Statistik für Ingenieure Vorlesung 1

Statistik für Ingenieure
Vorlesung 1
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
17. Oktober 2016
1. Einführung
I
I
Situationen, Beobachtungen, Messungen, Experimente, . . . , bei
denen Ergebnisse nicht genau vorhergesagt werden können, aber
diese Unsicherheit auch nicht vernachlässigt werden kann.
Beispiele:
I
I
I
I
I
I
I
Glücksspiele;
Messung physikalischer Größen (zufällige Messungenauigkeiten);
Vorhersage der Lebensdauer von Bauteilen, Geräten;
Vorhersage von Wetter- oder Klimadaten;
Vorhersage von Aktienkursen;
Vorhersage von auszuzahlenden Beträgen bei Versicherungen.
Kleinere oder größere Datenmengen, die sinnvoll ausgewertet werden
sollten und auf deren Basis dann begründete Entscheidungen gefällt
werden müssen.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
2
Beispiel: Zeiten der störungsfreien Arbeit in Stunden zwischen
aufeinanderfolgenden Ausfällen der Klimaanlagen in Flugzeugen
(Boing 720).
Quelle: Cox & Snell: Applied Statistics, Principles and Examples;
entnommen aus Proschan (1963).
1: 413; 14; 58; 37; 100; 65; 9; 169; 447; 184; 36; 201; 118; 34; 31; 18;
18; 67; 57; 62; 7; 22; 34
2: 90; 10; 60; 186; 61; 49; 14; 24; 56; 20; 79; 84; 44; 59; 29; 118; 25;
156; 310; 76; 26; 44; 23; 62; 130; 208; 70; 101; 208
3: 74; 57; 48; 29; 502; 12; 70; 21; 29; 386; 59; 27; 153; 26; 326
..
.
8: 359; 9; 12; 270; 603; 3; 104; 2; 438
9: 487; 18; 100; 7; 98; 5; 85; 91; 43; 230; 3; 130
10: 102; 209; 14; 57; 54; 32; 67; 59; 134; 152; 27; 14; 230; 66; 61; 34
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
3
I
Eine Möglichkeit (und gängige Praxis): Quantifizierung der
Unsicherheiten mit stochastischen bzw. statistischen
mathematischen Modellen und statistischen Berechnungen.
I
Mathematische Disziplin: Stochastik“ (von griech. στ oχαστ ικóζ
”
jemand, der im Vermuten geschickt ist“).
”
In dieser Vorlesung:
I
I
I
I
Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung (zufällige Ereignisse,
Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgrößen, . . . );
Elemente der Statistik (Datenanalyse, statistische Tests, . . . ).
Wichtig: Regelmäßige aktive Teilnahme an Vorlesungen und
Übungen und selbstständiges Lernen und Üben!
(Modulbeschreibung: 45 h Präsenzzeit und 60 h Selbststudium.)
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
4
Organisatorisches
I
Vorlesung: Mo., wöchentlich, 14:00-15:30, WIN-1005
I
Übungen:
Di., gerade Woche, 7:30-9:00, RAM-1085, Dr. Wünsche
Di., gerade Woche, 14:00-15:30, RAM-1085, Dr. Chekhanova
Do., ungerade Woche, 7:30-9:00, RAM-1085, Dr. Chekhanova
Do., ungerade Woche, 18:00-19:30, GEL-0001, Dr. Chekhanova
Fr., gerade Woche, 9:15-10:45, MEI-0080, Dr. Chekhanova
I
Prüfung: schriftliche Klausur 120 Minuten.
Zugelassene Hilfsmittel: Mitschriften, Ausdrucke, Bücher,
Taschenrechner.
I
Informationen zum Modul:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/stat-ing
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
5
2. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.1 Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
I
Zufälliger Versuch (Zufallsexperiment, Zufallssituation): Vorgang
unter genau festgelegten Bedingungen, der (zumindest gedanklich)
beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang oder Ergebnis
(innerhalb einer Menge möglicher Ergebnisse) ungewiß ist.
