Y}I - Scorpionmezcal | Prime Brands

A. OSTROWS KI
AUFGABEN SAMMLUNG ZUR INFINITESIMALRECHNUNG
BAND!
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 28
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
AUFGABENSAMMLUNG
ZUR INFINITESIMALRECHNUNG
von
A.OSTROWSKI
Professor an der Universität Basel
Erster Band
FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
SPRINGER BASEL AG 1964
ISBN 978-3-0348-4072-9
ISBN 978-3-0348-4146-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-4146-7
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der übersetzung in fremde Sprachen und der
Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1964
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel, 1964
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1964
VORWORT
Die vorliegende Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung ist aus den
Aufgaben entstanden, die in der ersten Auflage meines Lehrbuchs der Differential- und Integralrechnung enthalten waren. Diese Aufgaben waren dort ohne
Lösungen angegeben, und ich wurde seitdem von vielen Seiten angegangen, in
der neuen Auflage den Aufgaben auch Lösungen beizugeben. Es konnte leider
diesem Wunsche nicht entsprochen werden, um den Umfang des Lehrbuchs
nicht über Gebühr anwachsen zu lassen. So habe ich mich entschlossen, diese
Aufgaben aus dem Lehrbuch überhaupt herauszunehmen und mit Lösungen,
von neuem durchgearbeitet, gesondert erscheinen zu lassen.
Ich habe dies um so lieber getan, als es scheint, daß eine so angelegte Aufgabensammlung eine Lücke in der Lehrbuchliteratur ausfüllen könnte. In der
Tat wird in allen mir bekannten Aufgabensammlungen an der herkömmlichen
Trennung zwischen der Differential- und Integralrechnung festgehalten, während in dieser Sammlung der Integralbegriff an die Spitze gestellt wird. Um die
Verwendung des Buches auch denjenigen zu ermöglichen, die ein anderes Lehrbuch der Infinitesimalrechnung benutzen, ist jedem Abschnitt eine kurze Einleitung vorangestellt, in der der Hintergrund an Begriffen und Formeln zusammengestellt wird, von dem aus die Aufgaben anzupacken sind.
Was die Ausführlichkeit der Lösungen anbetrifft, so findet man in der Literatur entweder Sammlungen, in denen jede Aufgabe in aller Ausführlichkeit
gelöst wird, wie zum Beispiel das ältere Übungsbuch von Schlämilch oder die
neueren Übungsbücher von Julia, oder solche, in denen im allgemeinen nur die
numerischen Werte oder Ausdrücke der Lösungen angegeben werden, im
wesentlichen ohne Andeutungen über den Lösungsweg. Hier wurde nun versucht, die "goldene Mitte" zu finden. Einerseits habe ich mir stets die Bedürfnisse eines durchschnittlichen Studenten vor Augen gehalten, andererseits
mußte man auf Kürze bedacht sein. In welchem Maße es mir gelungen ist, das
für das Gros der Benutzer des Buches Richtige zu finden, muß der Erfolg zeigen.
Wer ein mit ausführlicheren Lösungen versehenes Aufgabenbuch benutzt,
muß mit der ständigen Versuchung rechnen, vorzeitig nach den Lösungen zu
greifen, womit ja die Nützlichkeit der Übung kurzschlußartig zunichte wird.
Um hier dem Studierenden doch noch eine weitere Chance zu geben, werden die
Lösungen in zwei Etappen angegeben. Auf den ersten Teil des Buches, der Aufgaben enthält, folgt der "Hinweise" betitelte zweite Teil, mit Angaben, die
dem Lösenden den Weg anzeigen, ohne jedoch die vollständige Lösung zu enthalten. Entweder werden dabei die einzuführenden Ausdrücke angegeben, oder
der Ansatz wird kurz charakterisiert, oder ein Teil der Zwischenrechnungen
durchgeführt, oder es wird auf frühere Aufgaben oder Lösungen verwiesen, die
heranzuziehen sind. Die Ergänzung dieser Angaben zu vollständigen Lösungen
findet man im dritten, "Lösungen" betitelten Teil des Buches. So hoffe ich,
dem Studierenden den Weg zur Aneignung der Technik des Kalküls sowie der
dem Stoffe eigentümlichen Schlußtechnik geebnet zu haben.
