A-Stabilität und Lösungseigenschaften

Lösungseigenschaften von Finite-Differenzen-Verfahren
- Diagrammkatalogreihe -
Katalog 2
FD-Zeitschrittverfahren höherer Ordnungen
für die 1-D-Advektions-Diffusions-Modellgleichung
bei u(x,t)∼ f(t)exp(ikx)
© Markus J. Kloker
Institut für Aerodynamik und Gasdynamik der Universität Stuttgart, 1996
Version 2008
i
Inhaltsverzeichnis
Seite
ii
xi
xii
0
Einführung
Finite-Differenzen-(FD-)Tabelle (I)
(II)
I
Diffusionsgleichung, c=0
Lösungsbeispiel zu I
Raumdiskretisierungsfehler von FD bei der 2.Ableitung
Einfluß künstlicher Dämpfung D4-O2
Euler-Explizit/Implizit mit FD-O2
Trapezregel und Gear-O2 mit FD-O2
Runge-Kutta-O2/O3 mit FD-O2/O4
Runge-Kutta-O4/O4-Merson mit kompakten KFD-O4/O6
1
2
3
4
5
6
7
II
1
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.3
5
6
Konvektionsgleichung, d=0
Raumdiskretisierungsfehler von FD bei der 1.Ableitung
- Fehler bei: 2. Ableitung durch zweimal 1. Ableitung
- Beispiel zur Optimierung der modalen Eigenschaften
Zentrale Raumdiskretisierung
Euler-Implizit mit FD-O2(z)
Trapezregel mit FD-O2(z), plus künstl. Dämpfung
Runge-Kutta-O4 mit FD-O4(z), plus künstl. Dämpfung
Runge-Kutta-O4 mit kompakten KFD-O4,
plus kompakter künstl. Dämpfung
Runge-Kutta-O4-Merson mit Fourieransatz (exakt)
Stromaufgerichtete (Upwind-) Raumdiskretisierung
Euler-Implizit mit FD-O1-upwind
Trapezregel mit FD-O2-upwind
Gear-O2 (Backward-Diff.-Formula) mit FD-O3-upwind
wie 3.3, mit FD-O3-upw-biased (nicht streng einseitig)
Hybride (Upwind-, Downwind-) Raumdiskretisierung
McCormack (O2 in x, O2 (Heun) in t)
Turkel
(O4 in x, O2 (Heun) in t)
KK95
(kompakt O6 in x, O4 (RK-O4) in t
Filterung
Lösungsbeispiele zu II
4vv.
4
5
6
7
8
9
10
10a
10b
11
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25ff.
ii
Einführung
Hier wird die Genauigkeit von FD-Zeitschrittverfahren anhand ihrer Auflösungseigenschaften bezüglich laufender Wellen, die Fundamentallösungen der Strömungsgleichungen bzw. der folgenden linearen Ad-(oder Kon-)vektions-Diffusions-Modellgleichung sind, betrachtet:
Modellgleichung:
∂ u ∂ u ∂ 2u
+c =d 2 ; RB: u ( x + λ ) = u ( x) („zeitliches Modell“)
∂ t ∂x
∂x
c – Transportgeschwindigkeit (Wellenphasengeschwindigkeit)
d – Diffusions- oder Abklingkonstante (typisch d≥0).
Das räumlich periodische Problem kann nicht nur numerisch, sondern auch exakt
gelöst werden. Dazu eignet sich ein Ansatz mit einer komplexen Lösung u~ , der
eine kompakte Darstellung einer räumlichen Welle erlaubt:
u = ℜe {u~ }, u~ = uˆ (t )e ikx .
(1)
ℜe steht für den Realteil. Einsetzen in die Modellgleichung führt auf die G-DGL
u&ˆ = ( − dk 2 − ick )uˆ ,
die die zeitliche Entwicklung der Amplitude(n) einer räumlichen Welle der Wellenzahl k beschreibt (auch: Summe von M Wellen mit Wellenzahlen mk, m=1-M).
Die exakte Lösung ist
uˆ (t ) = uˆ 0 e ( − dk −ick )t ,
daraus
u~ ( x, t ) = ( uˆ0 e − dk t e i ( kx − ckt ) ),
und letztlich z.B.
u ( x, t ) = uˆ0 r e − dk t cos (kx − ckt ), für uˆ 0i = 0.
2
2
2
Es handelt sich um eine in x laufende, zeitlich gedämpfte (für d >0) Welle mit der
Wellenlänge (=Gebietslänge) λ=2π /k; uˆ 0i ≠ 0 würde nur bedeuten, dass für t=0
nicht ein Kosinus-Verlauf in x vorliegt, sondern eine phasenverschobene Welle.
Diese Lösungsform eignet sich für die Untersuchung der Eigenschaften der tatsächlichen numerischen Lösung, ganz analog der Vorgehensweise in Katalog I.