I
Zufälliges Ereignis (kurz Ereignis): Teilmenge möglicher Ausgänge,
nach Realisierung des zufälligen Versuches muss man entscheiden
können, ob ein zufälliges Ereignis eingetreten ist oder nicht.
Versuch
Ereignis
Werfen eines Spielwürfels
Werfen einer 6“
Bsp.:
”
Kontrolle einer Warenlieferung
3 Ausschussteile
auszuzahlende Versicherungsbeträge
≤ 10 000 e
I
I
Bezeichnung der Ereignisse: A, B, A1 , A2 , Bi , . . ..
(Wichtig: Bei Lösung von Aufgaben bzw. Modellierung genaue
Definitionen der betrachteten zufälligen Ereignisse !)
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
6
Operationen mit Ereignissen, besondere Ereignisse
Geg.: zufällige Ereignisse A, B, C , A1 , A2 , . . . zu einem Zufallsversuch.
I
Zu A komplementäres
(entgegengesetztes) Ereignis
c
A = ¬A = A : tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.
I
Vereinigung A ∪ B : A oder B (oder beide) treten ein;
analog: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . : mindestens eines der Ereignisse
A1 , A2 , A3 , . . . tritt ein.
I
Durchschnitt A ∩ B : A und B treten (gemeinsam) ein;
analog: A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . : die Ereignisse A1 , A2 , A3 , . . . treten
gemeinsam (bei einer Realisierung des Zufallsversuchs) ein.
I
Sicheres Ereignis Ω : tritt immer ein (auch Ergebnisraum genannt).
I
Unmögliches Ereignis ∅ : tritt niemals ein.
I
A und B sind unvereinbar (sind disjunkt, schließen einander aus) :
sie können nicht gemeinsam eintreten, d.h. A ∩ B = ∅ .
I
Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich, A ⊆ B :
wenn A eintritt, dann tritt auch B ein.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
7
Einige Rechenregeln für Ereignisse
I
Das sichere Ereignis Ω kann als Menge der möglichen
Versuchsergebnisse aufgefasst werden, die einelementigen
Teilmengen sind dann die Elementarereignisse {ω1 }, {ω2 }, . . . .
I
Rechenregeln wie in der Mengenlehre, Skizzen können helfen.
I
Für alle Ereignisse A zu einem zufälligen Versuch gilt: A ⊆ Ω.
I
A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A (Kommutativität).
I
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C , A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
(Assoziativität).
I
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ,
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (Distributivität).
I
A ∪ Ac = Ω, A ∩ Ac = ∅.
I
Regeln von de Morgan: (analog auch für größere Anzahl)
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c , (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
8
Zerlegung (vollständiges Ereignissystem)
I
Die zufälligen Ereignisse A1 , A2 , . . . , An bilden eine Zerlegung von
Ω (bilden ein vollständiges Ereignissystem), wenn bei jeder
Realisierung des Zufallsversuches genau eines der Ereignisse
A1 , A2 , . . . , An eintritt, d.h. die Ereignisse Ai sind paarweise
unvereinbar (Ai ∩ Aj = ∅, falls i 6= j) und es gilt
n
[
A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =
Ai = Ω (Fallunterscheidung).
i=1
I
Einfachster Fall: Ω = A ∪ Ac für ein zufälliges Ereignis A .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
9
Übungsaufgabe
Die Arbeit eines Kraftwerkes werde durch drei unabhängig voneinander
arbeitende Kontrollsysteme (kurz System“) überwacht, die jedoch auch
”
einer gewissen Störanfälligkeit unterliegen. Es bezeichne Si das Ereignis,
dass das i-te System störungsfrei arbeitet (i = 1, 2, 3).
