Ubungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 1

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Prof. Dr. Xinlong Zhou
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Übungen zur Diskreten Mathematik I
Blatt 1
Aufgabe 1
Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen Tautologien sind
(i) ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ((¬A) ∧ (¬B)),
(ii) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ((¬A) ∨ (¬B)),
(iii) ((A ∧ B) ∨ C) ⇐⇒ ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C)),
(iv) ((A ∨ B) ∧ C) ⇐⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)),
(v) (A =⇒ B) ⇐⇒ ((¬A) ∨ B)),
(vi) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)).
Aufgabe 2
a) Geben Sie die Wahrheitstafeln für alle möglichen binären logischen Verknüpfungen
an.
b) Stellen Sie alle Verknüpfungen aus Teil a) nur mit Hilfe der Verknüpfungen
¬, ∧ dar.
c) Stellen Sie alle Verknüpfungen aus Teil a) nur mit Hilfe der Verknüpfungen
¬, ∨ dar.
Aufgabe 3
Ein Fahnder sucht den Verdächtigen Xaver auf einer kleinen Insel. Er befragt
fünf Leute, Ann, Bob, Cora, Dave und Eve, hat aber dabei ein Problem: Manche
Leute auf der Insel sagen immer die Wahrheit (”Ritter”), manche machen nur
falsche Aussagen (”Schurken”). Jede(r) auf der Insel ist von genau einer Sorte,
Ritter oder Schurke (wobei diese Bezeichnungen geschlechtsneutral sein sollen).
Es sagt
A: X ist heute auf dieser Insel.
B: X ist heute nicht auf dieser Insel.
C: X war gestern auf dieser Insel.
D: X ist heute nicht auf dieser Insel und war gestern nicht auf dieser Insel.
2
E: C ist ein Ritter oder D ist ein Schurke.
Der Fahnder fragt, ob jemand etwas ergänzen möchte. Daraufhin sagt
A: Wenn E ein Ritter ist, dann ist C ein Ritter.
Nun kann der Fahnder über die Aufrichtigkeit aller Personen entscheiden und die
Frage beantworten: Ist X heute auf dieser Insel?
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 23.10. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 2
Aufgabe 4
Es seien A, B und C Aussagen. Ferner sei 0 eine Aussage, die stets falsch ist,
d.h. 0 ist ein beliebiger Widerspruch. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) (A =⇒ B) ≡ ((¬B) =⇒ (¬A)),
b) ((A =⇒ B) ∧ A) ` B,
c) (A =⇒ B) ≡ (A ∧ (¬B) =⇒ 0),
d) ((A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C)) ` (A =⇒ C),
Aufgabe 5
Überprüfen Sie die Gültigkeit folgender Argumente:
a) Wenn ich die Universität verlasse, dann bekomme ich einen Job an der Börse.
Ich verlasse nicht die Universität, also bekomme ich auch keinen Job an der Börse.
b) Georg ist entweder Polizist oder Fußballspieler. Wenn er Polizist ist, dann hat
er Plattfüße. Georg hat keine Plattfüße, also ist er Fußballspieler.
c) Einige Affen essen Bananen. Alle Affen sind Primaten. Also gibt es Primaten,
die Bananen essen.
d) Alle Übungsaufgaben sind schwer und frustrierend. Einige Übungsaufgaben
sind langweilig. Also gibt es Übungsaufgaben, die frustrierend und langweilig
sind.
Aufgabe 6
Gegeben seien die folgenden wahren Aussagen:
a) Zu jeder ganzen Zahl x mit |x| ≥ 2 gibt es eine Primzahl y, so dass gilt y teilt
x.
b) Zu jeder ganzen Zahl x gibt es eine ganze Zahl y, so dass gilt x + y = x.
Prüfen Sie, ob die Aussagen auch dann noch richtig bleiben, wenn man jeweils
den Allquantor mit dem Existenzquantor vertauscht.
Aufgabe 7
Negieren Sie die folgende Aussage
4
A: Zu jeder ganzen Zahl a und zu jeder ganzen Zahl b 6= 0 gibt es eine ganze
Zahl q und eine ganze Zahl r, so dass gilt
a = q · b + r ∧ 0 ≤ r < |b|.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 30.10. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 3
Aufgabe 8
a) Prüfen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
(i) ∅ ∈ {∅, {∅}},
(ii) ∅ ⊂ {∅, {∅}},
(iii) {∅} ∈ {∅, {∅}},
(iv) {∅} ⊂ {∅, {∅}},
(v) 1 ∈ {1, 2},
(vi) 1 ⊂ {1, 2},
(vii) {1} ∈ {1, 2},
(viii) {1} ⊂ {1, 2}.
b) Bestimmen Sie die Potenzmenge P(M ) für folgende Mengen
(i) M = {1, {1, 2}},
(ii) M = {1, 2, 3, 4},
(iii) M = P({1, 2}),
(iv) M = P(∅).
Aufgabe 9
Es seien die folgenden Teilmengen von R gegeben:
M1 = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
M2 = {z ∈ Z : z ist gerade und 0 < z < 7},
M3 = {z ∈ Z : z < 10},
M4 = {z ∈ Z : es gibt ein y ∈ R mit z = y 2 },
M5 = {z ∈ Z : z = z 2 }.
Untersuchen Sie die gegebenen Mengen paarweise auf Inklusion und geben Sie