Mit den Schrittweiten Δx und Δt im diskreten Rechengitter in x- bzw. t-Richtung
und den Indizes n=x/Δx , =t/Δt, kann man auch schreiben:
ũ(n, )= û 0 exp(−dΔt/Δx2⋅(kΔx)2⋅ ) ⋅ exp( i ((kΔx)⋅n − cΔt/Δx⋅(kΔx)⋅ )) ;
mit
kΔx : dimensionslose Wellenzahl, kΔx= k∗ , k∗max=π
λ/Δx: Intervalle pro Wellenlänge: λ/Δx=λ*=2π / k∗, λ*min=2.
iii
Mit
DFL=dΔt/Δx2, „de-ef-el-Zahl“ oder Diffusionszahl
und
CFL=cΔt/Δx , „ce-ef-el-Zahl“ oder Konvektionszahl
gilt für die modale Lösung am Gitterpunkt n zum Zeitniveau +1:
• exakt:
u~nl +1 = {exp( − DFL ⋅ k *2
− i ⋅ CFL ⋅ k *
) }u~nl
• mit Raumdiskretisier.fehler: u~ l +1 = {exp( − DFL ⋅ k *2 mod − i ⋅ CFL ⋅ k * mod ) }u~ l
n
• mit Raumdiskretisierungsplus Zeitintegrationsfehler:
n
u~nl +1 = {
P = Amod exp(iΘ mod )
}u~nl
Der Index „mod“ steht für „modifiziert“ und bezeichnet eine durch die Numerik
veränderte Größe, s. I.1, II.1. Der Vergleich mit dem komplexen G-DGL-Problem
y& = β y ,
y l +1 = (e β Δt +iβ Δt ) y l ,
aus Katalog 1, dort als y ′ = αy mit der Schrittweite h, zeigt folgende Analogie:
r
i
( − DFL ⋅ k *2 mod ) ↔ ( β r Δt ) , und
( −i ⋅ CFL ⋅ k * mod ) ↔ (iβ i Δt ) .
Die Indizes r, i stehen für den Real- bzw. Imaginärteil. Der Diffusionsterm verursacht also im Allgemeinen zeitliches Abklingen ( β r < 0) der Welle, und der
Konvektionsterm eine Schwingung in t und damit ein Laufen der Welle in x.
Stabilitätslimit für Δt
Allgemein gilt für A-Stabilität, vergleiche Katalog 1:
Δt max = min
s (Θ)
D2 + C 2
, tan Θ =
C
, C , D = f (k * ), 0 ≤ k * ≤ π .
D
D steht für den Dämpfungsanteil, C für den Konvektionsanteil; für s (Θ) s. Kat 1.
D = {d / Δx 2 ⋅ k *2 mod,r − c / Δx ⋅ k * mod,i } , C = {c / Δx ⋅ k * mod,r + d / Δx 2 ⋅ k *2 mod,i }
k *2 mod , k * mod = f (angewandte FD, k * ). D < 0 : Instabilität.
Die Funktionen für k∗2mod und k∗mod lassen sich durch Einsetzen des Ansatzes (1)
in die jeweilige diskrete finite Differenz berechnen, und sind für häufig verwendete FDs auf S.4 und 10 in Diagrammen dargestellt. Bei zentralen FDs besitzen k∗2mod und k∗mod nur einen Realteil, ganz entsprechend der exakten Lösung!
Der Index r wird dann weggelassen.
iv
Näherungsweise können statt der Suche nach dem Minimum über k∗ die jeweiligen
„(mod, r/i, max)“-Werte verwendet werden. Bei Betrachtung einer einzelnen
Welle mit der Wellenzahl k* können auch die „mod“-Werte nur für diese eine
Wellenzahl verwendet werden. Die spezielle Stabilitätsbedingung bezieht sich
dann aber auch nur auf diese Mode, obwohl bei einer diskreten, numerischen
Lösung grundsätzlich alle Moden mit allen möglichen Wellenzahlen immer auch
vorkommen; diese Moden können in der Anfangsbedingung enthalten sein, die
stets in eine Wellensumme zerlegt werden kann, oder entstehen unvermeidlich
durch Rundungs- und Abbruchfehler bei der numerischen Lösung. Die allgemeine
Stabilitätsbedingung bedeutet, dass die Lösungsanteile, die die maximale Frequenz
bzw. das stärkste Abklingen verursachen, stabil integriert werden müssen, auch
wenn sie nicht im Fokus der Lösung stehen. Bei Überschreiten des Stabilitätslimits
wächst die instabilste Mode am stärksten, und wann sie im Verlauf der Rechnung
zu sehen ist, hängt von ihrer Anfangsamplitude im Vergleich zur eigentlich
betrachteten Lösung ab.
Bei einem 3-D-Problem bestehen D und C aus der Summe der jeweiligen Anteile
der angewendeten Diskretisierungen in die drei Raumrichtungen. Bei den Strömungsgleichungen in Standardform entspricht dann c typischerweise den Geschwindigkeiten u (mit Δx gekoppelt), v (mit Δy) und w (mit Δz) im inkompressiblen Fall, und u+a, v+a, w+a im kompressiblen Fall, wobei a die Schallgeschwindigkeit bedeutet; d entspricht der Viskosität.