Der hiermit vorliegende erste Band des Übungsbuches ist der Auswahl des
Stoffes nach dem ersten Band meines Lehrbuchs angepaßt. Den zweiten Band
hoffe ich innerhalb Jahresfrist fertigzustellen.
Für die freundliche Hilfe bei der Korrektur danke ich den Herren K. Goetschi
und Dr. E. Hameister. Dem Verlag habe ich für das freundliche und geduldige
Eingehen auf zahlreiche Wünsche besonders zu danken.
A. Ostrowski
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
Vorwort.
Abkürzungen .
5
8
Aufgaben Hinweise Lösungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Grundeigenschaften der reellen Zahlen
Körpereigenschaften der reellen Zahlen .
Ungleichungen.
Der Funktionsbegriff .
Nullfolgen
Grenzwerte von Zahlenfolgen
Spezielle Sätze und Methoden in der Theorie der konvergenten Zahlenfolgen .
8. Unendliche Reihen.
9. Grenzwerte von Funktionen eines stetigen Arguments
10. Stetige Funktionen.
11. Trigonometrische Funktionen .
12. Definition des bestimmten Integrals
13. Elementare Eigenschaften des Integrals.
14. Die Ableitung.
15. Der Zusammenhang zwischen der Ableitung und dem Differenzenquotienten einer Funktion.
16. Die Fundamentalsätze der Infinitesimalrechnung.
17. Ableitungen rationaler Verbindungen gegebener Funktionen
18. Umkehrung monotoner Funktionen
19. Die Kettenregel und ihre Anwendungen.
20. Partielle Integration und Variablensubstitution
21. Der Logarithmus und die Exponentialfunktion. Allgemeine
Ungleichungen.
22. Differential- und Integralformeln mit Logarithmus- und Exponentialfunktionen. Hyperbolische Funktionen
23. Integration rationaler Funktionen
•
•
24. Anwendungen der ersten Ableitung. Monotonie
25. Anwendungen der ersten Ableitung auf die Bestimmung der
Extrema und der Grenzwerte der unbestimmten Ausdrücke
26. Höhere Ableitungen. Anwendungen der zweiten Ableitung
27. Darstellungen von Kurven, Tangente und Normale.
28. Bogenlänge .
• •
29. Potenzreihen für den Logarithmus und den Arcustangens •
30. Die Taylorsche Formel .
•
9
11
16
24
27
29
135
135
137
140
141
141
195
195
199
208
210
211
32
35
40
44
47
55
57
59
142
143
145
147
147
150
151
151
213
217
221
225
227
236
237
239
60
62
63
67
71
76
151
152
152
154
155
157
240
241
242
244
248
254
84
161
265
93
97
101
165
167
173
275
282
288
106
115
121
126
129
130
176
181
187
189
190
190
296
312
322
327
331
332
ABKÜRZUNGEN
AbI. Ableitung
Arg. Argument
Beh. Behauptung,
behaupten
Bew. Beweis, beweisen
B.U. Bernoullische
Ungleichung
bzw. beziehungsweise
der, die, das
d.
d. h. das heißt
Div. Divergenz,
divergieren
ein, eine, eines
e.
f.
Fig.
Fkt.
GI.
Int.
für
Figur
Funktion
Gleichung
Integral,
integrieren
Konv. Konvergenz,
konvergieren
MWS Mittelwertsatz
neg. negativ
NF
Nullfolge,
N ullfunktion
m.
man
OBdA Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
Pkt. Punkt
pos. positiv
Stet. Stetigkeit, stetig
u.
und
UngI. Ungleichung
von
v.
v. Ind. vollständige
Induktion
vgl. vergleiche
Im allgemeinen bedeutet n eine beliebige natürliche Zahl, m eine beliebige
ganze Zahl.