Ihre Antwort in Form einer Tabelle nach folgendem Muster:
6
⊂
M 1 M2 M3 M 4 M 5
M1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
M2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
M3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
M4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
M5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Kreuzen Sie das Feld i.k in der iten Zeile und der kten Spalte an, wenn Mi ⊂ Mk
gilt.
Aufgabe 10
Beweisen Sie Satz 1.1.3 der Vorlesung.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 6.11. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 4
Aufgabe 11
Beweisen Sie Satz 1.2.3.(iv) der Vorlesung.
Aufgabe 12
Überprüfen Sie, ob die folgenden Relationen R auf der Menge M die in Definition
1.2.4.(i)–(v) erklärten Eigenschaften besitzen:
a) M := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, R := {(n, m) ∈ M × M : (∃k ∈ Z)[n = 2k m]},
b) M := R, R := {(x, y) ∈ R × R : y − x ≥ 0},
c) M 6= ∅, R := {(x, y) ∈ M × M : x 6= y},
d) M = P(N ) (N Menge), R := {(A, B) ∈ M × M : A ⊂ B}.
Aufgabe 13
Beweisen Sie Lemma 1.2.5 der Vorlesung.
Aufgabe 14
Bestimmen Sie alle Äquivalenzrelationen auf der Menge M für
a) M = {a, b, c},
b) M = {a, b, c, d}.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 13.11. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 5
Aufgabe 15
Für zwei Restklassen [a]n , [b]n ∈ Zn , (a, b ∈ Z, n ∈ N), definieren wir
[a]n + [b]n := [a + b]n ,
[a]n [b]n := [ab]n
(vgl. die Beispiele 1.2.1(iii), 1.2.2(iii) aus der Vorlesung). Zeigen Sie, dass die
oben definierte Addition, bzw. Multiplikation von Restklassen wohldefiniert ist,
d.h. sind a, a0 , b, b0 ∈ Z gegeben, so dass gilt
[a]n = [a0 ]n
∧
[b]n = [b0 ]n ,
dann folgt
[a + b]n = [a0 + b0 ]n
∧ [ab]n = [a0 b0 ]n .
Aufgabe 16
Finden Sie die letzten drei Ziffern in der Dezimaldarstellung der Zahlen
a) 21000 ,
b) 31000 .
Aufgabe 17
Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen n ∈ Z, für die n3 + 2n2 + 4 durch 7 teilbar ist.
Aufgabe 18
a) Zeigen Sie, dass jede Quadratzahl bei Division durch 4 den Rest 0 oder 1 hat.
b) Zeigen Sie, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl
ist.
c) Zeigen Sie: Sind a, b, c ∈ Z ganze Zahlen, so dass gilt
a2 + b2 = c2 ,
dann ist (mindestens) eine der drei Zahlen durch 3 teilbar.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 20.11. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 6
Aufgabe 19
Es sei M := {n ∈ N : n ≥ 2} und R := {(n, m) ∈ M × M : n teilt m}.
a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist.
b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist.
c) Zeigen Sie, dass M unendlich viele minimale Elemente bezüglich R enthält.
d) Zeigen Sie, dass M keine untere Schranke in M besitzt.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass es unendlich viele Primzahlen
gibt.
Aufgabe 20
Überprüfen Sie, welche der folgenden Korrespondenzen Abbildungen sind:
a) f1 := {(x, y) ∈ R × Q : x2 = y},
b) f2 := {(x, y) ∈ R × R : x2 = y 2 },
c) f3 := {(x, y) ∈ R × R : y + x2 y = 1},
d) f4 := {([a]8 , [a2 ]3 ) ∈ Z8 × Z3 : a ∈ Z},
e) f5 := {([a]9 , [a2 ]3 ∈ Z9 × Z3 : a ∈ Z} .
Aufgabe 21
Überprüfen Sie, ob folgende Abbildungen injektiv, bzw. surjektiv sind:
a) f1 : [a]5 ∈ Z5 7−→ [a2 ]5 ∈ Z5 ,
b) f2 : [a]5 ∈ Z5 7−→ [a3 ]5 ∈ Z5 ,
c) f3 : [a]5 ∈ Z5 7−→ [2a + 3]5 ∈ Z5 ,
d) f4 : [a]5 ∈ Z5 7−→ [5a + 3]5 ∈ Z5 ,
e) f5 : [a]6 ∈ Z6 7−→ [a2 ]6 ∈ Z6 ,
f) f6 : [a]6 ∈ Z6 7−→ [a3 ]6 ∈ Z6 ,
g) f7 : [a]6 ∈ Z6 7−→ [2a + 3]6 ∈ Z6 ,
h) f8 : [a]6 ∈ Z6 7−→ [5a + 3]6 ∈ Z6 .
Aufgabe 22
Es seien L, M, N Mengen und f : L −→ M, g : M −→ N Abbildungen. Zeigen
10
Sie:
a) Ist g ◦ f surjektiv, dann ist g surjektiv,
b) Ist g ◦ f injektiv, dann ist f injektiv,
c) Ist g ◦ f surjektiv und g injektiv, dann ist f surjektiv,
d) Ist g ◦ f injektiv und f surjektiv, dann ist g injektiv.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 27.11. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 7
Aufgabe 23
a) Es seien
f : [a]5 ∈ Z5 7−→ [3a + 1]5 ∈ Z5 ;
g : [a]5 ∈ Z5 7−→ [2a + 3]5 ∈ Z5 .
Bestimmen Sie f ◦ g und g ◦ f . Überprüfen Sie, ob f bijektiv ist und bestimmen
Sie gegebenenfalls f −1 .
b) Es sei
h : [a]5 ∈ Z5 7−→ [4a + 3]5 ∈ Z5 .
Bestimmen Sie h ◦ h und überprüfen Sie, ob h bijektiv ist.
Aufgabe 24
Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen bijektiv sind und bestimmen Sie deren
Umkehrabbildung:
a)
f1 : n ∈ N 7−→



