Mathematik I
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Grundlagen und Grundoperationen
Rechnen mit Potenzen
Gleichungen
Funktionen
Datenanalyse
Dieses bewährte Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch
im Unterricht oder für das Selbststudium.
www.321Los.ch
www.hep-verlag.ch/math1-bm
Mathematik I Algebra
Das Buch besteht aus den folgenden Teilen :
Hans Marthaler Benno Jakob Reto Reuter
Mathematik I
Marthaler Jakob Reuter
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch vermittelt das Grundwissen der
Algebra anschaulich und praxisnah. Es basiert auf dem Rahmenlehrplan 2012 für die Berufsmaturität der Ausrichtung Technik,
Architektur, Life Sciences und deckt diejenigen Inhalte ab, die
für das Studium an einer Fachhochschule wichtig sind.
Die einzelnen Kapitel bauen aufeinander auf und enthalten neben
der fachlichen Theorie und vorgelösten Beispielaufgaben zahl­
reiche Übungen, die es den Lernenden erlauben, das theoretische
Wissen anzuwenden und zu festigen. Die vielen Abbildungen
veranschaulichen den Stoff.
Algebra für die Berufsmaturität
6. Auflage
UG_Math_I_Algebra_BM_6A_17_Bundle.indd 1
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VORWORT
Mathematik ist ein wichtiges Hilfsmittel und Werkzeug für künftige Fachhochschulstudierende und Berufsleute. Die beiden Bände Mathematik I und II enthalten die für das Studium vorausgesetzten Inhalte und
fachliche Kompetenzen, wie sie im Rahmenlehrplan für die technische Berufsmaturität gefordert sind.
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Das bewährte und weit verbreitete Lehrmittel wurde im Hinblick auf die Einführung des RLP 2012 ergänzt
und angepasst. Der vorliegende Band enthält neu den Teil V zur Datenanalyse. Teil III wurde durch die
Themen Bruchungleichungen und quadratische Ungleichungen ergänzt.
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Von Grund auf neu strukturiert wurde Teil IV, Funktionen. Grundlegendes wie die Bestimmung der
Nullstellen oder das Abbilden von Funktionsgraphen werden im Einführungskapitel behandelt, damit die
Schülerinnen und Schüler die wesentlichen Eigenschaften von Funktionen in einem Kapitel finden. Die
Aufgaben sind aber mehrheitlich auf die Kapitel mit den einzelnen Funktionen verteilt. Weil der Funktions­
begriff neu etwas fundierter abgehandelt wird, werden die Begriffe kartesisches Produkt, Relation und
Bildmenge sowie injektiv, bijektiv und surjektiv behandelt. In Kapitel 14 findet sich neu auch die Betragsfunktion.
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Der Aufteilung einzelner Themen in einen Grundlagen- und einen Schwerpunktbereich wurde soweit
wie möglich Rechnung getragen. Teil II enthält deshalb neu ein (Unter-)Kapitel Quadratwurzeln sowie
Aufgaben, die nur Zehnerpotenzen enthalten.
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Mit den Themen Zahlenfolgen und Zahlsysteme finden Inhalte den Weg ins Buch, die im Rahmenlehrplan
nicht enthalten sind. Mit den Zahlenfolgen wird an die Lehrmittel der Sekundarstufe angeknüpft. Die
Thematik ermöglicht etwas andere Aufgabentypen und ist zusammen mit den Reihen ein Teil der Mathematik, der an den Fachhochschulen gelehrt wird. Da im Computerzeitalter andere Zahlsysteme als das
Dezimalsystem wichtig sind, stellt das Kapitel Zahlsysteme eine sinnvolle Ergänzung der Zehnerpotenzen
dar.
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Im Band Mathematik I wird das Grundwissen der Algebra anschaulich und praxisnah vermittelt. Das
Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch im Unterricht oder für das Selbst­studium. Mit zahlreichen
Abbildungen und vielen gelösten Beispielen werden mathematische Zusammenhänge verdeutlicht
und vertieft. Anhand der vielen Übungen kann der theoretische Lehrinhalt in zahlreichen Situationen
angewendet werden. Die Lösungen der Übungsaufgaben stehen kostenlos zur Verfügung unter
www.321Los.ch und www.hep-verlag.ch.
