Exponentialfunktion, Logarithmus

Exponentialfunktion, Logarithmus
1. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0
Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel.
1.1. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei a eine streng positive reelle
Zahl (a > 0). Dann wird die Funktion
f (x) = ax
die Exponentialfunktion zur Basis a genannt. Achten Sie darauf, dass keine Exponentialfunktion zu einer negativen Basis oder zur Basis Null definiert wird!
1.2. Die eulersche Zahl e. Es gibt in der Mathematik eine sehr wichtige Zahl, die
eulersche Zahl e = 2, 718281 . . . (diese Zahl hat unendlich viele Dezimalstellen: Wenn
wir e schreiben dann verstehen wir die exakte reelle Zahl; wenn wir 2, 718281 oder 2, 72
schreiben, handelt es sich nur um eine Approximation). Die Funktion
f (x) = ex = exp(x),
also die Exponentialfunktion zur Basis e, heißt die Exponentialfunktion. Da diese Exponentialfunktion am häufigsten benutzt wird, hat die auch eine √spezielle Notation
— der
√
3
Vorteil ist, dass man den Exponenten besser lesen kann, z.B. e 2 = exp( 3 2).
1.3. Einige wichtige Rechenregeln. Hier sind a, b, x, y reelle Zahlen mit a, b > 0.
ax > 0
ax · ay = ax+y
(ax )y = ax·y
1 x
1
−x
a = x =
a
a
ax · bx = (ab)x
ax a x
=
bx
b
2. Die Graphen der Exponentialfunktionen
2.1. Die drei verschiedenen Fälle. Es gibt drei Fälle für die Exponentialfunktion zu
einer positiver Basis:
• Falls a = 1, dann ist 1x = 1 für alle x, also haben wir die konstante Funktion
f (x) = 1x = 1
f : R → {1}
• Falls a > 1, dann ist die Exponentialfunktion zur Basis a eine streng monoton
wachsende Funktion, die als Werte alle streng positiven reellen Zahlen annimmt
(jeden Wert genau einmal):
f (x) = ax
f : R → R>0
1
• Falls 0 < a < 1, dann ist die Exponentialfunktion zur Basis a eine streng monoton
fallende Funktion, die als Werte auch alle streng positiven reellen Zahlen annimmt
(jeden Wert genau einmal):
f (x) = ax
f : R → R>0
ex
−3
1x = 1
−2
3
3
2
2
1
1
−1
1
2
−3
3
−2
−1
2
3
1
2
3
( 12 )x
2x
3
3
2
2
1
−3
1
−2
−1
1
1
2
3
−3
−2
−1
2.2. Werte an der Stelle 0. Für alle a > 0 ist a0 = 1. Deswegen ist der Wert der
Exponentialfunktion zur Basis a im Punkt x = 0 gleich 1. Auf dem Graphen abgelesen:
Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ist immer der Punkt (0, 1).
2.3. Werte an der Stelle 1. Für alle a > 0 ist a1 = a. Deswegen ist der Wert der
Exponentialfunktion zur Basis a im Punkt x = 1 gleich a.
Auf dem Graphen abgelesen: Wenn wir wissen wollen, was für eine Basis es sich handelt
dann müssen wir den Graphen in x = 1 ablesen, da es sich um den Punkt (1, a) handelt.
Wenn wir nur wissen wollen, ob die Basis gleich 1 ist, > 1 ist oder zwischen 0 und 1 liegt,
dann müssen wir nur sehen, ob der Graph der Exponentialfunktion konstant ist oder
steigt oder fällt. Je größer die Basis > 1, umso schneller steigt die Funktion. Je kleiner
die Basis 0 < a < 1, umso schneller fällt die Funktion.
2.4. Grenzwerte. Für die drei Fälle:
• Falls die Basis a > 1 ist: für x → +∞ ist ax → +∞ und für x → −∞ ist ax → 0.
• Falls die Basis 0 < a < 1 ist: für x → +∞ ist ax → 0 und für x → −∞ ist
ax → +∞.
• Falls die Basis a = 1 ist: für alle x ist 1x = 1.
2.5. Beispiele von Werten der Exponentialfunktionen. 13 = 1, 23 = 8, 2−3 = 18 ,
√
√
√
1
1
1
5
2
2 3 = 3 2, 8 3 = 3 8 = 2, (32) 4 = 2 4 = 2 · 4 2, ( 43 ) = 16
, (0.5)2 = 0.25 = 41 .
9
2
3. Der Logarithmus zu einer Basis > 0 und 6= 1
3.1. Eine Notation/Definition. Sei a eine streng positive reelle Zahl, die von 1 verschieden ist (a > 0 und a 6= 1). Sei b > 0. Mit loga (b) meinen wir die reelle Zahl r, sodass
ar = b.
Einige Beispiele sind: log10 10 = 1, log10 1000 = 3, log10 0.001 = log10
√
−3, log10 10 = 12 .
1
1000
= log10 10−3 =
3.2. Die Logarithmusfunktion zu einer Basis > 0 und 6= 1. Sei a eine von 1 verschiedene streng positive reelle Zahl (a > 0 und a 6= 1). Dann heißt die Funktion
f (x) = loga (x)
die Logarithmusfunktion zur Basis a. Achten Sie darauf, dass keine Logarithmusfunktion
zu einer negativen Basis oder zur Basis Null oder zur Basis 1 definiert wird. Achten Sie
darauf, dass die reelle Zahl x streng positiv sein muß.
3.3. Der dekadische Logarithmus. Die Funktion
f (x) = log10 (x) = log(x),
also die Logarithmusfunktion zur Basis 10, heißt der dekadische Logarithmus, mit Notation log oder lg.
