Zusammenfassung - Technische Universität Chemnitz

TECHNISCHE UNIVERSITÄT CHEMNITZ
Seminar: Partielle Differentialgleichungen
Sommersemester 2008
Tino Gehlert
Halbleiter Modellierung
Einleitung
Die Leitfähigkeit von Halbleitern wird durch Einpflanzung von unreinen Atomen modifiziert.
Dabei werden je nach Eigenschaften der eingepflanzten Atome entweder Elektronen („LeiterElektronen“) frei (negative Ladung) oder absorbiert (positive Ladung, ein so genanntes
(Elektronen-) „Loch“). Dieser Prozess heißt Dotierung.
Es existieren 3 Ebenen der Modellierung von Halbleiter-Strukturen:
1. Modellierung des Dotierungsprozesses
2. Modellierung der elektrischen Funktionen in einem individuellen (in der Regel bereits
dotierten) Halbleiter-Produktes
3. Modellierung des VLSI (Very Large Scale Integration) Schaltkreises (z.B. ein
Prozessorchip, der aus Millionen Halbleiter-Produkten besteht)
Im Vortrag betrachten wir die zweite Ebene. Die Grundlage für die Modellierung liefern die
Quanten-Physik und die Festkörper-Physik. Aus unterschiedlichen Maßstäben und
Genauigkeiten der Beschreibung der im Halbleiter vorkommenden Effekte resultiert eine
Modellierungs-Hierarchie:
1. Quanten-Mechanische Modellierung
2. Semiklassische Modellierung
3. Makroskopische Modellierung
Nun betrachten wir das älteste aber noch immer bedeutendste Halbleiter-Produkt-Modell, das
Drift-Diffusion-Poisson (DDP) System.
Das DDP-System
Hauptfaktoren für den elektrischen Fluss innerhalb eines Halbleiters sind Diffusion von
Leiter-Elektronen und Löchern, genauso wie Konvektion von geladenen Teilchen durch das
angelegte elektrische Feld. Sei n = n(x,t) die Dichte der Leiter-Elektronen an der Stelle x zur
Zeit t, p = p(x,t) die Dichte der Löcher, V = V(x,t) das elektrische Potential und Jn (Jp) die das
Elektronen- (Loch-) Flussdichte-Vektorfeld. Nach passender Skalierung sehen der
Elektronen- und Loch-Flussdichten im DD-Modell wie folgt aus:
J n = D n grad n − µ n n grad V
J p = −( D p grad p + µ p p grad V )
Hierbei stellen Dn und Dp die Diffusionskoeffizienten und µ n und µ p die Beweglichkeit dar.
Der erste Term der jeweiligen Gleichung repräsentiert die Diffusionsströme, der zweite die
Driftströme, generiert durch das elektrische Feld E = -grad V. Die totale Flussdichte lautet:
J = Jn + J p
Die Fortsetzungsgleichungen für beide Trägertypen müssen dabei einhalten:
nt = div J n + R
p t = div J p + R
wobei R die so genannte Rekombination – Generiergungs - Rate darstellt, welche die
gleichzeitige Generierung / Auslöschung von Elektronen – Loch Paaren erklärt und meistens
als Funktion von n und p realisiert wird.
Für ein geschlossenes System gilt folgende Poisson-Gleichung für das elektrische Potential:
λ2 ∆V = n − p − C ( x )
Diese Gleichung folgt aus den Maxwell-Gleichungen, wenn magnetische und relativistische
Effekte vernachlässigt werden. Die rechte Seite repräsentiert die Raum-Ladungsdichte. Der
Parameter λ ist der Radius des elektrischen Einflusses auf ein unreines Ion im HalbleiterKristall. C(x) stellt das Dotierungs-Profil und damit die elektrischen Eigenschaften des
Halbleiters dar.
Oft sind Diffusion und Beweglichkeit proportional und man setzt sie nach geeigneter
Skalierung gleich. Setzt man die Fluss-Beziehung in die Fortsetzungsgleichung ein, so erhält
man:
nt = div ( D n ( grad n − n grad V )) + R ( n , p )
p t = div ( D p ( grad p + p grad V )) + R ( n , p )
λ2 ∆V = n − p − C ( x)
Gleichgewichtszustände (also sich aufhebende Flussdichten) sind Maxwell-verteilt:
nl = δ 2 exp(Vl ) , p l = δ 2 exp( −Vl )
wobei δ ein positiver Produkt-abhängiger Parameter ist. R verschwindet im Gleichgewicht.
Die Gleichgewichts Poisson-Gleichung wird dann halblinear:
λ2 ∆Vl = δ 2 exp(Vl ) − δ 2 exp(−Vl ) − C ( x )
Das DDP-System besitzt Anfangsbedingungen für n und p, sowie Randbedingungen für n, p
und V. Der Rand teilt sich in 2 Teile, einen Kontakt-Rand mit Dirichlet-Bedingungen und
einen Isolations-Rand mit homogenen Neumann-Bedingungen. So gelten für das
Gesamtsystem gemischte Dirichlet-Neumann-Bedingungen.
Das Gleichgewicht herrscht zum Zeitpunkt t = 0 und wird sofort zerstört, wenn eine
Spannung angelegt wird.
Im Inneren des Halbleiter-Gebietes existieren Grenzflächen zwischen positiven und negativen
dotierten Teilgebieten, so genannte np-Verbindung. An diesen Grenzflächen sind n und p
unstetige Funktionen. Im Inneren der Teilgebiete sind n, p und V stetig. Die dünne Schicht
(mit Dicke von O(λ)) um die np-Verbindung muss bei der Diskretisierung berücksichtigt
werden!