Das Buch macht die Lernenden mit spezifischen Methoden der Mathematik vertraut. Die heutigen
technischen Hilfsmittel ermöglichen die Veranschaulichung der Mathematik und unterstützen die Erforschung von mathematischen Sachverhalten. Viele Aufgaben gestalten deshalb den sinnvollen Einsatz von
Taschenrechner und Computer, andere können problemlos ohne Hilfsmittel gelöst werden.
Juli 2015
Hans Marthaler, Benno Jakob, Reto Reuter
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Dr. Hans Marthaler unterrichtete Mathematik an verschiedenen Berufsmaturitätsschulen in den Kantonen
Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden.
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Benno Jakob, Reto Reuter und Matthias Burkhardt sind langjährige Mathematiklehrer an der Berufs­
maturitätsschule der GIBB in Bern und haben grosse Erfahrung in unterschiedlichen Berufsmaturitäts­
ausrichtungen.
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INHALTSVERZEICHNIS
Grundlagen und Grundoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1
Zahlenmengen und Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
Grundoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1
2.2Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Das Pascalsche Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
Dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1
Schreibweise von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2
Brüche erweitern und kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3
Brüche addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4
Brüche multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4
Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1
Potenzen mit natürlichen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3
Potenzen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4
Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.1 Das Zehnersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.2 Exponentenschreibweise im Zehnersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.3 Andere Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5
Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2
Allgemeine Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3
Potenz- und Wurzelgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4
Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6
Logarithmieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.5Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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INHALTSVERZEICHNIS
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7
Allgemeine Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.1
7.2Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8
Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.1
Lineare Gleichungen ohne Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2
Lineare Gleichungen mit Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.4Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.6Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9
Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.1
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.1.1 Grundform eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten . . . . . . . . . 136
9.1.2 Herkömmliche Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1.3 Substitution von nicht linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.4 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.1.5 Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2
Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2.1Einsetzmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2.2Additionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.1 Definition der quadratischen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2 Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.2.1 Reinquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.2.2 Quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 8
28.08.17 09:39
10.3 Lösungsformel für quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.4 Aufgaben mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.5 Satz von Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.6Substitutionsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.7 Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.8Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.9Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11
Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.1Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.2Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.3Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12
Exponential- und logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.1Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.1.1 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.1.2 Weiterführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12.2 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
12.3Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.1 Das kartesische Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.2 Relationen und ihre Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.3.2 Darstellungsarten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.3.3 Funktionen erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.3.4 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.4Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 9
28.08.17 09:39
INHALTSVERZEICHNIS
14
Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.1Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.2 Steigung und Ordinatenabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.3Schnittprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
14.3.1 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
14.3.2 Schnittpunkte zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.4 Spezielle Lagen zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
14.5 Verzweigte Funktionsvorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.6Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
15
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260
15.1 Grundform der quadratischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
15.2Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
15.3 Scheitelform der quadratischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
15.4 Beziehung zwischen Scheitelform und Grundform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15.5Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.5.1 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.5.2 Schnittpunkte zweier Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
15.6Extremalaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
15.7Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
16
Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.1 Umkehrbarkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.2 Bestimmen der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
16.3Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
17
Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
17.1Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
17.1.1 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
17.1.2 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.2Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
17.2.1 Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
17.2.2 Eigenschaften von Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
17.2.3 Grafische Lösung von Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
17.3Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10
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18
Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
18.1Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
18.2 Extremalstellen und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
18.3Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
19
Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
19.1Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
19.1.1Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
19.1.2 Eigenschaften von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
19.1.3 Schieben und Strecken von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
19.1.4 Die natürliche Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
19.2Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
19.2.1Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
19.2.2 Eigenschaften von Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
19.2.3 Schieben und Strecken von Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
19.2.4 Die natürliche Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
19.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
20
Wachstum und Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
20.1 Exponentielle Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
20.2Wachstumsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
20.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Datenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
21
Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
21.1Smartphone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
21.2Kniearthrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
21.3Warenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
21.4Kaffee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
21.5Weitsprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
21.6 Übergewicht und Bluthochdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
21.7Freiwurf-Contest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
21.8Blut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
21.9Schwertlilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
21.10E-Bike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11
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INHALTSVERZEICHNIS
21.111-€-Münze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
21.12Bierfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
21.13Lohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
22
Datengewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
22.1 Methoden der Datengewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
22.2 Fehler bei der Datengewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
23
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
23.1 Grundgesamtheit und Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
23.2 Datensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
23.3Variablentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
23.4 Geordnete Stichprobe und Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
24
Grafische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
24.1 Säulen- und Balkendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
24.2Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
24.3Streifenplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
24.4Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
24.5Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
24.6Streudiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
25
Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
25.1Lagekennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
25.1.1 Kennzahlen für die zentrale Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
25.1.2 Extremwerte und Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
25.2Streuungskennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
26
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
12
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 12
28.08.17 09:39
Zahlenmengen und Terme 1
Grundlagen und Grundoperationen
1
Zahlenmengen und Terme
Im Zentrum dieses Kapitels stehen die elementaren Zahlenmengen N, Z, Q und R. Weiter werden die
Grundlagen für den Umgang mit Termen gelegt.