Verweise auf Aufgaben, Hinweise oder Lösungen aus einem Paragraphen
werden in folgender Weise angegeben: A 5a) § 7, H 5a) § 7, L 5a) § 7. Die Paragraphenbezeichnung wird weggelassen, wenn es sich um den Paragraphen
handelt, zu dem der Verweis gehört.
§ 1. Grundeigenschaften der reellen Zahlen
Um exaktes Schließen in der Analysis zu gewährleisten, werden gewisse
Eigenschaften der reellen Zahlen vorweg zusammengestellt, so daß alle weiteren
analytischen Tatsachen letzten Endes auf die in dieser Zusammenstellung
aufgeführten sich zurückführen lassen. Die folgende Tabelle der Grundeigenschaften ist für die einführende Behandlung des Gegenstandes ausreichend,
wenn sie sich auch bei tiefergehender Untersuchung noch bedeutend weiter
reduzieren läßt.
I. Grundeigenschajten der Gleichheitsbeziehungen
1. a= a (Reflexivität).
2. Aus a = b folgt b = a (Symmetrie).
3. Aus a = b, b = c folgt a= c (Transitivität).
I I. Grundgesetz der natürlichen Zahlen
(Vollständige Induktion, Schluß von n auf n
+ 1)
Ist von einer Aussage E über eine allgemeine natürliche Zahl n bekannt, daß sie für n = Po zutrifft und daß ferner aus ihrer Gültigkeit für
ein natürliches P ~ Po stets ihre Gültigkeit für P
1 folgt, so trifft E für
alle auf Po folgenden natürlichen Zahlen zu.
+
111. Körpereigenschajten der reellen Zahlen
1. Kommutative Gesetze der Addition und Multiplikation:
+
+
a2 = a2
al, al a2 = a2 al .
Allgemein hängen die Summe al
an und das Produkt al ... an
auch für n > 2 nicht von der Reihenfolge der Größen al, ... , an ab.
2. Assoziative Gesetze der Addition und Multiplikation:
(al
a2)
a3 = al
(a2
a3), (al a2) a3 = al (a2 a3)
und allgemeiner auch für n > 3 :
, al
+
al
+
+ ... +
+
+
+ ... + am + am+l + ... + an =
+ (am+l + ... + an) ,
(al
+ ... + am) +
al'" amam+l ... an = (al'" am)' (am+l'" an).
3. Distributives Gesetz der Addition und Multiplikation:
+ ... +
+ ... +
+
b(al
an) = baI
ban.
4. Subtraktion: Die Gleichung x
a = b ist für alle a und b eindeutig
nach x auflösbar: x = b - a; a - a = 0 ist unabhängig von a.
5. Division: Es gibt Zahlen a =1= O. Für a =1= 0 ist x . a = b eindeutig nach
x auflösbar: x = b/a; a/a = 1 ist unabhängig von a(a =1= 0).
10
A § 1. Grundeigenschaften der reellen Zahlen
IV. Größeneigenschatten der reellen Zahlen
1. Anordnung: Aus a =1= b folgt entwedera > b, b < a oder b > a, a < b;
aus a> b folgt für jedes c: a
c> b
c; aus a > 0, b> 0 folgt
ab>
+
o.
+
2. Transitivität: Aus a > b, b > c folgt a > c.
3. Archimedi8che Eigenschaft: Aus a > 0, b > 0 folgt für ein gewisses
n . a > b.
natürliches n:
4. Trennungsaxiom. Es seien A und B zwei Mengen von Zahlen derart,
daß für jede Zahl a aus A und jede Zahl baus B die Relation a ~ b gilt.
Dann gibt es wenigstens eine Zahl 8, die die Mengen A und B <<trennt),
in dem Sinne, daß für jedes a aus A und jedes baus B gilt: a ~ 8 ~ b.
Mehrere Ungleichungen der Form al > 0, ... , an > 0 werden oft wie folgt
zusammengefaßt: al, ... , an > o.
Als besonders bedeutungsvoll für das mathematische Schließen sei hier noch
das Grundgesetz der natürlichen Zahlen- das Gesetz der vollständigen Induktion (v. Ind.) - hervorgehoben. Der Einübung der Methode der vollständigen
Induktion dienen die Aufgaben dieses Abschnitts.
