Analysis und Geometrie von Mannigfaltigkeiten Serie 3 Bitte

Analysis und Geometrie von Mannigfaltigkeiten
Serie 3
Bitte versehen Sie Ihre Lösungen mit Namen und Matrikelnummer. Die Aufgaben sind stets am Dienstag der folgenden Woche vor der Vorlesung abzugeben. Später oder anders abgegebene Lösungen werden nicht berücksichtigt.
Werten Sie Ihre Lösungen aus während und nach der Rückgabe
sowie der Diskussion im Seminar!! Dies gilt besonders, wenn Ihre
Lösungen falsch sind.
9. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Sei
X∞ := X ∪ {∞} und
T∞ := T ∪ {(X \ A) ∪ {∞} | A ⊆ X abgeschlossen und kompakt}.
Zeigen Sie, dass dann gilt
a) (X∞ , T∞ ) ist ein topologischer Raum.
b) (X∞ , T∞ ) ist kompakt.
c) T ist die von X∞ auf X induzierte Topologie, d.h. T∞ |X = T .
(X∞ , T∞ ) heisst 1-Punkt-Kompaktifizierung von X, ∞ heisst unendlich ferner Punkt.
10.
a) Zeigen sie, dass (R, Tabz ) ein topologischer Raum ist.
b) Zeigen Sie, dass (R, Tabz ) weder kompakt noch lokal kompakt ist.
11.
a) Was sind die 1-Punkt-Kompaktifizierungen der Räume Rn , Cn
und speziell von R?
b) Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf dem topologischen Raum X
und sei X/ ∼ mit der Quotiententopologie versehen. Zeigen Sie:
Ist X kompakt, so auch X/ ∼.
12. Auf der 2-Sphäre S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} definieren wir
folgende Äquivalenzrelation: P ∼ Q, falls P und Q dieselben x und
y-Koordinaten haben. Zeigen Sie, dass der Quotientenraum mit der
Quotiententopologie homöomorph zur Kreisscheibe K := {(u, v) | u2 +
v 2 ≤ 1} ist.