1.1
Zahlenmengen
Um Gegenstände wie Steine, Computer oder Flugzeuge zu zählen, braucht man die natürlichen Zahlen.
Definition
Menge der natürlichen Zahlen
N = ̇ {0; 1; 2; 3; … }
(1)
Kommentar
• =̇ bedeutet «definierte Gleichheit» und wird ausschliesslich für Definitionen verwendet.
• Zur Beschreibung von Zahlenmengen werden geschweifte Klammern verwendet.
Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null sind:
N * =̇ N\{0} = {1; 2; 3; … }
(2)
Eine Primzahl p P Nist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern:
P = ̇ {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; … }
(3)
Das Ergebnis einer Addition von zwei natürlichen Zahlen ist stets wieder eine natürliche Zahl. Die Opera­
tion ist somit innerhalb von Nuneingeschränkt durchführbar. Dies ist bei der Subtraktion, der Umkehr­
operation der Addition, nicht immer der Fall:
12 – 20 = – 8
Damit uneingeschränkt subtrahiert werden kann, muss der Zahlenraum erweitert werden.
Definition
Menge der ganzen Zahlen
Z = ̇ { … ; – 3; – 2; – 1; 0; + 1; + 2; + 3; … }
(4)
Während die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation in Zuneingeschränkt durchführbar sind,
ist dies bei der Division, der Umkehroperation der Multiplikation, nicht immer der Fall:
8 = 0.4
8 : 20 = ___
20
Damit uneingeschränkt dividiert werden kann, muss der Zahlenraum erweitert werden.
Definition
Menge der rationalen Zahlen
a mit a P Z und b P N *}
Q = ̇ {x | x = __
b
(5)
13
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 13
28.08.17 09:39
I
GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN
Kommentar
• Jede Zahl der Menge Qlässt sich als Bruch (Quotient) aus zwei ganzen Zahlen darstellen und ist als
endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch darstellbar.
In Q sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division uneingeschränkt durch­
führbar.
Damit weitere Operationen wie das Radizieren (Wurzelziehen) uneingeschränkt durchführbar sind,
müssen die rationalen um die irrationalen Zahlen erweitert werden. Diese können als unendliche, nicht
periodische Dezimalbrüche dargestellt werden:
__
√ 2 = 1.414213562 …
__
Weitere Beispiele für irrationale Zahlen sind – √ 5 , ln 4, π, e, sin 7°.
Definition
Menge der reellen Zahlen
Die Menge R der reellen Zahlen enthält alle endlichen und alle unendlichen Dezimal­
brüche.
Menge der irrationalen Zahlen
Die Menge R \ Q der irrationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als unendliche,
nicht periodische Dezimalbrüche darstellen lassen.
Zwischen den oben definierten Mengen bestehen diverse Teilmengenbeziehungen. So gilt zum Beispiel
für die natürlichen Zahlen: N , Z , Q , Rund somit auch N , Q, N , R und Z , R. Weiter sind die
folgenden Teilmengen gebräuchlich:
Definition
Teilmengen
+
Z
Z +0
Z –
Z –0
Menge der positiven ganzen Zahlen (= N*).