Für die Diffusionsgleichung (c=0) mit zentralen FDs vereinfacht sich das Limit:
sr
s (Θ = 0 o )
Δx 2
Δx 2
(„Viskoses Limit“)
Δt max =
=
= DFLmax
d
d / Δx 2 ⋅ k * 2 mod, max k * 2 mod, max d
Für die Advektionsgleichung (d=0) mit zentralen FDs gilt:
si
s (Θ = 90 o )
Δx
Δx
CFL
Δt max =
=
=
(„Konvektives Limit“).
max
c
c / Δx ⋅ k * mod, max k * mod, max c
Mit beliebigen FDs gilt für die Advektionsgleichung näherungsweise:
s ( Θ)
k * mod,r ,max
, Θ = arctan
.
CFLmax ≅
*
*
2
*
2
k
−
mod,
i
,
max
(k mod,i ,max ) + (k mod,r ,max )
Für s(Θ) siehe Katalog 1. Für k * mod,i > 0 : Instabilität. Bei alternierenden FDs
(Vorwärts/Rückwärts), wie z.B. beim Verfahren von McCormack, ist das Δt-Limit
über |P|=1, siehe Kat. 1, zu bestimmen.
v
Zu I.1
Die Analyse des FD-Ableitungsmoleküls im diskretisierten Raum führt auf
u~xx = {−k *2 mod / Δx 2 }u~ ;
(k*2)mod ist das modifizierte Wellenzahlquadrat oder die normierte, modifizierte 2.
Ableitung bzw. die Dämpfungsrate, und ist reell für zentrale FDs und komplex für
nichtzentrale FDs; Bsp.: FD-O2, zentral: k*2mod=2(1-cosk*). Im komplexen Fall
entsteht künstliche, numerische Advektion gemäß folgendem Ansatz:
−i DFL⋅k∗2mod, i = −i CFLpseudo⋅k∗;
CFLpseudo/DFL = ReΔx, pseudo= k∗2mod, i /k∗.
Die Diagramme auf S. 4 zeigen k*2mod und die künstliche Zellen-Reynoldszahl
ReΔx, pseudo als Funktion von k∗ und damit die Genauigkeit der numerischen 2.
Ableitung in Abhängigkeit der Auflösung (k∗=1: 6.28 Intervalle pro Wellenlänge,
k∗=π: 2 Intervalle p. W.). Negative Werte von k*2mod (rechtes Diagramm) bedeuten
numerische Anfachung, also Instabilität. Eine Zellen-Reynoldszahl ReΔx, pseudo <0
bedeutet Advektion in negative x-Richtung, also künstliches Stromauf-Laufen
einer Störung! Dies wird leider immer von einer in Stromaufrichtung einseitigen
FD für die 2. Ableitung verursacht, und sollte/muss stets vermieden werden, z.B.
durch Weglassen der 2. Ableitung direkt am Rand des Integrationsgebietes. Dies
entspricht einer lokalen Elimination des elliptischen Gleichungscharakters.
Maxima:
Zentrale FD FD-O2
4
k∗2mod, max
FD-O4
5.3
FD-O6
6.04
KFD-O4 KFD-O6
6.0
6.85
Fourier
π2
„Fourier“ bezeichnet eine „Diskretisierung“ mit Fouriermoden, die für Wellen per
definitionem exakt ist. Das viskose Limit für ein 1-D-Zeitschrittverfahren mit
zentralen FD-O2 im Raum und Euler explizit in der Zeit ist dann:
2 Δx 2
Δt max =
, also DFLmax = 0.5 .
4 d
Für ein 3-D-Problem mit gleichen Schrittweiten in allen Raumrichtungen gilt
DFL max = 0.167 .
Zu I.2
D4-O2: Extra Dämpfungsterm -ε(Δx4/Δt)⋅u4x auf der RHS der Modellgleichung,
wobei die 4. Ableitung mit FD-O2 (5-Punkte-Molekül) diskretisiert wird. Der
Term soll die zu schwache numerische 2. Ableitung ausgleichen. Das Vorzeichen
muss im Vergleich zur 2. Ableitung negativ sein für Dämpfung, da
u~xx = − k 2 u~
u~
= k 4 u~ .
xxxx
Das 5-Punkte-Molekül hat folgende modifizierte Wellenzahl:
vi
k *4 mod = 6 − 8 cos k * + 2 cos 2k *
Mit ε=0.367·DFL ist die Dämpfung so angepasst, dass bei k*=π stets der Wert für
die exakte 2. Ableitung, nämlich (π)2, vorliegt. Das viskose Zeitschrittlimit
entspricht dann genau dem der Fourier-Diskretisierung. Bei der Verwendung von
ε-Werten, die unabhängig von DFL bzw. dem Zeitschritt sind, ist die tatsächliche
Dämpfung stark DFL-abhängig.
Zu I.3-6
Hier wird nun der kombinierte Einfluss der Raum- und Zeitdiskretisierung
dargestellt. Aufgetragen ist (− ln(|Amod|)/DFL), bei exakter Zeitintegration gleich
k∗2mod. Falls die Kurven an einer Stelle in den negativen Bereich gehen, ist die
Integration instabil, da die Moden mit den entsprechenden k*-Werten numerisch
angefacht werden. Genau ist die Integration bis zu dem k*-Wert, bis zu dem die
numerische Kurve auf der exakten liegt. Dafür muss eventuell DFL verringert
werden, und eben Δx, damit bei vorgegebenem k der Wert von k* gering genug
wird.
