Übungen zur Topologie Aufgabe 21 (6 P)

SS 2009
Prof. Dr. Duco van Straten
Übungen zur Topologie
Blatt 4 – 11.05.2009
mündliche Aufgaben:
• Wir nennen einen Raum X folgenkompakt genau dann, wenn es für alle Folgen a :
→ X einen Häufungspunkt gibt. Das heißt es existiert ein Punkt x ∈ X, so dass
jede offene Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder enthält. Zeigen Sie, dass
kompakte Hausdorffräume folgenkompakt sind.
N
• Zeigen Sie, dass die n Sphäre
Sn eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.
• Zeigen Sie, dass der Raum X := {0, 1} zusammen mit der Topologie T := {∅, {0}, X}
Wegzusammenhängend ist.
• Zeigen Sie: Sind A und B topologische Räume, so ist A × B genau dann zusammenhängend, wenn A und B zusammenhängend sind. Wie verhält es sich mit dem
Wegzusammenhang?
Aufgabe 21 (6 P)
P×n(R) war als Quotientenraum durch (Rn+1 \ {0})/ ∼ defiR : x = λ · y. Zeigen Sie:
n
(a) Der Raum S / ± 1* ist homöomorph zu Pn (R). Geben Sie dazu einen bijektive Abbildung von Sn / ± 1 nach Pn (R) an und überprüfen Sie ob die Abbildung und ihr
Der reelle projektive n-Raum
niert, wobei x ∼ y ⇔ ∃λ ∈
Inverses stetig sind.
Pn(R) ist ein kompakter Hausdorffraum.
(c) Pn (R) ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit.
(d) Pn (R) ist wegzusammenhängend
* Der Quotientenraum Sn / ± 1 := Sn / ∼± ist durch die Äquivalenzrelation x ∼± y
(b)
:⇐⇒
x = ±y definiert.
Aufgabe 22 (6 P)
Eine Abbildung ι : X → Y zwischen Topologischen Räumen heißt Einbettung falls ι : X →
ι(X) ein Homöomorphismus ist. In diesem Aufgabenteil wollen wir eine Einbettung des
Projektiven Raumes konstruieren. Wir definieren eine Abbildung
ϕ:
Sn → Mat(n + 1 × n + 1) ,
x 7→ x · xt .
Zeigen Sie, dass ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ x = ±y. Zeigen Sie damit, dass es eine stetige Abbildung
ϕ̃ : n / ± 1 → Mat(n + 1 × n + 1) gibt, so dass ϕ̃ ◦ π = ϕ ist, hierbei bezeichnen wir mit
π die Projektion von n auf n / ± 1. Zeigen Sie, dass ϕ̃ eine Einbettung von n ( ) in
Mat(n + 1 × n + 1) definiert.
S
S
S
P R
Aufgabe 23 (6 P)
Wir werden nun zeigen, dass wir jeden Raum in einen kompakten einbetten können. Sei
b := X t {∞} wobei ∞ ein zusätzlicher Punkt
dazu X ein topologischer Raum. Wir setzen X
b
b
b ist offen, falls entweder ∞ ∈
ist. Auf X definieren wir eine Topologie T durch U ⊂ X
/U ⊂X
b
offen in X ist oder ∞ ∈ U und X \ U ist eine abgeschlossene kompakte Teilmenge von X.
(a) Zeigen Sie, dass Tb eine Topologie ist.
b kompakt ist.
(b) Zeigen Sie, dass X
b überein(c) Zeigen Sie, dass die Topologie von X mit der Teilraumtopologie X ⊂ X
stimmt.
b zusammenhängend, wenn X zusammenhängend ist.
(d) Ist X nicht kompakt, so ist X
R
(e) Zeigen Sie, dass cn homöomorph zu
Sn ist.
b genau dann hausdorffsch ist,
Bemerkung: Ist X lokakalkompakt, so gilt zusätzlich dass X
falls X hausdorffsch ist.
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Aufgabe 24 (6 P)
Ist X ein topologischer Raum und x ∈ X, so nennen wir
\
Z(x) := {A | A offen und abgeschlossen in X, x ∈ A}
die Zusammenhangskomponente von x. Zeigen Sie, dass für x, y ∈ X entweder Z(x) = Z(y)
oder Z(x) ∩ Z(y) = ∅ gilt. Die Menge der Zusammenhangskomponenten von X bilden also
eine Zerlegung von X.
Abgabe: Bis Mo.18.05.2009, 10 Uhr
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