Menge der positiven ganzen Zahlen, inklusive Null (= N).
Menge der negativen ganzen Zahlen.
Menge der negativen ganzen Zahlen, inklusive Null.
Kommentar
• Analog können Teilmengen von Q und R gebildet werden. So ist zum Beispiel Q+ die Menge der
­positiven rationalen Zahlen, R– die Menge der negativen reellen Zahlen.
14
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 14
28.08.17 09:39
Zahlenmengen und Terme 1
Beispiele
19 = 2.375
(1) ___
8
4 = 0.12
‾ = 0.121212 …
(2) ___
33__
√ 5 = 2.2360679775 … .
(3)
endlicher Dezimalbruch: rational.
unendlicher, periodischer Dezimalbruch: rational.
unendlicher, nicht periodischer Dezimalbruch: irrational
‾ als Bruch aus.
(4) Drücken Sie 0.2468
Lösung:
Durch zweimaliges Multiplizieren und anschliessendes Subtrahieren fällt die Periode weg:
68
10000x =
2468.‾
‾
‾
100x =
24.68
x = 0.2468 ⇒
‾
9900x =
2444
2444
⇒ x = _____
= _____
611
9900 2475
Übungen 1 → S. 21
1.2
Zahlenstrahl
Die anschauliche Darstellung einer Zahl erfolgt durch einen Punkt auf dem Zahlenstrahl. Positive Zahlen
werden rechts vom Nullpunkt, negative Zahlen links davon abgetragen.
− 32
−2
2
−1
0
1
π
2
3
4
Die Zahlen – 2 und + 2 haben dabei den gleichen Abstand vom Nullpunkt, nämlich zwei Einheiten.
Allgemein lässt sich der Abstand vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl als Betrag der Zahl notieren,
denn | – 2 | = | + 2 | = 2.
−a = a
−a
Definition
+a = a
0
1
+a
Betrag einer Zahl
Der Betrag | a |einer Zahl a ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt auf dem
Zahlenstrahl:
a für a > 0
für a = 0
| a | =̇
0
{– a für a < 0
Es gilt: | a | ≥ 0
(6)
Kommentar
• Der Zahlenstrahl ist durch die Positionen null und eins eindeutig festgelegt.
• Auf dem Zahlenstrahl können alle Zahlen der Mengen N, Z, Q und R dargestellt werden.
15
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 15
28.08.17 09:39
I
GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN
Beispiele
(1)| 7 – 3 | = | 4 | = 4 und | 3 – 7 | = | – 4 | = 4
(2) Welche Zahlen x P Zerfüllen die Gleichung | x – 1 | = 3 ?
Lösung:
Aus der Definition von Gleichung (5) müssen zwei Fälle unterschieden werden:
x – 1 = 3 ⇒
x = 4 oder
x – 1 = – 3 ⇒
x = – 2
Die Zahlen – 2 und 4 erfüllen die Gleichung | x – 1 | = 3 .
Auf dem Zahlenstrahl gelten die folgenden Ordnungsbeziehungen:
b
a
a, b
b
a
a<b
a kleiner b
a=b
a gleich b
a>b
a grösser b
Ebenfalls gebräuchlich sind:
a ≤ b
a kleiner oder gleich b
a ≠ b
a ungleich b
a ≥ b
a grösser oder gleich b
Kommentar
• Die kleinere von zwei Zahlen liegt auf dem Zahlenstrahl immer links von der grösseren.
• Die Zeichen <, >, ≤und ≥lassen sich vorwärts und rückwärts lesen. So bedeutet a < b rückwärts
gelesen «b grösser a».
Mit den Zeichen <, >, ≤und ≥ können Intervalle auf dem Zahlenstrahl bezeichnet werden.
a<x<b
x
a
b
a≤x≤b
x
a
b
Kommentar
• Das Intervall a < x < b, beziehungsweise x P ]a; b[enthält die Randwerte a und b nicht.
• Das Intervall a ≤ x ≤ b, beziehungsweise x P [a; b]enthält die Randwerte a und b.
