MATHEMATIK K1 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ Punkte(max)

MATHEMATIK K1
29.06.2017
Aufgabe
7
8
P
1
2
3
4
5
6
Punkte (max) 6
2
2
3
3
2 11 1 30
Punkte
Gesamtpunktzahl
/30
Notenpunkte
(1) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x) = x + 2x · e3x+4
3
2
− 2
g(x) =
3x 2x
√
1
h(x) = (2 · cos(x) + 5)3 − x
6
(2) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von
1
f (t) = e1−2t +
2t
(3) Berechnen Sie das Integral
Z 12
4
√
2
dx.
2x + 1
(4) Lösen Sie die Gleichung
x · sin(x)2 = x sin(x)
für 0 ≤ x ≤ π.
2
29.06.2017
(5) Welcher Punkt der Ebene E : 2x1 + x2 − 3x3 = 7 hat von P (9|6| − 13)
den kürzesten Abstand?
Geben Sie einen Punkt an, der von E genausoweit entfernt ist wie P ,
der aber nicht auf derselben Seite der Ebene liegt.
(6) Gegeben sind ein Punkt P (2| − 1|4) und eine Gerade
1 2 0
g : ~x = −1
+ t −2 .
1
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, welche durch P geht und
senkrecht auf g steht.
(7) Gegeben ist eine Pyramide ABCS. Ihre Grundfläche ist das Dreieck
ABC. Die Punkte haben die Koordinaten A(6|2|1), B(6|8|1), C(2|5|3)
und S(8|5|10).
a) Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig bzw. gleichschenklig
ist.
b) Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks und dessen Flächeninhalt.
c) Liegt der Punkt P (0|6,5|4) auf der Dreicksseite AC?
d) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
(8) Ein Hirte, der 70 Rinder trieb, wurde gefragt: “Welchen Teil deiner
Herde treibst du?”. Er antwortete: “Ich treibe zwei Drittel von einem
Drittel des Viehs.” Wie viele Tiere enthielt die ganze Herde?
Winkel zwischen Vektoren
Winkel zwischen Geraden mit RVen ~u und ~v
Winkel zwischen Ebenen mit NVen ~n1 und ~n2
Winkel zwischen Gerade und Ebene
cos α =
~a · ~b
|~a| · |~b|
|~u · ~v |
|~u| · |~v |
|~n1 · ~n2 |
cos α =
|~n1 | · |~n2 |
|~u · ~n|
sin α =
|~u| · |~n|
cos α =
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3
Lösungen
(1) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x) = x + 2x · cos(3x + 4)
2
3
g(x) =
− 2
3x 2x
√
1
h(x) = (2 · cos(x) + 5)3 − x
6
(2) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von
1
f (t) = e1−2t +
2t
π
π g(x) = · sin
x −t
2
4
(3) Berechnen Sie das Integral
Z 12
4
√
2
dx.
2x + 1
(4) Lösen Sie die Gleichung
x · sin(x)2 = x sin(x).
(5) Welcher Punkt der Ebene E : 2x1 + x2 − 3x3 = 7 hat von P (9|6| − 13)
den kürzesten Abstand?
Geben Sie einen Punkt an, der von E genausoweit entfernt ist wie P ,
der aber nicht auf derselben Seite der Ebene liegt.
(6) Gegeben sind ein Punkt P (2| − 1|4) und eine Gerade
1 2 0
g : ~x = −1
+ t −2 .
1
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, welche durch P geht und
senkrecht auf g steht.
Gesucht ist der Lotfußpunkt L von P ; die Gerade ist dann die Gerade
durch P und L.
Lotebene durch P (Normalenvektor = Richtungsvektor der Geraden)
ist E : 2x1 − 2x2 + x3 = 10.
Schneiden mit g ergibt 2(1 + 2t) − 2(−2t) + (−1 + t)
=
10, also
1 t= 1.
2
Damit ist L(3| − 2|0) und die gesuchte Gerade ~x = −1 + t −1 .
4
4
4
29.06.2017
(7) Gegeben ist eine Pyramide ABCS. Ihre Grundfläche ist das Dreieck
ABC. Die Punkte haben die Koordinaten A(6|2|1), B(6|8|1), C(2|5|3)
und S(8|5|10).
a) Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig bzw. gleichschenklig
ist.
−→
−→
0
AB = 6 , |AB| = 6;
0
−→
AC =
−→
BC =
−4 3
2
−→
, |AB| =
−4 −3
2
−→
, |AB| =
√
29;
√
29.
−→
Das Dreieck ist gleichschenklig, aber wegen 62 6= 29 + 29 (oder AC ·
−→
BC 6= 0) nicht rechtwinklig.
b) Liegt der Punkt P (0|6,5|4) auf der Dreicksseite AC?
−4 6
Gerade AC ist gegeben durch ~x = 2 + t 3 . Punktprobe liefert
1
2
0 −4 6
3
6,5
= 2 + t 3 , was auf t = 2 führt. Der Punkt liegt auf der
1
2
4
Geraden AC, aber nicht zwischen A und C und damit nicht auf der
Strecke AC.
c) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, in der das Dreieck ABC liegt.
−4 −→
−→
−→
6
0
0
E : ~x = OA + tAB + uAC = 2 + t 6 + u 3 . Wegen 1 ×
1
0
0
2
−4 2
1
1
3
= 0 = 2 0 nehmen wir ~n = 0 und finden x1 + 2x3 = 8.
2
4
2
2
d) Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Seitenkante AS gegenüber
der Grundfläche.
1 2
39 · 02 20
√
=√
sin α = √
94 · 5
470
liefert α ≈ 67,3◦ .
e) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig;
mit√der Grundseite AB = 6
√
2 + 0 2 + 22 =
und der Höhe √
CMAB =
4
20 (MAB = (6|5|1)) folgt
√
√
1
FABC = 2 · 6 · 20 = 3 20 = 6 5.
MATHEMATIK K1
Die Höhe ist der Abstand von S zur Ebene EABC .
HNF:
x1 +2x
√ 3 −8 ;
5
V = 13 Gh =
1
3
Höhe h = d(S, E) =
√
· 5 · √205 = 20
.
3
20
√
.
5
5