Lineare Algebra I - Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 27.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Klausur: Mittwoch, 14.12. 14:15 Uhr, A3 001
i=1
ist die Norm kxk eines Vektors x 2 Rn gerade die Länge des Vektors x, also der Abstand
von x zum Nullpunkt (Satz des Euklidische
Pythagoras).Vektorräume:
Der von den beiden Vektoren x, y 2 Rn eingeschlossene Winkel ' ist der kleinere von den beiden Winkeln (0  '  ⇡), zwischen den
Strahlen, die vom Nullpunkt durch x und y laufen (in der Ebene in der 0, x und y liegen).
Siehe Abbildung 12.
Definition 8.28. Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Paar (V, ) bestehend aus einem
endlich-dimensionalen R-Vektorraum V und einem Skalarprodukt .
Satz 8.29. (Gram-Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren) Sei (V, ) ein Euklidischer Vektorraum. Dann gilt
(1) V besitzt eine Orthonormalbasis.
symmetrische, positiv definite
(2) Aus einer Basis {v1 , . . . , vn } erhält man eine Orthogonalbasis {u1 , . .Bilinearform
. , un } durch
{satz:ort
u1 := v1
u2 := v2
u3 := v3
(u1 , v2 )
u1
(u1 , u1 )
(u1 , v3 )
u1
(u1 , u1 )
(u2 , v3 )
u2
(u2 , u2 )
..
.
un := vn
n 1
X
(ui , vn )
ui .
(ui , ui )
i=1
(3) Aus einer Orthogonalbasis {u1 , . . . , un } von V erhält man eine Orthonormalbasis
⇢
u1
un
,...,
.
ku1 k
kun k
(4) Ist {u1 , . . . , un } eine Orthogonalbasis von V , so gilt für alle v 2 V :
8.2. Euklidische Vektorräume
ymeigen}
:erorth}
uperpinv}
q:ewsym}
uperpinv}
hx, vi
⇡U ? (v) =
x,
hx, xi
x̄1
x̄ = @ . . . A
Abbildung 13: Orthogonale Projektihx,
vi
Symmetrische Matrizenx̄sind
diagonalisierbar:
on auf Ebene U ⇢ R3
⇡U (v) = (idR3 ⇡U ? (v)) = v
x n.
{abb:orth
hx, xi
der Als
komplex
konjugierte
Vektor.
Gleichung (8.3)
folgt bzw.
dann selbstadjungierte Endomornächstes
zeigen wir,
dassAus
symmetrische
Matrizen,
t
phismen auf Euklidischen
äumen
sind.
t
¯ x̄ t · x = ¯ x̄t · x .
x̄t · x = x̄t · AVektorr
·x= A
· x̄ diagonalisierbar
· x = (A · x̄)t · x =
Proposition 8.33. Sei A 2 Mat(n, n; R) symmetrisch, d.h. At = A. Dann hat A Eigenwerte.
Dabei wurde auch dieP
komplexe Konjugation der Eigenvektorgleichung (8.3) verwendet. Da
n
t
¯ . Der Eigenwert
x
=
6
0
ist,
ist
x̄
·
x
=
|xi |2 > 0. Matrix.
Daher folgt
ist also
Beweis. Betrachte A als
Da C =
algebraisch
abgeschlossen
ist reell.
(Satz 7.14)
i=1komplexe
8 Euklidische
Vektorräume
103
hat
jedes nicht-konstante
Polynom über C eine Nullstelle, insbesondere auch das charakteristische
Polynom
A.Vektorraum
A hat also mit
(mindestens)
einenBilinearform
komplexen Eigenwert
. Es gibt
Proposition
8.34.von
Sei V
symmetrischer
, und f 2 Hom(V,
V)
daher
ein x 2 Mat(n,
1;sind
C), Eigenr
sodassäume von f zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal.
selbstadjungiert.
Dann
8 Euklidische Vektorräume
103
A · x = x.
(8.3)
Proposition
Sei V Vektorraum
mit symmetrischer
Bilinearform
, und f 2 Hom(V, V )
Beweis.
Sei f8.35.
2 Hom(V,
V ) selbstadjungiert.
Seien ferner
1 6= 2 zwei Eigenwerte von f
Zeige
als nächstes, dassdannreell
dazu
selbstadjungiert.
U ✓ist.
V Sei
f -invarianter
und
v1 , v2 dazugehFalls
örige Eigenvektoren.