1. Man beweise
1
+ q + q2 + ... + qn =
1-
qß+1
1_ q
(q
=1=
1),
2. Man beweise
3. Man beweise
12
+ 22 + ... + n 2 =
n (n
+ 1)6(2 n + 1)
4. Man leite aus der Relation der Aufgabe 1 die folgende Relation her:
aß-b ß
a-b =
a n- l
+ a n- 2b + ... + bn- l
(n> 1).
5. Man beweise durch vollständige Induktion: Unter n gegebenen Zahlen
al, a2, ... ,an gibt es stets eine größte (d. h. eine solche, die von keiner andern
übertroffen wird), sowie eine kleinste (d. h. eine solche, die von keiner andern
unterschritten wird).
6. Ist nl, n2, ... eine beliebige Menge natürlicher Zahlen, so gibt es in dieser
Menge eine kleinste Zahl.
7. Man leite das Grundgesetz der vollständigen Induktion aus der in der
Aufgabe 6 formulierten Tatsache her.
8. Gilt für n > 2 Zahlen al, a2, ... , an:
so gilt auch al < an.
11
A § 2. Körpereigenschaften der reellen Zahlen
§ 2. Körpereigenschaften der reellen Zahlen
Die Körpereigenschaften der reellen Zahlen beziehen sich auf die direkte Ausführung der vier arithmetischen Rechenoperationen. Kommutativitäts- und Distributivitätsregeln geben die Grundlage für algebraische Umformungen ab, die
an Hand der Aufgaben dieses Paragraphen einzuüben sind. Besonders wichtig ist
dabei der richtige Gebrauch des Summen- und Produktzeichens,
und
.L
(J
Es ist daran zu erinnern, daß das Symbol
rr .
.L bedeutet: Man setze für den «Sum-
V=(X
mationsbuchstabem} 'V alle ganzen Zahlen mit oe ~ 'V ~ ß ein, die also zwischen
den «Summationsgrenzen >} oe und ß liegen, und summiere. Für oe > ß bedeutet
das Symbol o. Läuft der Summationsbuchstabe über nicht notwendig ganzzahlige Werte, so müssen solche Werte in geeigneter Weise entweder in der
Formelzeile oder im Text charakterisiert werden. Der Summationsbuchstabe
kann «transformiert>} werden, indem man etwa 'V = q;(fl) setzt, wobei jedem
Wert von 'V im Summationsintervall genau ein Wert aus dem «entsprechendem}
fl-Intervall entspricht und umgekehrt. Ferner gilt z. B.
(J
(J
(J
.L a +v=o::
.L b,. = .L (a + b
p
p
p) •
V=/X
Analoge Bemerkungen gelten für das Produktsymbol
rr.
1. Es sind möglichst einfache numerische Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten von der Form
+ boy = Co,
alx + bly = Cl
aox
anzugeben, die
a) keine Lösung,
b) genau eine Lösung,
c) genau zwei Lösungen
besitzen.
2. Man stelle die folgenden Ausdrücke als Produkte jeweils zweier in x
linearer Faktoren dar:
a) x 2 -
3. Ist y
ax+b
= c·;; + d'
5x
+ 6,
b) x 2
6xy
-
.
..
..
so 1st x durch y auszudrucken; ebenso fur y
4. Der folgende Ausdruck ist von c unabhängig:
(x
+ C)2 + (y + C)2 + (z + C)2 -
5. Die Ausdrücke
a)
+ 8 y 2.
(x (x
1)2 (x
(x
+ 2)
+ 1)2 (x -
+ c) (y + c) -
2) ,
(y
+ c) (z + c) -
X 2 (X 2 -
(z
ax+b
b x-a .
+ c) (x + c).
