Einführung in die mathematische Logik WS 2002/2003

Einführung in die mathematische Logik
(Inoffizielles Skript zur Vorlesung)
WS 2002/2003
Erstellt mit LATEX von
Christoph Wisnewski1
Christian-Albrecht- Universität
Kiel
17. April 2003
1
eMail: [email protected]
Inhaltsverzeichnis
0.1
Mathematische Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 Freie Monoide
3
2 Abzählbarkeit
7
3 Das Alphabet einer Sprache 1.Stufe
10
4 Die Terme einer Sprache erster Stufe
12
5 Die Ausdrücke einer Sprache erster Stufe
16
ii
0.1. MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
0.1
1
Mathematische Vorbereitung
Einleitung
In der Mathematik werden häufig verschiedene Phrasen verwendet. Wendungen
wie beispielsweise daraus folgt”, daher gilt”, also ist”, das ergibt” sind keine
”
”
”
”
Seltenheit. Ein Hauptcharakteristikum der Mathematik ist, daß Mathematiker ihre
Behauptungen beweisen müssen. Die Berufung auf Erfahrung, Experimente, Hörensagen, Autoritäten usw. genügt nicht.
Problem der Vorlesung:
Wie folgt aus einem Sachverhalt ein anderer? Genauer: Wie sieht die Folgerungsbeziehung zwischen Aussagen - insofern sie logischer Natur ist - aus?
Ein Beispiel für eine nicht-logische Folgerungsbeziehung könnte so aussehen:
Wenn es regnet, wird die Straße naß”.
”
Dies ist lediglich ine Erfahrungstatsache - und nicht immer wahr [Die Straße könnte
sich beispielsweise in einem Tunnel befinden].
Eine logische Folgerungsbeziehung hingegen wäre:
(
Alle Menschen sind sterblich”
”
Sokrates ist ein Mensch”
”
Sokrates ist sterblich”
”
Ist dies eventuell auch nur Erfahrung? Um diesem Dilemma aus dem Wege zu gehen,
benutzen wir folgende Variation:
(
Olput ist punkel”
”
Alle Knurkse sind punkel”
”
Olput ist ein Knurks”
”
Diese Variation ist vermutlich sinnlos, dafür aber logisch zwingend. Allein der Bau
der Aussagen, die grammatische Struktur, ist für wahr und falsch verantwortlich.
Unsere Umgangssprache ist nicht Gegenstand der Untersuchung, weil viel zu kompliziert.
2
INHALTSVERZEICHNIS
Einige Beispiele dazu:
• Die Bedeutung von Worten, Sätzen, Absätzen sind abhängig vom Kontext
(Zusammenhang).
• In der Mathematik ist und” immer symmetrisch”:
”
”
1 < 0 und f stetig” oder f stetig und 1 < x“ macht keinen Unterschied,
”
”
wohl aber der folgende Sachverhalt:
Gegeben seien die Aussagen
1. Der Patient wird krank”
”
2. Der Arzt gibt dem Patienten Medizin”
”
(1) und (2) = ok!
(2) und (1) = bedenklich!
Dieses merkwürdige Verhalten” von und” liegt nur an der Bedeutung der
”
”
durch und” verbundenen Aussagen.
”
• Sprache ist ein historisches Phänomen. Wortschatz, Grammatik und Bedeutung ändern sich mit den Schicksalen der Gruppe der Sprecher dieser Sprache.
Vermutlich läßt sich die Umgangssprache nicht formalisieren”. Sprache ist
”
Gegenstand der Sprachwissenschaft, speziell der Linguistik.
Die mathematische Logik untersucht ebenfalls Sprachen, allerdings keine lebenden
oder toten Sprachen, sondern formale Sprachen”. Der Hauptgegenstand ist die
”
Sprache der Prädikantenlogik 1.Stufe. Wir umgehen die Schwierigkeiten der Sprachwissenschaft durch zwei Maßnahmen:
• Formalisierung:
Die formalen Sprachen der mathematischen Logik sind vollkommen statisch,
also genau definiert und genau beschrieben.
• Sorgfältige Trennung von Syntax und Semantik:
Formale Sprachen werden konstruiert, ohne daß es auf die Bedeutung ankommt. Bedeutung kommt erst durch Interpretation” bedeutungsloser Zei”
chenketten ins Spiel.
Die mathematische Logik bedient sich - notgedrungen - der mathematischen Um”
gangssprache” und der natürlichen Logik”. Dabei ergibt sich ein Problem: Wir un”
tersuchen etwas mit Hilfsmitteln, die selbst gerade Gegenstand der Untersuchung
sind ( das Messer an sich selber schleifen?”). Die Logiker versuchen diesen Zirkel”
”
”
zu vermeiden, indem sie ein Modell” für die Logik schaffen ( Logik im Sandka”
”
sten”). Das Model ist die Sprache der Prädikantenlogik 1.Stufe
• Daß dieses Modell ein gutes” Abbild der logischen Abläufe beim Denken und
”
Reden ist, kann man nicht beweisen, davon kann man sich nur überzeugen.
