Klausur ” Geometrie für Lehramtskandidaten“

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik
Dr. Florian Berchtold
Klausur Geometrie für Lehramtskandidaten“
”
Sommersemester 2015
Name:
1
2
3
4
5
6
Summe
Übung
Note
1. Aufgabe Formulieren Sie die drei Inzidenzaxiome des Hilbertschen Axiomensystems und vergleichen Sie diese mit den drei Axiomen einer projektiven Ebene, indem Sie mit Beweis überprüfen,
welche der Hilbertschen Inzidenzaxiome sich aus den Axiomen der projektiven Ebene ableiten
lassen und umgekehrt.
Punkte: 7
2. Aufgabe Es sei ABC ein euklidisches Dreieck mit Umkreis K. Weiter sei S der Schnittpunkt der
Mittelsenkrechte von AB mit K, der auf der anderen Seite von AB wie C liegt. Man zeige, dass
die Gerade CS Winkelhalbierende des Winkels ∠ACB ist.
Punkte: 6
3. Aufgabe Es sei ABC ein euklidisches Dreieck sowie I der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Weiter seien La , Lb , Lc die Lotfußpunkte von P auf die Dreiecksseiten BC, AC beziehungsweise
AB. Man zeige:
Punkte: 8
a) |La I| = |Lb I| = |Lc I|,
b) die Geraden ALa , BLb und CLc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt.
4. Aufgabe Eine Abbildung f : S 2 → S 2 heißt sphärische Kongruenzabbildung, wenn f Einschränkung
eines orthogonalen Endomorphismus M : R3 → R3 ist. Man zeige, dass zwei sphärische Dreiecke
ABC und A′ B ′ C ′ (d.h. bis auf Umbennenung eulersche Dreiecke) genau dann kongruent sind,
wenn es (bis auf Umbenennung) eine sphärische Kongruenzabbildung f gibt mit f (A) = A′ ,
f (B) = B ′ und f (C) = C ′ .
Punkte: 5
5. Aufgabe Es seien A := −1 + 2i, B := i sowie C := 1 + 2i Punkte der hyperbolischen Ebene H.
Punkte: 8
a) Zeigen Sie, dass das hyperbolische Dreieck ABC gleichseitig ist und geben Sie die Werte aller
Innenwinkel an.
b) Geben Sie eine Möbiustransformation M so an, dass M (A)M (B)M (C) ein hyperbolisches
Dreieck in kanonischer Lage ist.
c) Zeigen Sie, dass ABC einen hyperbolischen Umkreis besitzt und geben Sie dessen Mittelpunkt
und Radius an.
6. Aufgabe Es sei ABC ein hyperbolisches Dreieck in H und K = K(u + iv, r) mit u, v ∈ R und r > 0
der euklidische Kreis durch die Punkte A, B und C. Zeigen Sie, dass ABC genau dann einen
hyperbolischen Umkreis besitzt, wenn v > r gilt.
Punkte: 6