Die Abgabe für dieses Übungsblatt erfolgt am Dienstag, den 1. Juni

FAKULTÄT FÜR
MATHEMATIK
Dozent
Übung zur Veranstaltung
PD Dr. Lutz Strüngmann
Verantworlicher
Elementargeometrie (Sommer 2010)
Übungsgruppenleiter
Dr. Stefan Friedenberg
Übungsgruppenleiter
Miriam Lohse
Melanie Jasper
Martina Velten
Alfred Skambraks
Marcel Rohlf
Daniel Peters
Alle Informationen finden Sie unter
www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml bzw.
http://moodle.uni-duisburg-essen.de/course/
ÜBUNGSBLATT NR. 6
Die mit (H) gekennzeichneten Übungen sind als Hausaufgaben gedacht. Für diese können
Sie in der kommenden Woche eine Musterlösung im Netz finden.
Die Abgabe für dieses Übungsblatt erfolgt am Dienstag, den 1. Juni 2010 in der
Vorlesung.
Bitte denken Sie an das Deckblatt !!!
In der Vorlesung kamen die Kongruenzsätze vor. Besprechen Sie diese
zunächst.
Aufgabe 1
Lösen Sie die folgenden Aufgaben konstruktiv mit Zirkel und Lineal und lesen Sie
die Lösung ab:
a) Ein 14 m hoher Turm und ein 2 m hoher Turm sollen an ihrer höchsten Stelle
mit einem Seil verbunden werden. Die Türme stehen 7, 60 m von einander
entfernt. Wie lang muss das Seil mindestens sein?
b) Zeichnen Sie ein regelmäßiges Fünfeck, bei dem die Ecken vom Mittelpunkt
der Figur den Abstand 3 cm haben. Ermittlen Sie den Abstand der Eckpunkte
voneinander.
c) Ein Flugzeug hebt mit einer Geschwindigkeit von 55 Meter pro Sekunde (m/s)
und einem Winkel von 34 Grad vom Boden ab. In welcher Höhe befindet sich
das Flugzeug nach 6 Sekunden, wenn es weiterhin mit der oben angegebenen
Geschwindigkeit fliegt und welche Strecke hat es in dieser Zeit am Boden
überflogen?
(H - 3 Punkte)
d) Eine 7, 10 m lange Leiter ist an einer hohen Mauer so angelehnt, dass sie am
Boden 3, 30 m von der Wand entfernt ist. Wie hoch reicht die Leiter an der
Mauer und wie ist der Winkel zwischen der Leiter und dem Boden?
(H - 3
Punkte)
e) Von einer Raute sind eine Seitenlänge (5, 4 cm) und die beiden verschiedenen,
jeweils doppelt auftretenden Innenwinkel (44 Grad und 136 Grad) bekannt.
Bestimmen Sie die fehlenden drei Seitenlängen.
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(H - 3 Punkte)
Aufgabe 2 Gleichschenklige Dreiecke:
a) Zeigen Sie, dass ein Dreieck gleichschenklig ist, falls zwei seiner Winkel übereinstimmen.
b) Betrachten Sie folgende Zeichnung und folgenden Beweis, der zeigt, dass alle
Dreiecke gleichseitig sind! Was sagen Sie dazu? Wo liegt der Fehler? Begründen
Sie Ihre Antwort. (H - 8 Punkte)
Beginnen Sie mit einem beliebigen Dreieck ∆ABC. Die Winkelhalbierende im
Winkel γ schneidet die Mittelsenkrechte der Seite c im Punkte M . Zeichnen Sie
die Lote auf die beiden anderen Seiten a und b. Die Lotfußpunkte bezeichnen
wir mit R und Q. Verbinden Sie M mit den Punkten A und B. Nun haben die
Dreiecke ∆RM C und ∆M QC denselben Winkel bei C und zwei gleiche Seiten.
Daher sind sie kongruent und es folgt, dass QC = QR ist. Ebenso sind die
rechtwinkligen Dreiecke ∆AP M und ∆BP M kongruent, da sie zwei gleiche
Seiten und einen gleichen Winkel haben. Also sind AM und BM gleich. Damit
sind aber die Dreiecke ∆AM R und ∆BQM kongruent und es folgt BQ = AR.
Zusammen erhalten wir CB = CA. Analog folgt, dass je zwei Seiten eines
Dreiecks gleich lang sind - somit also jedes Dreieck gleichseitig ist.
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Aufgabe 3 Konstruieren Sie Dreiecke mit den gegebenen Größen. Geben Sie jeweils eine Beschreibung Ihrer Konstruktion an. Wieviele Lösungen gibt es bis auf
Kongruenz?
a) c = 6 cm, α = 90 Grad und hc = 2 cm
b) a = 5 cm, α = 90 Grad und ha = 1, 5 cm
c) b = 7, 8 cm, α = 90 Grad und hb = 3, 2 cm
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(H - 3 Punkte)
(H - 3 Punkte)