• Das, was wir an Logik und Mathematik benutzen, kann man ansehen als
ein Werkzeug außerhalb des Modells. In diesem Zusammenhang spricht man
von Denksprache”, von Hintergrundmengenlehre”. Die untersuchte formale
”
”
Sprache heißt auch Objektsprache”.
”
Wenn man nicht logisch denken kann, so kann man es in dieser Vorlesung auch
nicht lernen.
Schlußbemerkung:
Mathematische Logik untersucht einerseits die Grundlagen der Mathematik. Sie ist
andererseits ein Teil der Mathematik.
Kapitel 1
Freie Monoide
Definition 1.1
Eine Halbgruppe ist ein Paar (H, µ), wobei H eine Menge und µ : H × H → H
eine assoziative Verknüpfung auf H ist.
e ∈ H heißt neutrales Element bezüglich µ, wenn gilt: µ(e, h) = h = µ(h, e) für alle
h ∈ H [Kürzer: hh0 statt µ(h, h0 )].
Eine Halbgruppe mit neutralem Element heißt Monoid. In einem Monoid gibt es
genau ein neutrales Element: e = ee0 = e0
Das neutrale Element des Monoids µ(H, e) wird oft mit eH (oder 1H oder 0H o.ä.)
bezeichnet. Ist (L, µ) ein weiteres Monoid und ϕ : H → L eine Abbildung, so heißt
ϕ Monoidhomomorphismus, wenn gilt:
1. ϕ(µ(h, h0 )) = µ(ϕ(h), ϕ(h0 )) [Kürzer: ϕ(hh0 ) = ϕ(h)ϕ(h0 )] für alle h, h0 ∈ H
2. ϕ(eH ) = eL
Ist ϕ bijektiv, so folgt (2) aus (1) [Beweis?]. In diesem Fall ist ϕ−1 ebenfalls ein
Monoidhomomorphismus [Beweis?]. ϕ heißt dann Isomorphismus.
Definition 1.2
Sei X eine Menge. Ein Monoid (M, µ) heißt frei über X, wenn gilt:
1. X ⊆ M
2. für alle Monoide (L, ν) und alle Abbildungen ϕ : X → L gibt es genau einen
Monoidhomomorphismus ϕ̂ : M → L mit ϕ̂|X = ϕ.
Satz 1.3
Sind (M, µ),(M 0 , µ0 ) über X freie Monoide, so gibt es genau einen Isomorphismus
κ : M → M 0 mit κ|X = idX [Je zwei über X freie Monoide sind kanonisch isomorph].
Beweis:
Nach Definition gibt es Monoidhomomorphismen κ : M → M 0 mit κ|X = idX und
λ : M 0 → M mit λ|X = idX . Dann sind λ ◦ κ : M 0 → M 0 und κ ◦ λ : M → M
Monoidhomomorphismen mit (λ ◦ κ)|X = idX = (κ ◦ λ)|X . Andererseits sind auch
idM : M → M und idM 0 : M 0 → M 0 Monoidhomomorphismen mit idM 0 |X = idX
und idM |X = idX . Nach Definition ist nun λ ◦ κ = idM 0 und κ ◦ λ = idM , d.h. λ ist
die Umkehrabbildung von κ, daher κ bijektiv.
2
3
4
KAPITEL 1. FREIE MONOIDE
Satz 1.4
Sei X eine Menge. Es gibt ein über X freies Monoid.
Beweis:
Für jedes n ∈ N sei n := {i ∈ N|1 ≤ i ≤ n}, insbesondere sei 0 = ∅, außerdem sei
X n := {f |f : n → X ist eine Abbildung} die Menge der n-Tupel über X, insbe0
n
sondere
S ist Xn = {∅}. Die Mengen X sind paarweise disjunkt. Sei nun A definiert
als n∈N0 X die Menge aller (endlichen) Tupel über X. Wir definieren für alle
n, m ∈ N0 ,f ∈ X m ,g ∈ X n nun f g := µ(f, g) = X m+n durch
(
f (i)
f g : i 7→
g(i − m)
Beispiel:
1 2
f=
a b
3
c
,g=
1
w
2 3
x y
4
z
falls 1 ≤ i ≤ m
falls m ≤ i ≤ m + n
, dann f g =
1 2 3 4
a b c w
5 6
x y
7
z
Ist m = 0, so ist f = ∅ ∈ X 0 und f g = g. Ebenso ist dann gf = g. Also ist ∅
ein neutrales Element bezüglich µ : A × A → A. Ist weiter h ∈ X p , so gilt für alle
i ∈ m + n + p:
(
(f g)(i)
für 1 ≤ i ≤ m + n,
(f g)h : i 7→
,
h(i − (n + m)) für m ≤ i ≤ m + n,
also


für 1 ≤ 1 ≤ m,
f (i)
(f g)h : i 7→ g(i − m)
für m ≤ i ≤ m + n,


h(i − m − n) für m + n ≤ i ≤ m + n + p
und andererseits
(
f (i)
für 1 ≤ i ≤ m,
f (gh) : i 7→
(gh)(i − m) für m ≤ i ≤ m + n
Wegen m < i ≤ m + n + p ⇔ 0 < i − m ≤ n + p folgt weiter:


für 1 ≤ i ≤ m,
f (i)
f (gh) : i 7→ g(i − m)
für 1 ≤ i − m ≤ n,


h(i − m − n) für n ≤ i − m ≤ n + p
Also ist (f g)h = f (gh) und (A, µ) ein Monoid.