• Mischformen wie a < x ≤ b, beziehungsweise x P ]a; b]sind auch möglich.
• Das Intervall x > a, beziehungsweise x P ]a; ∞[ist nur linksseitig begrenzt.
• Das Intervall x ≤ a, beziehungsweise x P ]–∞; a]ist nur rechtsseitig begrenzt.
16
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 16
28.08.17 09:39
Zahlenmengen und Terme 1
Beispiel
Notieren Sie die Zahlen a P R, die die Ungleichung | a | ≤ 3 erfüllen.
Lösung:
| a | ≤ 3 ⇒ a P [– 3; 3]oder – 3 ≤ a ≤ 3oder L = {a P R| – 3 ≤ a ≤ 3}.
Übungen 2 → S. 22
1.3
Terme
Werden Zahlen oder Variablen anhand von Operatoren und Klammern sinnvoll verknüpft, entsteht ein
algebraischer Term oder ein algebraischer Ausdruck.
Definition
Term
Eine Zahl ist ein Term und eine Variable ist ein Term.
Jede sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen und Variablen (= Terme) mit Operations­
zeichen und Klammern ergibt einen Term.
Kommentar
• Enthält ein algebraischer Term T die Variable a, schreibt man:
3a + 4 ⇒ T (a) = 3a + 4
Wertet man den Term für a = 5aus, so notiert man:
T (5) = 3 ⋅ 5 + 4 = 19
• Alle Zahlen, die man auf diese Weise im Term T einsetzen kann und die zu einem sinnvollen Ergebnis
führen, bilden die Definitionsmenge D des Terms.
Terme werden immer nach der zuletzt ausgeführten Operation benannt. Dabei gilt: Hoch vor Punkt vor
Strich. Mit Klammern kann diese Reihenfolge durchbrochen werden.
Beispiele
(1) Die folgenden Terme unterscheiden sich nur durch die Klammern:
= 2 + 3 ⋅ 1024 = 2 + 3072 = 3074
(a)
2 + 3 ⋅ 4 5
= 5 ⋅ 1024 = 5120
(b)
(2 + 3) ⋅ 4 5
=
(2 + 12) 5 = 14 5 = 537824
(c)
(2 + 3 ⋅ 4) 5
5
(d)
2 + (3 ⋅ (4 )) = 2 + (3 ⋅ 1024) = 2 + 3072 = 3074
(5 ⋅ 4) 5 = 20 5 = 3200000
(e)
((2 + 3) ⋅ 4) 5 =
(2) Gegeben sei der Term T (a) = a 2 – 3a + 2 .Bestimmen Sie T (– 5)und T (0) .
Lösung:
Wir setzen für die Variable a die vorgegebenen Werte ein:
⇒
T (– 5) = 42
a = – 5:T (– 5) = (– 5) 2 – 3 ⋅ (– 5) + 2 = 42
⇒
T (0) = 2
a = 0:T (0) = 0 2 – 3 ⋅ 0 + 2 = 2
3 ⋅ | a |
(3) Bestimmen Sie T (3; 2), T (– 1; – 1)und T (2; 1),wenn T (a; b) = _____
.
b – 1
17
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 17
28.08.17 09:39
I
GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN
Lösung:
3 ⋅ | 3 | ____
= __
⇒
T (3; 2) = 9
= _____
= 3 ⋅ 3
9 = 9
1
2 – 1
1
3 ⋅ | – 1 | ____
3
3 = – __
3 ⇒
= ___
T (– 1; – 1) = – __
= 3 ⋅ 1
T (– 1; – 1) = ______
2
2
– 1 – 1
– 2 – 2
3 ⋅ | 2 | ____
= __
⇒ Der Ausdruck ist nicht definiert.
= 3 ⋅ 2
6
T (2; 1)
= _____
0
1 – 1
0
(4) Der Ausdruck …
(a)
2 + 5 ⋅ (x – 1) ist eine Summe, denn zuletzt wird addiert.
x + y
____
ist ein Quotient, denn zuletzt wird dividiert.