n
2 ∈Z
1−n
2 ∈Z
falls n gerade
falls n ungerade,
b) f2 : (x; y) ∈ R2 7−→ (2x − y, x + 2y) ∈ R2 ,
c) f3 : x ∈ R \ {1} 7−→
x
1−x
∈ R \ {−1}.
Aufgabe 25
Überprüfen Sie, ob die folgenden Verknüpfungen Gruppenstrukturen auf den jeweiligen Mengen definieren:
a) (x, y) ∈ Z × Z 7−→ x ◦ y := x − y ∈ Z,
b) (x, y) ∈ Q × Q 7−→ x ◦ y := x + y + 4/7 ∈ Q,
c) (x, y) ∈ R × R 7−→ x ◦ y := x ∈ R,
d) ([x]5 , [y)5 ) ∈ (Z5 \ {0}) × (Z5 \ {0}) 7−→ [x]5 ◦ [y]5 := [xy]5 ∈ Z5 \ {0}.
Aufgabe 26
Es sei (G; ◦) eine Gruppe mit der Eigenschaft: g ◦ g = e für alle g ∈ G. Zeigen
Sie, dass (G; ◦) abelsch ist, d.h es gilt g ◦ h = h ◦ g für alle g; h ∈ G.
12
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 4.12. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 8
Aufgabe 27
Es sei G = {e, a, b} eine Gruppe mit drei Elementen (e sei das neutrale Element
von G). Bestimmen Sie die Gruppentafel von G.
Aufgabe 28
Weisen Sie nach, dass {σ0 , τ1,2 } kein Normalteiler von S3 ist (Bezeichnungen wie
in Beispiel 2.1.2(iii)).
Aufgabe 29
Es sei G eine Gruppe mit vier Elementen (e sei das neutrale Element von G).
a) Zeigen Sie, dass es mindenstens ein g ∈ G \ {e} gibt, so dass gilt
g ◦ g = e.
b) Zeigen Sie, dass genau eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft:
(i) Es existiert genau ein g ∈ G \ {e}, so dass gilt
g ◦ g = e.
(ii) Für alle g ∈ G gilt
g ◦ g = e.
c) Bestimmen Sie die Gruppentafel von G für jeden der beiden Fälle (i) und (ii)
aus Aufgabenteil b).
Aufgabe 30
Welche der folgenden Abbildungen ϕ : G −→ H sind Homomorphismen:
(i) G = (Q \ {0}, ·), H = (Q \ {0}, ·),
(ii) G = (Q \ {0}, ·),
ϕ : a ∈ G 7−→
H = (Q; +), ϕ : a ∈ G 7−→
1
a
1
a
∈ H,
∈ H,
(iii) G = (Z15 , +), H = (Z6 , +), ϕ : [a]15 ∈ G 7−→ [2a]6 ∈ H,
(iv) G = (S3 , ◦), H = (Z3 , +), ϕ : σ ∈ G 7−→ [σ(3)]3 ∈ H.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 11.12. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 9
Aufgabe 31
Bestimmen Sie Kern und Bild der folgenden Gruppenhomomorphismen ϕ : G −→
H und geben Sie an, ob ϕ injektiv, bzw. surjektiv ist:
(i) G = (Z12 , +), H = (Z4 , +), ϕ : [a]12 ∈ G 7−→ [a]4 ∈ H,
(ii) G = (Z12 , +), H = (Z3 , +), ϕ : [a]12 ∈ G 7−→ [a]3 ∈ H,
(iii) G = (Z, +), H = (Z15 , +), ϕ : a ∈ G 7−→ [4a]15 ∈ H,
(iv) G = (Z; +), H = (Z15 , +), ϕ : a ∈ G 7−→ [3a]15 ∈ H.
Aufgabe 32
a) Zeigen Sie, dass für m, n ∈ N0 die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) nZ ⊂ mZ,
(ii) n ∈ mZ,
(iii) m teilt n, d.h. es gibt eine ganze Zahl k ∈ Z mit n = m · k.
b) Es sei (U, +) eine Untergruppe von (Z, +). Zeigen Sie, dass es genau ein
n ∈ N0 gibt, so dass gilt
U = nZ.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass im Fall U 6= {0} (der Fall U = {0} ist trivial)
gilt M := U ∩ N 6= ∅. Nutzen Sie die Tatsache aus, dass jede nichtleere Teilmenge
M der natürlichen Zahlen ein minimales Element n ∈ M bezüglich der üblichen
≤-Relation besitzt.
Aufgabe 33
Beweisen Sie Lemma 2.2.5 (iii),(iv) der Vorlesung.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 18.12. 2012, vor der Vorlesung
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Blatt 10
Aufgabe 34
Gegeben seien die folgenden Polynome p; q ∈ K[T ] mit Koeffizienten im Körper
K.
a) p(T ) := 3T 6 + T 5 + 2T 3 + T + 4, q(T ) := 2T 2 + 1, K := Q;
b) p(T ) := 3T 6 + T 5 + 2T 3 + T + 4; , q(T ) := 2T 2 + 1 K := Z5 .