Für jedes x ∈ X ist (x) = x1 = {(1, x)} = f : {1} → X, 1 7→ x ∈ X 1 . Die
Abbildung : X → X 1 , x 7→ (x) ist injektiv. Sind x1 , . . . , xm ∈ X, so ist G :=
(x1 ) · · · (xm ) = (x1 , . . . , xm ). Insbesondere G(i) = xi für 1 ≤ i ≤ m.
Außerdem ist für jedes f ∈ X m :
(?.1)
f = (f (1))(f (2)) · · · (f (m))
5
Sei nun (L, ν) ein Monoid und ϕ : X → L eine Abbildung. Für alle f ∈ X m und
alle m ∈ N setzen wir:
(
eL
falls m = 0,
.
ϕ̃(f ) :=
(ϕ(f (1))ϕ(f (2)) · · · ϕ(f (m))) falls m > 0
Ist g ∈ X n , so folgt:
ϕ̃(f g) = ϕ((f g)(1))ϕ((f g)(2)) · · · ϕ((f g)(m))ϕ((f g)(m + 1)) · · · ϕ((f g)(m + n))
= ϕ(f (1)) · · · ϕ(f (m))ϕ(g(1)) · · · ϕ(g(n))
= ϕ̃(f )ϕ̃(g), also Monoidhomomorphismus.
Für alle x ∈ X ist ϕ̃((x)) = ϕ(((x))(1)) = ϕ(x), also ϕ̃ ◦ = ϕ.
Ist ϕ̃˜ : A → L ein weiterer Monoidhomomorphismus mit ϕ̃˜ ◦ = ϕ, so folgt
(?.3)
˜ ) = ϕ̃(f
˜ ) = ϕ̃((f
˜
˜
˜
ϕ̃(f
(1)))ϕ̃((f
(2))) · · · ϕ̃((f
)m)))
= ϕ(f (1))ϕ(f (2)) · · · ϕ(f (m)) = ϕ̃(f )
Also ist ϕ̃˜ = ϕ̃. Wir haben gezeigt: Für jede Abbildung ϕ : X → L von X in ein
Monoid (L, ν) gibt es genau einen Monoidhomomorphismus ϕ̃ : A → L mit der
Eigenschaft ϕ̃ ◦ = ϕ. Wir benötigen nun den
Entgiftungssatz
Seien A, B Mengen. Dann gibt es eine Menge A0 und eine Abbildung ϕ : A0 → A
mit
1. ϕ ist bijektiv
2. A0 ∩ B = ∅
[Beweis vielleicht später]
Anwendung auf unser Problem: Sei Y und η : Y → A\X 1 so gewählt, daß η bijektiv
und Y ∩ X = ∅ ist. Sei Z := Y ∪ X und σ := η ∩ . Dann ist σ : Z → A eine
Bijektion. Wir definieren eine Multiplikation auf Z durch Strukturtransport, d.h.
für alle Z1 , Z2 ∈ Z setzen wir:
z1 z2 := σ −1 (σ(z1 )σ(z2 ))
Mit dieser Fortsetzung wird Z zu einem Monoid mit σ −1 (∅) als neutralem Element.
σ : Z → A ist ein Isomorphismus. Bleibt zu zeigen: (Z, µ̃) ist frei über X. Nach
Definition ist X ⊆ Z. Sei ϕ : X → L eine Abbildung in irgendein Monoid (L, ν).
Nach (?.3) gibt es genau einen Monoidhomomorphismus ϕ̃ : A → L. Wir setzen
ϕ̂ := ϕ̃ ◦ σ. Dann ist ϕ̂ ein Monoidhomomorphismus und für alle x ∈ X ist ϕ̂ =
ϕ̃(σ(x)) = ϕ̃((x)) = ϕ(x) [Wegen ϕ̃ ◦ = ϕ], also ϕ̂|X = ϕ. Mit ϕ̃ ist auch ϕ̂
eindeutig bestimmt.
2
6
KAPITEL 1. FREIE MONOIDE
Korollar 1.5
Sei (M, µ) ein über der Menge X freies Monoid. Dann gibt es für jedes w ∈ M
genau ein n ∈ N0 und genau ein n-Tupel (x1 , . . . , xn ) ∈ X n mit w := x1 x2 · · · xn
Beweis
Sei (Z, µ̃) das über X freie Monoid aus dem Beweis von Satz 1.4. Dann gibt es nach
1.3 (genau) einen Isomorphismus κ : Z → M mit κ|X = idX . Es ist σ : Z → A
(Beweis von 1.4) ebenfalls ein Isomorphismus, nach 1.1 also auch σ −1 : A → Z ein
Isomorphismus. Also gibt es genau ein n ∈ N0 und genau ein (x1 , . . . , xn ) ∈ X n
mit w = κ(σ −1 ((x1 , . . . , xn ))). Andererseits ist (x1 , . . . , xn ) = (x1 ) · · · (xn ), also
w = κ(σ −1 ((x1 ))) · · · κ(σ −1 ((xn ))) = κ(x1 ) · · · κ(xn ) = x1 · · · xn
Das zeigt die Existenz von n und (x1 , . . . , xn ). Ist w = x01 . . . x0n mit m ∈ N0 und
x01 . . . x0m , so folgt:
w = κ(x01 ) . . . κ(x0m ) = κ(σ −1 ((x01 ))) . . . κ(σ −1 ((x0m ))) = (κ◦σ −1 )((x01 ) . . . (x0m )) =
(κ ◦ σ −1 )(x01 . . . x0m )
Da κ ◦ σ −1 bijektiv, folgt
(x01 , . . . , x0m ) = (x1 , . . . , xn ), also n = m und x0i = xi .