Dann giltUnterraum ist (d.h. f (U ) ✓ U ), so gilt dies
0
1
auch für U ? (also f (U ? ) ✓ U ? ).
x̄1
Proposition
8.35.
Sei
V
Vektorraum
mit
symmetrischer
(v
,
v
)
=
(v
,
v
)
=
(v
,
f
(v
))
=
) = ( 1 v1 , v2,)und
= f1 2(vHom(V,
2
1 2
1
2 2
1
2 @ (f (v
1 ), v2Bilinearform
1 , v2 ) . V )
Beweis. Sei w 2 U ? , dann gilt für alle x̄u=
2 U ... A
selbstadjungiert. Falls dann U ✓ V f -invarianter Unterraum ist (d.h. f (U ) ✓ U ), so gilt dies
x̄n
Also
auch für U ? (also f (U ? ) ✓ U ? ). (u, f (w)) = (f (u),
w) = 0 ,
( 1
)
(v
,
v
)
2
1 2 = 0,
?
der
komplex
konjugierte
Vektor.
Aus
Gleichung
folgt dann
? alle
?
Beweis.
Sei
w. 2Also
U ,ist
dann
gilt
fUür
u2w
U 2 U(8.3)
denn
f
(u)
2
U
f
(w)
2
f
ür
alle
.
und da 1 6= 2 folgt (v1 , v2 ) = 0.
t
t
x̄t · x = x̄t · A · x =(u,Aft (w))
· x̄ =
·x=
x̄)t=
· x0 =
(f (A
(u),· w)
, ¯ x̄ · x = ¯ x̄t · x .
{satz:onbew
Satz 8.36. Sei (V, ) Euklidischer? Vektorraum, und
f 2 Hom(V, V ) selbstadjungiert. Dann
denn fwurde
(u) 2 Uauch
. Also
f (w) 2 UKonjugation
für alle w 2
U ?Eigenvektorgleichung
.
Dabei
dieist
komplexe
der
(8.3) verwendet. Da
Pn
besitzt V eine tOrthonormalbasis
aus
Eigenvektoren.
x 6= 0 ist, ist x̄ · x = i=1 |xi |2 > 0. Daher folgt = ¯ . Der Eigenwert ist also reell.
{satz:onbew
Beweis. Nach Satz 8.29 hat V eine Orthonormalbasis. Sei F die Matrixdarstellung von f
8.36. Sei (V, ) Euklidischer Vektorraum, und f 2 Hom(V, V ) selbstadjungiert. Dann
:erorth} Satz
bzgl. dieser Basis. Nun
ist irgendeine
F nach Proposition
8.13 Orthonormalbasis
symmetrisch, hat also
nach ProposiNicht
Basis sondern
von Eigenvektoren!!!
besitzt
V
eine
Orthonormalbasis
aus
Eigenvektoren.
Proposition
8.34. Seieinen
V Vektorraum
f 2 Hom(V,
tion 8.33 mindestens
Eigenwert mit2symmetrischer
R. Dieser ist Bilinearform
natürlich auch, und
Eigenwert
von f .V )
selbstadjungiert.
Dann
sind
äume
von
f ).
zuNach
unterschiedlichen
Eigenwerten
BetrachteNach
den entsprechenden
V (f
Proposition
8.31(1)
gilt orthogonal.
Beweis.
Satz
8.29
hatEigenr
VEigenraum
eine
Orthonormalbasis.
Sei F die Matrixdarstellung
von f
bzgl. dieser
Nun istV F) selbstadjungiert.
nach PropositionSeien
8.13 symmetrisch,
hat
alsoEigenwerte
nach Proposi?
Beweis.
SeiBasis.
f 2 Hom(V,
ferner
=
6
zwei
von f
1
2
V = V (f ) V (f ) .
tion v8.33
mindestens
einen
Eigenwert Dann
2 R. gilt
Dieser ist natürlich auch Eigenwert von f .
und
,
v
dazugeh
örige
Eigenvektoren.
1 2
8.2.
Euklidische
Vektorräume
Betrachte
entsprechenden
(f f).-invarianter
Nach Proposition
8.31(1)
gilt W 6= {0},
Aber nachden
Proposition
8.35 istEigenraum
W := V (fV)?
Unterraum.
