¨Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 6

Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 6
(Dated: March 25, 2010)
I.
MAGNETSPULEN
1. Die beiden Spulen erzeugen jeweils ein Magnetfeld analog zu einem Stabmagneten. Da der Strom gleichsinnig
fliesst, sind die Magnetfelder der Spulen gleich orientiert. Aus dem Bild der Stabmagneten folgt, dass sich
”Nordpol” und ”Südpol” der Spulen gegenüberliegen – somit ziehen sich die Spulen an.
2. Der Betrag des magnetischen Moments beträgt
µ = N · I · A = N IπR2 .
(1)
Das magnetische Moment µ
⃗ zeigt in Richtung der z-Achse (rechte-Hand-Regel).
⃗ steht stets senkrecht auf dem Vektor ⃗r und aus Symmetriegründen hat das Magnetfeld auf
3. Das Stromelement dl
√
der Symmetrieachse nur eine Komponente in Richtung der Symmetrieachse. Der Betrag von ⃗r ist r = z 2 + R2 .
dl
r
R
θ
0
z
Somit kann man schreiben
dBz =
µ0 N Idl
µ0 N Idl
R
√
sin θ =
4π r2
4π z 2 + R2 z 2 + R2
(2)
und es ergibt sich
Bz =
µ0
4π
∫
0
2πR
N IR
µ0
N IR2
dl
=
.
2 (z 2 + R2 )3/2
(z 2 + R2 )3/2
(3)
4. Spule B hat das magnetische Moment µ (siehe Aufgabenteil 2). Ihre potentielle Energie im Magnetfeld von
Spule A beträgt
⃗ = −µBz
Epot = −⃗
µB
µ0 π(N IR2 )2
= −
2 (z 2 + R2 )3/2
(4)
(5)
und somit ergibt sich die Kraft F zu
dEpot
|z=d
dz
3µ0 π(N IR2 )2 d
= −
.
2 (d2 + R2 )5/2
F = −
(6)
(7)
2
II.
MAGNETISCHE FLASCHE (4 PUNKTE)
1. Entlang der Magnetfeldrichtung wirkt keine Kraft auf das Teilchen. Es handelt sich um eine gleichförmige
Bewegung mit Geschwindigkeit vz . Transversal √
zur Magnetfeldrichtung wirkt die Lorentzkraft. Die Tangentialgeschwindigkeit des Teilchens beträgt v⊥ = vx2 + vy2 . Durch Gleichsetzen der Lorentzkraft FL = qv⊥ B
2
⊥
und der Zentripetalkraft FZ = mv⊥
/r ergibt sich der Radius der Kreisbahn r = mv
qB und die Umlaufperiode
2πr
2πm
T = v⊥ = qB . Im Fall vz ̸= 0 bewegt sich das Teilchen damit auf einer spiralförmigen Bahn.
2. Die Gesamtenergie ist die kinetische Energie der Bewegung entlang der z-Richtung plus die kinetische Energie
der Kreisbewegung:
E = Ez + E⊥ =
m 2 m 2
v + v⊥
2 z
2
(8)
Das magnetische Moment beträgt µ = I · A, wobei I = q/T der Kreisstrom, T die Umlaufperiode und A = πr2
2 2
q B
die eingeschlossene Fläche ist. Somit ergibt sich µ = r 2m
. Verwendet man den obigen Ausdruck von r so
ergibt sich die einfache Formel
µ=
2
mv⊥
E⊥
=
2B
B
(9)
und somit ein praktischer Ausdruck für die Gesamtenergie:
E=
m 2
v + µB
2 z
(10)
3. Das Teilchen besitzt die Gesamtenergie E. Wenn es sich in ein ansteigendes Magnetfeld hinein bewegt,
nimmt der zweite Summand im Energieausdruck zu, folglich muss der erste abnehmen. Das Teilchen verliert
Geschwindigkeit in z−Richtung. Man erhält:
√
E − µB(z)
vz = 2 ·
, für E ≥ µB(z)
(11)
m
4. Durch die Krümmung der magnetischen Feldlinien besitzt die Lorentzkraft am Umkehrpunkt der Bahn (vz = 0)
eine rücktreibende Komponente (siehe Skizze). Das Teilchen wird am ansteigenden Magnetfeld reflektiert und
läuft zurück.
Das Phänomen der magnetischen Flasche ist beispielsweise im so genannten Van-Allen-Gürtel der Erde zu
beobachten. Hier werden energiereiche geladene Teilchen aus dem Sonnenwind und der kosmischen Strahlung
im magnetischen Feld der Erde eingefangen. Der Flaschenhals entsteht dabei durch die in Richtung der geomagnetischen Pole ansteigende Stärke des magnetischen Feldes.
3
III.
HALL-EFFEKT
1. Die Lorentzkraft übt eine Kraft FL = qvd B auf die Elektronen aus, das elektrische Feld E = U/z1 eine Kraft
FE = qE. Somit ergibt sich im Gleichgewicht FL = FE die Hall-Spannung zu
UH = vd Bz1
(12)
Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen hängt mit dem Strom I, dem Querschnitt A = y1 z1 des Leiters und
der Elektronendichte n zusammen: I = nqvd A. Damit erhalten wir folgenden Ausdruck für die Hall-Spannung
UH =
1 IB
,
ne y1
(13)
wobei q = e gesetzt wurde.
2. Die Driftgeschwindigkeit beträgt vd =
3. Die Hall-Spannung beträgt UH =
IB
ney1
I
nqA
=
I
ney1 z1
= 4.7 mm/s.
= 53 µV.
4. Wir setzen die Fliessgeschwindigkeit des Blutes als Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger an. Damit entsteht
eine Potentialdifferenz von 1 mV.