2
Definition 1.6
Jedes Element eines über X freien Monoids (M, µ) läßt sich auf genau eine Weise
als Produkt von Elementen aus X schreiben.
Wir nennen die Elemente von X Buchstaben und die Elemente von M Worte über
dem Alphabet X. Ist w = x1 · · · xn mit xn ∈ X, so heißt n =: |w| die Länge
des Wortes w und xi der i-te Buchstabe von w. Für alle i ∈ N0 mit 0 ≤ i ≤
n heißt x1 · · · xi Anfangsstück von w. Das neutrale Element em ist das einzige
Wort der Länge 0 (das leere Wort). Die Multiplikation in M heißt Konkatenation
(Verkettung). Für jedes x ∈ X besitzt die Abbildung
νX
(
1
: X → N0 , y →
7
0
falls y = x
sonst
genau eine Fortsetzung νc
X : M → N0 von M in das Monoid N0 , + zu einem Monoidhomomorphismus - ebenfalls mit νX bezeichnet. Für jedes w = x1 · · · xn ∈ M
ist νX (w) = |{i ∈ n|xi = x}| [Anzahl der Elemente] und es gilt für alle w, w0 ∈ M :
νX (ww0 ) = νX (w) + νX (w0 ).
Im allgemeinen bezeichnen wir über X freie Monoide mit X ? .
Kapitel 2
Abzählbarkeit
Lemma 2.1
Sei X eine nicht-leere Menge. Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. es gibt eine surjektive Abbildung α : N → X
2. es gibt eine injektive Abbildung β : X → N
Beweis
1.⇒ 2.:
Für jedes x ∈ X ist α−1 (x)[:= {n ∈ N|α(n) = x}] eine nicht-leere Teilmenge von
N, da α surjektiv. Jede nicht-leere Teilmenge T von N besitzt ein kleinstes Element
[ N ist wohlgeordnet”], bezeichnet min T . Für jedes x ∈ X sei β(x) := min α−1(x).
”
Da β(x) ∈ α−1 (x), ist α(β(x)) = x, d.h. α ◦ β = idX , also β injektiv.
2.⇒ 1.
Sei β̃ : β(x) → X die Umkehrfunktion der Bijektion β : X → β(x). Wir definieren
α : N → X wie folgt:
• α(1) := β̃(min β(x))
| {z }
∈β(x)
• α(2) := β̃(min{β(x)\{min β(x)}})
= β̃(min{β(x)\{β(α(1))}})
(
β̃(min{β(x)\{β(α(1)), . . . , β(α(n − 1))}} falls β(x) 6= {β(α(1)), . . . , β(α(n − 1))})
• α(n) :=
α(1)
sonst
Ist X endlich, so gibt es ein n ∈ N mit β(x) = {β(α(1)), . . . , β(α(n))}.
Die Abbildung α|n : n → X ist bijektiv. Ist X nicht endlich, so tritt die zweite Zeile
in der Definition von α(n) nie auf. Die Abbildung α : N → X ist dann bijektiv. 2
7
8
KAPITEL 2. ABZÄHLBARKEIT
Definition 2.2
Eine Menge X heißt höchstens abzählbar (oder abzählbar), wenn es eine injektive
Abbildung β : X → N gibt.
Ist X außerdem nicht endlich, so heißt X abzählbar ( abzählbar unendlich).
Bemerkung 2.3
Ist X endlich, so gibt es es ein n ∈ N0 und eine Bijektion ν : n → X. Da ν −1 :
X → N injektiv ist, ist jede endliche Menge höchstens abzählbar.
Bemerkung 2.4
Ist X höchstens abzählbar und nicht endlich, so gibt es eine Bijektion von N auf X.
Satz 2.5
Sei X eine nicht-leere, höchstens abzählbare Menge. Dann ist X ? abzählbar.
Beweis:
Nach 2.3 bzw. 2.4 gibt es ein n ∈ N und eine Bijektion β : n → X bzw. eine
Bijektion β : N → X. Sei P := {2, 3, 5, 7, 11, 13 . . .} die Menge der Primzahlen.
Bekanntlich ist P nicht endlich. Ab unendlicher Zeilenlänge von N ist P abzählbar.
