Kapitel 4 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik Teil 2 Deduktionstheorem und Rückführung des Vollständigkeitssatzes auf das Erfüllbarkeitslemma Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 1 / 24 Struktur des Beweises des Vollständigkeitssatzes Zum Beweis des Vollständigkeitssatzes für den Shoenfield-Kalküls S der Prädikatenlogik gehen wir ähnlich wie beim Beweis des Vollständigkeitssatzes in der Aussagenlogik vor. Wichtige Vorarbeiten waren dort: 1 Bereitstellung zulässiger Axiome und Regeln 2 Deduktionstheorem 3 Rückführung des Vollständigkeitssatzes auf das Erfüllbarkeitslemma mit Hilfe der Analyse der Zusammenhänge zwischen Beweisbarkeit und Konsistenz (syntaktische Ebene) bzw. zwischen Folgerungsbegriff und Erfüllbarkeit (semantische Ebene). Den ersten Schritt haben wir für PL bereits im ersten Teil des Kapitels ausgeführt. Im zweiten Teil des Kapitels führen wir nun Schritt 2 und 3 aus und betrachten als weiteres Hilfsmittel Erweiterungen von Sprachen und Theorien: Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 2 / 24 Übersicht 4.4 Das Deduktionstheorem 4.5 Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien 4.6 Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs. Erfüllbarkeitslemma Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 3 / 24 4.4 Das Deduktionstheorem Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 4 / 24 Das Deduktionstheorem SATZ (DEDUKTIONSTHEOREM). Sei Φ eine Menge von Formeln, ψ eine Formel und σ ein Satz. Dann gilt: (∗) Φ � σ → ψ ⇔ Φ ∪ {σ} � ψ BEMERKUNG. Die triviale Richtung ⇒ gilt auch für eine beliebige Formel ϕ anstelle des Satzes σ: Aus der Annahme Φ � ϕ → ψ erhält man die Beweisbarkeit von ψ aus Φ ∪ {ϕ} wie folgt: 1 2 3 ϕ→ψ ϕ ψ Annahme da ϕ ∈ Φ ∪ {ϕ} AL: 2 Die Rückrichtung gilt dagegen für beliebiges ϕ anstelle des Satzes σ i.a. nicht. Gegenbeispiel: Φ := ∅, ϕ :≡ x = y und ψ :≡ ∀x∀y (x = y ) ϕ � ψ folgt aus der zulässigen Allabschlussregel (∀31 ). � ϕ → ψ folgt mit dem Korrektheitssatz aus �� ϕ → ψ � (NB: ϕ → ψ gilt nur in Strukturen mit 1-elementigem Universum). Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 5 / 24 Das Deduktionstheorem: Beweis Die nichttriviale Richtung ⇐ in (∗) Φ � σ → ψ ⇔ Φ ∪ {σ} � ψ zeigt man durch Herleitungsinduktion. Annahme: Φ ∪ {σ} � ψ Zu zeigen: Φ � σ → ψ 1. ψ Axiom oder ψ ∈ Φ 1 2 2. ψ ≡ σ ψ σ→ψ 1 Fallannahme AL: 1 σ→σ ≡σ→ψ AL 3. ψ sei aus ψi (i = 1 bzw. i = 1, 2) mit Hilfe der Regel R erschlossen. Nach I.V. gilt dann Φ � σ → ψi (für i = 1 bzw. i = 1, 2). Wir unterscheiden hier, ob R eine aussagenlogische Regel oder die ∃-Einführungsregel ist: Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 6 / 24 Das Deduktionstheorem: Beweis (Fortsetzung) 3. ψ sei aus ψi (i = 1 bzw. i = 1, 2) mit Hilfe der Regel R erschlossen. Nach I.V. gilt dann: Φ � σ → ψi (für i = 1 bzw. i = 1, 2) Zu zeigen: Φ � σ → ψ 3.1 R ist aussagenlogische Regel Für i = 2 erhält man dann (i = 1 analog): 1 2 3 σ → ψ1 σ → ψ2 σ→ψ I.V. I.V. AL: 1,2 