Nonagonreport

Nonagonreport
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NONAGONREPORT
von ALFRED ROSSI
3 HEXANOMETRISCHE NÄHERUNGSKONSTRUKTIONEN (S.1 – 4)
Diese erste Lösung wurde angeregt durch den Chorplan von St. Nikolai zu
Wismar (1381).
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

Zeichne ein Achsenkreuz. Sein
Schnittpunkt
soll der Mittelpunkt eines Kreises sein
(M).
Vom obersten und untersten Punkt des
Durchmessers (A, D) aus schlägt man
den Radius jeweils nach links und
nach rechts ab (F, B und E, C).
Fig. 1
NB: Würde man die Punkte A, B, C, D, E und F durch einen Streckenzug verbinden,
ergäbe sich ein Hexagon. Würde man nur mit jedem 2. Punkt so verfahren, käme
man zum gleichseitigen Dreieck, etwa DBF. Betrachten wir den Kreissektor BMF, so
zeigt sich, dass jener bei Halbierung seines Zentriwinkels, in 2 Sektoren eines
Sechsecks zerfallen würde (120:2=60). Bei Drittelung hätten wir 3 Sektoren eines
Neunecks vor uns (120:3=40). Und um diese Winkeldreiteilung geht es im Prinzip.
Am Kreis sind demnach zur Erzeugung eines Nonagons zwischen den Punkten B, D,
F und B anstelle je eines - wie in Figur 1 - zwei Punkte einzuzeichnen.
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
Fig. 2
Der Radius wird nun von Punkt G nach
oben und unten am Kreis abgeschlagen (H und I).
Die Verbindungslinie HI hilft r/2 zu ermitteln.
Durch den Punkt H wird eine
Hilfsgerade mit dem Neigungswinkel
von 45° gelegt, d.h. eine Parallele zu
AG.
Wo sie den nach oben verlängerten
Radius MA schneidet, entsteht der
Hilfspunkt S2.
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Fig. 3
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Fig.4
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S2 kann man auch anders erhalten. Es
wird zunächst S1 ermittelt, indem man
durch H eine Parallele zu GM legt.
Der Abstand JS1 entspricht der Radiuslänge (AJ wiederum entspricht der Höhe
des MGH). S2 liegt auf der Symmetrale
von JS1.
Schneidet man jene mit der HI
enthaltenden Gerade, bekommt man K.
Man erhält diesen Punkt auch, wenn
durch J eine Parallele zu AG (also eine
45grädige Schräge) gelegt wird.
Für welchen Weg man sich auch
entscheiden mag, K ist der gesuchte
Nonagoneckpunkt.
Durch ihn ist der Umkreis zu legen.
Die drei benachbarten Eckpunkte sind
leicht zu finden. Man spiegelt den Punkt K
am senkrechten Durchmesser und erhält
S. Durch Verlängerung der Radien MB
bzw. MF kommt man am Umkreis des
Neunecks zum Punkt L bzw. R (bezüglich
B und F siehe Fig. 1). Dadurch wird der
120° Sektor LMR in drei 40grädige
Sektoren (LMK, KMS, SMR) unterteilt.
© Rossi 06
Man kann sich den Umweg über den Punkt J oder S2
ersparen und folgender Weise vorgehen:
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
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© Rossi 06

Betrachten wir das gleichseitige Dreieck MGH. Es
reicht völlig aus durch Abschlagen des Radius von G
und M aus den Punkt H darzustellen.
Auch die Höhen auf GM und GH werden mittels
Zirkelschlägen eingezeichnet und entsprechend
verlängert (h1, h2).
Erst jetzt braucht man den halben Radius in den
Zirkel zu nehmen, den man über der Dreiecksspitze
(H) auf h1 nach oben aufträgt (K).
Mit Hilfe des Nonagonradius MK wird der Umkreis
konstruiert.
Wo er h2 schneidet, entsteht der Nachbarpunkt L.
Fig. 5
(Das ´Logo´ neben der vorseitigen Überschrift wurde aus der Fig. 5 entwickelt.)
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Bei dieser Konstruktionsweise entsprechen
sich die Polygonseite (KL) und der Radius
des
inneren
Kreises
(MB)
fast,
MB : KL = 1:0,9926 (siehe die Fig. 4 der
Vorseite). Demnach verhält sich MB zu BL
wie 1:0,4547. Das korrekte Zahlenverhältnis
aber lautet, 1:0,4619. Addiert man die Werte
MB und BL, so erhält man den Radius des
Nonagonumkreises (ML). Setzt man ihn in
Beziehung zur Polygonseite, ergibt sich ein
Zahlenverhältnis wie folgt:
ML: KL = 1,4547:1 (siehe dazu S. 5 oben).
Die Ringdicke BL entspricht in Wirklichkeit dem Durchmesser der Apsispfeiler von
St. Nikolai, wie die obige Grundrisszeichnung zeigt. Es erscheinen darauf die
Gewölbe des inneren Chores als drei Neuneck- und zwei Sechsecksektoren, während
die Ummantelung einen 5/9 Schluss darstellt.
© Rossi 06
Bei dieser zweiten Konstruktionslösung ist die gesuchte Vieleckseite um
0,997 % zu kurz. Wenn auch die
größere Abweichung als nachteilig
anzusehen ist, so wird sie durch die
reduzierte Zahl der Arbeitsschritte
gewissermaßen
wettgemacht.
Die
Zirkelspanne muss erst im Abschluss
der
Arbeit
beim
Abtragen
der
Neuneckseiten am Umkreis verringert
werden.
 Es werden zunächst ein Kreis mit
dem Radius r und seine
aufeinander normal stehenden
Durchmesser gezeichnet (AB
und CD).
Im Unterschied zum Fünf- und Sechseck ist eine geometrisch einwandfreie
Konstruktion beim Sieben- und Neuneck nicht möglich. Nehmen wir die richtig
bemessene Polygonseite mit 100% an, so ist sie nach dem auf der Vorseite
gezeigten Verfahren mit 99,75% um 0,25% zu kurz.
 Von den Endpunkten A und B aus schlägt man den Zirkel nach oben und
unten ab und erhält die Strecken EF und GH.
 Dadurch lassen sich zum einen die halbierte Hexagonform und ihre drei
Sektoren darstellen (AME, EMG, GMB) und zum anderen kann man damit die
Halbierungspunkte der Strecke EM und GM ermitteln. Die so entstandenen
Punkte seien I und J.
 Vom Punkt D wird je eine Hilfsgerade durch I bzw. J gelegt und mit dem Kreis
geschnitten (K und L). Diese Sehne KL ist die gewünschte Nonagonseite.
Indem wir den Kreisradius von C aus nach links und rechts abtragen, kommen
wir zu den Nachbarpunkten, die auf Fig. 1 mit B und F bezeichnet wurden.
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NONAGON NACH DÜRER
Auch Albrecht Dürer (1471-1528) beschäftigte sich mit den regelmäßigen
Vielecken – u.a. mit dem Nonagon. Bei seiner Näherung weicht die Neuneckseite mit
99,025% um 0,975% von der wahren Länge ab.
Wie ging er vor?
Er zeichnet zunächst einen Kreis, dessen Radius er am Umfang sechsmal abträgt.
In jedem zweiten der so entstandenen Schnittpunkte setzt der Nürnberger Meister
den Zirkel ein und schlägt ihn nach innen ab, sodass im Kreis eine strahlenförmige
Figur aus drei Spindeln entsteht. In die Senkrechte wird hierauf der Radius
eingetragen und gedrittelt (was wir mit Hilfe des Strahlensatzes leicht bewerkstelligen
können). Durch den untersten Teilungspunkt legt er eine Waagrechte. Ihre
Schnittpunkte mit der Spindel markieren eine Nonagonseitenlänge. Den zugehörigen
Umkreis stellt Dürer ebenfalls dar. Die beiden Schenkel des so entstandenen
Neunecksektors verlängert er bis zum ursprünglichen Kreis hinauf. Folglich ist die
Sehne die gesuchte Polygonseite.
Siehe auch http//www.mathe.tu- freiberg.de/~hebisch/cafe/duerer/necke.html
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METHODE 13/19
Wir wissen, dass beim Sechseck Umkreisradius und Vieleckseiten gleich lang sind.
Beim Neuneck verhält sich die Polygonseite (PS) zum Radius (r) wie 1:1,4619. Für
die manuelle Darstellung ist folgendes Zahlenverhältnis hinreichend genau und so
nehme man
anstatt
PS:r
= 1:1,4619,
vereinfachend PS:r
~ 13:19.
(13:19 = 1:1,4615)
Man beginnt mit dem Radius des
Kreises und wählt für ihn 19
Einheiten.
Nach Anwendung der
Sechseckkonstruktion wird der Kreis
durch Überspringen jedes zweiten
Schnittpunktes
in
drei
gleiche
Sektoren geteilt. Diese gilt es zu
dritteln. Dazu nimmt man dreizehn
Einheiten in den Zirkel und schlägt sie
jeweils von den bereits ermittelten
und korrekten Nonagoneckpunkten
aus in beide Richtungen ab. Erst bei
einem Polygonseitenmaß von 3,9m
(Radius=5,7m!) ergibt sich eine
Ungenauigkeit
von etwa 1mm.
Eine Simplifizierung dieser Methode
ist es, das Zahlenverhältnis von 9:13
zu wählen. Der hierbei rechnerisch
ermittelte Fehler liegt bei +1,209%.
Es versteht sich, dass diese
Konstruktion im engeren Sinne keine
ist, da sie auf mathematischen Daten fußt.
Zum Abschluss sei noch auf fünf Nonagonkonstruktionen aus dem Internet
hingewiesen (www.geocities.com/robinhuiscool/nonagon.html). Bei der besten
Lösung sind die Vieleckseiten um mehr als ein halbes Prozent zu lang, während die
vom Chorplan abgeleitete um ein Viertel Prozent zu kurz ist. Fast um ein Prozent irrte
Dürer.
Die nachstehende Tabelle listet die vorgestellten Konstruktionsverfahren nach
steigender Ungenauigkeit auf.
Verfahren
13:19
Rossi 1 / S.2
Hu
Dürer / S.4
Rossi 2 / S.3
9:13
Abweichen der PS vom
wahren Maß in Prozenten
100 : 100,027 + 0,027
100 : 99,75
- 0,25
100 : 100,665 + 0,665
100 : 99,025 - 0,975
100 : 99,003 - 0,997
100 : 101,209 + 1,209
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NÄHERUNGSKONSTRUKTIONEN DES REGELMÄSSIGEN
NEUNECKS NACH EINEM DER DIAGONALSYSTEME
DIE LESEARTEN DIESES DIAGONALSYSTEMS
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Es kann sein, dass einem beim
Betrachten der ersten Figur die
durch die Diagonalen entstandenen
Binnenformen der sieben Dreiecke
und der drei Trapeze ins Auge
stechen. Es kann einem genau so
gut, wie die Darstellungsweise der
zweiten
Figur
hervorzuheben
versucht, das lineare Gefüge selbst,
das man aus einem Drahtstück
nachbilden könnte, auffallen (sog.
Endlos-Figur).
Doch vielleicht liest so mancher
auf Grund der dreiachsigen Symmetrie
die
sich
verkeilenden
Dreiecke heraus (Fig. 3) oder sieht
sie als sich verschachtelnde am
Kopf stehende Gebilde gleicher
Ausrichtung an (Fig.4).
Wie dem auch sei, unter den vielen Möglichkeiten im Nonagon Diagonalen
einzuzeichnen, ist diese eine, die sowohl eine radiale als auch eine nicht radiale
Leseart zulässt (vergl. dazu: http://www.mathematische-basteleien.de/neuneck.htm Seite 3).