Nach 2.4 gibt es eine Bijektion π : N → P (Die Konstruktion aus dem Beweis von
2.1 liefert: π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 5, allgemein ist π(n) die n-te Primzahl in der
Reihe 2 < 3 < 5 < 7 < . . .). Wir definieren nun γ : X ? → N wie folgt:
1. γ(X ? ) := 1
Ist w ∈ X ? mit |w| > 0, so gibt es nach 1.5 genau ein n ∈ N und genau ein
−1
−1
−1
(x1 , ldots, xn ) ∈ X n mit w = x1 x2 · · · xn . Wir setzen γ(w) = π(1)β (x1 ) π(2)β (x2 ) · · · π(n)β (xn ) .
Dann ist γ(w) ∈ N\{1}.
Seien w, w0 ∈ X ? und γ(w) = γ(w0 ). Ist γ(w) = 1 = γ(w0 ), so ist |w| = 0 = |w0 |
und w = X ? = w0 .
Sei also γ(w) > 1. Wegen des Satzes von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
in Z ist dann |w| = |w0 | und (w0 = x01 · · · x0n ) β −1 (x1 ) = β −1 (x01 ) · · · β −1 (x0n ). Es
folgt w = x1 · · · xn = x01 · · · x0n = w0 .
2
Satz 2.6
Für jedes n ∈ N sei Xn eine höchstens abzählbare Menge. Dann ist
abzählbar.
S
n
Xn höchstens
Beweis:
Ist Xn = ∅ für alle n ∈ N, so ist
I := {i ∈ N|xi 6= ∅}.
S
n
Xn = ∅ höchstens abzählbar. Andernfalls sei
Für jedes i ∈ I gibt es nach 2.1 eine surjektive Abbildung αi : N → Xi . Für alle
i ∈ I setzen wir
Mi := {a ∈ N|a = 2i u, 2 - u} = {2i u|u ∈ N, u ungerade}
Für jedes i ∈ I ist Mi eine abzählbare Menge. Die Mi sind paarweise disjunkt. Nach
2.4 gibt esSBijektionen βSi : Mi → N.SFür jedes S
i ∈ I ist αi ◦ βi : Mi →SXi surjektiv.
Daher ist i∈I αi ◦ βiS: i∈I Mi → i∈I Xi = n∈N Xn surjektiv. Ist i∈I Mi = N,
so
6= N, so sei i0 := min I und x ∈ Xi0 beliebig. Dann
S sind wir fertig. Ist i∈I Mi S
S ist
α
◦
β
∪
{(n,
X)|n
∈
N\
M
}
eine
surjektive
Abbildung
von
N
auf
Xn .
i
i
i
i∈I
i∈I
S
Nach 2.1 ist Xn höchstens abzählbar.
2
9
Anwendung 2.7
N × N ist abzählbar.
Beweis:
S
Es ist N × N = n∈N {n} × N. Da N → {n} × N, a 7→ (n, a) eine Bijektion ist, folgt
die Behauptung mit 2.6.
2
Kapitel 3
Das Alphabet einer Sprache
1.Stufe
Jede Gruppe ist ein Modell’ für die Axiome der Gruppentheorie. Ausagen, die in
”
jeder Gruppe gelten, heißen allgemeingültige gruppentheoretische Aussagen [kurz
allgemeingültig]. Andererseits erhält man durch logisches Schließen aus den Gruppenaxiomen Aussagen, die ebenfalls in allen Gruppen gelten (beweisbare gruppentheoretische Aussagen). Beweisbare Aussagen sind allgemeingültig.
Problem:
Sind alle allgemeingültigen Aussagen beweisbar? Theorien, bei denen die Antwort
ja” ist, heißen vollständig. Es gibt Vollständigkeitssätze und Unvollständigkeitssätze.
”
In vielen Theorien braucht man Verknüpfungen µ : X × X → X. In der Gruppentheorie braucht man z.B. die einstellige Relation g → g −1 . Weiterhin braucht man
oft Konstanten, z.B. das neutrale Element einer Gruppe oder die Zahl 2. Benötigt
werden ferner Relationssymbole (Beispiele: Ordnungsrelation, Äquivalenzrelation...)
- n-stellig für jedes n ∈ N. Symbole ∀, ∃ für die Floskeln für alle” bzw. es gibt”,
”
”
ferner logische Zeichen für und”, oder”, folgt”, Gleichheitszeichen, Klammern
”
”
”
etc. werden ebenfalls benötigt.
Definition 3.1
Das Alphabet einer Sprache erster Stufe ist die Vereinigung der folgenden Mengen:
V ar
Log
= {v1 , v2 , . . .}
:= {∧, ∨, ¬, →, ↔,
|
{z
}
Gl
Kl
:= {≡}
:= {(, )}
Junktoren
∀, ∃
|{z}
Variablensymbole
} logische Symbole
Quantoren
Gleichheitssymbol
Klammernsymbole
ferner für alle n ∈ N
Rn
Fn
K
n − stelligeRelationssymbole
n − stelligeF unktionssymbole
Konstantensymbole
Wir setzen alle diese Mengen als paarweise disjunkt voraus.SFerner sei
S V ar abzählbar. Schließlich sei A = V ar ∪ Log ∪ {≡, (, )} und S = Rn ∪ Fn ∪ K und
AS = A ∪ S.