Künstliche, numerische Advektion liegt vor gemäß Ansatz
iΘmod = −i CFLpseudo⋅k∗,
→ ReΔx, pseudo= −Θmod/ k∗/DFL.
Die modifizierte Frequenz Θmod ist nur für das Verfahren von Gear („Backward
Differencing Formula“) ungleich null.
Zu II.1
Die Analyse des FD-Ableitungsmoleküls im diskretisierten Raum führt auf
u~x = {i ⋅ k * mod / Δx}u~ ;
k*mod ist die modifizierte Wellenzahl oder die normierte, modifizierte erste
Ableitung bzw. Frequenz (als c·k*mod) und reell für zentrale FDs; Bsp.: FD-O2,
k*mod=sink*. Für nichtzentrale FDs ist sie komplex, und es entsteht künstliche,
numerische Dämpfung/Anfachung gemäß Ansatz:
-DFLpseudo⋅k∗2 =CFL⋅k∗mod, i ;
DFLpseudo/CFL = 1/ReΔx,pseudo = −k∗mod, i /k∗2 .
Inverse Zell-Reynoldszahl 1/ReΔx, pseudo >0 bedeutet Dämpfung, die nur für Werte
k∗mod, i<0 vorliegt (“Upwinding”, gewichtete Diskretisierung in Stromaufricht
ung, also gegen die Richtung von c)!
Die Diagramme auf S.10 zeigen k∗mod und 1/ReΔx, pseudo als Funktion von k∗ und
damit die Genauigkeit der numerischen 1. Ableitung in Abhängigkeit der
Auflösung (k∗=1: 6.28 Intervalle pro Wellenlänge, k∗=π: 2 Intervalle p. W.).
Negative Werte der Zell-Reynoldszahl bzw. positives k∗mod, i bedeuten Anfachung
und sollten vermieden werden. Allerdings ist es bei nur lokaler Anwendung einer
FD mit einer solchen Eigenschaft möglich, dass das Gesamtverfahren trotzdem
stabil ist. Entscheidend sind dann die Eigenwerte der vollständigen Raumdiskreti
sierungsmatrix, die bei gleichförmiger Diskretisierung genau dem hier
diskutierten k∗mod-Spektrum entsprechen.
vii
Maxima:
Zentrale FD FD-O2
1
k∗mod, max
∗
1.57
k al
FD-O4
1.37
1.79
FD-O6
1.59
1.93
KFD-O4 KFD-O6
1.73
1.99
2.1
2.24
Fourier
π
π
k∗al: =k∗(k∗mod, max): „Aliasing“-Grenze - Auswirkung siehe II.2-4.
Das konvektive Limit für ein 1-D-Zeitschrittverfahren mit zentralen FD-O2 im
Raum und RK4-O4 in der Zeit ist dann:
2.8 Δx
Δt max =
, also CFLmax = 2.8 .
1 c
Für ein 3-D-Problem mit gleichen Schrittweiten in allen Raumrichtungen gilt
CFL max = 0.93 .
Wird die numerische 1. Ableitung dazu benutzt, durch zweimaliges Anwenden die
2. Ableitung zu berechnen, so erbt die 2. Ableitung alle schlechten Eigenschaften
der 1. Ableitung. Die Charakteristik der numerischen 2. Ableitung ist nämlich die
Charakteristik der 1. zum Quadrat, k*2mod= (k*mod)2, z.B.(sink*)2 für zentrale FD 2.
Ordnung, statt bei direkter Berechnung k*2mod=2(1-cosk*), s. S. 10a. (Im Fall der
zentralen FD 2. Ordnung entspricht zweimal die erste Ableitung genau der direkten 2. Ableitung auf einem Gitter mit 2Δx!) Somit ist die 2. Ableitung der WiggleMode k∗=π gleich null, obwohl deren Wert maximal sein sollte und bei direkter
Berechnung auch ist. Die Methode ist also völlig ungeeignet für nichtlineare
Berechnungen, da die Wiggle-Mode durch die zweite Ableitung gar nicht mehr
gedämpft wird. In der Praxis wird diese Methode aus Einfachheitsgründen
trotzdem oft angewendet, mit anderer, künstlicher Dämpfung im numerischen
Verfahren.
Ein Beispiel zur Optimierung der modalen Eigenschaften einer finiten Differenz,
hier einseitig 5. Ordnung für den Rand des Integrationsgebietes, ist in Diagramm
10b dargestellt. Die Funktionswerte an drei zusätzlichen Punkten, über die sechs
für die 5.Ordnung notwendigen hinaus, werden nicht zur Erhöhung der Ordnung
benutzt, sondern zur Festlegung:
k∗mod, r (k∗ = 1.2) = 1.2 ,
k∗mod, i (k∗ = 0.8) = k∗mod, i (k∗ = 1.1) = 0.