ERSTES KONSTRUKTIONSPRINZIP
Drei auf der Spitze stehende kongruente,
gleichseitige Dreiecke verschränken sich so, dass
ein kleines Dreieck als mittige Überlappungsfigur
entsteht. Sein Höhenschnittpunkt ist der Mittelpunkt des zu suchenden Nonagonumkreises.
Betrachten wir zunächst die beiden schraffierten
Dreiecke der Fig.5, nämlich JLK und BKC. Die
Länge der Seitenkante (a) des Ersteren findet sich
als Höhe (h) des Letzteren wieder. Auch die
Symmetrieachse, etwa des Trapezes JKBI, weist
Fig. 5
dieses Maß auf. Verlängert man die Schenkeln
des mittleren Dreiecks (a), so werden sie zu denen
© Rossi 06
der sie umkreisenden Trapeze und Dreiecke.
Wo sie die auf die Höhen (h) normal stehenden Basislinien der Trapeze und
Dreiecke schneiden, ergeben sich die Nonagoneckpunkte B, C, E, F, H und I. Jetzt
kann auch der durch sie gehende Umkreis eingezeichnet werden. Die noch fehlenden
Eckpunkte (A, D, G) finden sich, indem man die Symmetrieachsen der Trapeze mit
dem Umkreis schneidet.
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DIE KONSTRUKTIONSGENAUIGKEIT
Fig. 6
© Rossi 06
Richten wir das Augenmerk vorerst
auf die rechte Kreishälfte der Fig. 6.
Alle die Trapezflächen überdeckenden Sektoren weisen einen je um
0,104° zu geringen Zentriwinkel auf –
anstelle von 40° bloß 39,896° (siehe
das Dreieck MDC).
Der entsprechende Winkel des
anliegenden
Sektors
(MCB)
ist
hingegen um 0,208° zu groß (40,208°).
Blicken wir nun auf die gespiegelten
Figuren MHG und MIH der linken
Hälfte, um die abweichenden Maße
der Polygonseiten zu ersehen.
Die in Korrespondenz zum 39,9° Winkel Stehenden betragen 99,7505 Prozent (ca.
¼ % zu kurz), während die auf den 40,2° Winkel Bezogenen um etwa ½ Prozent zu
lang_sind_(=100,4978%).
Im Unterschied zu den vorhergehenden Näherungskonstruktionen, bei denen man
wohlweislich die aus dem Hexagon ermittelten drei Groß-Sektoren von je 120° als
Korrekturrahmen benutzt, tut dies hier nicht Not (siehe die Zeichnung auf S. 5).
Auf diese Art konnte man dort die große Ungenauigkeit der zuletzt gezeichneten
Vieleckseite vermeiden, die sich notwendigerweise beim neunmaligen Abschlagen
am_Umfang_ergeben_hätte.
PRAKTISCHE HINWEISE ZUR DURCHFÜHRUNG
Um ein möglichst exaktes Ergebnis zu
erzielen, empfiehlt es sich nicht mit dem
mittleren Dreieck, sondern mit einem
Kreis, dessen Radius mindestens drei
mal so groß wie der Umkreis des
kleinen Dreiecks (z.B. 9,3cm : 3cm) ist ,
zu beginnen. Mit diesem Längenverhältnis kommt man zu einem
Hilfskreis, der etwas größer als der
Nonagonumkreis ist. Zunächst legt man
eine senkrechte Mittelachse durch ihn
und schlägt dann den Radius vom
obersten und untersten Schnittpunkt
nach links und rechts auf seinem
Umfang ab. Die so entstandenen Kreispunkte werden kreuzweise verbunden
Fig. 7
(siehe strichpunktierte Linien).
Sie stellen die Symmetrieachsen der besagten Dreiecke und Trapeze dar. Da wir
am Umfang bereits die Sechseckpunkte haben, lässt sich ein gleichseitiges Dreieck
einschreiben, das durch zwei strichlierte Schenkeln angedeutet wird. Durch deren
Parallelverschiebungen kommt man zum inneren Dreieck, dessen Umkreis man
schon vorher eingezeichnet hat.
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WEITERE MASSVERHÄLTNISSE ZWISCHEN DEN DREIECKEN
DIESES DIAGONALSYSTEMS
Gemeint sind die in Fig. 5 (S. 6) bezeichneten gls. Dreiecke, die drei mal wie etwa
BKC und JEC und ein mal als JLK aufscheinen.
Ein zweiter Konstruktionsweg macht sich diese Maßverhältnisse zunutze. Er führt
vom mittleren zum äußeren Dreieck. Man beginnt mit dem Umkreis des ersteren
(Fig. 8). Der Durchmesser (d) wird von K aus auf die verlängerten Schenkel LK und
JK abgeschlagen. So gelangt man zu den Eckpunkten B und C. Man sieht: es gibt
neben der Beziehung a1 = h noch die d = a2.
Aus der Abbildung geht auch folgendes hervor: Halbiert man das Dreieck BKC, so
lässt es sich in den Umkreis des mittleren Dreiecks einschreiben. In welche Lage man
es auch dort bringen mag, es wird seine Hypotenuse (= d) immer durch den
Mittelpunkt gehen.
Die kürzere Kathete (a2/2) weist die Länge des Radius auf. Die längere Kathete, die
nichts anderes als die Höhe des vollständigen Dreiecks BKC war, hat, wie schon
erwähnt, das Maß a1. Die Seitenkante des Dreiecks JEC (siehe JC) setzt sich aus a1
und dem Durchmesser zusammen, sodass diese Länge der Seitensumme des
gleichschenkligen Dreiecks (r + r + a1) über dem Dreieck JLK gleichkommt.
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ZWEITES KONSTRUKTIONSPRINZIP
Wie die Fig. 9 zeigt, ist die
Grundgestalt ein in Sektoren
zerlegtes Hexagon. Man drittelt
seine Vieleckseiten und verbindet
jene
Teilungspunkte
untereinander, die parallel zu
den Dreiecksschenkeln verlaufen.
Im nächsten Arbeitsschritt sind
jene drei Geraden zu zeichnen,
die jeweils Parallele zu den
Höhen dieser Dreiecke bilden
(Fig. 10). Die zwei schräg
laufenden Geraden (BF und EI)
ziehen
von
den
äußeren
Teilungspunkten der oberen
Sechseckseiten zu den inneren
Teilungspunkten der unteren.
Die waagrecht laufende Gerade
(CH) geht durch die oberen
Teilungspunkte der zwei senkrechten Polygonseiten (man
beachte die schwarz strichlierten Abschnitte der Hexagonseiten).
Fig. 9
Fig. 10
Alle drei Geraden wurden bis
zum Umkreis verlängert, sodass
sich die Nonagoneckpunkte B,
C,E,F,H und I darstellen lassen.
Das vollständige Neuneck tritt
somit in Erscheinung, da die
drei restlichen Eckpunkte (A,
D,G) schon gegeben sind.
© Rossi 06
KONSTRUKTIONSGENAUIGKEIT
Der Zentriwinkel BMC beträgt 40,81°, die Polygonseite BC ist um 1,9° (= 101,9%)
zu lang. Der Zentriwinkel des Sektors CMD hat 39,59°, die zugehörige Sehne (CD)
weist bloß 99,026% auf. Demnach schneidet diese im Vergleich zur ersten
Konstruktion schlechter ab (siehe. S. 7 oben).
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PRAKTISCHE HINWEISE ZUR DURCHFÜHRUNG
Fig. 11
Methode A: Zunächst gilt es die in der
Fig. 11 als N,O,P und Q bezeichneten
Punkte auf den Hexagonseiten zu
ermitteln. Jeder zweite Eckpunkt wird
durch eine Gerade verbunden (siehe
die strichlierten Streckenzüge AC, CE,
EA und BD, DF, FB). Sie formen jeweils
zwei gls. Dreiecke. Ihre Schenkeln
schneiden sich in den Hilfspunkten R
und S. Wo sich die Dreiecksbasis EC
mit den Schenkeln des am Kopf
stehenden Dreiecks schneidet, entstehen die Hilfspunkte T und U. Alle vier
Punkte werden – parallel zu AD – bis zu
den entsprechenden Polygonseiten
verlängert (punktierte Linie). Auf diese
Weise erhalten wir N, O, P und Q.
Nun sind die waagrecht liegenden Neuneckpunkte H und C zu ermitteln (siehe Fig.
10). Sie gehen durch J und K. J und K stellen sich als die Schnittpunkte der nach
oben verlängerten Geraden PT und QU mit den schrägen Durchmessern CF und BE
dar.
Abschließend werden die Strecken JK, NQ und OP beidseits bis zum Umkreis
verlängert.
Methode B: In der Fig. 12 wird mit Hilfe
des Strahlensatzes die Polygonseite AB
gedrittelt. Man erhält so den Punkt O.
Der Abstand AO wird um die Punkte A,
E und C mittels Kreisbögen auf die
restlichen Polygonseiten abgeschlagen
um die Hilfspunkte N, O, P, Q, R und S
zu erhalten. Sinngemäß wird wie bei
der Methode A fortgesetzt.
Fig. 12
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DIE WINKELDREITEILUNG
Die Dreiteilung eines Winkels wurde bereits auf der ersten Seite unter “NB”
angesprochen. Gelingt es einen Winkel von 60° zu dritteln bzw. 40° oder 20°
darzustellen, so ist der Nonagonzentriwinkel bestimmt. Mit eigenen Beispielen, die
diesem Prinzip folgen, soll dieser Bericht abschließen. Vorerst wollen wir
diesbezüglich in der Geschichte zurückblättern.
HISTORISCHER ABRISS
Zu einem der sog. „drei klassischen Grundprobleme“, welche die altgriechischen
Mathematiker zu lösen versuchten, gehörte auch die Winkeldreiteilung. Indem man
sich Fragen dieser Art immer wieder stellte und sich nur auf die euklidischen
Werkzeuge beschränkte, die unserem heutigen Zirkel und dem unmarkierten Lineal
entsprechen, machte man zusehends Fortschritte.1
Erst im frühen 19. Jh. wies der geniale Mathematiker Evariste Galois mit der von
ihm weiter entwickelten algebraischen Gleichung nach, dass die geometrische
Methode für die Dreiteilung des Winkels ungeeignet war.2
Wenn man heute nichtsdestoweniger diese Aufgabe zeichnerisch angeht, muss
man sich jedenfalls eingestehen nur Näherungwerte zu erbringen. 3 Lösungen dieser
Art kennen wir u.a. von Dürer.4
Man entwickelte seit der Antike sehr wohl Verfahren, die im Prinzip zu exakten
Ergebnissen führten, nur sah man sich gezwungen das euklidische Instrumentarium
zu erweitern.5 Soweit es unsere Beispiele aus der Antike und des Mittelalters betrifft,
wandte man eine mechanische Methode an, die dem Ziehen einer Kreiskonchoide
entspricht. Dieser Zusammenhang von Neusis6 und Winkeldreiteilung wird uns im
folgenden beschäftigen. Wir wollen in chronologischer Reihenfolge drei große Meister
der Geometrie und Mathematik zu Wort kommen lassen und ihre ins Lateinische
gefassten bzw. übertragenen Texte lesen und kommentieren.
ARCHIMEDES
287 v. Chr. (?), Syrakus – 212 v. Chr., Syrakus
Es folgt die Abschrift der relevanten Textstelle samt zugehöriger Skizze. Sie wurde
neu erstellt, die Bezeichnungen wurden jedoch beibehalten, lediglich der griechische
Kleinbuchstabe „Alpha“ wurde eingefügt.7 Wie auch bei den anschließenden
Buchauszügen wird dem lateinischen Text eine vom Autor dieser Arbeit stammende
Übersetzung gegenübergestellt.