25)
b) (x2 _ 9) (x2 - 16)
sind in der Form -11.±.Y darzustellen. Welche Gestalt hat jeweils y 1
-y
=
12
A § 2. Körpereigenschaften der reellen Zahlen
6. Die Konstanten a, b, c sind so zu bestimmen, daß
x
abc
=
--;-(x-------=-:I)---;(x-----:-+---=I-:-)-;-(x-+:-2)
x-I
+ x +1 + x +2
ist.
7. Man bestimme die Konstanten a, b, c, d so, daß
x3
(x 2
ist.
ax
+ 4) (x -
1)2 =
x2
+b
c
d
+ 4 + (x-l)2 + x - I
8. Man beweise
(n
~
1).
(Man beachte, daß x 2' nicht etwa (x 2)" = x 21' bedeutet, sondern x(2V ) ) .
* * *
9. Man beweise, wenn keine der Differenzen ÄI' Identität
ÄI
ÄI'+1
verschwindet, die
Äl+ Ä2
+ 2Ä2 + ... + 2Än + Än +1 = ÄI -,---------,--+ Ln ÄI' (ÄV+Ä,+l
Ä
Ä
"1.l-"2
, - '+1
.~2
,
-
J1.n+1
.=1
-
I' -
'Y)
I
+
(l(1
1)1 -
1)2
Ln
.~2
'Y}I'
+
( - -(l(.- - 1). -
.-1-.
Än
Än +1
•
Än -Ä n +1
10. Man beweise für 2n + 1 beliebige Zahlen OCI, ••• ,
keine der Differenzen 'Y}I' - 'Y}1'+1 verschwindet, daß
Ln oc
ÄV-l+Ä,)
Ä
Ä-
1),+1
(l(,-1
1).-1 -1),
OCn; 'Y}l, ••• , 'Y}n+b
) -
wenn
(l(n
'Y}n
+1---1)n -
1)n+1 •
11. Beweise durch v. Ind. die Relation
(1
+ x) (1 + x 2) ••• (1 + x 2n ) = ,~O
TI (1 + x2') =
n
12. Beweise für n
va
n (
13. Beweise für n
= 0, 1, 2, ...
1
2) =
t
+ t2V + t-2'
1
-
x
2 n+1
1- x
+ 1 t 2n+1 - 1
1 t 2n+1 + 1
t -
(n
(t "" 1).
= 0, 1,2, ...
n t 3' + t-3' + 1
,~ 0 t 3• + t- 3' - 1 -
TI
-
t
+1
t -
t 3n+1 -
1 t 3n+1
14. Welchen Wert hat
100
L (5'11+2)21
,~1O
1
+1
= 0, 1,2, ... ) .
(t "" 1).
13
A § 2. Körpereigensmaften der reellen Zahlen
15. Läßt sich an Hand der Lösung der Aufgabe 3 eine Gleichung vom Typus
Y = : : : ; für alle Werte von a, b, e, d und y nach x auflösen
.
2x+ 2
1(Vgl. die
)
GleIchung ~ = 1.
.
. 1, so 1st
. auch az
+ db.lITatlOna
.
1,wenn a, b,e, d ratlOna
.
lSin
' d
16. I st Z lITatlOna
cz +
und ad - be =1= 0 ist.
m, n natürliche Zahlen, ist Vm irrational, so zeige, daß a) Vm + Vn,
b) Vm + Vn irrational sind. (Man beachte, daß das Symbol va für a > 0 den
17. Sind
positiven Wert bedeutet.)
18. Bilden al, a2, ... ,an eine arithmetische Progression (Reihe), so gilt
1
Val
+
+ Va 2
1
+ Va + Vaa + ... +
2
1
Van-l
+ Van
n-l
Val + Van •
19. Esseiuo=a, ul=ax+b, u2=ax2 +2bx+e, u3=ax3 +3bx2 +
3 ex
d. Man beweise, daß dann der Ausdruck
+
von x unabhängig ist.
U~U3 - 3UOUl U2
+ 2u~
20. Die folgenden Ausdrücke sind in der Form
(ax
+ by)2 + (ex + dy)2
mit konstanten a, b, e, d darzustellen:
+ 2 x Y + 2 y2 ,
b) x 2 + 2 x JJ + 5 y2 ,
a) x 2
c) 2x2 - 5xy
21. 5x2 - 4x
darzustellen.