Drücken Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse S1 , S2 und S3
aus:
I
I
I
I
I
A ={ Alle Systeme arbeiten störungsfrei.“}
”
B ={ Kein System arbeitet störungsfrei.“}
”
C ={ Mindestens ein System arbeitet störungsfrei.“}
”
D ={ Genau ein System arbeitet störungsfrei.“}
”
E ={ Höchstens zwei Systeme sind gestört.“}
”
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
10
Wahrscheinlichkeiten
I
In einem stochastischen Modell wird jedem zufälligen Ereignis zu
einem Zufallsversuch eine Zahl zwischen 0 und 1 zugewiesen, die
sogenannte Wahrscheinlichkeit (für das Eintreten des Ereignisses).
I
Hintergrund: Eigenschaften der relativen Häufigkeiten
hn (A) =
Hn (A)
,
n
mit Hn (A) als absolute Häufigkeit des Eintretens des zufälligen
Ereignisses A in n unabhängigen Versuchswiederholungen.
I
Für A ⊆ B ⊆ Ω gilt 0 ≤ hn (A) ≤ hn (B) ≤ hn (Ω) = 1 .
I
Für A ∩ B = ∅ gilt hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B) .
I
Erfahrungstatsache:
Für n → ∞ konvergiert“ hn (A) oft gegen eine feste reelle Zahl
”
(Stabilisierung der relativen Häufigkeiten).
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
11
Axiome von Kolmogorow
I
I
I
Axiomatische Definition von Kolmogorow 1933.
Bezeichnung: P(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A .
Axiome:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 ;
2. P(Ω) = 1 ;
3. P(A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . , falls die Ereignisse Ai
paarweise unvereinbar sind, d.h. Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j).
I
I
Bemerkung: Jede Zuweisung der Wahrscheinlichkeitswerte zu
den zufälligen Ereignissen zu einem Zufallsversuch, die diese Axiome
erfüllt, ist aus mathematischer Sicht korrekt (unabhängig davon, ob
sie die Realität gut beschreibt).
Folgerungen:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B), falls A ∩ B = ∅ (Additionssatz);
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ;
P(Ac ) = 1 − P(A) ;
A⊆B
⇒
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
P(A) ≤ P(B) .
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
12
Beispielaufgabe
Für die Ereignisse A und B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:
P(A) = 0.25 , P(B) = 0.45 , P(A ∪ B) = 0.5 .
Berechnen Sie P (A ∩ B c ) , P (Ac ∩ B c ) und P ((A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B)) !
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
13
2.2 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
(Laplace-Modell)
I
Gilt für Zufallsversuche mit
I
I
I
Beispiele:
I
I
I
endlich vielen möglichen Versuchsergebnissen (n elementare
Versuchsausgänge oder Elementarereignisse),
die alle gleichwahrscheinlich sind (keines wird bevorzugt, alle haben
dieselbe Chance einzutreten).
Würfeln mit einem fairen oder gerechten Würfel,
n = 6, Elementarereignisse sind {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} .
Zahlenlotto 6 aus 49“ ,
”
n = Anzahl der möglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen.
Aus den Axiomen für Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige
mögliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation
(die sogenannte klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition).
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
14
Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
I
Für jedes der n Elementarereignisse gilt unter obigen Bedingungen:
P(Elementarereignis) =
I
1
.
n
Für ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen:
Anzahl der Elementarereignisse in A
bzw.
n
Anzahl der für A günstigen Fälle
P(A) =
.
Anzahl aller möglichen gleichwahrscheinlichen Fälle
P(A) =
I
I
Beispiel: Zweimaliges Würfeln mit einem fairen Würfel,
A = { Augensumme mindestens 10“} .
”
Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der
klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische
Formeln genutzt.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
15
2.3 Stochastische Unabhängigkeit
Definition:
I Zwei zufällige Ereignisse A und B zu einem Zufallsversuch heißen
(stochastisch) unabhängig, wenn gilt
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) .