(b) x – y
T (3; 2)
(c)
2x 3
(d)(3x – y) 2
3
2x – __
(e) ___
y x
ist ein Produkt, denn zuletzt wird multipliziert.
ist eine Potenz, denn zuletzt wird potenziert.
ist eine Differenz, denn zuletzt wird subtrahiert.
Übungen 3 → S. 23
1.4
Polynome
In der Mathematik tauchen oft Ausdrücke auf wie
3x – 1; 5x 4 – x 2 + 7x + 2; x 2 + 4x + 4; …
(7)
Diese Ausdrücke lassen sich in eine allgemeine Form bringen:
Definition
Polynom
Ein Ausdruck der Form
n
a kx k
P (x) =̇ a 0 + a 1x + a 2x 2 + … + a n – 1x n – 1 + an x n = ∑
(8)
k = 0
mit der Variablen x heisst Grundform eines Polynoms.
n P N
:
Grad des Polynoms
a k P R: Koeffizienten, mit k = 0; 1; 2; … ; n und an ≠ 0
Kommentar
• Polynome n-ten Grades werden oft mit dem Summenzeichen Σ geschrieben.
• Der Parameter k durchläuft die ganzzahligen Werte von 0 bis n und kommt als Index beim
Ko­effizienten a kund im Exponenten der Potenz x kvor. Jeder Wert des Parameters k ergibt einen der
n + 1 Summanden.
18
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 18
28.08.17 09:39
Zahlenmengen und Terme 1
Beispiele
3x – 1ist ein Polynom ersten Grades oder ein lineares Polynom: n = 1. Die Koeffizienten sind
(1)
a 1 = 3 und a 0 = – 1.
(2)x 2 + 4x + 4ist ein Polynom zweiten Grades oder ein quadratisches Polynom: n = 2.
Die Koeffizienten sind a 2 = 1, a 1 = 4 und a 0 = 4.
__
ein kubisches Polynom: n = 3.
(3)
5x 3 – √ 7 x + πist ein Polynom dritten Grades oder
__
Die Koeffizienten sind a 3 = 5, a 2 = 0, a 1 = – √ 7 und a 0 = π.
(4)
5x 4 – x 2 + 7x + 2ist ein Polynom vierten Grades: n = 4.
Die Koeffizienten sind a 4 = 5, a 3 = 0, a 2 = – 1, a 1 = 7 und a 0 = 2.
5 ist kein Polynom, da er sich nicht in die Grundform (8) verwandeln lässt.
(5) Der Ausdruck x – __
x 2
Steht die Variable x im Nenner eines Bruchs oder unter einer Wurzel, kann es sich nicht um ein
Polynom handeln.
(6)
2x (3 – x)ist ein quadratisches Polynom. Durch Ausmultiplizieren erhält man die Grundform
2x (3 – x) = 6x – 2x 2 = – 2x 2 + 6x.
4
( 2k – 1).
(7) Berechnen Sie die Summe s = ∑
k = 1
Lösung:
Wir schreiben die Summe aus und erhalten:
(2k – 1) = (2 ⋅ 1 – 1) + (2 ⋅ 2 – 1) + (2 ⋅ 3 – 1) + (2 ⋅ 4 – 1)
s = ∑
k = 1
⏟
⏟
⏟
⏟
k=1
k=2
k=4
k=3
= 1 + 3 + 5 + 7 = 16
4
Übungen 4 → S. 25
1.5
Zahlenfolgen
Bei den Zahlenmengen aus Kapitel 1.1 spielte die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Spezielle
Mengen, bei denen die Anordnung wesentlich ist, heissen Zahlenfolgen.
Definition
Zahlenfolge
Eine reelle Zahlenfolge {an }ist eine Menge reeller Zahlen, deren Elemente in einer
bestimmten Reihenfolge angeordnet sind:
{an } = a 1; a 2; a 3; …; an ; … n P N*, a k P R(9)
Kommentar
• Die Elemente a 1; a 2; a 3; … heissen Glieder und das n-te Glied an steht für ein beliebiges Glied der
Zahlenfolge.
• Eine Zahlenfolge kann aus endlich oder unendlich vielen Gliedern bestehen.
