Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I

Technische Universität München
Institut für Informatik
Prof. Dr. J. Csirik
Brandt & Stein
WS 2002/03
Aufgabenblatt 1
14. Oktober 2002
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I
Quiz: Test von Grundbegriffen
Aufgabe 1
Mengen und Beweise (Z)
Zeigen Sie: Für eine Menge M mit |M| < ∞ gilt:
Aufgabe 1
(Lösungsvorschlag)
|P(M)| > |M|.
Mengen und Beweise
Sei M = {m1 , m2 , . . . , mn }, also |M| = n.
Dann gilt: {m1 } ∈ P(M), {m2 } ∈ P(M), . . . {mn } ∈ P(M) und ∅ ∈ P(M),
und somit {∅, {m1 }, {m2 }, . . . {mn }} ⊂ P(M).
Schließlich:
Aufgabe 2
|{∅, {m1 }, {m2 }, . . . {mn }}| = n + 1
⇒
|P(M)| ≥ n + 1
Abbildungen (Z)
(a) Welche der folgenden Eigenschaften erfüllt die Abb. f : Z → Z mit f(x) = −x ?
injektiv,
surjektiv
bijektiv
(b) Welche der folgenden Eigenschaften erfüllt die Abb. f : Z → N0 mit f(x) = x2 ?
injektiv
surjektiv
bijektiv
(c) Welche der folgenden Eigenschaften erfüllt die Abb. f : N → N mit f(x) = 2x ?
injektiv
surjektiv
bijektiv
(d) Gibt es eine Bijektion f : N → Z von den natürlichen Zahlen N zu den ganzen
Zahlen Z? Wenn ja, geben Sie eine an.
ja nein
(e) Ist die folgende Aussage korrekt?
Jede injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich selbst f : M → M ist
auch bijektiv.
ja nein
Aufgabe 2
(Lösungsvorschlag)
Abbildungen
(a) f(x) = −x ist eine Bijektion. Die Abbildung ist also injektiv und surjektiv.
(b) f(x) = x2 mit f : Z → N0 ist nicht surjektiv, denn es wird z.B. kein x ∈ Z auf
3 ∈ N0 abgebildet. Die Abbildung ist auch nicht injektiv, denn sowohl −x als
auch x werden auf x2 abgebildet.
(c) f(x) = 2x ist injektiv, denn jedes x wird auf ein anderes f(x) abgebildet. Sie ist
nicht surjektiv, da beispielsweise 3 ∈ N nie erreicht wird.
(d) Eine mögliche solche Abbildung lautet:
− n2 wenn n gerade
f(n) = n−1
sonst
2
(e) Diese Aussage ist richtig (für endliche Mengen wohlgemerkt!), denn wenn auf
jedes Element der Wertemenge höchstens einmal abgebildet wird (Injektivität),
wird auf genauso viele Elemente abgebildet wie es Elemente in der Definitionsmenge gibt. Da beide Mengen identisch sind, ist die Abbildung auch surjektiv.
Es würde also genügen zu verlangen, dass Definitions- und Wertemenge die
gleiche Mächtigkeit haben.
Aufgabe 3
Relationen (Z)
Gegeben sei die Relation R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} auf der Menge {a, b, c}.
Bestimmen Sie welche der folgenden Eigenschaften diese Relation besitzt.
reflexiv
2
symmetrisch
antisymmetrisch
transitiv
Aufgabe 3
(Lösungsvorschlag)
Relationen
Die Relation R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Sie ist daher eine Äquivalenzrelation. Die Relation ist keine Abbildung (z.B. wegen (a, a), (a, c)).
Aufgabe 4
O-Notation (Z)
Ordnen Sie die folgenden Funktion nach ihrem Wachstumsverhalten, also so, dass
für zwei aufeinander folgende Funktionen f und g gilt: f(n) = o(g(n)).
n
f1 (n) = 2
√
f2 (n) = n
f3 (n) = n
f4 (n) = (log n)2
f5 (n) = log n2
f6 (n) = 2100
Aufgabe 4
(Lösungsvorschlag)
O-Notation
Am langsamsten „wächst“ die konstante Funktion 2100 . Dann kommen die logarithmischen
log n2 = 2 log n und (log n)2 . Schneller wächst die Wurzelfunk√ Funktionen
tion n = n0.5 und anschließend die Identität n. Schließlich folgt die Funktion 2n mit
exponentiellem Wachstum. Es folgt also:
f6 (n) = o(f5 (n)) = o(f4 (n)) = o(f2 (n)) = o(f3 (n)) = o(f1 (n))
Aufgabe 5
Spielereien mit Mengen (Z)
A = {a, 23, f, g, 42, δ, k, m}, B = {a, 2, 3, 5, 7, c, d, e, 27, δ, 42},
C = {α, 2, 3, γ, 5, 7, d, e, ε}, D = B ∩ (A ∪ C), E = D ∩ (A ∩ B),
G = F ∩ (A ∪ B).
Berechnen Sie |P(G)|.
3
F = E ∪ (A \ C),
Aufgabe 5
(Lösungsvorschlag)
Spielereien mit Mengen
E = D ∩ (A ∩ B)
= (B ∩ (A ∪ C)) ∩ (A ∩ B)
= ((B ∩ A) ∪ (B ∩ C)) ∩ (A ∩ B)
= (A ∩ B) ∩ ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C))
= (A ∩ B).
F = E ∪ (A \ C)
=E∪A
= (A ∩ B) ∪ A
= A.
G = F ∩ (A ∪ B)
= A ∩ (A ∪ B)
= A.
Damit gilt: |P(G)| = |P(A)|.
Einsetzen
distributiv
kommutativ
Absorption
da A ∩ C = ∅
Einsetzen
Absorption
Einsetzen
Absorption
|A| = 8 ⇒ |P(A)| = 28 = 256.
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