Bestimmen Sie jeweils mittels Polynomdivision Polynome s, r ∈ K[T ], so dass
gilt
p(T ) = s(T ) · q(T ) + r(T )
∧
grad r < grad q.
Aufgabe 35
Gegeben seien die folgenden Polynome p ∈ R[T ] mit Koeffzienten im Ring R:
a) p(T ) := T 2 − 1, R := Z8 ,
b) p(T ) := T 4 − T, R := F4 ,
c) p(T ) := T 3 − 2, R := Z7 ,
d) p(T ) := T 2 − 2, R := Q.
Bestimmen Sie für jedes Polynom p den Grad des Polynoms und die Anzahl der
Nullstellen von p im Ring R.
Aufgabe 36
Zeigen Sie: Ist R ein kommutativer Ring, so ist R[T ] kein Körper.
Frohes Fest und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 8.1. 2013, vor der Vorlesung
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Blatt 11
Aufgabe 37
Gegeben seien die folgenden Polynome p, q ∈ Z7 [T ]:
p(T ) := 5T 5 + 5T 3 + 5T, q(T ) := 4T 3 + 6T + 6.
a) Bestimmen Sie mittels Polynomdivision Polynome s, r ∈ Z7 [T ], so dass gilt
p(T ) = s(T ) · q(T ) + r(T )
∧ gradr < gradq.
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von p in Z7 .
Aufgabe 38
Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Ferner seien U, W < V Untervektorräume von V , sowie E, E1 , E2 ⊂ V beliebige Teilmengen von V .
a) Zeigen Sie, dass
U + W := {u + w ∈ V : u ∈ U ∧ w ∈ W }
ebenfalls ein Untervektorraum von V ist.
b) Zeigen Sie, dass gilt
span(E1 ∪ E2 ) = span(E1 ) + span(E2 ).
c) Zeigen Sie, dass
( n
)
X
W := (
ai · vi ∈ V : n ∈ N0 ∧ a1 , ..., an ∈ K ∧ v1 , ..., vn ∈ E
i=1
ein Untervektorraum von V ist.
Aufgabe 39
Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen U Untervektorräme der angegebenen
Vektorräume V sind
a) U := {(x; y; z) ∈ R3 : x + 3y − 4z = 0}, V := R3 ,
17
b) U := {(x; y; z) ∈ R3 : x + 3y − 4z = −1}, V := R3 ,
c) U := {(x; y) ∈ R2 : x − y 4 = 0}, V := R2 ,
d) U := {(x; y) ∈ F24 : x − y 4 = 0}, V := F24 .
Aufgabe 40
Gegeben seien die Vektoren
v1 := (1, −8, −2, 2), v2 := (0, 3, −1, 5), v3 := (7, −1, −1, −1), v4 := (9, −20, −4, −2) ∈ R4 .
Zeigen Sie, dass gilt
span{v1 , v4 , v3 } = span{v1 , v4 , v3 , v4 }.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 15.1. 2013, vor der Vorlesung
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Blatt 12
Aufgabe 41
Die Vektoren v1 , v2 , v3 , v4 ∈ R4 seien gegeben durch
v1 := (0, −1, −1, 2), v2 := (2, 0, −4, 1), v3 := (1, 1, −3, 1), v4 := (3, −3, 1, 0).
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren v1 , v2 , v3 , v4 eine Basis von R4 bilden.
b) Zeigen Sie, dass die Vektoren w1 := (2, −1, −5, 3), w2 := (1, −1, −1, 0) ∈ R4
linear unabhängig sind.
c)
Bestimmen Sie Indizes 1 ≤ i < j ≤ 4, so dass w1 , w2 , vi , vj ebenfalls eine
Basis von R4 ist.
Aufgabe 42
a) Es sei K ein beliebiger Körper, n ∈ N0 und
V := {p ∈ K[T ] : grad p ≤ n}.
Bestimmen Sie dimK V .
b) Es sei K := Z3 , V := K 4 und v1 , v2 , v3 , v4 ∈ V gegeben durch
v1 := (0, 1, 1, 1), v2 := (1, 0, 1, 1), v3 := (1, 1, 0, 1), v4 := (1, 1, 1, 0).
Bestimmen Sie für U := span{v1 , v2 , v3 , v4 } die Dimension dimK U .
Aufgabe 43
Es sei n ∈ N und u, v ∈ Zn2 \ {0}. Zeigen Sie, dass u und v genau dann linear
unabhängig sind, wenn gilt u 6= v.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 22.1. 2013, vor der Vorlesung
19
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Blatt 13
Aufgabe 44
Die Vektoren v1 , v2 , v3 , v4 ∈ R4 seien gegeben durch