10
11
Bemerkung 3.2
A ist allen Sprachen erster Stufe gemeinsam, S ist variiert. Wenn wir über Variablen, Relations-, Funktions- und Konstantensymbole reden, benutzen wir metasprachliche Variablen (x, y, z, . . .) für Variablensymbole, (P, Q, R, . . .) Relationensymbole, (f, g, h, . . .) Funktionensymbole und (c0 , c1 , c2 , . . .) Konstantensymbole.
Im folgenden sei A?S irgendein freies Monoid über AS . Die Verknüpfung von A?S
(Konkatenation) wird durch Nebeneinanderschreiben notiert. Zum Beispiel ist
v1 )∀v1 v1 ≡→∈ A?S .
Eine metasprachliche Aussage über A?S : Für alle f ∈ F2 , alle x ∈ V ar ist
)v1 xf ((≡ c ∈ AS .
∅ steht in der Metasprache für die leere Menge und 2 für das neutrale Element (das
leere Wort) von A?S .
Kapitel 4
Die Terme einer Sprache
erster Stufe
Definition 4.1
Sei X ⊆ A?S . X heißt termabgeschlossen, wenn gilt
1. V ar ∪ K ⊆ X
2. für alle n ∈ N, alle f ∈ Fn , alle x1 , . . . , xn ∈ X ist f x1 · · · xn ∈ X.
Bemerkung 4.2
Es gilt:
1. A?S ist termabgeschlossen.
T
2. Ist M ⊆ P(A?S ) und X termabgeschlossen für alle x ∈ M, so ist X∈M X
termabgeschlossen. Insbesondere ist der Durchschnitt aller termabgeschlossenen Mengen termabgeschlossen.
Definition 4.3
Wir setzen
T S :=
\
X.
Xt.−abg.
X⊆A?
S
Die Elemente von T S heißen S-Terme (oder Terme). Offenbar ist T S die bezüglich
Inklusion kleinste teilabgeschlossene Menge.
12
13
Hilfssatz 4.4
Es gilt:
1. 2 ∈
/ TS
2. In keinem Term kommen die Buchstaben ∧, ∨, ¬, →, ↔, ∀, ∃, ≡, ), ( vor.
Beweis:
1. A?S \{2} ist termabgeschlossen, also ist T ⊆ A?S \{2}
2. Sei X die Menge aller w ∈ A?S , in dem die oben aufgeführten Buchstaben
nicht vorkommen. Offenbar ist X termabgeschlossen, also T S ⊆ X.
2
Definition 4.5
Wir definieren rekursiv Teilmengen T S,k von A?S (k ∈ N) wie folgt:
1. T S,1 := V ar ∪ K
2. Sind T S,1 , . . . , T S,k−1 bereits definiert, so erklären wir:
T S,k und ξ ∈ T S,k :⇔ es gibt n ∈ N, f ∈ Fn , t1 , . . . , tn ∈ T S,1 ∪ . . . ∪ T S,k−1
mit ξ = f t1 · · · tn für alle ξ ∈ A?S .
Hilfssatz 4.6
Sei x ⊆ A?S , X termabgeschlossen. Dann istT S,k ⊆ X für alle k ∈ N.
Beweis (durch Induktion nach k):
Induktionsanfang: k = 1:
Nach Definition ist T S,1 = V ar ∪ K ⊆ X.
Induktionsschritt: k → k + 1
Sei k ≥ 2. Seien T S,1 , . . . , T S,k−1 ⊆ X und ξ ∈ T S,k . Dann gibt es n ∈ N, f ∈
Fn , t1 , . . . , tn ∈ T S,1 ∪ . . . ∪ T S,k−1 mit ξ = f t1 · · · tn . Da X termabgeschlossen ist,
folgt ξ ∈ X.
2
Satz 4.7
Es gilt:
1. T S,2 ⊆ T S,3 . . . und
T S,1 ∩ T S,k = ∅ für k ≥ 2
[
T S,k
2. T S =
k∈N
Beweis:
1. Nach 4.6 ist V :=
S
k∈N
T S,k ⊆ T S , wegen 4.4.1 also 2 ∈
/ V.
Für alle w ∈ T S,1 ist |w| = 1. Sei k > 1 und ξ ∈ T S,k , etwa ξ = f1 t1 · · · tn mit
geeigneten n ∈ N, f ∈ Fn , t1 , . . . , tn ∈ V . Dann ist |ξ| = 1 + |t1 | + · · · + |tn | ≥
n + 1 ≥ 2. Also ist T S,1 ∩ T S,k = ∅ für k ≥ 2. Seien ferner t1 , . . . , tn ∈
T S,1 ∪· · ·∪T S,k−1 dabei. Wegen T S,1 ∪· · ·∪T S,k−1 ⊆ T S,1 ∪· · ·∪T S,k−1 ∪T S,k
ist dann ξ ∈ T S,k+1 . Also ist T S,k ⊆ T S,k+1 für k ≥ 2.