19
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 19
28.08.17 09:39
I
GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN
Zahlenfolgen können auf zwei Arten beschrieben werden:
an }wird durch Angabe des ersten Gliedes a 1und dem BildungsEine rekursiv definierte Zahlenfolge {
gesetz beschrieben. Ein Term beschreibt, wie aus einem beliebigen Glied der Folge a n das nachfolgende
Glied a n + 1berechnet werden kann.
Beispiel
Geben Sie die ersten 5 Elemente der Zahlenfolge {an } an:
a 1 = 1; a n + 1 = an + 2
Lösung:
a 2 = a 1 + 2 = 1 + 2 = 3; a 3 = a 2 + 2 = 3 + 2 = 5; a 4 = a 3 + 2 = 5 + 2 = 7;
a 5 = a 4 + 2 = 7 + 2 = 9
Die Zahlenfolge besteht aus den ungeraden Zahlen: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; …
an } kann das n-te Glied an durch Angabe eines Terms direkt
Bei einer explizit definierten Zahlenfolge {
berechnet werden.
Beispiele
(1) Geben Sie die Glieder a 1; a 2; a 3; a 300 und a 5000 der Zahlenfolge an:
= 2n – 1
{an }
Lösung:
a 1 = 2 ⋅ 1 – 1 = 1; a 2 = 2 ⋅ 2 – 1 = 3; a 3 = 2 ⋅ 3 – 1 = 5; a 300 = 2 ⋅ 300 – 1 = 599;
a 5000 = 2 ⋅ 5000 – 1 = 9999
Die Zahlenfolge besteht aus den ungeraden Zahlen: 1; 3; 5; …; 599; …; 9999; …
(2) Gegeben sind die ersten Glieder einer Zahlenfolge: 5; 10; 15; 20; …
an } an.
(a) Geben Sie die rekursive Definition der Folge {
(b) Leiten Sie die explizite Definition her.
Lösung:
Eine Tabelle hilft die Gesetzmässigkeiten zu erkennen:
an
n
1
⋅ 5
→
5
2
⋅ 5
→
10
3
⋅ 5
→
15
4
⋅ 5
→
20
…
↓ + 5
↓ + 5
↓ + 5
…
↓ + 5
20
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 20
28.08.17 09:39
Zahlenmengen und Terme 1
(a) Wir untersuchen, wie man in der obigen Tabelle von einem Folgenglied zum nächst­unteren
(grüne Pfeile) kommt: Das erste Glied ist a 1 = 5. Das (n + 1)-te Glied folgt durch die
­Addition von fünf aus dem Glied an .
Die rekursive Beschreibung lautet also:
a 1 = 5; a n + 1 = an + 5
(b) Wir untersuchen, wie man in der obigen Tabelle von der Folgengliednummer n links direkt
zum Folgenglied an kommt (rote Pfeile). Dies ist der Fall, wenn man n mit 5 multipliziert.
Die explizite Definition lautet also:
{an } = 5n
Übungen 5 → S. 25
Terminologie
Betrag
Definitionsmenge D
Dezimalbruch
explizite Definition
ganze Zahlen Z
Grad eines Polynoms
grösser >
grösser oder gleich ≥
irrationale Zahlen
1.6
kleiner <
kleiner oder gleich ≤
Koeffizient
natürliche Zahlen N
Parameter
periodisch unendlich
Polynom
Primzahl
rationale Zahlen Q
reelle Zahlen R
rekursive Definition
Summenzeichen
Term
Variable
Zahlenfolge
Zahlenstrahl
Übungen
Übungen 1
1. Geben Sie in Worten an, welche Mengen die Abkürzungen N, Z, Q, R, Z –, Q +0 , R \ Q bezeichnen.
Zählen Sie je drei Elemente dieser Mengen auf.
2. Vervollständigen Sie das unten gezeichnete Mengendiagramm der reellen Zahlen.
Tragen Sie typische Elemente der angegebenen Teilmengen von R ein.
0
7
1
21
Inhalt_Mathematik_I_Algebra_BM_6A_17.indb 21
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