3.2 R ist die ∃-Einführungsregel (∃1), d.h. ψ1 ≡ γ → δ ψ ≡ ∃xγ → δ 1 2 3 4 (wobei x �∈ FV (δ) (= VB)) σ → (γ → δ) γ → (σ → δ) ∃xγ → (σ → δ) σ → (∃xγ → δ) ≡ σ → ψ Mathematische Logik (WS 2011/12) I.V. AL: 1 ∃1: 2 VB erfüllt, da x �∈ FV (δ) = FV (σ → δ) AL:3 Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 7 / 24 Das Deduktionstheorem: Folgerungen Das Deduktionstheorem lässt sich wie folgt verallgemeinern: KOROLLAR ZUM DEDUKTIONSTHEOREM. Sei Φ eine Menge von Formeln, ψ eine Formel und σ1 , . . . σn Sätze. Dann gilt: (∗∗) Φ � σ1 ∧ · · · ∧ σn → ψ ⇔ Φ ∪ {σ1 , . . . , σn } � ψ BEWEIS Φ � σ1 ∧ · · · ∧ σn → ψ Mathematische Logik (WS 2011/12) ⇔ ⇔ ... ⇔ ⇔ Φ � σ1 → · · · → σn → ψ Φ ∪ {σ1 } � σ2 → · · · → σn → ψ AL DT Φ ∪ {σ1 , . . . , σn−1 } � σn → ψ Φ ∪ {σ1 , . . . , σn−1 , σn } � ψ DT DT Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 8 / 24 4.5 Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 9 / 24 Erweiterungen von Sprachen und Theorien: Definitionen Eine Sprache L� ist eine Erweiterung der Sprache L (L ⊆ L� ), falls jedes nichtlogische Symbol von L ein Symbol von L� ist (d.h. genauer: jedes Relations- und Funktionszeichen und jede Konstante von L ein Relationsund Funktionszeichen (der entsprechenden Stelligkeit) bzw. eine Konstante von L� ist). Eine L� -Theorie T � = (L� , Σ� ) ist eine Erweiterung der L-Theorie T = (L, Σ) (T � T � ), falls (i) L� eine Erweiterung von L ist und (ii) für jede L-Formel ϕ gilt: T � ϕ ⇒ T � � ϕ. Gilt in (ii) sogar die Äquivalenz, d.h. (ii’) für jede L-Formel ϕ gilt: T � ϕ ⇔ T � � ϕ so heisst T � konservative Erweiterung von T . Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 10 / 24 Erweiterungen von Theorien: Bemerkungen und weitere Definitionen Der Begriff der Erweiterung T � einer Theorie T ist syntaktisch definiert, d.h. basiert auf dem (syntaktischen) Beweisbarkeitsbegriff (�), nicht auf dem (semantischen) Folgerungsbegriff (�). Definieren wir den (syntaktischen) deduktiven Abschluss von T = (L, Σ) durch C� (T ) = {σ : σ L-Satz & T � σ} so ist T � = (L� , Σ� ) eine Erweiterung von T = (L, Σ) g.d.w. L ⊆ L� und C� (T ) ⊆ C� (T � ) gilt (dies folgt aus der Zulässigkeit der Allabschlussregeln). Entsprechend ist die Erweiterung T � von T genau dann konservativ, wenn C� (T ) = C� (T � ) ∩ S(L) gilt, wobei S(L) die Menge der L-Sätze ist. Zwei Theorien T und T � sind äquivalent, wenn sie denselben syntaktischen deduktiven Abschluss haben: C� (T ) = C� (T � ). Aus dem Adäquatheitssatz wird folgen, dass die syntaktische Folgerungsmenge C� (T ) mit der semantischen Folgerungsmenge C (T ) = {σ : σ L-Satz & T � σ} zusammenfällt, und man daher den Erweiterungsbegriff entsprechend semantisch definieren kann. Bis zum Beweis des Adäquatheitssatzes müssen wir aber zwischen den syntaktischen und den zugehörigen semantischen Begriffen unterscheiden. