¨Ubungsblatt 10

Universität Siegen
Lehrstuhl Theoretische Informatik
Markus Lohrey
Logik I
WS 2016/17
Übungsblatt 10
Aufgabe 1
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:
(a) Es gilt ∀xF → ∀xG ≡ ∀x(F → G).
(b) Jede prädikatenlogische Formel ohne ¬ ist erfüllbar.
(c) Jede Formel F ist erfüllbarkeitsäquivalent zu ∃xF .
(d) Es gilt ∀xF ≡ ∃xF genau dann, wenn x nicht frei in F vorkommt.
Aufgabe 2
Eine Formel F trennt Strukturen A und B, falls F in genau einer der beiden Strukturen
erfüllt ist. Geben Sie für alle Paare (Ai , Aj ) mit i 6= j jeweils eine trennende Formel an.
(a) A1 = (N, IA1 ), A2 = (Z, IA2 ), A3 = (Q, IA3 ), wobei R ein zweistelliges Relationssymbol
ist und RAi die natürliche Ordnung auf UAi für alle i ∈ {1, 2, 3} ist.
(b) A1 = (N, IA1 ), A2 = (Z, IA2 ), A3 = (R, IA3 ), wobei f ein zweistelliges Funktionssymbol
ist und f Ai die natürliche Multiplikation auf UAi für alle i ∈ {1, 2, 3} ist.
Aufgabe 3
Gegeben sei die folgende Formel
F = ∃x ∃yR(x, y) → ∃rR(r, f (y, z)) ∧ ∀x¬∃z P (z) ∧ ∀wR(x, w) .
(a) Berechnen Sie eine Formel G in BPF, die zu F äquivalent ist.
(b) Berechnen Sie eine Skolemform von G.
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