Falls
so
ist die Einschränkung von auf W positiv definit, und die Einschränkung von f auf W
selbstadjungierter
Endomorphismus
vonV W
wiederholtUnterraum.
nun das obige
Aber nach Proposition
8.35 ist W :=
(f .)?Man
f -invarianter
FallsVorgehen
W 6= {0},fürso
W
erhält sukzessive
eine Aufspaltung
vondefinit,
V in eine
Summe
von Eigenr
ist, und
die Einschr
änkung von
auf
positiv
unddirekte
die Einschr
änkung
von f äumen
auf W
DieWOrthogonale
Gruppe:
von
f mit unterschiedlichen
Eigenwerten.
sindnun
also das
paarweise
orthogonale
selbstadjungierter
Endomorphismus
von Die
W . Summanden
Man wiederholt
obige Vorgehen
für
Unterr
äume.
Wähle
nun ineine
jedem
Summanden
eine
und von
kombiniere
diese
W , und
erhält
sukzessive
Aufspaltung
von
V Orthonormalbasis,
in eine direkte Summe
Eigenräumen
zu
Orthonormalbasis
von
ganz V .
voneiner
f mit
unterschiedlichen
Eigenwerten.
Die Summanden sind also paarweise orthogonale
Unterräume. Wähle nun in jedem Summanden eine Orthonormalbasis, und kombiniere diese {defi:on}
zu einer Orthonormalbasis
von Pganz
V.
Definition
8.37. Eine Matrix
2 Mat(n,
n; R) nennt man orthogonal, falls P t · P = In
gilt. Die Menge
{defi:on
t
t
Definition 8.37. O
Eine
Matrix
P
2
Mat(n,
n;
R)
nennt
man
orthogonal,
falls
P
· P = In
(R)
:=
{P
2
Mat(n,
n;
R)
|
P
·
P
=
I
}
⇢
GL
(R)
n
n
n
gilt. Die Menge
ist eine Untergruppe von GLn (R). Man nennt sie die orthogonale Gruppe.
On (R) := {P 2 Mat(n, n; R) | P t · P = In } ⇢ GLn (R)
Bemerkung 8.38. Sei (V, ) Euklidischer Vektorraum der Dimension n mit Orthonormalist eine
von GL
nenntist
sieBdie
orthogonale Gruppe.
basis
A. Untergruppe
Sei B eine weitere
Basis
vonMan
V . Dann
Orthonormalbasis
genau dann wenn die
n (R).
entsprechende Basiswechsel-Matrix orthogonal ist, d.h. MatB A (idV ) 2 On (R).
Bemerkung 8.38. Sei (V, ) Euklidischer Vektorraum der Dimension n mit Orthonormal-
basis A. Sei
B eine
weitere
Basis
von V . Dann ist B Orthonormalbasis
dann wenn die
Beweis.
Folgt
sofort
aus dem
Transformationsverhalten
der Matrixformgenau
von Bilinearformen
entsprechende
Basiswechsel-Matrix orthogonal ist, d.h. MatB A (idV ) 2 On (R).
(Proposition
8.3)
t
Beweis. Folgt sofort
aus
dem
Transformationsverhalten
der Matrixform
von Bilinearformen
Mat
(
)
=
(Mat
(id
))
· MatA ( ) ·Mat
B
BA
V
B A (idV ) .
| {z }
(Proposition 8.3)
=I
n
MatB ( ) = (MatB A (idV ))t · MatA ( ) ·MatB A (idV ) .
| {z }
Damit läßt sich Satz 8.36 wie folgt umformulieren: =In
Damit läßt sich Satz 8.36 wie folgt umformulieren:
8.2. Euklidische Vektorräume
104
104
Umformulierungen von Satz 8.36:8.2 Euklidische Vektorräume
8.2 Euklidische Vektorräume
Korollar 8.39. Sei A 2 Mat(n, n; R) eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine orthogo1 eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine orthogoKorollar
A 2 sodass
Mat(n,Pn; R)
nale
Matrix8.39.
P 2 Sei
On (R),
· A · P diagonal ist. (Symmetrische Matrizen sind also
1
nale Matrix P 2und
On (R),
sodass P · A · P Matrizen
diagonal ist.
diagonalisierbar,
die diagonalisierenden
sind(Symmetrische
orthogonal.) Matrizen sind also
diagonalisierbar, und die diagonalisierenden Matrizen sind orthogonal.)
Eine weitere Umformulierung lautet:
Eine weitere Umformulierung lautet:
ymbil}
symbil} Korollar 8.40. Sei (V, ) Euklidischer Vektorraum und ˜ eine andere symmetrische (aber
˜ eine andere symmetrische (aber
Korollar
8.40.