Die Lösung des 9x9-Gleichungssystems, das aus den Bedingungen resultiert,
liefert die Gewichtungen der Funktionswerte gemäß Tabelle, s. xii. Bild 10b zeigt
einen Auflösungsgewinn in k∗mod, r von etwa 35% gegenüber einer FD-O8 mit
gleich vielen Punkten. Der Maximalwert des Imaginärteiles, der bei k∗=π erreicht
wird, ist größer als bei der O5-Standarddifferenz, aber kleiner als beim O8Molekül. Es wurde darauf verzichtet, diesen Wert zu null zu zwingen, da darunter
die Eigenschaften für kleinere k∗ leiden. Eine Dämpfung von Moden mit k∗>2 im
viii
Inneren des Integrationsgebietes ist sowieso notwendig, und Randeinwirkungen
werden dadurch absorbiert.
Die Tabelle auf S. xii zeigt auch andere optimierte Differenzen, meist kompakte 6.
Ordnung, wobei Ia und Ib für die Diagramme auf Seite 23 verwendet wurden.
Weitere Erklärungen hierzu findet man bei Kloker (1998), siehe die Literaturliste
weiter unten.
Zu II.2-4
Hier wird nun wieder der kombinierte Einfluss der Raum- und Zeitdiskretisierung
dargestellt. Aufgetragen sind: (a) die normierte modifizierte Frequenz Θmod/CFL
als (βiΔt)mod/CFL ohne Vorzeichen, bei exakter Zeitintegration gleich k∗mod , und
(b) der Amplitudenfaktor pro exakter Zeitperiode, APmod =(Amod)**(2π /k∗/|CFL|);
APmod <1 bedeutet numerische Dämpfung, APmod >1 Instabilität. Falls die APmodKurve auch nur an einer Stelle über 1 geht, ist die Integration instabil, da die
Moden mit den entsprechenden k*-Werten numerisch angefacht werden. Genau ist
die Integration bis zu dem k*-Wert, bis zu dem die numerischen Kurven auf den
exakten liegen. Dafür muss eventuell CFL verringert werden, und eben Δx, damit
bei vorgegebenem k der Wert von k* gering genug wird. Verfahren, bei denen
schon bei kleinen k*-Werten die APmod-Kurve deutlich unter 1 liegt, sind sehr
dissipativ, und solche, bei denen dies erst bei sehr großen k* der Fall ist, sind sehr
amplitudengenau und robust, da schlecht aufgelöste Lösungsanteile, deren
Frequenz sowieso falsch (zu gering) berechnet wird, gedämpft werden. Ein Zeitintegrator, der hohe Frequenzen dämpft, kann das allein nicht bewirken: Die
Frequenz, die dieser G-DGL-Löser sieht, ist eine Folge der Raumdiskretisierung
(~ck*mod), und für k*→π gilt typisch k*mod →0, d.h. die Frequenz geht gegen null.
Ab dem Wert von k∗, ab dem die modifizierte Frequenz wieder abnimmt, tritt
„Aliasing“ auf, d.h. räumliche Moden mit größeren Wellenzahlen haben durch die
Numerik bedingt gleiche Frequenzen wie Moden mit kleineren Wellenzahlen.
Deren Phasengeschwindigkeit
k * mod
c mod = c ⋅ *
k
ist zwar noch positiv, aber die Gruppengeschwindigkeit
∂ (ck * mod )
cg =
,
∂k *
die den Energietransport einer Wellengruppe beschreibt, ist jetzt negativ, d.h. die
Energie numerischer Lösungsanteile mit k*>k*al wandert stromauf. Diese höheren
Moden müssen aus der Lösung entfernt werden (→ verschiedene Dämpfungsstrategien, vgl. II.2/3/4).
D4-O2, D4-KO4: Dämpfungsterm (Δx4/Δt)⋅u4x , 4. Ableitung mit FD-O2 bzw.
kompakten KFD-O4 (5-Punkte-Molekül).
ix
Zu II.3
CFL bzw. c muss positiv sein bei in x rückwärtsgerichteter Raumdiskretisierung,
dann ist diese stromaufgerichtet und eine Upwind-Differenz. Sonst ist das
jeweilige Verfahren instabil. In der Praxis wird immer stromauf diskretisiert, also
„rückwärts“ bei c>0 oder „vorwärts“ bei c<0, je nach lokaler Strömungsrichtung.
Dadurch liefert die Raumdiskretisierung einen Anteil k∗mod, i<0, der einer positiven
Zell-Reynoldszahl oder einem Dämpfungsanteil βr<0 entspricht. Das Argument,
dass bei positiver Transportgeschwindigkeit Upwinding physikalisch gesehen
angewendet werden muss um nur Information von stromauf zu benutzen, wird
damit entkräftet. Eine zentrale FD kann ebenso verwendet werden.
Zu II.2/4
Der Wert von APmod ist unabhängig vom Vorzeichen von c bzw. CFL!