KAISER & NÖBAUER „Geschichte der Mathematik“, Wien 1984, S. 130
Ebd.: S. 55 und 149
3 Ebd.: S. 134 oben
4 Ebd.: S. 137 f, siehe auch S. 4 dieses Berichtes
5 Historische Beispiele, ebd.: S. 134-137
6 Definition der Neusis: Ein auf einer Geraden liegender Punkt wird längs eines gegebenen Kreises
oder einer gegebenen Geraden geführt (Leitkreis bzw. Leitlinie). Dabei bleibt die sich bewegende
Gerade ständig mit einem Punkt in Berührung als würde sie, einem Stab vergleichbar, durch eine Öse
gezogen (Pol). Zwei Punkte auf der gezogenen Geraden werden markiert, sodass zum eingangs
erwähnten Punkt ein fixer Abstand gewahrt bleibt. Die Spur dieser Punkte werden aufgezeichnet
(Konchoide). Auch Konstruktionen mit einem Punkt gibt es.
7
HEIBERG „Archimedis Opera“, Leipzig 1910-15, II2, S. 518
1
2
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Nonagonreport
LIBER ASSUMPTORUM
(Buch der Hilfssätze)
Satz 8
Wenn man in einem Kreis eine xbeliebige Gerade (AB) legt, sie
geradlinig weiter führt und BC die
Länge des Kreisradius gibt, weiters C
mit dem Mittelpunkt – nämlich D –
verbindet und diese Linie bis E weiter
zieht, (dann) wird der Bogen AE das
Dreifache des Bogens BF ausmachen.
Wir zeichnen also parallel zu AB die
Gerade EG und verbinden B und G
jeweils mit D. Weil die beiden Winkel
DEG und DGE gleich sind, wird der
Winkel GDC das Doppelte des Winkels
DEG sein [Eukl. I. 32].1 Und weil der
Winkel BDC gleich dem Winkel BCD
ist und der Winkel CEG gleich dem
Winkel ACE ist [Eukl. I. 29], wird der
Winkel GDC doppelt so groß wie der
Winkel CDB sein.2Der gesamte Winkel
BDG wird somit das Dreifache des
Winkels BDC betragen, und die Bögen
BG und AE werden gleich groß und
jeweils drei mal so groß wie der Bogen
BF [Eukl. III, 26] sein, und das wollten
wir ja.
LIBER ASSUMPTORUM
VIII
Si egrediatur in circulo linea AB
ubicumque et producatur in directum,
et ponatur BC aequalis semidiametro
circuli, et iungatur ex C ad centrum
circuli, quod est D, et producatur ad E,
erit arcus AE triplus arcus BF.
Educamus igitur EG parallelam ipsi
AB, et iungamus DB, DG. Et quia duo
anguli DEG, DGE sunt aequales, erit
angulus GDC duplus anguli DEG [Eucl.
I, 32].1 Et quia angulus BDC aequalis
est angulo BCD, et angulus CEG
aequalis est angulo ACE [Eucl. I, 29],
erit angulus GDC duplus anguli CDB2
et totus angulus BDG triplus anguli
BDC, et arcus BG aequalis arcui AE
tríplus est arcus BF [Eucl. III, 26]. Et
hoc est, quod voluimus.
Wie wir sehen, beruft sich Archimedes auf die
Winkelsätze Euklids. Es steht nur mehr an,
darzulegen, dass die spitzen Winkeln des
Dreiecks DCB denen des schon genannten
gleichen, da so der Gesamtwinkel BDG aus
drei gleichen Winkeln bestünde. Dies ist der
Fall, denn die Strecken AB und EG sind
parallel und bilden durch die Verbindungslinie
CE gleiche Winkel.
Sowohl
diebeiden
Winkelsumme
eines Dreiecks (siehe EGD) als auch ein gestreckter Winkel (siehe
(Dass die
Dreiecke gleichschenklig
EDF)beweisen
betragendie
je 180°.
Um den
stumpfen
sind,
je kürzeren
Schenkel,
dieWinkel dieses Dreiecks zu ermitteln, hat man daher von
180°
Summe
der beiden
spitzen Dass
Winkel an der Basislinie abzuziehen. Folglich muss der
alle
derdie
Länge
des Radius
entsprechen.
Außenwinkel
FDG des besagten
stumpfen
Winkels jener Summierung gleich kommen.
sie
auch deckungsgleich
sind, wird
durch die
Wie wir gegebene
sehen, beruft
sich Archimedes auf die Winkelsätze Euklids.
zusätzlich
Winkelgleichheit
bewiesen.)
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- 13 -
KOMMENTAR: Aus dem ersten Satz der Textstelle geht hervor, dass mit dieser
Methode auf die Winkelgröße kein Einfluss genommen werden kann. Will man
hingegen einen bestimmten Winkel dritteln, ist folgendes zu tun; man zeichnet
zunächst einen Kreis und macht den Mittelpunkt zum Scheitel des gewünschten
Winkels  ADE. Dann wird die Strecke ED über den Kreis hinaus verlängert. Nun
nimmt man ein Lineal zur Hand und markiert die Radiuslänge von einem seiner
Enden ausgehend und bezeichnet diesen Abschnitt etwa mit E´D´. Während der
anschließenden Bewegung des Messstreifens im Uhrzeigersinn ist darauf zu achten,
dass dessen Kante stets den Punkt A berührt, und E´ am Kreisumfang entlang zieht.
Der Vorgang wird so lange fortgesetzt, bis D´ den verlängerten Durchmesser
schneidet, womit E´D´ über BC liegt. Der so entstandene Winkel  BDF ist ein Drittel
des gegebenen  ADE bzw. seiner achsensymmetrischen Entsprechung  BDG.
Die Kurve, die das Linealende hier beschreibt, ist eine Kreiskonchoide 1. Bringen wir
kurz die Definition der Neusis der S. 11 (Fußnote 6) zu diesem Ergebnis in
Beziehung: Punkt A wäre, allgemeiner gesagt, der Pol. Den beiden Linien
entsprechen hier zum einen der Kreisbogen (Leitlinie), und zum anderen der durch
die Radiuslänge (konstanter Abstand k) entstehende spezielle Kurvenverlauf.
Clagett zitiert T.L. Heath und Heiberg.2 Nach ihnen könne man zwar nicht das
Gesamtwerk des „liber assumptorum“, aber sehr wohl diesen Lehrsatz auf
Archimedes zurückführen. Denn die Propositionen VI und VII seiner Abhandlung
„Über Spirallinien“ schließen die Winkeldreiteilung der Möglichkeit nach ein.3
1
Wir müssen zwischen Kreiskonchoiden und Geradenkonchoiden unterscheiden (Suchbegriff
„Konchoide“ im Internet). Unter
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk~history/Indexes/Greeks.html
stößt man auf die obige Darstellung, doch ohne den Streckenzug DGED. Diese Zeichnung wird
nochmals gebracht, diesmal mit der Kreiskonchoide.
2
CLAGETT,ebd.:Bd. I, S. 667 f
3
T.L. HEATH (deutsch von F. Kliem), „Archimedes´ Werke” (Leipzig, 1914), S. 94 f und 289 f
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ABU´l WAFA
- 14 -
(Abu´l Wefâ’)
Er wurde 940 n. Chr., in Buzagan (jetzt im Iran) geboren, starb 997 in Bagdad und
gilt heute noch als bedeutender Mathematiker (Berechnungen von Sinustafeln;
Sinussatz) und Geometer (ebene und sphärische Trigonometrie). Auch als Astronom
leistete er Wesentliches, so entdeckte er beispielsweise die Variation in der
Mondbahn. Daher verwundert es nicht, dass nach ihm ein Mondkrater benannt
wurde.1
Abgesehen von seinen naturwissenschaftlichen Leistungen, tat er sich als einer der
letzten Übersetzer und Kommentatoren der griechischen Autoren hervor (u.a. von
Werken des Euklids und des Diophantus). Außerdem schrieb er für
Kunsthandwerker eine Abhandlung über geometrische Konstruktionen.
Für Abu´l Wafa, dem Geometer, trifft der Spruch Goethes ´in der Beschränkung
erst zeigt sich der Meister´ zu. Von der Reduktion des Instrumentariums bei den
Griechen haben wir schon gehört. So gesehen, war es eine „asketische Zugabe“
seinerseits geometrische Operationen mit einer fixierten Zirkelöffnung auszuführen
(später tauchte dafür die Bezeichnung „rostiger Zirkel“ auf). Es heißt, er hätte auf
diese Weise sogar ein Fünfeck konstruiert.2
Überhaupt beschäftigte er sich mit den regelmäßigen Vielecken, beschrieb ihre
Konstruktion und zeichnete sie.3 Was das Nonagon anlangt, griff er auf die
Konstruktion der Winkeldreiteilung des Archimedes zurück und ging logischerweise
vom 60° Winkel aus (siehe den Winkel AMB auf der umseitigen Zeichnung4).
Konstruktionsvorgang: Der Eckpunkt M des gleichseitigen Dreiecks MBA bildet
den Mittelpunkt eines Halbkreises mit dem Radius MB. Über ihn wird eine
Senkrechte errichtet.
Und nun kommt wieder die Bewegungsgeometrie zum Einsatz: Vorerst aber hat
man noch die Länge des Kreisdurchmessers auf einem Lineal von einem der Enden
weg, etwa mit den Bezeichnungen E´C´, zu markieren. Die über C´ hinausweisende
Linealkante legt man an den Kreispunkt A an. Während man das Linealende jenseits
des Halbkreises auf der verlängerten Strecke BM auswärts zieht, ist es erforderlich,
dass seine Kante stets A berührt. Man führt die Messstabspitze so lange darauf
weiter, bis C´ die senkrechte Achse über M schneidet. damit wir der
Kreisschnittpunkt D zum Halbierungspunkt der Strecke EC, sodass die Abstände ED
und DC jeweils der Radiuslänge entsprechen. Man kommt zum selben Ergebnis,
wenn man am Lineal den Halbierungspunkt von E´C´ einzeichnet (D´) und ihn am
Kreisumfang nach links zieht, wobei er wieder durch A geführt werden muss (siehe
auch S. 22, Fig. 3). Abschließend legt man durch M eine Parallele zu EA.
Beweis: Die Schenkel der beiden Dreiecke  EMD und ADM an den stumpfen
Winkeln haben Radiuslänge, sodass wir es mit gleichschenkligen Dreiecken und
ihren jeweils gleich großen Winkeln zu tun haben. Weil bekanntlich der Außenwinkel
1
Encyclopaedia Britannica: http://www.aam314.vzz.net/EB/Abul-Wafa.html
http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/abul_wefa.htm
http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/abul_5eck.htm
3 SUTER, H. „Das Buch der geometrischen Konstruktionen des Abu’l Wafa“, Abhandlungen zur
Geschichte der Naturwissenschaften und der Medizin, Erlangen, Heft 4,1922, S. 94-109 / siehe die
Seiten 96 f und 102-105 (an dieser Stelle sei Herrn Prof. Udo Hebisch für die voranstehende
Literaturangabe gedankt)
4 Zur umseitigen Figur , vgl. die Darstellung auf S. 105 in Suters Buch (Fußnote 3)
2
Nonagonreport
- 15 -
eines Dreiecks die Summe der nicht anliegenden Innenwinkel ausmacht, ist in diesem
Fall der Winkel ADM (2α) das Doppelte des Winkels  DEM (α).
Die Winkelöffnung von DAM (2α) wiederholt sich in der von AMF (2α), da die
Parallelen EA und MF, durch die Verbindungslinie AM bedingt, nur gleich große
Winkel einschließen können. Durch diese Parallelen entstehen auch die sich
gleichenden Winkel DEM (α) und FMB (α). Daher setzt sich der angenommene
60° Winkel AMB aus den Winkelmaßen α und 2α (= 20° + 40°) zusammen.