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 11 / 24 Erweiterungen von Theorien: Beispiele Ist T = (L, Σ) eine L-Theorie und ϕ ≡ ϕ(x1 , . . . , xn ) eine L-Formel (die höchstens die Variablen x1 , . . . , xn frei enthält), so ist die Theorie T � = (L� , Σ� ) eine konservative Erweiterung von T , wobei � � L� ist die Erweiterung von L um das neue n-st. Relationszeichen R Σ� = Σ ∪ {R(x1 , . . . , xn ) ↔ ϕ}. Ähnlich: Für eine L-Theorie T = (L, Σ) und eine L-Formel ϕ(�x , y ), für die T � ∀�x ∃!y ϕ(�x , y ) gilt (wobei ∃!y ϕ ≡ ∃y (ϕ ∧ ∀y � (ϕ[y � /y ] → y � = y )) also ∃! als “es gibt genau ein” zu lesen ist), ist die Theorie T � = (L� , Σ� ) eine konservative Erweiterung von T , wobei � � L� ist die Erweiterung von L um das neue Funktionszeichen f Σ� = Σ ∪ {f (�x ) = y ↔ ϕ}. (BEWEIS: Übung!) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 12 / 24 Spracherweiterungen und Strukturen DEFINITION. Ist L ⊆ L� , A eine L-Struktur und A� eine L� -Struktur, so heisst A� eine Erweiterung von A oder A die Einschränkung von A� auf L (A = A� � L), � falls |A| = |A� | und für alle nichtlogischen Symbole S von L gilt: S A = S A . BEISPIEL. Ist K = (K , +, ·, 0, 1) ein Körper, so ist die zugrundeliegende additive Gruppe (K , +, 0) die Einschränkung von K auf die Sprache L = L(+, 0): (K , +, 0) = K � L(+, 0) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 13 / 24 Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien DEFINITION. Eine Theorie T � = (L� , Σ� ) heisst eine rein sprachliche Erweiterung der Theorie T = (L, Σ), wenn L ⊆ L� und Σ = Σ� gilt. Ist T � = (L� , Σ) eine rein sprachliche Erweiterung der Theorie T = (L, Σ), so gilt für jede L� -Struktur A� A � � T � ⇔ A� � L � T . Hieraus ergibt sich unmittelbar C (T � ) ∩ S(L) = C (T ). Im folgenden wollen wir zeigen, dass die syntaktische Entsprechung ebenfalls gilt, d.h. dass rein sprachliche Erweiterungen konservative Erweiterungen sind. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 14 / 24 Satz über rein sprachliche Erweiterungen SATZ. Sei T � = (L� , Σ� ) eine rein sprachliche Erweiterung der Theorie T = (L, Σ), d.h. L ⊆ L� und Σ = Σ� . Dann ist T � eine konservative Erweiterung von T , d.h. (∗) Für alle L-Formeln ϕ gilt: T � � ϕ ⇒ T � ϕ. BEWEIS. Wir ordnen jeder L� -Formel ϕ und jeder Variablen y eine L-Formel ϕy zu, die durch folgende Ersetzungen aus ϕ entsteht: Ist R ein n-stelliges Relationszeichen von L� aber nicht von L, so ersetze jede Teilformel R(t1 , . . . , tn ) von ϕ durch y = y . Ist f ein m-stelliges Funktionszeichen von L� aber nicht von L, so ersetze jeden Term f (t1 , . . . , tn ) in ϕ durch die Variable y . Ist c eine Konstante von L� aber nicht von L, so ersetze jedes Vorkommen von c in ϕ durch y . NB: Ist ϕ eine L-Formel, so gilt ϕ ≡ ϕy für alle Variablen y . Es genügt daher zu zeigen: (∗� ) Für jede L� -Formel ϕ gilt für fast alle y : T � � ϕ ⇒ T � ϕy . Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 15 / 24 Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.) Beweis von (∗� ) Für jede L� -Formel ϕ gilt für fast alle y : T � � ϕ ⇒ T � ϕy durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T � . 