Sei
(V,
)
Euklidischer
Vektorraum
und
nicht notwendigerweise positiv definite) Bilinearform auf V . Dann gibt es eine Basis von V ,
nicht
notwendigerweise
positiv definite)
auf V . Dann
es eine Basis von V ,
˜ ist.
die
gleichzeitig
Orthonormalbasis
bzgl. Bilinearform
und Orthogonalbasis
bzgl.gibt
die gleichzeitig Orthonormalbasis bzgl. und Orthogonalbasis bzgl. ˜ ist.
Damit kann man schließlich ein Kriterium für die positive Definitheit einer symmetrischen
Damit
man schließlich
ein Kriterium
für die positive
Definitheit
einer symmetrischen
Matrix
überkann
R, bzw.
einer symmetrischen
Bilinearform
auf einem
endlich-dimensionalen
RMatrix über R, bzw. einer symmetrischen Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen RVektorraum formulieren:
Vektorraum formulieren:
Satz 8.41. Eine symmetrische Matrix B 2 Mat(n, n; R) ist positiv definit, genau dann,
Satz 8.41. Eine symmetrische Matrix B 2 Mat(n, n; R) ist positiv definit, genau dann,
wenn für alle 1  k  n die Determinanten det(Bk ) der Hauptminoren
wenn für alle 1  k  n die Determinanten det(Bk ) der Hauptminoren
k k
Bk = (bij )i=1
k j=1
k ,
Bk = (bij )i=1
j=1 ,
d.h. der oberen linken k ⇥ k-Blöcke in B, positiv sind: det(Bk ) > 0.
d.h. der oberen linken k ⇥ k-Blöcke in B, positiv sind: det(Bk ) > 0.
Euklidische
Vektorräume
Beweis. Betrachte die symmetrische Bilinearform ˜˜ auf Mat(n,8.2.
1; R),
definiert durch
Damit kann man schließlich ein Kriterium für die positive Definitheit einer symmetrischen
für positive
Matrix über R, bzw.Hauptminorenkriterium
einer symmetrischen Bilinearform
aufDefinitheit:
einem endlich-dimensionalen RVektorraum formulieren:
Satz 8.41. Eine symmetrische Matrix B 2 Mat(n, n; R) ist positiv definit, genau dann,
wenn für alle 1  k  n die Determinanten det(Bk ) der Hauptminoren
k k
Bk = (bij )i=1
j=1 ,
d.h. der oberen linken k ⇥ k-Blöcke in B, positiv sind: det(Bk ) > 0.
Beweis. Betrachte die symmetrische Bilinearform ˜ auf Mat(n, 1; R), definiert durch
˜(x, y) = xt · B · y
für x, y 2 Mat(n,
1;war’s
R). Seien
Vk LA
:= L({e
, . . . , ek }) die durch die ersten k Standard-Basis
1
Das
für
I
—
Vektoren aufgespannten Unterräume von Mat(n, 1; R). B ist positiv definit genau dann wenn
˜ positiv definit ist. Dann sind aber auch die Einschränkungen ˜k := ˜|V ⇥V auf die Vk posik
k
…
weiter
geht’s
in
LA
II
im
FSS’17!
tiv definit. Die Matrixdarstellung der Einschränkung bzgl. der Standard-Basis ist aber genau
der k-te Hauptminor Bk . Nach Korollar 8.40 gibt es nun Basen der Vk , die Orthogonalbasen
von ˜k sind. Die Matrixdarstellungen der Bk in diesen Basen sind also diagonal. Da die Bk
positiv definit sind, müssen alle Diagonaleinträge dieser Matrixdarstellungen positiv sein,
woraus sofort det(Bk ) > 0 folgt. Umgekehrt nehme nun an, dass det(Bk ) > 0 für alle k,
und zeige per vollständiger Induktion nach k, dass Bk > 0 für alle k. Für k = 1 ist nichts
zu zeigen, denn eine 1 ⇥ 1-Matrix ist positiv definit genau dann wenn ihr Eintrag positiv
ist. Nehme nun an, dass Bk 1 > 0. Dies ist nichts anderes als die Matrixdarstellung der
Vektorräume
Einschränkung von ˜k auf Vk 1 . Aus der positiven Definitheit 8.2.
von Euklidische
Bk 1 folgt, dass
nach