Prof. Dr. Heinrich Wansing Vorlesung Grundzüge der Logik

Prof. Dr. Heinrich Wansing
Vorlesung Grundzüge der Logik
Wintersemester 2014/15
Übungsblatt 12
1. Benutzen Sie Wahrheitstabellen, um für die Formeln unter (a) – (c) zu
überprüfen, ob es sich um eine Tautologie, eine Kontradiktion oder um
eine kontingente Formel handelt.
(a) (p ⊃ r) ∧ ¬(¬p ∨ r)
(b) (p ⊃ (¬q ∨ r)) ⊃ ((¬p ∨ q) ⊃ r)
(c) (p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ ((p ∧ q) ⊃ r)
2. Beweisen Sie folgende Formeln im System des natürlichen Schließens:
(a) ¬(p ⊃ q) ⊃ ¬q
(b) ¬(p ⊃ (q ∧ p)) ⊃ ¬q
(c) (p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ ((p ⊃ q) ⊃ (¬r ⊃ ¬p))
3. Verwenden Sie die folgenden Abkürzungen, um die Sätze (a)–(e) in
prädikatenlogische Formeln zu übersetzen: L(x, y) (“x lebt in y”), G(x)
(“x ist eine Großstadt”), D(x) (“x ist ein Dorf”), O(x) (“x ist ein Ort”),
b (“Berlin”), h (“Hamburg”). Benutzen Sie dabei nicht den definierten
Quantor ∃!.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Kein Dorf ist eine Großstadt.
Weder Berlin noch Hamburg ist ein Dorf.
Nur wenn Hamburg kein Dorf ist, ist auch Berlin kein Dorf.
Wenn jemand in einer Großstadt lebt, dann lebt er in einem Ort.
Jeder lebt in genau einem Ort.
4. Widerlegen Sie die folgende Schlussfolgerung durch ein graphisch
angegebenes Gegenbeispiel mit vier Individuen. Geben Sie die Relation
R durch Pfeile −→ wieder.
∃x∃y(¬(x = y) ∧ R(x, y) ∧ R(y, y))
¬∀x∃yR(x, y)
∃x(¬∃y(R(y, x) ∧ ¬(x = y)) ∧ R(x, x))
¬∀x∀y(R(x, y) ⊃ R(y, x))
5. Geben Sie in Form einer Graphik ein Gegenbeispiel mit drei Individuen
zu folgender Schlussfolgerung an:
∃x∀yR(x, y)
∃x¬∃yR(x, y)
∃x¬∀y(R(x, y) ∧ ∃zR(x, z))
∀x∀y(R(x, y) ⊃ R(y, x))
6. (Zusatzaufgabe) Transformieren Sie die folgende Formel schrittweise (a)
in Bendall und (b) in pränexe Normalform.
¬∀x∃z¬(P (x) ⊃ (P (z) ∧ ∃yM (y))).