1. ϕ ist Axiom (in der Sprache L� !). Dann liegt einer der folgenden Fälle vor: 1.1 ϕ ist ein al. Axiom, d.h. ϕ ≡ ¬ψ ∨ ψ. Dann ist (für jede Variable y ) die Formel ϕy ≡ ¬ψy ∨ ψy ebenfalls ein al. Axiom. 1.2 ϕ ist ein Substitutionsaxiom ψ[t/x] → ∃xψ, wobei t für x in ψ substituierbar ist (SB). Dann ist ϕy ≡ ψy [ty /x] → ∃xψy für geeignet definiertes ty , wobei V (ty ) ⊆ V (T ) ∪ {y } und - für y �∈ V (ψ) GV (ψy ) = GV (ψ) gilt. Für y �∈ V (ψ) ist daher ty für x in ψy substituierbar, also ϕy ein Substitutionsaxiom. 1.3 ϕ ist ein Gleichheitsaxiom (G1) - (G4). Dann ist (für jede Variable y ) ϕy ebenfalls ein Gleichheitsaxiom desselben Typs oder von der Form ψ → y = y (und damit mit AL aus (G1) herleitbar). Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 16 / 24 Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.) Beweis von (∗� ) Für jede L� -Formel ϕ gilt für fast alle y : T � � ϕ ⇒ T � ϕy durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T (Fortsetzung). 2. ϕ ∈ Σ� . Aus Σ = Σ� folgt dann, dass T � ϕ und ϕ eine L-Formel ist, weshalb ϕy ≡ ϕ für alle Variablen y gilt. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 17 / 24 Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.) Beweis von (∗� ) Für jede L� -Formel ϕ gilt für fast alle y : T � � ϕ ⇒ T � ϕy durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T (Fortsetzung). 3. ϕ ist Konklusion einer Regel R mit Prämissen ϕi (i = 1 bzw. i = 1, 2). Dann gilt nach I.V. für fast alle y : T � (ϕi )y (für i = 1 bzw. i = 1, 2). 3.1 R ist eine al. Regel. Dann ist (für jede Variable y ) die Formel ϕy eine al. Folgerung aus (ϕi )y (für i = 1 bzw. i = 1, 2). Wegen der Zulässigkeit al. Schlüsse folgt daher die Behauptung aus der I.V. 3.2 R ist eine ∃-Einführungsregel, d.h. i = 1, ϕ1 ≡ γ → δ und ϕ ≡ ∃xγ → δ, wobei x �∈ FV (δ) (VB). Dann ist ϕy ≡ ∃xγy → δy und (ϕ1 )y ≡ γy → δy , wobei weiter für y �= x die Variable x nicht frei in δy vorkommt. Für y �= x folgt daher ϕy aus (ϕ1 )y mit einer ∃-Einführungsregel. Also T � ϕy für alle y �= x, für die T � (ϕi )y gilt (was nach I.V. für fast alle y der Fall ist). Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 18 / 24 Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Folgerungen KOROLLAR. Sei T = (L, Σ) eine L-Theorie, L� die Erweiterung von L um eine neue Konstante c und T � = (L� , Σ) die rein sprachliche Erweiterung von T auf L� . Dann gilt für jede L-Formel ϕ T � � ϕ[c/x] ⇔ T � ∀xϕ ( ⇔ T � � ∀xϕ ) BEWEIS. “⇒” Aus T � � ϕ[c/x] folgt mit dem Beweis des Satzes über rein sprachliche Erweiterungen, dass es eine Variable y �∈ V (ϕ) gibt mit T � (ϕ[c/x])y . Da ϕ eine L-Formel ist, gilt aber (ϕ[c/x])y ≡ ϕ[y /x], also T � ϕ[y /x] und damit mit der Allabschlussregel T � ∀y ϕ[y /x]. Mit dem zulässigen Axiom U über die Umbenennung gebundener Variablen folgt hieraus (mit AL) T � ∀xϕ. “⇐” Da nach dem Substitutitonssatz � ∀xϕ → ϕ[c/x] gilt, folgt diese Richtung unmittelbar mit AL. