Musterlösung 4 - D-MATH

D-ITET
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Prof. A.-S. Sznitman
FS 2016
Musterlösung 4
1. Sei Ai (i = 0, 1, 2, 3, 4) das Ereignis, dass der Spieler A genau i Asse hat. Beachten
Sie, dass diese Ereignisse disjunkt sind. Für alle i = 0, . . . , 4 gilt
4 52−4
P [Ai ] =
i
13−i
52
13
.
a) Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist somit
P [(A2 ∪ A3 ∪ A4 ) ∩ (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 )]
=
P [A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ]
1 − P [A0 ] − P [A1 ]
5359
P [A2 ∪ A3 ∪ A4 ]
=
=
= 0.369637.
=
P [A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ]
1 − P [A0 ]
14498
P [A2 ∪ A3 ∪ A4 |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ] =
b) Sei H das Ereignis, dass der Spieler A das Herz Ass hat. Offensichtlich ist
P [H] = 14 , denn einer der vier Spieler muss das Herz As haben, wobei alle
gleichberechtigt sind. Für i = 1, 2, 3, 4 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
der Spieler A genau i Asse hat, wovon eines das Herz As ist, gleich
52−4
3
P [Ai ∩ H] =
i−1
13−i
52
13
.
Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit gleich
P [(A2 ∪ A3 ∪ A4 ) ∩ H]
=
P [H]
P [A2 ∩ H] + P [A3 ∩ H] + P [A4 ∩ H]
11686
=
=
= 0.561152.
P [H]
20825
P [A2 ∪ A3 ∪ A4 |H] =
2. a)
9
1
10
2
P [ 3 wurde gewählt ] =
1
= .
5
{X = 2} bedeutet, dass wir zwei gerade Zaheln ziehen. Deshalb:
5
2
2
= .
P [X = 2] = 10
9
2
Bitte wenden!
b) Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit haben wir
P [X = 2|X ≥ 1] =
P [X = 2]
P [X = 2]
=
.
P [X ≥ 1]
P [X = 1] + P [X = 2]
P [X = 2] kennen wir aus a) und
5
P [X = 1] =
5
1
5
1 = .
9
10
2
Somit ist
P [X = 2|X ≥ 1] =
2
9
5
9
+
2
9
2
= .
7
c) Zuerst bemerken wir, dass
P [ X = 2 | 10 wurde gewählt ] =
P [ 10 und eine weitere gerade Zahl wurden gewählt ]
.
P [ 10 wurde gewählt ]
Desweiteren gilt P [ 10 wurde gewählt ] = P [ 3 wurde gewählt ] = 1/5, siehe
a), und
4
4
1
P [ 10 und eine weitere gerade Zahl wurden gewählt ] = 10 = .
45
2
Jetzt folgt
P [ X = 2 | 10 wurde gewählt ] =
4
4
·5= .
45
9
3. Wir definieren für i = 1, 2, 3 die (paarweise unabhängigen) Ereignisse Ki =
„Der Patient p hat Krankheit ki “. Sei T+,− das Ereignis, dass der erste Test positiv war und der zweite Test negativ. Analog definieren wir T+,+ , T−,+ , und
T−,− .
a) Wir erhalten
P (K1 ) =
30 215
= 0.3215,
100 000
P (K2 ) =
20 125
= 0.2125,
100 000
P (K3 ) =
40 660
= 0.466.
100 000
Siehe nächstes Blatt!
b) Mit der Formel von Bayes erhalten wir
P (K3 | T+,+ ) =
P (T+,+ | K3 )P (K3 )
P (T+,+ )
P (T+,+ | K3 )P (K3 )
P (T+,+ | K1 )P (K1 ) + P (T+,+ | K2 )P (K2 ) + P (T+,+ | K3 )P (K3 )
510
· 0.466
40 660
= 20 110
≈ 0.17,
510
· 0.3215 + 2396
0 125 · 0.2125 + 40 660 · 0.466
30 215
=
P (K3 | T−,− ) =
P (T−,− | K3 )P (K3 )
P (T−,− )
P (T−,− | K3 )P (K3 )
P (T−,− | K1 )P (K1 ) + P (T−,− | K2 )P (K2 ) + P (T−,− | K3 )P (K3 )
509
· 0.466
40 660
≈ 0.50.
= 100
410
· 0.3215 + 20 125 · 0.2125 + 4509
0 660 · 0.466
30 215
=
4. Sei Xn die Anzahl von n anderen Personen, welche auf Ihrem Rechner arbeiten.
Dann hat Xn eine Binomialverteilung mit Parametern n und 1/4.
a) Gesucht ist
P [X10
0 10 1 9
10
1
3
10
1
3
≤ 1] =
+
= 0.244.
0
4
4
1
4
4
b) Gesucht wird das grösste n mit
0 n n
3
1
10
1
3
=
≥ .
P [Xn = 0] =
0
4
4
4
2
Da
3 2
4
=
9
16
>
1
2
und
3 3
4
=
27
64
< 12 , lautet die Antwort “höchstens 2”.
c) Sei N die Anzahl der funktionierenden Rechner. Dann hat N eine Binomialverteilung mit Parametern 4 und 0.9. Daher gilt
P [N = 4] = 0.94 ,
P [N = 3] = 4 · 0.93 · 0.1,
P [N = 2] = 6 · 0.92 · 0.12 .
Wir haben
{X3 = 2} = “von 3 eingeloggten Personen sind genau 2 an meinem Rechner”.
Bitte wenden!
Weil die eingeloggten Personen nur noch den funktionierenden Rechnern
zugeordnet werden, hat nun X3 eine Binomialverteilung mit Parametern 3
und 1/N , gegeben, dass N bekannt ist. Also
2
3
1
P [X3 = 2|N = 4] =
4
2
2
3
1
P [X3 = 2|N = 3] =
2
3
2
3
1
P [X3 = 2|N = 2] =
2
2
3
9
=
,
4
64
2
2
= ,
3
9
1
3
= .
2
8
Der Satz von Bayes liefert nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
P [X3 = 2|N = 4] · P [N = 4]
P [N = 4|X3 = 2] = P4
= 0.526.
i=2 P [X3 = 2 | N = i]P [N = i]