14
KAPITEL 4. DIE TERME EINER SPRACHE ERSTER STUFE
2. Wir zeigen: V ist term-abgeschlossen.
Nach Definition ist V ar∪K = T S,1 ⊆ V . Seien n ∈ N, f ∈ Fn und x1 , . . . , xn ∈
V . Dann gibt es ein k ∈ N mit x1 , . . . , xn ∈ T S,1 ∪ . . . ∪ T S,k . Nach Definition
von T S,k+1 ist dann f x1 · · · xn ∈ T S,k+1 ⊆ V . Also ist auch V termabgeschlossen, daher T S ⊆ V .
2
Lemma 4.8
Sind t, t0 ∈ T S , ξ ∈ A?S mit t0 = tξ, dann ist ξ = 2, also t0 = t. Ein echtes
”
Anfangsstück eines Termes ist kein Term”.
Beweis:
Sei X die Menge aller η ∈ A?S mit den folgenden Eigenschaften:
1. η ist kein echtes Anfangsstück eines Termes.
2. Kein echtes Anfangsstück von η ist ein Term.
Wir zeigen: X ist term-abgeschlossen. Dann ist T S ⊆ X, d.h. alle Terme haben die
Eigenschaft 2.
Sei zunächst b ∈ V ar ∪ K. Wegen 4.4.1 hat b die Eigenschaft 1. Wäre b echtes
Anfangsstück (also erster Buchstabe) eines Termes t, so wäre |t| > 1, also t ∈
/ T S,1 .
S,k
Nach 4.6 gibt es ein n ∈ N, k ≥ 2 mit t ∈ T
. Nach Definition gibt es dann
n ∈ N, f ∈ Fn , t1 , . . . , tn ∈ T S mit f t1 · · · tn . Es folgt b = f ∈ (V ar ∪ K) ∩ Fn = ∅,
ein Widerspruch. Also gilt V ar ∪ K ⊆ X.
Sei nun n ∈ N, f ∈ Fn und x1 , . . . , xn ∈ X. Es bleibt zu zeigen, daß f x1 · · · xn ∈ X
gilt.
Angenommen, f x1 · · · f xn ∈
/ X. Dann sind die beiden folgenden Fälle zu betrachten:
1. f x1 · · · xn hat nicht die Eigenschaft 1. Dann gibt es ein t ∈ T S mit ξ ∈ A?S
mit ξ + 2 und t = f x1 · · · xn ξ. Es ist |t| ≥ |f | + |ξ| ≥ 2. Nach 4.7 gibt es ein
m ∈ N, t1 , . . . , tm ∈ T S und g ∈ Fm mit t = gt1 · · · tm . Es ist also gt1 . . . tm =
f x1 · · · xm ξ. Es folgt g = f und darum m = n. Wäre t1 = xn , . . . , tn = xn , so
wäre ξ = 2. Also gibt es ein i mit ti 6= xi . Sei i minimal mit dieser Eigenschaft.
Dann ist t1 = x1 , . . . , ti−1 = xi−1 , also ti · · · tn = xi · · · xn ξ. Insbesondere ist
|ti | =
6 |xi |. Ist |xi | ⊂ |ti |, dann ist xi echtes Anfangsstück von ti ∈ T S im
Widerspruch zu xi ∈ X. Ist |ti | ⊂ |xi |, so ist ti echtes Anfangsstück, im
Widerspruch zu xi ∈ X.
2. f x1 · · · xn hat nicht die Eigenschaft 2. Dann gibt es m ∈ N, t1 , . . . , tm ∈
T S , g ∈ Fm und ein ξ ∈ A?S mit ξ 6= 2 und gt1 · · · tm ξ = f x1 · · · xn . Wie
vorher folgt g = f und m = n. Wegen ξ = 2 gibt es ein erstes i ∈ n mit
ti 6= xi . Wieder ist ti · · · tn ξ = xi · · · xn im Widerspruch analog zu Fall 1.
2
Korollar 4.9
Seien m, n ∈ N, t1 , . . . , tm , t01 , . . . , t0n ∈ T S . Ist t1 · · · tm = t01 · · · t0n , so ist m =
n, t1 = t01 , . . . , tn = t0n .
Beweis:
Sei o.B.d.A. m ≤ n. Wäre t1 = t01 , . . . , tm = t0m , so wäre m = n und nichts zu
zeigen.
Sei also. i ∈ m mit ti 6= t0i und i minimal mit dieser Eigenschaft. Dann folgt
ti · · · tm = t0i · · · t0n . Wegen ti 6= t0i ist |ti | =
6 |t0i |. Nun ist entweder ti echtes An0
fangsstück von ti oder umgekehrt - im Widerspruch zu 4.8.
2
15
Hilfssatz 4.10
Sei (M, µ) ein Monoid und x ⊆ M . Für jedes Wort w ∈ M gebe es genau en m ∈ N0
und genau m-Tupel (x1 , . . . , xm ) ∈ X m mit w = x1 · · · xm .
Dann ist M frei über X.
Beweis:
Sei X ? ein über X freies Monoid. Die Multiplikation von X ? werde mit a · b bezeichnet. Dann gibt es genau einen Monoidhomomorphismus η : X ? → M und
η|X = idX . Ist w ∈ M und w = x1 . . . xm wie oben, so ist η(x1 x2 · · · xn ) =
η(x1 )η(x2 ) · · · η(xm ) = x1 x2 · · · xm = w. Also ist η surjektiv. Ist η(x01 · · · x0n ) =
η(x1 · · · xm ), ist x1 , . . . , xm , x01 , . . . , x0m ∈ X, so ist x1 · · · xm = x01 · · · x0n , also n = m
und x01 = x1 , . . . , x0m = xm . Daher ist η auch injektiv. Nun folgt leicht, daß auch M
frei über X ist.