I
Zufällige Ereignisse A1 , . . . , An zu einem Zufallsversuch heißen
paarweise unabhängig, falls alle Paare von ausgewählten Ereignissen
unabhängig sind, d.h.
P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai ) · P(Aj ) für alle i 6= j .
I
Diese Ereignisse heißen in Gesamtheit oder total oder vollständig
(stochastisch) unabhängig, falls eine entsprechende Formel für alle
möglichen Auswahlen (nicht nur von Paaren) gilt, d.h. für alle
2 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n gilt
P(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 ) · . . . · P(Aik ) .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
16
Beispiel und Eigenschaften unabhängiger Ereignisse
I
Beispiel: Zweifacher Münzwurf mit symmetrischer Münze
A = { 1. Wurf Zahl“}, B = { 2. Wurf Zahl“},
”
”
1
1
1 1
1
P(A) = , P(B) = , P(A ∩ B) = = · .
2
2
4
2 2
I
Satz A und B seien unabhängige Ereignisse zu einem
Zufallsversuch. Dann sind auch die zufälligen Ereignisse A und das
Komplement von B, also B c , stochastisch unabhängig. Ebenso
sind in diesem Fall Ac und B sowie auch Ac und B c jeweils
stochastisch unabhängige Ereignisse.
I
Aus der paarweisen Unabhängigkeit der Ereignisse A1 , . . . , An folgt
im Allgemeinen nicht deren totale Unabhängigkeit.
I
Die Unabhängigkeit von Ereignissen (im Allg. die totale) wird der
Einfachheit halber häufig vorausgesetzt, gezwungenermaßen oft
auch dann, wenn sie sachlich schwer begründbar ist.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
17
Anwendung in Zuverlässigkeitstheorie
Betrachten Serien- (Reihen-) und Parallelsysteme von Elementen
(Bauteilen, Teilsystemen etc.), die vollständig unabhängig voneinander
funktionstüchtig sind oder ausfallen.
I
I
2 Elemente E1 , E2 , Fi = { Element Ei funktioniert“} ,
”
P(Fi ) = pi , Fi stochastisch unabhängig (i = 1, 2) .
Das Seriensystem funktioniert, wenn sowohl E1 als auch E2
funktionieren, d.h. der Ausfall bereits eines Elements zum
Systemausfall führt:
P(F1 ∩ F2 ) = P(F1 ) · P(F2 ) = p1 · p2 .
I
Das Parallelsystem funktioniert, wenn E1 oder E2 oder beide
Elemente funktionieren (mindestens ein Element funktioniert):
P(F1 ∪ F2 ) = 1 − P (F1 c ∩ F2 c )
= 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 ) = p1 + p2 − p1 · p2 .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
18
Redundante Systeme
I
Seriensysteme aus vielen Elementen erfordern oft eine sehr hohe
Funktionswahrscheinlichkeit der Arbeitselemente, die meist nicht
realisierbar ist. Deshalb werden Reserveelemente eingebaut.
I
Das entstehende System ist dann kein Seriensystem mehr und ist
strukturell redundant (lateinisch: redundantia = Überfülle).
Es gibt 3 Arten der strukturellen Redundanz:
I
I
I
I
Kalte Redundanz (unbelastete Redundanz oder Reserve):
Im Reservezustand sind die Elemente keinerlei Beanspruchungen
ausgesetzt, können also nicht ausfallen.
Warme Redundanz (erleichterte Redundanz oder Reserve):
Die Reserveelemente sind geringeren Beanspruchungen ausgesetzt, die
Ausfallwahrscheinlichkeit ist geringer als die der Arbeitselemente.
Heiße Redundanz (belastete Redundanz oder Reserve):
Die Reserveelemente sind den gleichen Beanspruchungen ausgesetzt
wie die Arbeitselemente, besitzen also auch entsprechende
Ausfallwahrscheinlichkeiten.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik für Ingenieure Vorlesung 1
Geändert: 19. Dezember 2016
19