Blatt 9

Übungsblatt 9 zur Elektrodynamik
Prof. K. Hornberger, B. Stickler
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Donnerstag 14.1.2016 10:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 25 — Der Maxwellsche Spannungstensor
(9 + 2 Punkte)
Die Kraft zwischen zwei Punktladungen ist bekanntlich durch das Coulombgesetz gegeben. Andererseits haben Sie in der Vorlesung gelernt, dass die Gesamtkraft auf die im Volumen V lokalisierte
Ladung durch das Oberflächenintegral des Maxwellschen Spannungstensor über die Oberfläche ∂V
berechnet werden kann. Überprüfen Sie dies durch explizite Rechnung für die zwei Punktladungen
q1 = q2 = q, die sich bei den Positionen r1,2 = ±aez /2 befinden, indem Sie den Maxwellschen
Spannungstensor über den Halbraum integrieren:
(a) Bestimmen Sie dazu das gesamte elektrische Feld auf der xy-Ebene und ermitteln Sie die kartesischen Komponenten des Maxwellschen Spannungstensors in der xy-Ebene.
(b) Führen Sie das Oberflächenintegral des Spannungstensors durch, um einen Ausdruck für die Kraft
auf eine der beiden Ladungen zu erhalten. Stimmt das Ergebnis mit der Coulombkraft überein?
Hinweis:
d
dx
1
c
−
2
2(x + c)
x+c
=
x
.
(x + c)3
Bonus: Obwohl der Spannungstensor mit dem gesamten elektrischen Feld berechnet wird, übt eine
einzelne Ladung keine Kraft auf sich selbst aus. Zeigen Sie dies, indem Sie den Spannungstensor einer
Ladung im Ursprung bestimmen und über die Kugeloberfläche mit Radius r integrieren. Hinweis:
(er ⊗ er ) · er = er .
Aufgabe 26 — Das Rätsel des magnetischen Monopols
(12 Punkte)
Gäbe es auch magnetische Ladungen, dann wäre die naheliegende Verallgemeinerung der Maxwellgleichungen
∇·E =
%E
,
ε0
∇ × E = −∂t B − µ
e0 J M ,
∇·B =
%M
,
εe0
∇ × B = µ0 J E + µ0 ε0 ∂t E.
(a) Welche Beziehung muss zwischen εe0 und µ
e0 gelten, damit die Kontinuitätsgleichung auch für die
magnetische Ladungsdichte %M und die zugehörige Stromdichte J M gilt?
(b) Angenommen magnetische Ladungen treten immer in einem festen Verhältnis zu elektrischen
Ladungen auf, %M = γ%E und J M = γJ E . Zeigen Sie, dass dann die modifizierten Maxwellgleichungen durch die Transformation
E = E cos ξ + cB sin ξ,
1
B = B cos ξ − E sin ξ,
c
für eine bestimmte Konstante ξ in die Form der vertrauten Maxwellgleichungen gebracht werden
können. Wie lauten die transformierte Ladungsdichte ρ und die zugehörige Stromdichte j?
Aufgabe 27 — Der elektromagnetische Impuls
Können auch stationäre elektromagnetische Felder einen Impuls besitzen?
(12 Punkte)
(a) Durch die stationäre, lokalisierte Ladungsverteilung ρ(r) fließe der stationäre, lokalisierte Strom
j(r). Zeigen Sie, dass der Impuls des elektromagnetischen Feldes von der Form
Z
1
Pem = 2 d3 r Φ(r)j(r),
(1)
c
ist, da das Produkt aus elektrostatischem Potential Φ(r) und B-Feld im Unendlichen hinreichend
schnell abfällt. Was bedeutet hier hinreichend schnell?
(b) Angenommen der elektrische Strom ist auf einem Bereich lokalisiert, in dem sich das elektrische
Feld nur vernachlässigbar ändert. Zeigen Sie, dass dann der Impuls Pem proportional zum Kreuzprodukt der lokalen Feldstärke E(0) = E0 mit dem magnetischen Dipolmoment m ist, indem Sie
das Potential in (1) in eine Taylorreihe um den Ursprung entwickeln.
(c) Wenn das E-Feld tatsächlich im gesamten Raum konstant wäre, dann hätten wir den Randbeitrag
oben nicht vernachlässigen dürfen. Berechnen Sie den Randterm explizit um zu zeigen, dass der
gesamte Impuls in diesem Fall um ein Drittel reduziert wird.