2
Korollar 4.11
Das von der Menge T S erzeugte Teilmonoid von A?S ist frei über T S .
Beweis:
Ergibt sich direkt aus 4.9 und 4.10
2
Definition 4.12
Für jeden Term t setzen wir Stufe(t) := min{k ∈ N|t ∈ T S,k } (Wegen 4.7 ist
{k ∈ N|t ∈ T S,k } =
6 ∅).
Hauptsatz 4.13 (Über den Aufbau der Terme)
Jeder Term ist entweder ein Variablen- oder Konstantensymbol oder von der Form
f t1 · · · tn mit eindeutig bestimmten n ∈ N, eindeutig bestimmten f ∈ Fn und eindeutig bestimmten t1 , . . . , tn ∈ T S . Dabei ist
Stufe(t1 ), . . . ,Stufe(tn ) <Stufe(f t1 · · · tn )
Beweis:
Sei t ein Term und k :=Stufe(t). Ist k = 1, so ist t ∈ T S,1 = V ar ∪ K. Ist k > 1, so
gibt es ein n ∈ N, f ∈ Fn , t1 . . . , tn ∈ T S,1 ∪ . . . ∪ T S,k−1 mit t = f t1 · · · tn .
Als erster Buchstabe von t ist f damit auch eindeutig bestimmt. Das Produkt
t1 · · · tm bestimmt nach 4.9 die Faktoren t1 , . . . , tn eindeutig.
2
Bemerkung 4.14
Terme werden in polnischer Notation” geschrieben, wobei keine Klammern benötigt
”
werden. Statt a + b schreibt man in polnischer Notation +ab (ebenso für ·). Aus
(a + b) · (c + d) wird dann · + ab + cd [1]. Läßt man in (a + b) · (c + d) die Klammern
weg, so schreibt man a + b · +d [2]. Wegen der Konvention Punktrechnung vor
”
Strichrechnung” bedeutet das etwas anderes als (a+b)·(c+d). Da + eine zweistellige
Verknüpfung ist, sind in [2] Klammern erforderlich, also (a+b·c)+d oder a+(b·c+d).
Ist + assoziativ, so sind beide Terme” gleich. In polnischer Notation sind dies
”
+ + a · bd bzw. +a + ·bcd
Kapitel 5
Die Ausdrücke einer Sprache
erster Stufe
Definition 5.1
Seien m ∈ N, t, t0 , t1 , . . . , tm ∈ T S und RRm . Wir nennen die Zeichenkette t ≡ t0
und Rt1 · · · tm atomare Ausdrücke. Nach 4.4 kommt der Buchstabe ≡ in t ≡ t0 genau einmal vor und in Rt1 · · · tm gar nicht vor. R als erster Buchstabe ist eindeutig
durch Rt1 · · · tm bestimmt, wegen 4.9 dann auch t1 , . . . , tm .
Jeder atomare Ausdruck legt einen Typ und die Bestandteile t, t0 , R, t1 , . . . , tm eindeutig fest.
Definition 5.2
Sei x ⊆ A?S . Wir nennen X ausdrucksabgeschlossen, wenn gilt:
1. alle atomaren Ausdrücke gehören zu X
2. für alle φ, ψ ∈ X und alle x ∈ V ar gilt:
¬φ, (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ), ∀xφ, ∃xφ ∈ X
z.B. ist ∀v1 ¬v1 ≡ v1 in jeder ausdrucksabgeschlossenen Menge enthalten.
Bemerkung 5.3
Es gilt
1. A?S ist ausdrucksabgeschlossen.
2. Sei T
∅ 6= M ∈ P(A?S ). Für alle X ∈ M sei ... ausdrucksabgeschlossen. Dann
ist X∈M X ausdrucksabgeschlossen.
Insbesondere ist der Durchschnitt über ale ausdrucksabgeschlossenen Mengen selbst
ausdrucksabgeschlossen.
Definition 5.4
T
Wir nennen LS := X∈A? ,Xa−abg. die zu S gehörende Sprache (der PrädikatenS
logik) 1. Stufe. Die Elemente von LS heißen S-Ausdrücke (kurz Ausdrücke). Alle
atomaren Ausdrücke sind selbst Ausdrücke.
Beispiel 5.5
Sei µ ∈ F2 und e ∈ K. Dann sind µv1 v2 , µv2 v3 , µµv1 v2 v3 , µv1 µv2 v3 , µev1 , µv1 e Terme, ferner µµv1 v2 v3 ≡ µv1 µv2 v3 , µev1 ≡ v1 atomare Ausdrücke und ∀v1 ∀v2 ∀v3 µµv1 v2 v3 ≡
µv1 µv2 v3 , ∀v1 (µv1 e ≡ v1 ∧ µev1 ≡ v1 ) Ausdrücke.
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