Vorlesung Teil Hydrostatik/Hydrodynamik (MS

Hydrostatik, -dynamik
Bisher waren die untersuchten Körper fest und unverformbar.
Das muss natürlich nicht so sein (Z.B. Wasser)
Da die Materie ihre Form beliebig ändern kann und sich die
Eigenschaften einer Flüssigkeit nicht ändern, ob man nun viel
oder wenig nimmt (Masse egal) führt man die Dichte ein
Dichte
 = m/V
[kg/m3]
Weiterhin: Eine punktförmig angreifende Kraft macht keinen
Sinn (Flüssigkeit weicht aus). Kraft pro Fläche sinnvoller
Druck
p = F/A
[Pa] = [N/m2]
A : Fläche
1
Andere Druckeinheiten:
1bar = 105 Pa
1atü = 9.806104 Pa
1 torr = 1mmHgSäule = 133.32 Pa (wird z.B. noch bei
Blutdruckmessungen angegeben)
gemessen wird mit Manometern (Flüssigkeitsdruck) oder
Barometern (Luftdruck)
Annahme: Flüssigkeitsbox in der Schwerelosigkeit, ein Kolben
kann von einer Seite drücken.
F
2
Da sich die Flüssigkeit im Gleichgewicht befindet, müssen von
überall die gleichen Kräfte wirken (alle Kräfte kompensieren
sich zu 0). d.h. die „Kraftdichte“ (also der Druck) ist in allen
Richtungen gleich und konstant.
Der hydrostatische Druck (in Schwerelosigkeit) ist in allen
Richtungen gleich und konstant
Kommunizierende Röhren:
Obwohl die Masse der Flüssigkeiten
in den verschiedenen Röhren
verschieden ist, ist der Flüssigkeitsstand über gleich. Grund:
Druck ist gleich (F/A)
3
Versuch: Hydraulische Presse
hydrostatischer Druck ist im
Gleichgewicht überall gleich:
Fg1
A1
A2
Fg2
p = Fg1/A1 und p = Fg2/A2
Also :
Fg1
A1

Fg 2
A2
Aber auch hier kann man nicht Arbeit gewinnen oder sparen
(vergleiche Hebel): Wenn an (1) die Höhe h1 heruntergepresst wird, dann wurde das Volumen V=A1h1 verdrängt.
Das selbe Volumen presst (2) hoch, also V=A2h2 = A1h1
also:
4
A1 Fg 2
A1h1
A2 h2
W1  m1 gh1  Fg1h1 
h1 
Fg 2 
Fg 2  h2 Fg 2  W2
A2
A2
A2
Druckarbeit: W=mgh = Vgh = pV (bei konstantem Druck)
Arbeiten sind gleich. Wichtig: Flüssigkeiten sind (so gut
wie) inkompressibel. (Druck ändert das Volumen kaum)
Anwendung ist Hydraulische Hebebühne, man kann im
Gegensatz zum Hebel beliebige Distanzen überbrücken,
indem man beliebig viel Hydrauliköl ins System pumpt.
Versuch höhenabhängiger
Wasserdruck (Schweredruck)
Wasserdruck ist höhenabhängig
5
Eine Wassersäule mit der Dichte  der Höhe h und dem
Querschnitt A hat die Gewichtskraft F = mg = Vg und
das Volumen V=Ah
also gilt für den Druck:
p = F/A = Vg/A = gh
p(h)=gh
Versuch Tiefendruck
Druck ändert sich mit der Höhe.
Zeigt aber auch, dass abgesehen
von der Höhe der Druck konstant
ist: Drehen des Druckmessers
(Manometer) : gleicher Druck.
6
Konkret: Z.B. Wasser (Dichte H2O=1g/cm3 = 1000kg/m3)
p = H2Ogh mit h=10.3m : p = 1013hPa = 1013mbar  1bar
Luftdruck. D.h. je 10m Wassertiefe steigt der Druck um 1bar
(eine Luftdruckeinheit) da Druck (auch Luftdruck) aber allseitig
wirkt, heißt das aber auch:
1) auf der Erde ist der tiefenabhängige Wasserdruck
(Wassertiefe h)
p(h) = p0 +H2Ogh
p0 : Luftdruck
Wasser
2) Der Luftdruck kann eine 10
hohe Wassersäule tragen.
Vesuch Becher randvoll mit
Wasser. Abdecken mit Mauspad
und umdrehen. Wasser läuft
nicht aus.
7
3) Mit einer Saugpumpe (Z.B. Handschwengelpumpe)
können maximal 10m hoch gepumpt werden. Grund:
eigentlich wird über dem Wasser evakuiert, sodass von
oben kein Luftdruck mehr wirkt [p(h)=0], von unten
[p(0)=1013hPa] wird das Wasser max 10m hochgedrückt.
4) nimmt man statt Wasser Quecksilber (Hg=13587kg/m3),
so kann eine 760mm Säule vom Luftdruck getragen
werden
h
Vakuum, wenn h die
entsprechende Höhe einstellen
kann
Die tatsächliche Höhe h ergibt
sich aus dem Luftdruck.
 Quecksilberbarometer
8
Eine Änderung des Luftdrucks von p1=1013hPa auf p2=
1000hPa hätte eine Höhenänderung von:
p1-p2=p0+Hggh1-(p0+Hggh2) = Hggh
h=(p1-p2)/Hgg=9.7mm
zur Folge.
Auftrieb (Archimedisches Prinzip)
Eintauchen des Vollzylinders:
Waage hebt sich,
Füllen des Hohlzylinders: Waage
wieder im Geichgewicht 
Vollzlinder verdrängt diese Menge
Wasser
9
H
fl
k
A
p1
p2
Auf den Körper mit der zylindrischen
Grundfläche A wirkt die Gewichtskraft Fg=-mkg =-kVg = -gkAH
Druckdifferenz in Flüssigkeit:
p=p2-p1=gfl(H2-H1)=gflH
Also wirkt auf den Körper die Druckkraft: Fp= pA = gflAH
a) Dichte des Körpers ist größer als Dichte der Flüssigkeit
also: |Fg| > |Fp|
Körper geht unter
b) Dichte des Körpers gleicht der Dichte der Flüssigkeit
also: |Fg| = |Fp|
Körper schwebt in Flüssigkeit
c) Dichte des Körpers ist kleiner als Dichte der Flüssigkeit
also: |Fg| < |Fp|
Körper steigt auf
10
Fall c) Schwimmen. Wenn der Körper auftaucht und aus der
Flüssigkeit schaut, dann muss die Druckdifferenz von der
Flüssigkeitsoberfläche aus genommen werden:
Bei Eintauchtiefe h Gleichgewicht zwischen Fg und Fp
möglich : Fg+Fp=0 : gkAH = gflAh also
kVk = flVverdr. Flüss.