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 19 / 24 4.6 Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs. Erfüllbarkeitslemma Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 20 / 24 Konsistenz DEFINITION. Eine Theorie T = (L, Σ) ist konsistent oder widerspruchsfrei, falls es einen L-Satz σ gibt mit T �� σ. Wie in der Aussagenlogik kann man die Konsistenz alternativ wie folgt charakterisieren (Beweis wie dort). CHARAKTERISIERUNGSLEMMA FÜR DIE KONSISTENZ (LCK). Eine Theorie T = (L, Σ) ist genau dann konsistent, wenn es keinen L-Satz σ mit T � σ und T � ¬σ gibt. NB Ist T � ein Erweiterung von T und konsistent, so ist auch T konsistent. Ist T � eine konservative Erweiterung von T , so ist T � genau dann konsistent, wenn T konsistent ist. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 21 / 24 Konsistenz und Beweisbarkeit Ähnlich wie in der Aussagenlogik lässt sich folgender Zusammenhang zwischen Beweisbarkeit und Konsistenz feststellen: LEMMA ÜBER DEN ZUSAMMENHANG ZWISCHEN BEWEISBARKEIT UND KONSISTENZ (LBK). (i) T � ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent (ii) T �� ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} konsistent Da für einen Satz σ der Allabschluss ∀σ gerade σ ist, gilt also insbesondere für Sätze T � σ ⇔ T ∪ {¬σ} inkonsistent NB. 1. Das semantische Gegenstück (Lemma über den Zusammenhang zwischen Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff) haben wir bereits in Kapitel 2 bewiesen. 2. Da (ii) durch Kontraposition aus (i) folgt, genügt es (i) zu zeigen. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 22 / 24 Konsistenz und Beweisbarkeit: Beweis des LBK-Lemmas T � ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent “⇒” Annahme: T � ϕ Da trivialerweise T ∪ {¬∀ϕ} � ¬∀ϕ gilt, genügt es T ∪ {¬∀ϕ} � ∀ϕ zu zeigen. Dies folgt aber unmittelbar aus der Annahme mit der Zulässigkeit der Allabschlussregel. “⇐” Annahme: T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent Nach Annahme ist jeder Satz aus T ∪ {¬∀ϕ} beweisbar, also insbesondere T ∪ {¬∀ϕ} � ∀ϕ Mit dem Deduktionstheorem folgt T � ¬∀ϕ → ∀ϕ und hieraus aussagenlogisch T � ∀ϕ. Es folgt T � ϕ mit der Allabschlussregel. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 23 / 24 Erfüllbarkeitslemma vs. Vollständigkeitssatz Wie in der Aussagenlogik können wir nun zeigen, dass der Vollständigkeitssatz aus dem Erfüllbarkeitslemma folgt. ERFÜLLBARKEITSLEMMA (MODELLEXISTENZSATZ, EL) Jede konsistente Theorie T ist erfüllbar (d.h. besitzt ein Modell). VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ (VS) T � σ ⇒ T � σ Beweis von VS mit Hilfe von EL: T �σ ⇒ T ∪ {¬σ} nicht erfüllbar ⇒ T ∪ {¬σ} inkonsistent ⇒ T �σ Zshg. zw. Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff Erfüllbarkeitslemma (Kontraposition) LBK Es genügt also zum Beweis des Vollständigkeitssatzes im Folgenden noch das Erfüllbarkeitslemma zu beweisen! Mathematische Logik (WS 2011/12) Kap. 4: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 2) 24 / 24