JORDANUS DE NEMORE
Die herausragende Rolle von Archimedes in der Wissenschaftsgeschichte ist
unbestritten. Alle großen Gestalten, die am Vorbeginn der mechanischen Revolution
stehen, wie etwa Galilei, erwähnen ihn. Doch kaum jemand weiss, wie dieses
Wissen aus Griechenland in das mittelalterliche Europa eindrang. Vor dem 12.
Jahrhundert gab es hier keinen Archimedes in lateinischer Sprache, im Unterschied
zu einem Euklid oder Aristoteles. Da selbst in Byzanz nur eine geringe Anzahl seiner
Werke bekannt war, galt das auch für die Araber. Sie übersetzten, kommentierten
seine Werke und zogen daraus auch ihre Schlussfolgerungen. Durch ihre
Transkriptionen gelangten die archimedischen Lehren nach Westen. Erst 1906
entdeckte Heiberg in Konstantinopel das noch fehlende Manuskript, womit sich - spät
aber doch - der Forschung diesbezüglich ein abgerundetes Bild bot.1
Im Sinne der Wissensvermittlung ist für das späte Mittelalter das Schriftgut der
„Drei Brüder“ nicht zu unterschätzen, das man im sog. „liber trium fratrum“
zusammenfasste. Auch die Bezeichnung „verba filiorum“ war üblich, was so viel wie
´Die Unterredungen der Söhne´ heißt. Im Bagdad des 9. Jh. hatten drei Jünglinge
das Glück, dass ihnen ihr Vater eine naturwissenschaftlich orientierte Ausbildung
angedeihen ließ. Als erwachsene Männer gehörten sie einem Gelehrtenzirkel an, der
„Banu Musa“.
Die jüngere Forschung nimmt an,2 dass des „Jordanus vom Walde“ Lebensdaten in
das späte 12. und das frühe 13. Jh. fallen und identifiziert diese Gestalt immer
weniger mit „Jordan von Sachsen“ (Jordanus de Saxonia), dem zweiten
Ordensgeneral der Dominikaner, wie das die frühere Forschung zumeist tat. 3
MARSHALL CLAGETT, „Archimedes in the Middle Ages“ (Bd. I – V, 1964-68), siehe Bd. I, S.2
Wie etwa Barnabas Hughes u. M. Clagett
3 Wie etwa MAXIMILIAN CURTZE in „Jordani Nemorarii Geometria vel de Triangulis Libri IV” (Thorn,
1887), S. IV-VI
1
2
Nonagonreport
- 16 -
Der 20. Lehrsatz des vierten Buches des „liber de triangulis“ wird uns auf den
folgenden Seiten beschäftigen. Clagett kam auf Grund seiner umfangreichen
Recherchen immer mehr zur Ansicht, dass Jordanus nemorarius nicht dieses Werk
schrieb, dass aber sehr wohl Teile seines „liber philotegni“1 hereingenommen,
andere aber und zwar die, welche mit zum Kernstück seiner Lehrsätze gehörten,
herausgestrichen wurden.2 Damit hat sich das inhaltliche Schwergewicht von den
Dreiecken und Vielecken auf eine mehr allgemein gehaltene Geometrie hin verlagert,
worauf auch die Titelerweiterung schließen lässt (siehe Fußnote 3 der Vorseite). Und
vieles mehr spricht gegen die Urheberschaft des Jordanus de nemore, laut Clagett. 3
Das uns betreffende Kapitel über die Winkeldreiteilung ist ergo ein Teil dieser
Anreicherung, die mit noch anderen von einem Anonymus zusammengestellt wurde.
Es ist in drei Abschnitte gegliedert.4 Der Erste paraphrasiert die Stelle aus den „verba
filiorum“, was ein Textvergleich belegt.5 Er beinhaltet den Konstruktionsvorgang und
seinen Beweis (siehe die nächsten zwei Seiten). Der sehr kurze Zweite stellt eine
Variante dar (S.19). Für beide ist die Fig. 20a dienlich, die wir in Nachzeichnungen
den jeweiligen Textstellen zuordnen. Der zweite und dritte Teil gehen nicht auf die
„Drei Brüder“ zurück, dürften aber ebenfalls arabischen Ursprungs sein. Die Art, wie
alle drei Abschnitte verknüpft wurden, lässt auf einen einzigen Urheber schließen.
Dann wären sie in ihrer Gesamtheit dem „liber de triangulis“ eingefügt worden. 6 Für
den dritten Teil wurde die Figur 20b erstellt (S.21).
Curtze und etwa 100 Jahre nach ihm Clagett vertreten die Ansicht, dass der
Literaturverweis des letzten Abschnitts auf Alhazen, der eigentlich Ibn al-Haitham
(engl.: Ibn al-Haytham) hieß, abzielt (siehe Fußnote 1, S. 20). Alhazen wurde 965 (?)
in Basra geboren und starb 1039 in Kairo.Er soll als erster ein Nilstaudammprojekt in
Angriff genommen haben, dessen Durchführung jedoch scheiterte. Sein Hauptwerk
„de aspectibus“ bzw. „perspectiva“ übte bis ins frühe 17. Jh. seinen Einfluss auf das
naturwissenschaftliche Denken Europas aus.7 Sein Inhalt ist im weitesten Sinn „das
Optische“ und handelt von der Lichttheorie und Strahlengeometrie, auch von der
visuellen Wahrnehmung. Damit kommt auch die Perspektive zu Wort. Gerade die
letzteren Aspekte erschlossen den Künstlern neue Wege der Darstellung, wie die
Werke etwa von Giotto, Ghiberti und Leonardo in steigendem Maße zeigen. 8
Bei den Figuren 20a und 20b der Tafel IV aus Curtzes Werk über „Jordanus“ fällt
die generelle Bezeichnung von Punkten und Geraden mit Kleinbuchstaben auf (siehe
S.21). Sie wurde in den Nachzeichnungen beibehalten. So wird z.B. eine Strecke
von z über h nach q unterteilt, ohne bestimmtes Ende fortgeführt und als Gerade zh
oder zeh im Textteil angeführt.
1
Zur Begriffsherleitung siehe CLAGETT, ebd.: Bd. V, S. 151
CLAGETT, ebd.: Bd. V, S.297 f
3 CLAGETT, ebd.: Bd. V, 302 ff
4 Die in Curtzes Buch (ebd.:S.38 f) wieder gegebene Textstelle (IV. 20) des herangezogenen
Manuskripts wird gegliedert in die Zeilen: 3-24, 25-28, 29-43. Sie entspricht in diesem Bericht den
Seiten 17 f, 19, 20.
5 Vergl. dazu CLAGETT, Bd. V, S.412 f mit Bd. I, S. 344 f
6 Siehe CLAGETT, ebd.: Bd. V, S. 324
7 Die Titelfrage betreffend, siehe A. MARK SMITH, „Alhazen´s theory of visual perception“
(Philadelphia, 2001), S. XXI
8 SMITH, ebd.: S. CIV-CXII
2
- 17 -
Nonagonreport
20. WENN EIN X - BELIEBIGER
WINKEL IN DREI GLEICHE TEILE ZU
TEILEN IST
20.
QUEMLIBET
RECTILINEUM
IN
DIVIDERE
ANGULUM
TRIA
EQUA
Es soll der spitze Winkel abg in drei
gleiche Teile geteilt werden. Über dem
angenommenen Zentrum b sei der
Kreis dzm zu zeichnen und db bis l zu
verlängern, und weiters sei auf dl die
Senkrechte bz zu errichten. Ich werde
die Strecke ze auf h weiter ziehen und
die Gerade zh nicht begrenzen. Auch
werde ich von zh (das Teilstück) zq,
das dem Radius gleich kommt,
abtrennen. Stellen wir uns also vor, die
Linie zeh würde so gegen a bewegt
werden, dass z sich nicht im Laufe
seiner Weiterbewegung vom Umfang
entfernen, [und] zh unablässig über e
hinausgehen, (hiebei) jedoch stets am
Punkt e festhangen würde.1 Auch
würde z die Bewegung (so lange) nicht
einstellen, bis q auf bz sei. Das Ende
der Bewegung wäre (erst) in t erreicht,
womit t sozusagen ein Teil von zh sein
wird. Oder um es anders zu sagen, zh
wird auf te liegen und ts wird gleich zq
oder dem Radius bd sein.
Sit angulus abg acutus in tria
dividendus. Super b sumpto centro
describatur circulus dzm, protrahatur
db in l, erigaturque bz perpendicularis
ad dl, protrahamque lineam ze in h et
non
ponam
lineae
zh
finem
determinatam, et resecabo de zh zq
equalem
db
semidiametro.
Imaginemus igitur quod linea zeh
moveatur versus a ita, quod z motu
suo non recedat a circumferentia, et
linea zh non cesset transire super e,
sed semper inhereat puncto e,1 et non
cesset z motu, quousque q sit super
bz, sitque terminus illius motus t, erit
ergo et quasi pars lineae zh, vel, ut
aliter dicam, zh iacebit super te,
eritque ts equalis zq, sive bd
semidiametro.
d
1
Ist man mit der Bewegungsgeometrie nicht
vertraut, wird man diesen Passus wahrscheinlich missinterpretieren. Betrachtet man
nämlich die zum verlängerten Durchmesser
sich neigende Gerade zh, kann man sich nur
vorstellen, dass jene nach rechts ihre Richtung
einschlagen wird. Liest man dann, dass
letztlich zq auf ts zu liegen kommt, so denkt
man, dass diese Gerade in e wohl eine Wende
macht, um auf die „Schiene“ te zu gelangen.
Tatsächlich ist diese Lage der Sehne tse am
Ende ihrer Bewegung – im Sinne der Neusis –
das Ergebnis des Umlaufes von zqh am Kreis
nach links. Jordanus bzw. der Anonymus
geben die entsprechende Textstelle der „Drei
Brüder“ nicht wortwörtlich wieder. Denn in den
„verba filiorum“, so wie sie von Gerard von
Cremona übersetzt wurden, ist von einer
Bewegung in Richtung l die Rede, also gegen
einen Punkt und nicht gegen eine Gerade (a).
Siehe dazu CLAGETT, ebd. : Bd. I, S. 344 –
349, insbes. 346 f.
1. Anmerkung: Während wir uns bei der Übertragung dieser Textstelle allein auf die in
Curtzes Buch (ebd.: S. 38 f) zitierte Handschrift
stützten, hatte Clagett zu diesem Zweck noch
andere zur Hand (ebd.: Bd. V, S. 412 ff, 468 f
u. Bd. I, S. 669).
Was nun den Satz mit der Bewegung von zh
gegen l angeht, ist zu sagen: Die von Clagett
zur Übersetzung benutzten Abschriften folgen
den „Drei Brüdern“ (man vergleiche die Texte
von Bd. I, S. 374 mit Bd. V, S. 468). Clagett
nimmt an, dass diese originelle Lösung der
Banu Musa-Gelehrten möglicherweise auf
Archimedes zurückgeht (ebd.: Bd. I, S. 667 f).
2. Anmerkung: Der Ausdruck in der eckigen
Klammer steht zwar im lat. Text, kann aber
überlesen werden, der in der runden Klammer
Nonagonreport
- 18 -
hingegen wurde aus Gründen der Text-
geschmeidigkeit in die Übersetzung eingefügt.
Ferner behaupte ich, dass der Bogen
tl ein Drittel des Bogens de ausmacht.
Wir wollen von Punkt b beginnend die
zu te Parallele bm ziehen, und ich will
(dann) bm bis k verlängern, und es
sollen (noch) die Punkte t und m
miteinander verbunden werden.