+ 7 y2.
+ 8 ist in der Form
(ax + b)2 + e2
+ x y + y2 = 0, so ist x = Y = O.
Gilt x 3 + y3 = 0, so folgt x + y = O.
Gilt x 3 + y3 + z3 - 3xyz = 0, so folgt, daß entweder x + y + z =
22. Gilt x 2
23.
24.
oder x = y = z ist.
IX
+
+
25. Gilt U IX
V ß = 0, V IX
W ß = 0, W IX
0 oder U = V = W = o.
+ ß=
+ Uß=
0, so ist entweder
26. Man beweise, daß für positive x, al, ... , an die Relation gilt:
xLn
• = 2 (al
al· .. a.-l
+ x) •.• (a. + x)
__
a_l_ _ --;----;-_alc--"_.a;-n-------:--------;al
x
(al
x) '" (an x)
-
+
+
+
0
(n> 1) •
14
A § 2. Körpereigensmaften der reellen Zahlen
27. Man bestimme für x, Al. ... , An >0 die folgende Summe in geschlossener Form:
28. Beweise durch vollständige Induktion die Relationen:
I
a) "2
sin(n+~)x
+ cosx + cos2x + .. , + cosnx =
2sin ~
2
sin2nx
b) cosx+cos3x+"·+cos(2n-1)x= 2sinx
29. Man setze u,. = a,. (al
(n
~
I),
(n~l).
+ a2 + ... + a,.); dann gilt
2'~IU" =
Ctl ,.y +.tl
a
a;.
(Catalan.)
30. Beweise
31. Man beweise
sinx
=
3n sin~
3n
2x
I + 2 cos 3-
TIn
.=
3
1
(n::2: I).
32. Man beweise
= TI
n
sinx
5 n sin~
5n
3x
x
1+4cos-;5Vcos-;5V
5
.=1
33. Beweise durch v. Ind. für n = 0, I, 2, ".
(I -
x 2n+l)
fr (I _
x 2') =
2
• =0
(I _ x)
fr (I +
.=0
x 2' (I-X 2')) •
2
34. Beweise
xan_1
x-I
=
n-l
TI (x a• + xa' + I) .
•= 1
35. Es sei allgemein für n = 1,2, ...
a n+l =
Ist bl
~ al
an+ bn
2
> 0, und setzt man
2•
15
A § 2. Körpereigenschaften der reellen Zahlen
ßsin tp
a n +l=--'-,
so gilt
ßsin tp
=----~
2 n sin 'P
bn+l
2 n tg!E-
2n
(n
~
I).
2n
(Borchardt. )
36. Man bestimme den Wert des Produkts
TI (I - ~-).
v=2
v
37. Man bestimme den Wert des Produkts
n
IT v -!..=2'11 +1.
3
3
38. Beweise
n
1
n+m (
)
IT
=IT
1-~- .
• =11+~- v=m+l
v+c
v+c
39. Gilt
ab(a 2
und setzt man
+ b2) =
cd(c 2
+ d 2),
x=a+b+c+d
y=a+b-c-d
z=a-b+c-d
u=a-b-c+d,
so folgt
xy(x 2
+ y2) =
ZU(z2
+ u 2).
40. Sind xl, ... , X n positiv, und setzt man
Xv -
X v +1
yp=-+
-(v=1, ... ,n-1),
Xv
X +1
v
so gilt
n
IT (I • =1
Yn
Xn- Xl
=
Xn
+ Xl
'
n
yp)
= v=1
IT (I + yp) .
41. Man definiere für n = I, 2, ... und v = 0, I, ... den Ausdruck (:) durch
( n)= n(n-1) ... (n-v+1)
v
Dann gilt für
'11=
v!
(v
=
1,2, ... ).
0, I, ...
n)
a) ( v + 1
=
1) = ( nv ) n'11+1
+.-!:. .
b) (n +
'11+1
(n)n-v
v V+l'
42. In den Bezeichnungen von A. 41 gilt
(: ) + (v ~ 1) = (: ~ D
(n
=
1,2, ... ;
'11=
0, I, ... ).