Anmerkung: Bei nichtlinearen Problemen (allgemeine Strömung) müssen Moden
mit k*≥(2/3)π auf jeden Fall gedämpft werden. Durch die nichtlinearen Konvektions-Terme (z.B. u⋅ux) werden permanent kurzwellige Moden generiert
(exp(ikx)⋅ik⋅exp(ikx)∼exp(i2kx)), die im Rechengitter nicht mehr repräsentiert
werden können. Bei reibungsbehafteter Strömung (Navier-Stokes-Gleichungen)
muss geprüft werden, ob die Approximation der viskosen Terme (je nach FDDiskretisierung) genügend gut, d.h. genügend dämpfend, ist (s I.1). Bei höheren
Reynoldszahlen müssen aufgrund verstärkter Modengenerierung die konvektiven
Terme typischerweise dissipativ behandelt werden (s. II.3/4), außer das Gitter ist
sehr fein und es wird eine echte direkte numerische Simulation (DNS) durchgeführt.
Zu II.4
Bei diesem Verfahren erfolgt eine bedingungslose Kopplung – d.h. ohne
Rücksicht auf das Vorzeichen von c – der Prädiktor-Korrektor-Schritte des Zeitintegrationsverfahrens mit rückwärts- bzw. vorwärtsgerichteten FDs im Raum.
Dadurch entsteht eine inhärente Dämpfung. Historisch gesehen wurde das
Verfahren von McCormack deshalb konstruiert, weil die explizite Heunsche
Zeitintegration, s. Katalog I bei RK2-O2, immer noch instabil ist (si=0) mit
zentralen FD im Raum. Durch sukzessive alternierende Anwendung von FD-O1
upwind/downwind beim Prädiktor-/Korrektorschritt entsteht eine Dämpfung, was
durch Berechnung von P gezeigt werden kann. Die Verfahren können bezüglich
ihrer Eigenschaften optimiert werden. Die Dämpfung ist für Lösungsanteile mit
großem CFL groß, und verschwindet mit kleiner werdender CFL-Zahl.
Zu II.5
Filterung ist eine weitere Möglichkeit, unerwünschte Lösungsanteile (hier hoher
Wellenzahl, Tiefpassfilter) zu entfernen. Z.B. können nach der Berechnung eines
neuen Zeitniveaus die Daten in einem extra Filterschritt gefiltert werden. Explizite
x
Filter dämpfen auch Moden relativ kleiner Wellenzahl, während pentadiagonale
Filter vierter Ordnung mit zwei Zusatzbedingungen auf die gewünschte Wirkung
eingestellt werden können und spektralen Filtern mit einem scharfen Abschneiden
ähnlich sind (rechtes Diagramm auf S. 24). Das Filtern kostet jedoch, im Vergleich
zu den McCormack-Typ-Verfahren in II.4, extra Rechenzeit.
Weitere Literatur
Lele, S.K. (1992) Compact finite difference schemes with spectral-like resolution.
J. Comp. Phys. 103, 16-42, 1992 (ohne Zeitintegration).
Kloker, M. (1998) A robust high-resolution split-type compact FD-scheme for
spatial DNS of boundary-layer transition. Appl. Sci. Res. 59, No. 4, 1998, siehe
Home Page.
Chung, Y.M.; Tucker, P.G. (2002) Accuracy of higher-order finite difference
schemes on non-uniform grids. AIAA-J. 41, No. 8, TN 1609-1611.
Ashcroft, G.; Zhang, X. (2003) Optimized prefactored compact schemes. J. Comp.
Phys. 190 (2), 459-477, 2003.
xi
Finite-Differenzen-Formeln für die 1. und 2. Ableitung (Φ´, Φ´´ )
(konstante Gitterschrittweite Δ)
α β
γ
•−−−•−−−•
•−−−•−−−•−−−•−−−•−−−•−−−•
(1/q) · a
b
c
d
e
f
g
Φi-3 Φi-2 Φi-1 Φi Φi+1 Φi+2 Φi+3
α
β
1Φ´
0
1Φ´
1Φ´
1Φ´
Φ´
Φ´
Φ´
Φ´
Φ´
Φ´
Φ´
0
Φ´
2Φ´
2Φ´
4Φ´
3Φ´
3Φ´
1Φ´´
0
1Φ´´
-Φ´/Δ
2Φ´´
γ
Φ´´
Φ´´
Φ´´
Φ´´
Φ´´
Φ´´
0
11Φ´´
11Φ´´
10Φ´´
3Φ´´
3Φ´´
18Φ´´66Φ´/Δ
18Φ´´+
66Φ´/Δ
11Φ´´
Beispiel:
a
-1
-2
Φ´
3
-1
0
1Φ´
1Φ´
0
1Φ´
2
Φ´´
0
1Φ´´
1Φ´´
Φ´/Δ
-1
-1
11
4
2Φ´´
b
d
e
-1
1
-8
9 -45
-1
1
-4
9 -18
1
-6
-16 36
6 -18
-5
-1
-6
-17
-1 -28
0
0
0
1
3
11
3
-48
10
4
-4
0
9
0
1
8
45
-1
-9
2
25
3
1
5
6
9
28
-1
1
1
-1 16
-27 270
1
-2
4
-5
4
6
-56 114
13
-1 15
12
-2 27
29
-27 108
-2
-30
-490
1
2
-20
-104
-27
-27
-24
-54
-54
-85
1
16 -1
270 -27
-85
108 -27
-102
48
3
c
48
11
35
15
13
12
29
27
f
g
1
2
-1
-2
3
4
q
Ord.