mk = mverdrFl
Ein Körper schwimmt, wenn er seine eigene Masse
Flüssigkeit verdrängt hat.
Druck in Gasen
wichtigster Unterschied zu Flüssigkeiten: Gase sind stark
kompressibel. D.h. Druckänderung hat Volumenänderung
zur Folge.
11
Kompressibiltät :
 = -(1/V)V/p = -(1/V)dV/dp
a) Drücke 1Liter Wasser ( h2o=510-10m2/N ) mit 1bar
zusammen.
also p = 1bar = 105Pa
V = 1l = 10-3m3
V = -Vp = 510-8m3 = 5010-9m3 = 50(mm)3=50l
(Würfel von 3.7mm Kantenlänge). Wasser ist so gut wie
inkompressibel.
b) für Gase gilt das Gesetz von Boyle-Mariotte
Vp = const
(das Produkt aus Volumen und Druck ist konstant)
also:
V = const/p 
dV/dp = -const/p2
und somit die Kompressibilität :
 = -(1/V)dV/dp = 1/(Vp)const/p = 1/p
12
D.h. die Kompressibiltät ist umgekehrt proportional zum
Druck (je stärker ich drücke, desto weniger presse ich das
Volumen zusammen).
presse 1l Luft von 1bar auf 2bar zusammen: V1p1=V2p2
also V2=V1p1/p2 = 0.5l
Beim Komprimieren ändert sich die Dichte. ALSO
p(h) = gh gilt nur für Flüssigkeiten, (bei denen die Dichte
trotz Druckerhöhung [fast] konstant bleibt).
Annahme: Würde das Gesetz gelten (Luft, Luftdruck = 1.29kg/m3)
dann wäre bei h = p/(gLuft, Luftdruck) = 8000m die Athmosphere zuende!! (Mount Everest ca 8800m hat noch 1/3
Normaldruck).
13
Wie sieht der höhenabhängige Atmosphärendruck tatsächlich
aus?
Annahme: für winzige Druckänderungen / Höhenänderung
gilt p(h) = gh noch in der Form p = -(h)gh (1)
(Minuszeichen bei Athmosphere, da die Höhe andersrum
[nach oben] zählt, als bei Wasser [nach unten])
weiter gilt : (h) = m(h)/V(h)
Man kann jetzt natürlich die Massenänderung in die
Volumenänderung stecken. d.h. es werden immer die selben
Massen m0 betrachtet. Also (h) = m0/V(h) (2) ist möglich.
14
nach Boyle-Mariotte gilt
pV = const = p0V0 sei z.B.
p0 der Luftdruck auf der Erdoberfläche und V0 =V(0) das
entsprechende Volumen, dass die Referenzmasse m0
einnehmen würde. Also V = p0V0/p (3)
(3) in (2) :
(4) in (1) :
(h) = m0/V = pm0/(p0V0) = p0/p0
p = - pg(0/p0)h
(4)
 dp/p = - g(0/p0)dh
Einmal durchintegrieren:
 dp/p = -g(0/p0)dh