16
A § 3. UngleicllUngen
§ 3. Ungleichungen
Lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten werden aufgelöst, indem man
die Unbekannte isoliert. Dabei darf man nicht vergessen, daß bei der Multiplikation mit einem Buchstabenausdruck eine Fallunterscheidung nicht zu vermeiden ist, die den verschiedenen Vorzeichenmöglichkeiten Rechnung trägt.
Systeme von Ungleichungen mit zwei Unbekannten werden am besten graphisch
behandelt, indem für jede einzelne Ungleichung ihr Gültigkeitsbereich in der
x-y-Ebene abgegrenzt wird.
Allgemeine Ungleichungen:
Die Bernoullische Ungleichung (BU),
(n=1,2, ... ;a~-1).
(l+a)n~l+na
Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel
(al'
~
0)
oder allgemeiner für positive Gewichte PI, P2, ...
aipl
+ a2p2 + ... + anPn >
PI + ... + Pn
=
P , ••• a P"
VaI
n·
p,+···+pn
1, a > 0
0, a = o. Wird der absolute Be-1, a < 0
= a sgn a eingeführt, so gelten die Dreiecksungleichungen
Wir benutzen die Bezeichnung sgn a
=
1
Ial
la + b I ~ Ia I + Ib I' laI + ... + an I ~ Iall + Ia21 + ... + Ian I'
trag durch
la-bl~lal-lbl·
Um eine angenäherte Gleichheit auszudrücken, benutzen wir das Symbol :::::::1.
Der Fehler der Näherung a von oc ist Ia - oc I, der relative Fehler dieser
Näherung ist lal:t l bzw. lal:1ot l , je nachdem ob auf den genauen Wert oc
oder auf den Näherungswert a bezogen.
1. Für welche x gilt:
3-x<4-2x,
b) 2x -17 < 13 + 6x,
a)
2. Für welche x und y gilt
a)
b)
c)
c)
d)
+
3 x2 -
10 x
+3 ~ 0,
6x2-13x+6~0?
x - y > 2, x
y < 4;
x+y>l, x+2y<2, y+2x<2;
(x-3y+1)(2x+y-1»0?
17
A § 3. Ungleichungen
3. Es sei
< ß< Y <
IX
b. Wann ist
(x -
a)
(x - ß) (x - y) (x - b)
IX)
~
0,
3x y
2 yZ ~ 0 ,
xy yZ ~ 0,
5 x Y 6 yZ ~ 0,
y2)Z - (2x 2y - 1)2
~
(x - ~x (x - y) (x -
b)
~) > 0 ?
15) =
.
4. Für welche Zahlenpaare x, y ist
2 xZ
5. Für welche x, y gilt
a)
xZ -
b)
XZ
c)
d)
xZ -
(X Z
±
+
+ 7 Y < 15 Y + 8 ?
+
+
+
+
O?
6. Für welche x, y ist
XZ -
yZ
>
x - 2 Y < 1, Y - 2 x < 1 ?
1,
7. Für welche x ist
1
1
a) 1_x<I+2x,
b) l+x<l_x'
2x - 1
1
1
d) 3< 3-2x <2'
e)
8. Es sei a
>
~x - 1
3 - 2x
c)
1
1- x ~
x
1- 2'
2?
< .
O. Für welche x gilt
Va+x>x?
=
9. Es sei a> O. Aus y
10. Man bestimme a ±
2
11. Man beweise
Va
lai
+x>
für a
Ix -lXI =
x folgt Va
~0
+ y > y.
und für a
Vx L ...::-2ax
~ O.
+ cX2.
12. Man zeichne die Örter
a)
y=2I x - 1 1-lx- 2 1,
b)
Ixl/yl=1.
13. Die folgenden Ungleichungen sind graphisch aufzulösen:
a) 2x z +y2>1,
b) Ixl+lyl<l,
+ 1y + 11 ~ 1,
Y 12 - I x + y IZ ~ 1.
d) 1x-li
f)
1x
14. Ist al
~
az
~
...