Dico autem tl esse terciam arcus de.
Protrahamus a
puncto
b
bm
equedistantem te lineae et protraham
bm in k, et coniungantur puncta t, m.
Beweisführung
Ts und mb sind gleich lang und
parallel. Also sind auch mt und bs1
gleich lang und parallel. Es steht bz
senkrecht auf dl, also schneidet dl mt
im rechten Winkel und deshalb schneidet dl die Sehne mt zu gleichen Teilen.2 Damit sind (auch) die Bögen ml
und lt gleich lang. Ebenso gleichen
sich die Bögen ml und dk, weil die im
Mittelpunkt b sich überschneidenden
Geraden mk und dl wechselseitig gleiche Winkel bilden.3 Folglich ist der (in
vorstellbarer Weise) aus zwei gleichen
Stücken bestehende Bogen ke4 in Bezug auf dk das Zweifache, und deshalb macht der Winkel kbe bezüglich
kbd das Doppelte aus. Hat man also
kbe in zwei gleiche Sektoren geteilt,
wird (auch) der vorgeschlagene Winkel
abg in drei gleiche Sektoren zerfallen.
Falls man sich aber vornimmt einen
Winkel, der über einen spitzen hinausgeht, zu dritteln, so muss jener zuerst
halbiert werden, und so wird jede
Hälfte spitzwinklig sein. Dann erst ist
es möglich jede von ihnen nach besagter Weise in drei gleiche Abschnitte
zu teilen und damit geht der Plan auf.
Argue
Ts equalis est mb et equedistans,
ergo mt, bg1 sunt
equales et
equedistantes;
et
bz
est
perpendicularis ad dl, ergo mt secat dl
ad angulos rectos, ergo dl secat mt
cordam in duo equa,2 ergo ml, lt arcus
sunt equales. Item ml, dk arcus sunt
equales,
quia
mk,
dl
sese
intersecantes in centro b faciunt
angulos ad invicem equales,3 ergo a
duplici pari kl4 arcus ad dk est duplus,
ergo angulus kbe ad kbd est duplus.
Diviso ergo kbe in duo equa erit
angulos propositus abg in tria equalia
divisus. Si vero proponatur angulus
maior acuto in tria equalia dividendus,
dividatur primo ille in duas medietates,
quarum utraque pars erit angulus
acutus; demum dividatur utraque
illarum medietatum in tria equa
secundum dictum modum, constat
ergo propositum. 5
5
Der Ausdruck „bg“ im lateinischen Text ist
falsch, es müsste „bs“ heißen (siehe CURTZE,
ebd.: Seite 39 /Zeile 5).
1
2
mt zerfällt nur deswegen in gleiche Teile,
weil dl deren Symmetrale ist. Darauf weist der
Text allerdings nicht hin.
3
Wir würden heute von Scheitelwinkel
sprechen.
4
Der Ausdruck „kl“ im lateinischen Text ist
falsch, es müsste „ke“ heißen (siehe CURTZE,
ebd.: Seite 39 / Zeile 10).
Da der Bogen ke in der Zeichnung
keineswegs als halbiert aufscheint, wurde in
der Übersetzung der Passus „....in vorstellbarer Weise ...“ eingefügt.
Wenn „Jordanus“ bei diesem Bogen die
Zweigeteiltheit vorwegnimmt, tut er dies in der
Gewissheit, dass er dem anderen, tatsächlich
halbierten, als spiegelsymmetrische Form
gleicht. Den Beweis für die gleiche Größe der
beiden Bögen zu erbringen, achtete er indes
für nicht notwendig. Er könnte lauten: mt und
ke stellen sich als Schenkel eines gleichschenkligen Trapezes dar mit dem Umkreismittelpunkt in b.
Nonagonreport
Ein klein wenig anschaulicher [auch]
lässt sich das nur (noch) mit folgender
Version erbringen und zwar, wenn an
Stelle von hz len verlängert wird, [und]
insofern
(der
Streckenzug)
lbz
rechtwinklig ist, gleicht (der Abschnitt)
ol bl.1 Stellen wir uns also vor; die
Gerade ln bewege sich so auf z zu,
dass sie stets durch e hindurchgeht,
und werde (so lange) weiter bewegt,
bis o auf bz liegt.2 Alles weitere, wie
gehabt.
- 19 -
Paululum quoque apertius idem
probatur hoc solo variato , quod pro hz
protrahatur len, et cum lbz sit rectus sit
ol equalis bl lineae.1 Imaginemus ergo
nl sic moveri versus z, ut ln semper
pertranseat super e, moveaturque ln
quousque o sit in bz, cetera ut prius.2
1
Es wird ein Zusammenhang zwischen den aufeinander recht winkligen Radien hergestellt und
deren Länge mit ol, der einfach so nicht besteht. Die Aussage, dass man lb auf ln überträgt und so
den Punkt o erhält, hätte genügt.
2
Um nicht nur auf unsere Vorstellung angewiesen zu sein, wurde auf der obigen Darstellung die
vorseitige Zeichnung um die Gerade n ergänzt und zh, das hier keine Rolle spielt, eliminiert (siehe
Abb. S. 17). Wir bemerken, dass die Strecke lo dem Radius gleicht und dass n den Punkt e
schneidet. Denken wir uns l als Endpunkt dieser Geraden und lassen jenen in unserem geistigen
Auge am Kreisbogen bis t ziehen, so wird letztlich lo mit ts identisch sein. Die Handschrift, auf die
Curtze sich in seinem Buch stützt, stellt für den 20. Satz des vierten Buches zwei Darstellungen zur
Verfügung (Fig. 20a, Fig. 20b), wobei die zweite einem alternativen und letzten Konstruktionsweg
zugeordnet ist (siehe übernächste S.). In einer anderen Handschrift wurden sie zu einer zusammen
gefasst, wobei zusätzlich die Linie n aufscheint (siehe CLAGETT, ebd.: Bd. I, S. 673, Fig. 97, er
nennt auch zwei Manuskripte mit je drei Diagrammen, siehe seinen Bd. I, S. 669f). Die Fig. 20a
entspricht der aus den „verba filiorum“ (siehe CLAGETT, ebd.: Bd. 1, S. 345, Fig. 53). Auf die Fig.
20b könnte auch eine dem Campanus zugesprochene Darstellung zurückgehen. Dieser brachte 1482
seine Fassung der „Elemente des Euklid“ heraus und fügte ihr ein kurzes Kapitel über die
Winkeldreiteilung an (siehe CLAGETT, ebd.: Bd.1, S. 678 – 681, Fig. 98).
Nonagonreport
Mit der obigen Darlegung der
Winkeldreiteilung bin ich keineswegs
zufrieden, weil sie nicht genügend
Beweiskraft hat. Damit sie mich (aber)
zufrieden stellt, führe ich dasselbe so vor
(siehe auch Fig. 20b): Gegeben sei der
spitze Winkel abg; es soll in b die
Zirkelspitze eingesetzt und ein Kreis
gezeichnet werden. Auch soll ab bis zum
Punkt l, der am Umfang liegt, verlängert
werden. Weiters sei vom Mittelpunkt
ausgehend die Normale auf dl, nämlich
bz, zu errichten. Und dann heißt es
(noch) eine vom Punkt e ausgehende
Gerade durch den Radius bz zu legen,
wobei man den 19. Satz der „fünften
Perspektive“ zu Rate zieht, auf dass ts
gleich dem Radius bl werde.1 Nun
zeichne man (noch) die zu tse parallele
Gerade bm und verlängere sie bis k.
Weil also bm und ts gleich lang und
parallel sind, werden das auch bs und
mt sein. Nachdem lbz einen rechten
Winkel bildet, gilt dies auch für bft, und
deshalb wird mt durch die Strecke bf
halbiert,2 und damit ist der Bogen mt
doppelt so groß wie der Bogen ml. Aber
der Bogen mt gleicht dem Bogen ke
wegen der Parallelität.3 Deshalb beträgt
er das Zweifache des Bogens ml – also
auch des Bogens dk. Würde man ergo
ke halbieren, (dann) wird sich die
Annahme bestätigen. Wenn der Winkel
größer als ein spitzer ist, hat man ihn in
zwei Spitze zu zerlegen, muss jeden der
beiden dritteln, und so ist die Aufgabe
erfüllt.
- 20 -
De divisione anguli in tres partes
equales mihi nequaquem sufficit dicta
demonstratio, eo quod nihil certum in
eo reperio, ut autem mihi me
sufficientem faciam, hoc idem sic
demonstro: Datus angulus acutus sit
abg; igitur in b posito pede circini
describatur circulus, et protrahatur ab
ad l in peripheria, et e centro super dl
extrahatur perpendicularis bz, et a
puncto e per bz semidiametrum
ducatur linea per figuram 19. quinti
perspectivae ut ts sit equalis
semidiametro bl.1 Ducatur ergo bm
equedistans lineae tse, et protrahatur
ad k. Quia igitur bm, ts sunt equales et
equedistantes, erunt bs et mt equales
et equedistantes, ergo, cum angulus
lbz sit rectus, erit bft rectus, ergo mt
secatur per lineam bf per equalia,2
ergo arcus tm est duplus ad arcum ml.
Sed arcus mt est equalis arcui ke
propter equedistantiam,3 ergo arcus ke
est duplus ad arcum ml, ergo et ad
arcum dk. Dividatur ergo ke per
equalia, habebitur propositum. Si fuerit
angulus maior acuto, dividatur in duos
acutos
et utriusque sumatur pars
tertia, et habetur propositum.
1
Curtze vermutet, dass Jordanus sich auf die
betreffende Stelle aus dem 5. Buch der
PERSPECTIVA ALACEN bezieht (Ebd.: XIII
unten, XIV) räumt jedoch ein die betreffende
Handschrift nicht zu kennen. Clagett hatte
jedoch die Möglichkeit in sehr viele Abschriften
der
PERSPECTIVA
des
arabischen
Mathematikers Alhazen einzusehen. So etwa
erwähnt er den Codex 5322 (147v – 150r) der
Österr. Nationalbibliothek (CLAGETT, ebd.;
Bd. IV, S. 19, Fußnote 41). Er meint aber, dass
sich der Autor des “liber de triangulis” auf den
34. und nicht auf den 19. Lehrsatz bezogen
hätte (CLAGETT, ebd.: Bd. IV, S.19 f).
2
Der Grund für die Halbierung kann nur der
sein, dass mt eine Kreissehne ist und lb deren
Symmetrale darstellt (die durch den Mittelpunkt gehen muss). Siehe dazu Fußnote 2 der
S. 18.
3
Gemeint ist, dass mk und te Parallele im
Kreis sind und folglich die Bögen mt und ke
nur gleiche Länge haben können.
Nonagonreport
- 21 -
Abschließend sollen die Zeichnungen 20a und 20b der Tafel IV aus Curtzes Buch 1
zwei Nachzeichnungen gegenüber gestellt werden.
Beim ersten Vergleichspaar (IV, 20a / Fig. 1) besteht der Unterschied lediglich in
der Drehung des Durchmessers lbd gegen den Uhrzeigersinn aus der Senkrechten
in die Waagrechte, was die Figuration statischer erscheinen lässt. Da sie so der
Ausrichtung und Lage nach auch mit den Abbildungen der zwei älteren Meister
übereinstimmt, wird eine wechselweise Betrachtung erleichtert. Lediglich zeh wurde
eliminiert (siehe S.17) und auf die Gerade n der alternativen Methode (siehe S.19)
wurde ebenfalls verzichtet. Somit zeigt sich die Fig. 1 als eine purifizierte Fassung –
bar jener „bewegungsgeometrischen Krücken“.
