinander ÄHNLICH, wenn gilt:
1) Einander entsprechende Winkel sind gleich groß:
1 = 2 ,  1 =  2 , 1 = 2
2) Die Seitenlängen des einen Dreiecks stehen im selben Verhältnis wie die entsprechenden Seiten des
anderen Dreiecks:
a 1 : b1 : c 1 = a 2 : b2 : c 2
Man schreibt: A1B1C1 ~ A2B2C2
Hinweis: Ebenso würde gelten a2 : a1 = b2 : b1 = c2 : c1 = (2 : 1) ..... Maßstab der Vergrößerung !
Hinweis: Durch Vergrößern und Verkleinern entstehen ähnliche Dreiecke bzw. ähnliche Figuren !
C

B5)
T
b

s
A
r


a
Es gilt: ABC ~ AST
a:c=r:t
b:c=s:t
a : b = .......
r : s = .......

S
B
t
c
-45-
B2
Skript für Mathematik / Modul M1
DER STRAHLENSATZ:
Werden 2 Strahlen a und b mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S
von zwei parallelen Geraden p1 und p2 geschnitten, so gilt:
1. Strahlensatz:
Die Längen zweier Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich
wie Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem zweiten Strahl.
S
SA1 : SA2 = SB1 : SB2
SA1 : A1A2 = SB1 : B1B2
2. Strahlensatz:
Die Abschnitte auf den parallelen Geraden verhalten sich wie die entsprechenden,
von S ausgehenden Strecken auf jedem der beiden Strahlen.
A1B1 : A2B2 = SA1 : SA2
A1B1 : A2B2 = SB1 : SB2
b
B2
B1
A1
A2
p1
a
p2
B6) Ermittle durch Aufstellen von Verhältnisgleichungen die fehlenden Längen!
4,5
3
x : 4,5 = 5 : 3
3x = 22,5
x = 7,5
6
y
y : 3 = 6 : 4,5
4,5y = 18
y =4
5
x
B7)
5
x : (12+3) = 13 : 12
x : 15 = 13 : 12
12x = 15 . 13
x = 16,25
12
y
13
(y+5) : (12+3) = 5 : 12
(y+5) : 15 = 5 : 12
12y + 60 = 15 . 5
12y = 75 – 60
y = 1,25
3
Mit dem 1. Strahlensatz
kann man einfacher lösen:
y : 5 = 3 : 12
12y = 15
y = 15/12 = 1,25
x
B8) Höhenmessung mit Hilfe eines Stabes.
a) Wie hoch ist der dargestellte Baum, wenn der verwendete Stab eine Höhe von 0,8 m hat?
b) Wie hoch wäre der Baum, wenn die 2 m lange waagrechte Strecke in Wirklichkeit um 10 cm
kürzer ist?
a) h : 45 = 0,8 : 2 (Es liegen ähnliche Dreiecke vor!)
h = 18 m
b) selbständig!
(h = 18,95 m)
-46-
Skript für Mathematik / Modul M1
B9)
2 Türme sind 15 m und 25 m hoch und je 10 m breit,
ihre gegenseitige Entfernung beträgt 100 m.
In welcher Entfernung vom kleineren Turm muss man sich
aufstellen, damit der kleinere den höheren Turm genau
abdeckt?
x : (15 – 1,5) = (x + 110) : (25 – 1,5)
x : 13,5 = (x + 110) : 23,5
x = 148,5 m
B10) Bestimmen Sie die Breite b des Flusses!
b b  250

90
370
b = 80,36 m
B11) Kurt befindet sich 1200 m von einer Brücke entfernt.
Er möchte wissen, wie breit die Brücke ist.
Bei ausgestrecktem Arm (Abstand Daumen – Auge: a = 65 cm)
deckt die Daumenbreite (d = 2,6 cm) gerade die Brücke zu,
wenn Kurt ein Auge schließt und mit dem anderen visiert.
Wie breit ist die Brücke wirklich?
x : 120000 = d : a
x : 120000 = 2,6 : 65
x = 48 m
B12)
Ein 15 cm hoher, durchsichtiger Gegenstand wird auf
eine 2,5 m entfernte Wand projiziert.
Wo muss die Lichtquelle aufgestellt werden, um ein
1,2 m großes Schattenbild zu erzeugen?
x x  250

15
120
x = 35,7 cm
B13) Berechnen Sie die Länge der Strecke x!
(Lösg.: x = 6)
-47-