~
an-l
~
c) Ixl+5Iyl<5,
e) x Z - 21 y I > 1,
an und gilt al = an, so sind alle a p gleich.
15. Man bestimme den geometrischen Ort aller Punkte (x, y) mit
Ix- 1 1-ly- 2 1<5.
ostrowski, Aufgabensammlung, Band I
18
A § 3. Ungleichungen
16. Sind x und n natürliche Zahlen, so gilt für x > 103n :
(~r <
10- n •
17. Für alle n;;:;; 10 gilt 2 n > n 3 •
18. Für 0 < a < 1 gilt
(1 - a)n;;:;; 1 - na.
19. Wenn eine geometrische und eine arithmetische Reihe dieselben ersten
und dieselben zweiten Glieder haben: (Xl und (X2, (Xl > (X2 > 0, so ist jedes
folgende Glied der geometrischen Reihe größer als das entsprechende Glied
der arithmetischen Reihe.
20. Man beweise:
)n > 1 - -1
( 1 - 1n2
21. Man beweise:
1
( 1+11:-=-1
(n> 1).
n
)n-l < (1+--:;:1 )n
(n> 1).
22. Für a> 1 gilt:
>;;-
a-l
(n> 1).
0< Va - 1 <-n-
23. Es gilt die Ungleichung:
an -
bn
na n- l > - - - - > nb na-b
I
(a> b > 0; n> 1).
24. Ist für v = 1, ... , n: (Xv > 0, so gilt für n ;;:;; 2
(1 + (Xl) (1 + (X2) ... (1 + (Xn) > 1 + ((Xl + ... + (Xn) .
25. Istfürv=I, ... ,n: O<(Xv<l, sogiltfürn;;:;;2
(1 - (Xl) (1 - (X2) ... (1 - (Xn) > 1 - ((Xl + ... + (Xn) •
a
c
""
26. Aus "b- < ([ folgt fur b > 0, d > 0, daß
a
a
+c
c
lJ<b+d<([
ist.
27. Ista>Oundb>O,sogilt
a
b
T+-;;;;:;;2.
aV
28. Ist 0< a < 1 oder a> 1, so ist die Zahlenfolge 1 + a2v für v = 1,2, ...
eigentlich monoton fallend.
19
A § 3. Ungleichungen
29. Giltocß'*O,
O<r<l,
-1
tX
~ -ß- ~
r,
so folgt
30. Beweise
31. Beweise, unter Verwendung von A. 30,
x
32. Beweise
4-t yt~ >
2
(x +y
2
=
+2 y8 > (X +~)
2
x8
=
33. Beweise für nicht negative x, y
x31~ ~
34. Beweise für a, b > 0:
~9
a5
(aoc
8
•
(x 1y~y.
+ b59 >
+b =
35. Beweise für reelle Zahlen a, oc, b,
)4 .
a
2b 2
ß die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
+ b ß)2 ~ (a 2 + b2) (oc 2 + ß2).
36. Beweise für a, oc, b, ß ~ 0:
V(a +b)(oc
+ ß) ~ Vaoc + Vbß·
37. An Hand des Wertes Log 2 = 0,30103 ist vtog 2 möglichst genau zu
berechnen.
38. Welche Stellenzahl hat 2 63 ?
39. Berechne den relativen (prozentualen) Fehler der Näherung 272 =:J
'J1;.
40. Die Zahlen a > 0 und b > 0 mögen mit 2 % bzw. 3 % Genauigkeit bekannt sein, wobei sich die Prozentangaben auf die wahren' Werte beziehen.
Mit welcher Genauigkeit lassen sich
ab
und
bestimmen?
a
+b
41. Es möge a ein numerisch gemessener Näherungswert von x sein, wobei
der Fehler höchstens 9 % von x beträgt. Wieviel Prozent von a kann dann der
Fehler höchstens betragen?
42. Eine Messung liefert für x und y angenähert
x =:J 72
2·
und
y =:J 150,