Sehen wir nun die Darstellung 20b mit der Fig. 2 zusammen: Bloß eine
geringfügige Lagenveränderung ist festzustellen, denn die Gerade a liegt jetzt
horizontal. Beide Zeichnungen beziehen sich auf den letzten Textabschnitt, der auf
Alhazen Bezug nimmt (siehe vorige Seite).
Vergleichen wir noch die übereinander gesetzten Darstellungen (Fig.1 und Fig.2).
Sie sind identisch und wurden nur um eine imaginäre, horizontale Achse gespiegelt.
Fig.1
Fig.2
Also ist es einsichtig geworden, dass
der Autor des „liber de triangulis“ uns
im Prinzip ein und dieselbe Figur
vorführt.
Wie sie und die Abu’l Wafas mit der entsprechenden des Archimedes
zusammenhängt, wird im Folgenden ausgeführt.
1
Siehe S. 15, Fußnote 3
Nonagonreport
- 22 -
DER ZUSAMMENHANG MIT ARCHIMEDES
„Wenn A irgendein Punkt auf einem
Kreis mit dem Radius MB ist, so ist es
möglich durch A eine Gerade zu
ziehen, die den Kreis zum zweiten mal
in D und die Verlängerung von BM in E
schneidet, sodass der Abschnitt DE
eine gegebene Länge hat.“1
„Wenn ADE so gezogen wird, dass
DE gleich dem Radius MB ist, dann ist
der Bogen AB drei mal so groß wie der
Bogen DF.“ Der Text stammt wieder
aus dem oben genannten Werk (S.
95). Die nebenstehende Zeichnung
macht klar, wie das allgemeine
Theorem dem Zweck der Winkeldreiteilung dienlich gemacht wurde.
Wir kennen diese Graphik schon von
S.12, doch jetzt ist sie spiegelbildlich
dargestellt. Der verlängerte Durchmesser EFC (S.12) kam in die waagrechte Lage (EFB). Hinzugefügt wurde
die Normale MC über dem Mittelpunkt.
Damit hat sich ausschließlich das
Erscheinungsbild gewandelt, das so
mit der Fig. 3 übereinstimmt. Es fehlt
bloß die untere Kreishälfte. Auch diese
Darstellung ist uns bekannt (S. 15).
Hier wurde jedoch ein Teilstück der
Konchoide hinzugefügt. Abu´l Wafa
wendet also die Neusis-Konstruktion
des Archimedes an, um den 60°
Winkel zu dritteln. Das zu ziehende
Messlineal hat im Moment, wo es noch
parallel zu FM liegt, auch diesen
Abstand – siehe GA. Der Streckenzug
FGABF stellt sich dann als ein halbes
Sechseck dar und die Punkte F,M,A,G
und F umreißen einen Rhombus.
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Es sei angemerkt, dass die Höhe des MBA der Strecke EF fast gleich kommt.
Tragen wir diesen Abstand von F aus auf der Geraden BF nach links ab, so kommt
man dem Punkt E sehr nahe. Nennen wir ihn E´. Der AE´B würde 20,104°
aufweisen. Die Ergänzung auf 60° ergäbe 39,896°.
Siehe T.L. HEATH (Deutsch von F. Kliem) „Archimedes´ Werke“ ( Berlin, 1914), S. 95. Bei diesem
Zitat wurden die Punkte umbenannt, was auch bei der Nachzeichnung geschah, die außerdem
seitenverkehrt wiedergegeben wurde.
1
Nonagonreport
Schon bei den Fig. 2 und 3 der
Vorseite fiel auf, dass die Abschnitte ED
und CD (Radiuslänge!) sich gleichen.
Die rechts stehende Zeichnung kennen
wir schon vom „Pseudo-Jordanus“
(siehe die Abb. auf S. 20). Bloß die
Sehne AD wurde hier verlängert, um die
Formgleichheit mit den zwei letzten
Darstellungen zu dokumentieren.
- 23 -
Fig.1
Diese Neusis-Konstruktion ist insofern eine Alternative zu den vorhergehenden als
der gegebene Abstand k (= Radius) sich nicht außerhalb, sondern innerhalb des
Kreisbogens (= Leitkurve) bewegt (siehe die Kurve zwischen A und C).
Fig.2
Die Fig. 2 fasst – ganz im Sinne des Wortes – die Darstellungen dieses
Theoriekapitels zusammen.1 Die Gerade h – so stelle man sich vor – wird so durch
den Punkt A am Kreis (= Pol) gezogen, dass der Halbierungspunkt J der Teilstrecke
K´K bei der Bewegung am Umfang (= Leitkurve) bleibt. Dadurch entsteht eine innere
und äußere Konchoide. Letztere schneidet den verlängerten Diameter FB in E. Abu´l
Wafa bediente sich ihrer (siehe zum Vergleich Fig. 3 der Vorseite).
Sehen wir nun die Pascal´sche Schnecke mit der Darstellung auf S. 17 zusammen,
für die ja die Banu Musa-Gruppe Pate stand.2 Dem auf den Durchmesser ld gefällten
Lot sb ist hier die auf FB errichtete Senkrechte CM gleichzusetzen.
Den
Markierungen z und q auf dem Bewegungslineal entspricht hier J und K auf der
Geraden h. Für die Winkeldreiteilung von AMB ist der Weg von Punkt J bis D am
Umfang zurückzulegen, derweilen K die senkrechte Mittelachse über dem
Durchmesser FB in C schneidet. Man vergleiche bei den Abbildungen dieser Seite
die Bahn der Konchoide von A nach C.
1
Sie wird nach Etienne Pascal, dem Vater Blaise Pascals, Pascal´sche Schnecke genannt. Ob sie
schon in der Antike bekannt war, wissen wir nicht.
2
Siehe Clagett, ebd.: Bd. I, S. 345, Fig.: 53
Nonagonreport
- 24 -
Die Pascal´sche Schnecke beinhaltet auch die erklärende Figur zum 8. Satz aus dem
„liber assumptorum“ des Archimedes. Der z-förmige Streckenzug DAGHMIB entspricht
nämlich dem auf S.12 [ABCFDEG]. Der Bogen DI [bzw. AE, S. 12] ist das Dreifache des
Bogens AH [bzw. BF, S. 12]. Die genannten Winkelbeziehungen scheinen auch in den
Zeichnungen Abu´l Wafas und der Banu Musa-Gruppe und somit auch beim „PseudoJordanus“ auf, denn die Messlatte h zieht durch die „Öse“ A nach links (siehe Fig. 3 der
S. 22 und Fig. 1 der Vorseite).
Welche Arbeitsschritte müssen wir Archimedes unterstellen, um beim Trisezieren des
DMI [= ADE, S. 12] den AMH [=BDF, S.12] zu erhalten? Er verlängert den
Durchmesser HI über den Kreis hinaus und nimmt D als Pol. Ausgehend etwa von der
Lage der Sehne DJ, wird das Lineal ab dem Punkt J bis zu seinem Ende mit der
Radiuslänge markiert und am Umfang im Uhrzeigersinn bewegt. Schneidet das
Linealende die über HI hinausgezogene Gerade in G, so ist die Dreiteilung gelungen.
Man hat nur mehr G mit D zu verbinden, um den Punkt A am Kreis darzustellen. Wir
sehen: der Pol A wurde gegen den Pol D getauscht, da der Messstab hier die
Gegenrichtung einschlug.
Zwischen A und D, bzw. zwischen E und G, kann man eine Symmetrieachse legen,
sodass die Dreiecke GEM und IBM halbiert werden. Man betrachte das GEM und die
je gleich langen Schenkeln am stumpfen nämlich EM und GM, deren Teilstrecken FM
und MH (=r), und die von EF und GH sich jeweils entsprechen. Die Basiskante setzt sich
dreimal aus der Radiuslänge zusammen (ED + DC + AG) und dem Abschnitt AC.
Verlängert man AM um das Dreifache (=3r), so stellt man damit die Symmetrieachse der
inneren und äußeren Konchoide dar.
Nicht nur für die Winkeldreiteilung ist das allgemeine Theorem anwendbar (siehe S. 22
oben). Auch die Sätze 5, 6 und 7 aus Archimedes´ Buch „Über Spiralen“ sind davon
Spezifikationen. Da bei ihnen die Neusis als möglich vorausgesetzt wird, kann man nur
annehmen, dass der Grieche aus Syrakus sie ebenso als Konstruktionshilfe für das
8.Lemma (= 8. Satz) des „liber assumptorum“ ansah, aber es nicht für notwendig hielt
das anzumerken (siehe S. 12). Indem die „Drei Brüder“ aus Bagdad auf diesen Hilfssatz
zurückgriffen und sich ihn für ihre Aufgabe zu Nutze machten, ist klar, dass sie auch das
Wissen um die bewegungsmechanische Methode von den Griechen bezogen. Letztere
aber gingen immer mehr dazu über an Stelle dieser Ausführungsweise,
Kegelschnittkonstruktionen anzuwenden, um ganz im Sinne Euklids lediglich auf Zirkel
und Lineal angewiesen zu sein.1
Die an Körperoberflächen (Kegelmäntel) sich bildenden Kurven (Kurven 2. Ordnung)
nannten sie RÄUMLICHE ÖRTER. Je nach der Lage der Schnittebene zum Mantel
stellen sie sich als Ellipse, Parabel oder Hyperbel dar. Ihre Konstruktion und die
Bewältigung von Aufgaben dieser Stufe erfordern eine punktweise Ausführung, während
man bei Problemstellungen auf der Höhe der Elementargeometrie bloß Gerade und
Kreise zu ziehen und es dementsprechend mit EBENEN ÖRTERN zu tun hat. Folglich
genügen Gleichungen 1. und 2. Grades. Indem die Winkeldreiteilung nur mit solchen 3.
Grades zu lösen war, spielte sie in der Geschichte der späteren Mathematik nochmals
eine_Rolle.2
H. G. ZEUTHEN „Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum“, S. 81 (Leipzig, 1896)
Um 1570 etwa gelang es dem gelernten Juristen Francois Viète den sog. casus irreducibilis der
kubischen Gleichung zu lösen. Damit konnte man auf komplexe Zahlen verzichten (siehe ZEUTHEN,
ebd.: S. 82 und KAISER / NÖBAUER, ebd.: S.39) und ÉVELYNE BARBIN „Françoise Viète, un
Mathematicien sous la Renaissance (Vuibert, 2005 / bes. S.1-5).
1
2
Nonagonreport
- 25 -
„Zuerst Ei oder Henne“, eine Problemstellung dieser Art beschäftigte Heath und
Zeuthen. Sie fragten sich etwa, ´wie kamen die griechischen Geometer auf
besondere Fälle, bei denen sich räumliche (oder körperliche) Aufgaben in ebene
umwandeln ließen?´ ´Indem man von den Kegelschnittdefinitionen her auf spezielle
Anwendungen kam,´ meint Zeuthen.1 Dem widerspricht Heath2. Mehr als das
interessiert uns hier…
DER WISSENSSTAND ÜBER KEGELSCHNITTE IM MITTELALTER
Das sei ganz allgemein kurz skizziert, doch im Besonderen ist auf den 19. Satz
des 5. Buches der PERSPECTIVA des Alhazen (V. 19) zurückzukommen, da auf ihn
im „liber de triangulis“ verwiesen wird (siehe S.20, dort selbst Fußnote 1).3
Mehrmals bezieht sich Alhazen in seinem Hauptwerk auf die „Kegelschnitte“ des
Apollonius, z.B. in den Lehrsätzen I. 14, II. 4 und II. 5, doch gibt er deren Nummern
nicht an, so auch in den Propositionen V. 33 und V. 34 (V. 34 = V. 19 im „liber de
triangulis“). Doch er nennt Apollonius als Autor (Cl. 19, Cl. 30). 4 Auf Grund dieser
spärlichen Hinweise konnte vom mittelalterlichen Leser der Bezug zu den
Kegelschnitten wohl nicht hergestellt werden (Cl. 31). Wer nur beim Studium von IV.