2Δ
12Δ
60Δ
Δ
2Δ
6Δ
6Δ
12Δ
12Δ
2Δ
2Δ
2Δ
6Δ
12Δ
O2
O4
O6
O1
O2
O3
O3
O4
O4
O3
O3
O4
O4
O6
Δ2
12Δ2
180Δ2
Δ2
Δ2
12Δ2
12Δ2
Δ2
Δ2
Δ2
6Δ2
6Δ2
Δ2
O2
O4
O6
O1
O2
O3
O3
O3
O3
O4
O3
O3
O3
Δ2
O3
4Δ2
O6
1Φ′i-1 + 2Φ′i = 1/(2Δ) ( -5Φi-1 + 4Φi + 1 Φi+1 ) + O(Δ3)
Vergleich
2. Ableitung direkt // 2 x (1. Ableitung)
gestrichelt: zentrale FD-02
gestrichelt-gepunktet: zentrale FD-04
untere Kurven: 2 x (1. Ableitung)
Vergleich
2. Ableitung direkt // 2 x (1. Ableitung)
gestrichelt: zentrale KFD-04
gestrichelt-gepunktet: zentrale KFD-06
untere Kurven: 2 x (1. Ableitung)
10a
0.0
0.5
1
1.0
2.0
α=β=0
d - tridiagonal O4, α=0.4,
e - tridiagonal O4, α=0.45,
f - tridiagonal O4, α=0.475,
a=1/4(2+3α),
b=1/32(9+16α),
c=α/8, β=0
k∆x
keine Filterung
a - explizit O2: a=0.5, b=0.25, α=β=c=d=0
b - explizit O4: a=10/16, b=4/16, c=-1/16, α=β=0
c - explizit O6: a=44/64, b=15/64, c=-6/64, d 1/64,
Filtertransferfunktion (real) F
EIGENSCHAFTEN ZENTRALER FILTER
π
Filtertransferfunktion (real) F
2.0
k∆x
βũi-2 + αũi-1 + ũi + αũi+1 + βũi+2
= aui + b (ui-1 + ui+1)
+ c (ui-2 + ui+2)
~ : gefilterter Wert
+ d (ui-3 + ui+3)
1.0
siehe Lele, JCP 1992
a, b, c - pentadiagonal
b: O4 mit Bedingungen F(1.5)=0.95, F(2)=0.5,
0.0
0.5
1
π
24
Numerische Lösung der Advektionsgleichung ut+cux=0
(räumliches Modell, Vorgabe instationärer Bedingung bei x=0 da c>0)
Beispiel 1
Legende:
NUMWEL
λ
α
NWEL
NPTS
NUMPER
LPER
CFL
c
σ
ϕ
Einfluss der Raumdiskretisierung (FD-O2/O4) bei Gauss-Puls-Transport
Gebiet ist NUMWEL*λ lang
Wellenlänge
Wellenzahl, 2π/λ
Anzahl der Intervalle pro Wellenlänge λ
Anzahl der Punkte im Integrationsgebiet = NWEL*NUMWEL+1
Anzahl der berechneten Zeitperioden bezüglich λ
Anzahl der Zeitschritte pro Zeitperiode
c∆t/∆x
Advektionsgeschwindigkeit, typisch gleich 1
Parameter der Gauss-Veteilung für gausskurvenförmigen Puls
f=1/(σ√2π) exp( -0.5(x-ct-ϕ)2 / σ2 )
x-Phasenlage der Pulsmitte für t=0; bei ϕ=0 Pulsmitte anfänglich also bei x=0
Die Moleküle zeigen die FD-Diskretisierung am Ausströmrand (rechts).
Die jeweiligen oberen Kurven stellen den absoluten Fehler dar.
Numerische Lösung der Advektionsgleichung ut+cux=0
(räumliches Modell, Vorgabe instationärer Bedingung bei x=0 da c>0)
Beispiel 2
Legende:
NUMWEL
λ
α
NWEL
NPTS
NUMPER
LPER
CFL
c
σ
ϕ
Einfluss der Ausströmranddiskretisierung bei (kompakten) KFD-O4 im Feld
bei Gauss-Puls-Transport
Gebiet ist NUMWEL*λ lang
Wellenlänge
Wellenzahl, 2π/λ
Anzahl der Intervalle pro Wellenlänge λ
Anzahl der Punkte im Integrationsgebiet = NWEL*NUMWEL+1
Anzahl der berechneten Zeitperioden bezüglich λ
Anzahl der Zeitschritte pro Zeitperiode
c∆t/∆x
Advektionsgeschwindigkeit, typisch gleich 1
Parameter der Gauss-Veteilung für gausskurvenförmigen Puls
f=1/(σ√2π) exp( -0.5(x-ct-ϕ)2 / σ2 )
x-Phasenlage der Pulsmitte für t=0; bei ϕ=0 Pulsmitte anfänglich also bei x=0
Die Moleküle zeigen die FD-Diskretisierung am Ausströmrand (rechts).
Die jeweiligen oberen Kurven stellen den absoluten Fehler dar.