3.4. Der natürliche Logarithmus. Die Funktion
f (x) = loge (x) = ln(x),
also die Logarithmusfunktion zur Basis e (die berühmte eulersche Zahl) heißt der natürliche
Logarithmus. Da er sehr häufig benutzt wird, hat man auch die kürzere Notation ln (aus
‘logarithmus naturalis’) eingeführt. Verwechslunggefahr: Manchmal schreibt man log für
loge , eine ganz schlechte Gewohnheit.
3.5. Der Zweierlogarithmus. Die Funktion
f (x) = log2 (x),
also die Logarithmusfunktion zur Basis 2, heißt der Zweierlogarithmus (auch binärer Logarithmus), mit Notation ld (aus ‘logarithmus duales’). Man muß diese Notation kennen,
aber die Basis 2 wird nicht so oft benutzt.
3.6. Exponential und Logarithmus. Man kann den Logarithmus zur Basis a als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a sehen. In der Tat gilt für a > 0 und
a 6= 1
loga (y) = x, falls y = ax
ay = x, falls x > 0 und y = loga (x)
3
4. Eigenschaften der Logarithmen
4.1. Regeln der Logarithmen. Sei a > 0 und a 6= 1. Seien x, y > 0 und r eine reelle
Zahl. Aus der Eigenschaften der Exponentialfunktion folgen:
loga (1) = 0, weil a0 = 1
loga (a) = 1, weil a1 = a
loga (xr ) = r · loga (x)
loga
1
x
= − loga (x)
[Spezialfall r = −1]
loga (x · y) = loga (x) + loga (y)
loga
x
y
= loga (x) − loga (y)
[Konsequenz der obigen Eigenschaften]
4.2. Umrechnung zwischen Basis: Seien a, b > 0 und a, b 6= 1. Sei x > 0. Es gilt:
logb (a) =
1
loga (b)
logb (x) = logb (a) · loga (x) =
loga (x)
loga (b)
Um die richtige Formel zu benutzen (um Fehler zu vermeiden), √
testen Sie die mit den
2
Basen 10 und 100. Für die erste Formel: Da 100 = 10 und 10 = 100 gilt:
1
log10 (100) = 2
log100 (10) =
2
Für die zweite Formel: Es gilt 1.000.000 = 106 = 1003 . Daher:
log10 (1.000.000) = 6
log10 (100) = 2
log100 (1.000.000) = 3
Aufgabe: Seien a > 0 und a 6= 1 und s 6= 0. Verstehen Sie warum logas (xs ) = loga (x).
(Hinweis: (as )r = xs und ar = x sind äquivalent).
5. Die Graphen der Logarithmusfunktionen
5.1. Die zwei verschiedenen Fälle. Es gibt zwei Fälle für die Logarithmusfunktion
zu einer positiven Basis:
• Falls a > 1, dann ist die Logarithmusfunktion zur Basis a eine streng monoton
wachsende Funktion, die als Werte alle reellen Zahlen annimmt (jeden Wert genau
einmal):
f : R>0 → R
f (x) = loga (x)
• Falls 0 < a < 1, dann ist die Logarithmusfunktion zur Basis a eine streng monoton
fallende Funktion, die als Werte alle reellen Zahlen annimmt (jeden Wert genau
einmal):
f : R>0 → R
f (x) = loga (x)
4
ln(x)
log10 (x)
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
−1
−1
−2
−2
−3
−3
log2 (x)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
log0.5 (x)
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Anmerkung: Die Graphen berühren niemals die y-Achse. Das ist nur eine optische Täuschung.
5.2. Der Wert an der Stelle 1. Für alle a > 0 und a 6= 1 ist loga (1) = 0. Deswegen
ist der Wert der Logarithmusfunktion zur Basis a im Punkt x = 1 gleich 0. Auf dem
Graphen abgelesen: Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ist der Punkt (1, 0).
5.3. Der Wert an der Stelle der Basis. Für alle a > 0 und a 6= 1 ist loga (a) = 1.
Deswegen ist der Wert der Logarithmusfunktion zur Basis a im Punkt x = a gleich 1.
Auf dem Graphen abgelesen: Wenn wir wissen wollen, um welche Basis es sich handelt,
dann müssen wir nur den Graphen in y = 1 ablesen, da es sich um den Punkt (a, 1)
handelt. Wenn wir nur wissen wollen, ob die Basis > 1 ist oder zwischen 0 und 1 liegt,
dann müssen wir nur sehen, ob der Graph der Logarithmusfunktion steigt oder fällt. Je
größer die Basis > 1, umso langsamer steigt die Funktion. Je kleiner die Basis 0 < a < 1,
umso langsamer fällt die Funktion.
5.4. Grenzwerte.
• Falls die Basis a > 1 ist: für x → +∞ ist loga (x) → +∞ und für x → 0 ist
loga (x) → −∞.
• Falls die Basis 0 < a < 1 ist: Für x → +∞ ist loga (x) → −∞ und für x → 0 ist
loga (x) → +∞.
5.5. Beispiele. Einige Beispiele von Werten der Logarithmusfunktionen: log10 10 = 1,
1
log10 1 = 0, log10 100 = 2, log10 10000 = 4, log10 0.1 = log10 10
= −1, log10 0.01 =
√
3
1
1
log10 100 = −2, log10 10 = 3 .
Und auch: ln(e) = 1, ln(e2 ) = 2, ln( √1e ) = − 12 .
Was ist log10 (4)? und ln(4)? Für die meisten reellen Zahlen können wir den Logarithmus
nicht exakt berechnen (also nur approximieren). Was wir sofort sagen können, ist 0 <
log10 4 < 1 (da 1 < 4 < 10) und 1 < ln(4) < 2 (da e < 2, 8 < 4 < (2, 7)2 < e2 ). Wir
können mit dem Computer bessere Abschätzungen berechnen.
5