20 des „liber de triangulis“ den Verweis auf Alhazen und die zugeordnete Zeichnung
vor sich hatte, war sicherlich ratlos. Erst nach 1270, als Witelos Übersetzung der
„Konika“ des Apollonius zur Verfügung stand, war es Fachkundigen möglich die
entsprechenden Schlüsse zu ziehen.5 Kurz zuvor, 1269, übertrug der Freund dieses
polnischen Gelehrten, nämlich der Niederländer Wilhelm von Moerbeke, die damals
bekannten Werke von Archimedes aus dem Griechischen ins Lateinische. D.h., dass
erst im späten 13. Jahrhundert mit diesen beiden Übersetzungswerken das Wissen
über die Kegelschnitte beträchtlich anwuchs. Und dennoch; eingehend befassten
sich damit erst im 16. Jahrhundert italienische Gelehrte wie beispielsweise Federigo
Commandino (Cl. 63).6
Ich beschließe diesen historischen Abriss mit einigen Hinweisen. Um Alhazens
Proposition V. 34 und auch den Zusammenhang mit dem Lehrsatz IV. 20 aus dem
„liber de triangulis“ zu verstehen, lese man: CLAGETT ebd.: Bd. IV, S. 25 – 30.
Um Einblicke in die Wissenschaftsgeschichte der Kegelschnitte vom 12. bis ins 16.
Jahrhundert zu gewinnen, seien die folgenden Kapitel desselben Bandes
hervorgehoben: 1. Kapitel (S. 3 – 31), 3. Kapitel (S. 63 – 98), 5. Kapitel (S. 159 –
184), 6. Kapitel (S. 235 – 268), 7. Kapitel (S. 311 – 359); dieses mehrbändige Werk
wurde von der American Philosophical Society (Philadelphia) herausgegeben.
Zeuthen ist der Ansicht, dass der Ausdruck „räumliche Örter“ von der stereometrischen Definition
der Kegelschnitte herrührt (ebd.: S. 213).
2 Zu diesem Disput siehe HEATH (ebd.: S 280, 282). Er zitiert dort ZEUTHEN (ebd.: S. 108, 110),
siehe weiters das Kapitel V der deutschen Ausgabe von HEATH (ebd.: S. 94 - 116).
3 Ich werde hiebei sinngemäß Clagetts 1. Kapitel folgen (ebd.: Bd. IV) und in Klammerausdrücken auf
die entsprechenden Seitenzahlen hinweisen – z.B. (Cl. 18). Die Literaturangaben bezüglich Heath,
Knorr, Zeuthen, Bretschneider entstammen großteils demselben Band.
4
Apollonius von Perge (262 v.Chr.? – 190 v.Chr.?) wird als Vorläufer der projektiven Geometrie
betrachtet. Er schrieb ein Werk über Kegelschnitte (Konika). Siehe dazu C. A. BRETSCHNEIDER
„Geometrie und Geometer vor Euklides“ (vor allem die Seiten 157 – 162, 170)
5
´Der erste Autor, der Alhazens Lösung mit dem Text von Apollonius in Verbindung bringen
konnte,wird wohl Witelo gewesen sein´, meint Clagett (ebd.: Bd. II, S. 86, 90).
6
Auf dieser Seite finden sich die erwähnten Literaturangaben über Zeuthen und Heath, aber auch
über J. L. Heiberg. Siehe dessen Aufsatz: „Die Kenntnisse des Archimedes über die Kegelschnitte“ IN
Zeitschrift für Mathematik und Physik, Hist.– lit. Abtheilung, XXV. Jahrgang (1880), S. 41 – 67. In
diesem Zusammenhang sei hingewiesen auf KAISER / NÖBAUER, ebd.: § 5 „Der Ursprung der
Kegelschnitte“, S. 152.
1
- 26 -
Nonagonreport
KONSTRUKTION DES NONAGONS MITTELS BEWEGUNGSMECHANIK
In diesem Kapitel, das sich als Annex zum Thema „Winkeldreiteilung“ versteht,
lösen wir uns vom historischen Kontext. Denn ein für das Siebeneck konzipierter
Konstruktionsgang wurde bloß vom Autor weitergeführt und so auf das Neuneck
anwendbar.
Was auf den Seiten 6-10 des Heptagonreports geschrieben und gezeichnet wurde,
bildet die Verständnisgrundlage dieser Seiten. Die unten stehende Grafik ist ident mit
der von Seite 8, soweit es die in Grau gehaltene Figur betrifft. Jene zeigt den Anfang
der Bewegungsphase an. Der Ort ihres Endes ist jeweils ein anderer, wie die
schwarzen Linien der Zeichnungen beweisen. Im Falle des Siebenecks wird er früher
erreicht und zwar dann, wenn der Schnittpunkt K von TZ mit DL auf dem senkrechten
Diameter liegt. In K´ schneiden sich demnach drei Gerade: AB, D´L´, T´Z´ (siehe
Abb. S. 8).
Bei der Neuneckkonstruktion hat man den T-Balken weiter zu drehen bis sich D´L´
und T´Y´ am Kreis schneiden, sodass deren Endpunkte, nämlich L´ und Y´ (somit
auch K´) in eins zusammen fallen. Für die Polygonseite wurde dort und wird hier die
Sehne
D´B
gewählt,
wobei
klarerweise D´ jeweils ein anderer
Punkt am Kreis ist.
Dass man zu diesem Ergebnis
auch ohne jegliche Apparatur
kommen kann, bezeugt die NeusisLösung des Archimedes (siehe
Abb. S. 12). Um seine Konstruktion
mit der nebenstehenden vergleichen zu können, ist es ratsam die
erstere auf den Kopf zu stellen und
die letztere um 90° nach rechts zu
drehen, sodass die jeweiligen
Durchmesser (EF/S. 12) bzw. (AB/
S. 26) in die waagrechte Lage
kommen. Der Bogen BF ist ein
Drittel des Bogens BG (S. 12) und
ebenso ist der Bogen BK´ ein Drittel
des Bogens D´K´ (S. 26).
Der Streckenzug F D G E D B (S. 12) entspricht
dem Streckenzug B G D´ A G K´ (S. 26).
Man vermisst auf der obenstehenden Grafik lediglich die Strecke ABC der Abb. von
S. 12. Da sie mit dem Ende der Bewegung des Messstreifens E´D´ ident ist, scheint
sie hier nicht auf (bezüglich E´D´ siehe Kommentar S. 13).
Nonagonreport
- 27 -
BEWEISFÜHRUNG NACH DEN MEISTERN
Um die Richtigkeit dieser Methode aufzuzeigen, kann man den Beweis des
Archimedes (S. 12), den des Abu´l Wafa (S. 14f) oder den des Jordanus (S. 18)
anführen. Man hat allerdings zwei Hilfsgerade in die Konstruktionszeichnung der
Vorseite einzufügen, wobei die eine der Position des Messstreifens am Ende seiner
Bewegung entspricht. Diese Position stellt auf den Fig. 2 und 3 der Seite 22 jeweils
die Strecke ACDE dar. Diese Darstellungen sind uns bereits von den oben
genannten Seiten bekannt, doch wurden sie hinsichtlich Winkelgröße, Lage und
Bezeichnung konformiert. Um also die Schenkeln des Winkels AEB der Figuren 2
und 3 auf die vorseitige Grafik eintragen zu können, müsste man den senkrechten
Durchmesser AB nach unten verlängern und eine Paralelle zu K´M´ durch D´ legen.
Wo sich die beiden Geraden schneiden, liegt der Scheitel, der dem Punkt E der
Figuren 2 und 3 entspricht.
Hat man diesen Winkel eingezeichnet, kann man mit der Beweisführung von Seite
12 oder 14f operieren. Zieht man die von „Jordanus IV, 20“ heran (S. 18), so ist die
unten stehende Graphik hilfreich.
Achse
In ihr finden wir die von S. 18 und die der
Vorseite (graue Linien) vereint, wobei die
letztere seitenverkehrt wiedergegeben und
der Durchmesser K´M´ in die waagrechte
Lage gebracht wurde. Zieht man eine
Parallele zu ihm durch D´ (= e), so erhält
man den Kreispunkt t. Die Sehne mt
entspricht der achsensymmetrischen von
D´B. Da der ebd (bzw. D´GK´) hier mit
60° angenommen wurde, ist der  mbt und
damit auch der  D´GB je 40°.
BEWEISFÜHRUNG MITTELS DER KINEMATISCHEN APPARATUR
Es soll nun ohne Anlehnung an die historischen Neusis-orientierten Konstruktionen
der Beweis erbracht werden, dass derD´GB 40° beträgt und die Sehne D´B die
zugehörige Nonagonseite ist (siehe IV).
I. Wir bezeichnen den BGK´ mit α und fragen
uns, welche der anderen Winkel ihm gleichen. Der
 AGE´ als sein Scheitelwinkel ist ebenfalls α und
so auch der  E´AG, weil das GAE´
gleichschenklig auf Grund der Höhe E´H, welche die
Symmetrie-achse bildet, ist. Zwei gleich lange
Schenkel zeigt auch das  AD´G (AG = r, D´G = r).
Somit ist auch der  AD´G mit α zu benennen.
I.1
BGK´
= AGE´ =  E´AG =  AD´G = α
Nonagonreport
- 28 -
II. Es ist nachzuweisen, dass der  BGD´ doppelt so groß wie der  BGK´ ist (II.1).
Bekanntlich ist jeder Außenwinkel eines  genauso groß wie die Summe der beiden
nicht anliegenden Innenwinkel. Zieht man von 180° den  AGD´ ab, so erhält man
seinen Ergänzungswinkel BGD´ (II.2). Um den  AGD´ zu bestimmen, muss man von
180 die beiden Basiswinkel des  AD´G abrechnen (II.3).
II.1
BGD´
= 180 -  AGD´
II.2
II.3
 AGD´
AGD´
BGD´
= 180 - ( D´AG +  AD´G)
= 180 - 2α
= 180 - (180 - 2α) = 2 α
III. Dass das D´K´G gleichseitig ist, soll nun
bewiesen werden. Es ist nichts anderes als
das um G gedrehte  DYG (siehe Abb. S. 26).
Um Y zu erhalten, hatten wir den Abstand DG
(= r) einmal von G und dann von D aus nach
unten abgeschlagen. Auch ohne sich auf
diesen Zusammenhang zu beziehen, kann
einsichtig gemacht werden, dass die restlichen
Winkeln jeweils so groß wie der D´GK´ sind.
Das  D´K´G ist aufgrund der Schenkel D´G
und GK´ (jeweils r) auf jeden Fall
gleichschenklig. Da die Höhe K´T´ die Seite
D´G halbiert, zerfällt es in zwei spiegelgleiche,
rechtwinklige Dreiecke. Daher müssen auch
die Seiten GK´ und D´K´ gleich lang sein.
Folglich sind alle Winkel je 60° (= 3α).
IV. Ergo ist der  D´GK 60°. Die Winkelöffnung D´GB ist demnach 40° (= 2α) und
α = 20°. Die Sehne D´B ist die exakte Nonagonseite.
EINE ABGELEITETE NÄHERUNGSKONSTRUKTION,
die sich der Figuration am Beginn der Bewegungsphase
der mechanischen Lösung bedient, sei hier präsentiert,
bzw. dem Abschlusskapitel vorangestellt (siehe
Abb. S. 26).
Ohne die Zirkelspanne zu verändern und ohne jegl.