0
2
1





 −1 
 0 
 1





v1 := 
 , v2 := 
 , v3 := 
 −1 
 −4 
 −3





2
1
1
Ferner seien w1 , w2 , w3 , w4 ∈ R3 gegeben durch





8
−1
6









w1 := 
 −5  , w2 :=  −1  , w3 :=  −7
1
2
5


3





 −3 



 , v4 := 
.

 1 



0


9




 , w4 :=  −4  .



−1
a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung ϕ : R4 −→ R3 gibt mit
ϕ(vi ) = wi ,
i = 1, 2, 3, 4.
b) Berechnen Sie dim(kerϕ) und dim(Imϕ) und geben Sie eine Basis von kerϕ
und Imϕ an.
c) Prüfen Sie, ob es einen Vektor v ∈ R4 gibt, so dass gilt


0



ϕ(v) = 
 0 .
−2
Aufgabe 45
Gegeben seien folgende Matrizen über dem Körper der reellen Zahlen




1
0
−4




1 −2
 0 −3


0 −2
5 −2
2 



 , C := 
A := 
.
3 
 0
 , B :=
 1
3 −3 −1
0
4
0 


−4 −1
−2
3
1
20
Bilden Sie alle möglichen Matrixprodukte aus zwei der obigen Matrizen.
Aufgabe 46
Gegeben sei der Vektor


v1 := 

−1


0 
 ∈ R3 .
6
a) Bestimmen Sie zwei weitere Vektoren v2 , v3 ∈ R3 , so dass v1 , v2 , v3 eine Basis
von R3 ist.
b) Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ Mat(2, 3, R), so dass gilt
{x ∈ R3 : A · x = 0} = span{v1 }.
Jede Aufgabe muss auf einem gesonderten Blatt abgegeben werden.
Jedes Aufgabenblatt muss mit dem Namen, Vornamen und der Nummer der Übungsgruppe versehen werden.
Abgabe bis spätestens: Dienstag, 29.1. 2013, vor der Vorlesung