Numerische Lösung der Advektionsgleichung ut+cux=0
(räumliches Modell, Vorgabe instationärer Bedingung bei x=0 da c>0)
Beispiel 3
Legende:
NUMWEL
λ
α
NWEL
NPTS
NUMPER
LPER
CFL
c
σ, ϕ
Einfluss der Raumdiskretisierung (FD-O2/O4) bei Monowellen-Transport
Gebiet ist NUMWEL*λ lang
Wellenlänge
Wellenzahl, 2π/λ
Anzahl der Intervalle pro Wellenlänge λ
Anzahl der Punkte im Integrationsgebiet = NWEL*NUMWEL+1
Anzahl der berechneten Zeitperioden bezüglich λ
Anzahl der Zeitschritte pro Zeitperiode
c∆t/∆x
Advektionsgeschwindigkeit, typisch gleich 1
hier ohne Bedeutung; Anfangswerte: neutrale Welle in x;
diese Welle wird nach rechts konvektiert, das Bild zeigt die Situation nach
20 Zeitperioden
Die jeweiligen, links zunächst flacheren Kurven stellen den absoluten Fehler dar.
Numerische Lösung der Advektionsgleichung ut+cux=0
(räumliches Modell, Vorgabe instationärer Bedingung bei x=0 da c>0)
Beispiel 4
Legende:
NUMWEL
λ
α
NWEL
NPTS
NUMPER
LPER
CFL
c
σ, ϕ
Einfluss der Raumdiskretisierung (zentral oder alternierend upwind/downwind) bei Zeitintegration nach Heun (si=0 !) bei Monowellen-Transport
Gebiet ist NUMWEL*λ lang
Wellenlänge
Wellenzahl, 2π/λ
Anzahl der Intervalle pro Wellenlänge λ
Anzahl der Punkte im Integrationsgebiet = NWEL*NUMWEL+1
Anzahl der berechneten Zeitperioden bezüglich λ
Anzahl der Zeitschritte pro Zeitperiode
c∆t/∆x
Advektionsgeschwindigkeit, typisch gleich 1
hier ohne Bedeutung; Anfangswerte: neutrale Welle in x;
diese Welle wird nach rechts konvektiert, das Bild zeigt die Situation nach
einigen Zeitperioden
Methode 2 ist das Verfahren von McCormack (t: Heun, x: Upw-O1/Dow-O1)
Die jeweiligen, links zunächst flacheren Kurven stellen den absoluten Fehler dar.
Numerische Lösung der Advektionsgleichung ut+cux=0
(räumliches Modell, Vorgabe instationärer Bedingung bei x=0 da c>0)
Beispiel 5
Legende:
NUMWEL
λ
α
NWEL
NPTS
NUMPER
LPER
CFL
c
σ, ϕ
Effekt der Zeitintegration bei instabilem (si=0, Euler explizit) oder stabilem
(si>0, RK4-O4) Verfahren bei Monowellen-Transport
Gebiet ist NUMWEL*λ lang
Wellenlänge
Wellenzahl, 2π/λ
Anzahl der Intervalle pro Wellenlänge λ
Anzahl der Punkte im Integrationsgebiet = NWEL*NUMWEL+1
Anzahl der berechneten Zeitperioden bezüglich λ
Anzahl der Zeitschritte pro Zeitperiode
c∆t/∆x
Advektionsgeschwindigkeit, typisch gleich 1
hier ohne Bedeutung; Anfangswerte: neutrale Welle in x;
diese Welle wird nach rechts konvektiert, das Bild zeigt die Situation nach
einigen Zeitperioden
Ergebnis nach wenigen Zeitperioden.
Numerische Lösung der Advektionsgleichung ut+cux=0
(räumliches Modell, Vorgabe instationärer Bedingung bei x=0 da c>0)
Beispiel 6
Legende:
NUMWEL
λ
α
NWEL
NPTS
NUMPER
LPER
CFL
c
σ, ϕ
Effekt räumlich zu geringer Auflösung bei Anregung relativer Hochfrequenz
für FD-O2 und KFD-O4 bei Monowellen-Transport
Gebiet ist NUMWEL*λ lang
Wellenlänge
Wellenzahl, 2π/λ
Anzahl der Intervalle pro Wellenlänge λ
Anzahl der Punkte im Integrationsgebiet = NWEL*NUMWEL+1
Anzahl der berechneten Zeitperioden bezüglich λ
Anzahl der Zeitschritte pro Zeitperiode
c∆t/∆x
Advektionsgeschwindigkeit, typisch gleich 1
hier ohne Bedeutung; Anfangswerte: neutrale Welle in x;
diese Welle wird nach rechts konvektiert, das Bild zeigt die Situation nach
einigen Zeitperioden
Ergebnis nach 20 Zeitperioden, Symbole: numerische Lösung. Wegen Vorgabe von Frequenz
entsprechend (β∆t)mod/CFL=π/(NWEL/2)≈1.05 größer als {(β∆t)mod/CFL}max≈1 für FD-O2
am linken Rand (vgl. Katalog 2, S.11ff) ist die Systemantwort im unteren Bild „chaotisch“.