Parallelverschieben ist sie zu bewerkstelligen. Indem
man die Zirkelspitze mit dem gegebenen Umkreisradius
einmal im Punkt A und einmal in D einsetzt, kommt man
zum Halbierungspunkt H und der Streckensymmetrale
von DG, auf der die Punkte E und Y liegen. Wenn man
von H aus den Radius auf sie abschlägt, erhält man
einen Punkt, der (leider) nicht ganz mit K identisch ist
und deshalb mit einem Klammerausdruck versehen
wurde (siehe nebenstehende Zeichnung). Verlängert
man die Strecke A (K), erhält man am Kreis (D´).
Der  (D´)GB beträgt 40,21°. Das entspricht einer um 1/2 Prozent zu langen Polygonseite (Diese
Konstruktion wurde nicht in die Tabelle auf S. 33 aufgenommen).
Nonagonreport
- 29 -
NÄHERUNGSKONSTRUKTION DES REGELMÄSSIGEN NEUNECKS DURCH
ERZEUGUNG DES 40° ZENTRIWINKELS
Wenn wir kurz rekapitulieren: Neben der in den Titelzeilen angekündigten
Vorgehensweise haben wir mit einer begonnen, die von einem 5/9 Chorschluss
abgeleitetet wurde. Ein Kreisring und bestimmte Sechseckpunkte führten zum
Ergebnis (S. 1f). Auch bei der zweiten Lösung waren aus dem Hexagon
hervorgehende Schnitt- und Eckpunkte von Bedeutung (S. 3). Letztlich fußt auch
Dürers Konzept darauf, wenn er die dienliche Spindelfigur einem Kreis einschreibt
(siehe S. 4).
Ein ganz anderer Weg wurde beschritten, als eines der Diagonalsysteme des
Nonagons zum Vorbild des Konstruierens gemacht wurde. Es galt Methoden zu
ersinnen, welche den vorgegebenen Maßen und Winkeln möglichst nahe kamen. Die
Erste von ihnen basierte auf der Relation von der inneren zur äußeren
Überschneidungsfigur. Bei der Zweiten führte ein Sechseckraster aus (9 x 9)
Dreiecken zum Ziel (S. 6-10).
Es haben demnach alle auf den Seiten 1-10 vorgestellten Verfahren den
Zentriwinkel über die Polygonseite ermittelt. Die Beispiele dieses Kapitels gehen den
umgekehrten Weg. Beim Ersten von ihnen ist die Entwicklung aus dem 60° Winkel
ablesbar, d.h. die Winkeldreiteilung wird sichtbar (siehe die Winkel EMD
undGMD der unten stehenden Zeichnung).
ERSTE KONSTRUKTION
© Rossi 06
KONSTRUKTIONSVARIANTE
© Rossi 06
Gegeben sei ein Kreis mit dem
Radius MD. Man zieht dazu rechtwinklig
AM. Von A aus wird der Radius
beidseitig (B, C), von C aus nach unten
(F) und von D nach oben (E)
abgeschlagen. Mit den so ermittelten
Punkten lassen sich im Halbkreis BAF
die zwei DreieckeBFE u. BFC
einschreiben, deren Katheten BC u. EF
sich in G schneiden. Der Winkel
GMD beträgt 39,89°,was einer
Neuneckseite von 99.75% entspräche.
Bei dieser Konstruktion kommt man
ohne das Parallelverschieben aus.
Außerdem kann die ursprüngliche
Zirkelspanne belassen werden. Wir
arbeiten gleichsam mit Abu´l Wafas
„rostigen Zirkel“.
Wir ermitteln den Schnittpunkt der
Geraden BE mit AM (H) und ziehen
durch ihn eine Parallele zu MD. Jene
berührt im Punkt I die verlängerte
Strecke CF. Der Winkel  IMD ist
40,2078°.
- 30 -
Nonagonreport
Der Mittelwert der beiden Konstruktionsweisen ergibt 40,0422°.
Auf dieser Zeichnung versinnbildlichen sich die altbekannten Schuldreiecke (mit
den Winkeln von 45°, 45°, 90° und 30°, 60°, 90°) als Einschreibungen in einem
Halbkreis, dessen Durchmesser mit deren Hypothenusen, nämlich BF, ident ist.


ZWEITE KONSTRUKTION
Man
zeichnet
einen
Halbkreis
über
dem
Durchmesser AMB und
schlägt von B aus den
Radius am Kreis ab (C).
Von C aus wird das Lot
auf den Radius MB gefällt,
© Rossi 06
wodurch
man
den
Halbierungspunkt D erhält.
Durch ihn zieht man dann
eine Parallele zu CM, die
in F den Kreis berührt. CD
sei der senkrechte Durchmesser eines Kreises mit dem Mittelpunkt E. Der
Waagrechte schneidet in I die Gerade AF, die wieder den Kreis in G schneidet.
Durch G legt man eine Parallele zu CM, sodass man den Schnittpunkt H erhält. Der
WinkelIHD beträgt 40,047°. Würden wir mit seinen Schenkeln einen
Neunecksektor bilden, hätten wir eine um 0,113% zu große Polygonseite
(100,113%).
Diese Figuration lehnt sich an eine Darstellung aus dem „liber philotegni“ bzw. „liber
de triangulis“an. Sie weist allerdings andere Proportionen und zusätzliche Linien auf.
Die geometrischen Absichten sind selbstredend andere (siehe CLAGETT, ebd.: Bd.
V, S. 265, 438; Diagramme S. 625, 643).
DRITTE KONSTRUKTION
© Rossi 06
Es sei ein Halbkreis mit dem Durchmesser AB und dem Mittelpunkt M gegeben,
über den wir die Normale MC errichten. Die Sehne AC wird von A aus am
Durchmesser abgetragen und so ermitteln wir den Punkt D. Die Senkrechte über ihn
schneidet den Kreis in E. Durch E legen wir eine Parallele zu AB, die im Punkt F den
Kreisbogen mit dem Radius AC berührt. Der WinkelDAF weist 40,06° auf. Fassen
wir FD als Neuneckseite auf, so hätte sie 100,1438%.
Nonagonreport
- 31 -
VIERTE KONSTRUKTION
Diese Näherung lässt sich –
ganz im Sinne Abu´l Wafas – mit
unveränderter Zirkelöffnung und
auch ohne jegliches Parallelverschieben, wie die erste Konstruktion (S. 26) durchführen.
Wir zeichnen einen Kreis mit
dem Radius MA, setzen dann
den Zirkel in A ein, um die
übereinander liegenden Kreispunkte B und C zu ermitteln.
Deren Verbindungslinie, die wir
nach oben etwas verlängern,
© Rossi 06
schneidet
den
waagrechten
Durchmesser im Punkt D. Wir
machen ihn zum Mittelpunkt eines Halbkreises mit dem Radius MA, auf dessen
Umfang die Punkte E, F und G für den weiteren Konstruktionsgang wichtig sind.
Verbinden wir E mit F durch eine Gerade, so schneidet sie den Kreis in H. Von dort
wird eine zweite Gerade nach G gezogen. Der  HGE ist der gesuchte Zentriwinkel
(39,9386°). Man nimmt am besten G als Mittelpunkt des zu zeichnenden Nonagonumkreises oder legt eine Parallele zu HG durch M.
FÜNFTE KONSTRUKTION
Das rechtwinklige  ABC ist
einem
Halbkreis
eingeschrieben, wobei die Kathete
BC die Radiuslänge (MB) aufweist. Schneidet man die
andere Kathete (AC) mit dem
durch M gelegten Lot über der
Hypotenuse (AB), so erhält man
© Rossi 06
D. Der Abstand MD wird von M
aus auf den großen Diameter
(AB) beidseits abgetragen (E,
F). Schlägt man den Abstand AF auf den großen Halbkreis ab, kommt man zum
Punkt G. Wir verlängern die Geraden EG und FC nach oben, bis sie sich in H
schneiden. Der  HAB ist der gesuchte Nonagonzentriwinkel von 40,049°. Die
Polygonseite beträgt 100,118%.
- 32 -
Nonagonreport
SECHSTE KONSTRUKTION
Zunächst ziehe man den Halbkreis ABC. Von den Endpunkten des Durchmessers
ausgehend (A, C) schlage man den Radius BM am Kreis ab (D, E), verbinde diese
Punkte, und zeichne ihren Halbierungspunkt ein (F). Hierauf fällt man durch E das
Lot auf den Diameter und erhält so K. Zwei weitere Kreispunkte sind noch zu
ermitteln, nämlich G und H. Sie liegen auf der Streckensymmetrale von AD bzw. von
AB. Von H beginnend zeichnet man eine Parallele zu AM, die in I die Normale auf M
berührt. Die Symmetrale dieser Strecke wird eingezeichnet. Ihren Schnittpunkt mit
der Schrägen GF nennen wir J. Der Winkel JKA beträgt 40,014958°. Man beachte:
Der gesuchte Punkt J liegt nicht auf HI sondern darüber. Und weiters; verlängert man
JK nach oben, so wird der Kreis etwas unterhalb von D geschnitten. Durch
Parallelverschiebung kann man den Scheitel des Schenkels in M erzeugen, womit
man bereits einen Nonagonsektor des gegebenen Halbkreises dargestellt hat.
© Rossi 06
- 33 -
Nonagonreport
Seite
2
3
4
5
5
5
7
7
9
9
22
29o
29u
30
30o
30u
31o
31u
32
33
5
5
Abweichen des
Zentriwinkels
[°]
nicht ermittelt
nicht ermittelt
nicht ermittelt
nicht ermittelt
nicht ermittelt
nicht ermittelt
39,896
40,208
40,81
39,59
39,896
39,89
40,2078
40,0422
40,04725
40,06
39,9386
40,04925
40,015
40,1322
39,71514
35,6590877
Abweichen der Polygonseite
vom wahren Maß
[%]
99,75
-0,25
99,003
-0,997
99,025
-0,975
100,027
+0,027
101,209
+1,209
100,665
+0,665
99,7505
-0,2495
100,4978
+0,4978
101,9
+1,9
99,026
-0,974
99,7505
-0,2495
99,75
-0,2495
nicht ermittelt
nicht ermittelt
100,113
+0,113
100,1438
+0,1438
99,85365
-0,15
100,11809
+0,11809
100,03586
+0,03586
100,3168
+0,3168
99,3167
-0,6833
89,5229
+10,4771
Autor
Rossi
Rossi
Dürer
Rossi
Rossi
Hu
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Rossi
Kopf
Ind. Formel
Abu’l Wafa
Anmerkung
1
2
3
3
4
4
5
6
7
8
Zu den Anmerkungen:
1 Keine geometrische Lösung
2 Vereinfachung der obigen Lösung
3 Eine Lösung mit zwei Werten
4 Eine Lösung mit zwei Werten
5 Mittelwert der beiden vorangegangenen Lösungen, wird in der unten
stehenden Reihung nicht angeführt.
6 KAISER & NÖBAUER, ebd.: S. 137. Es wird eine Näherungskonstruktion für
die Dreiteilung eines x-beliebigen, spitzen Winkels vorgestellt, die hier auf den
60° Winkel angewendet wurde. Diese Trisektion ergab 19,8678°. Durch eine
Parallelverschiebung lässt sich die Ergänzung auf 60° darstellen mit dem
Ergebnis von 40,1322°.
7 Siehe Heptagonreport S. 5 (algebraische Lösung)
8 Siehe Heptagonreport S. 5 (algebraische Lösung)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Reiht man die Ergebnisse nach dem zunehmenden Grad der Abweichung, ergibt
sich die nachstehende Seitenfolge:
5*(RO1)....32....30o....31u....30u....31o....22,26o....7....2....33....5 (HU)....5**(IND.F.)....
4....9....3....5**(WAFA)
* keine geometrische Lösung.
** Heptagonreport / S.5 (keine geometrische Lösung).