lnp(h) = -g(0/p0)h
also : p(h) = p0exp[-g(0/p0)h]
15
Exponentieller Abfall des Athmosphärendrucks:
p
p0
Druck nimmt alle 9000m um ca
1/3 ab: In 90km Höhe 1/310p0
also etwa 1mbar
h
Beispiel Kartesisches Teufelchen
Druck auf die Flüssigkeit verändert
Schwebehöhe des Teufelchens. Grund:
Druck führt zur Volumenänderung des
Tauchers. Auftrieb ändert sich.
16
Beispiel: Helium gefüllter Ballon
Unter Wasser würde ein z.B. mit Öl gefüllter Ballon nicht
funktionieren, er würde einfach bis zur Oberfläche aufsteigen.
(Verdrängte Masse wäre immer gleich, Auftrieb immer gleich)
In der Athmosphere steigt ein Helium gefüllter Ballon bis zu
einer bestimmten Höhe
Annahme:
Gesamtmasse Ballon mB=300kg.
Luft,p0 = 1.29 kg/m3 He,p0 = 0.178 kg/m3
Damit auf der Erdoberfläche der Ballon gerade schwebt, muss
der Auftrieb (Masse der verdrängten Luft) gerade die
Gesamtmasse des Ballons [300kg+Masse des Heliums]
betragen:
17
mLuft,p0 = mB+mHe,p0
 Luft,p0V = mB+He,p0V
also Vp0 = mB/(Luft,p0-He,p0)=270m3
Kugel mit D=8m
Annahme: Man möchte 1000m hoch fliegen. Wie groß muss
die Kugel sein? Der Luftdruck in 1000m Höhe ist
p(h) = p0exp[-g(0/p0)h] = 894mbar = 89.4kPa
Der selbe Druck herrscht im Ballon
Boyle-Mariotte : pV = p0V0
also :  = (0/p0)p

pm0/ = p0m0/0
Für Luft Luft,1km = 1.14kg/m3 , für He : He,1km = 0.157kg/m3
also V1km = mB/(Luft,1km-He,1km)=305m3 Kugel mit D=8.35m
18
Oberflächenspannung, Kapillarität
Dazu wichtiger Satz vorweg:
Ein System versucht im Gleichgewicht immer den
Zustand geringster Energie anzunehmen.
Bei einem System mit Reibungskräften wird dieser
Gleichgewichtszustand geringster Energie auch
tatsächlich angenommen.
Beispiel: Hüpfender Ball in geschlossener Box. Ball versucht
immer in Richtung Erdoberfläche zu fallen. Im vollständig
elastischen Fall springt er allerdings immer wieder hoch. Im
inelastischen Fall kommt er dagegen irgendwann am Boden
zur Ruhe (Gleichgeichtszustand minimaler Energie)
19
Konzept der Oberflächenspannung:
 Flüssigkeit besteht aus Teilchen (Molekülen), die sich
gegenseitig anziehen.
 Im Volumen ist jedes Molekül symmetrisch von anderen
Molekülen umgeben: Kräfte addieren sich zu NULL
 An der Oberfläche fehlen Moleküle: Resultierende Kraft
nach innen.
Fres=0
Fres0
d.h.: Moleküle an der Oberfläche werden in das Volumen
hineingezogen.
20
Oberflächenenergie ist
Esurf = A
mit  : Oberflächenspannung, A Fläche.
Konvention: Die Oberflächenspannung wirkt ENTLANG der
Oberfläche
z.B. Wasser
h2o = 0.073 N/m
Versuch: Eingeölte Büroklammer schwimmt auf Wasseroberfläche
grob vereinfachte Skizze
D
Esurf
Epot
L
Esurf klein, Epot groß
D
Esurf
Epot
L
Esurf groß, Epot klein
21
Zylinder, D=0.5mm Durchmesser, L=10cm Länge 
V=(D/2)2L = 210-8m3 A = dL = 1.5710-4m2
Dichte von Eisen: Fe=7700 kg/m3 also mBk=FeV = 0.154g
Wenn Büroklammer komplett eingetaucht ist: zusätzlich
Esurf = h2oA  10-5 J
Dafür potentielle Energie kleiner
EpotmBkgD10-6 J
Der Verkleinerung der Potentiellen Energie macht die
Vergrößerung der Oberflächenenergie nicht wett:
Büroklammer geht nicht unter!!
Wenn man sie allerdings einmal untergetaucht hat, sinkt sie zu
Boden, weil keine Kraft in Richtung Oberfläche wirkt.
22
Versuch : Druck in Seifenblase
Kleine Seifenblase bläst große auf, da Überdruck in Blase
proportional zu 1/r ist !!
R
Volumen: V=4/3R3
Oberfläche : A = 4R2
aus Volumen: R  V
1/ 3
R
4 

  
3 
p
also : A = 4 R  4V
2/3

1
3
4 

  
3 

2
3
23
Gesamtenergie der Seifenblase mit Außenradius R (wenn R
<< R, 2 Oberflächen!!!)
W = E = 2(4R ) = 2A = 2 4V
2
4 4  4 
p

 
R 3  3 

3
3
4 

  
3 
W = -pV
Druckarbeit war definiert als
2 1/ 3  4 
  
p= -dW/dV=2 4 V
3
3 
2/3

2
3

2
3
 W/V = -p

1
3
24 
1  4 
 2  4    R   
33 
3 

4

R
In kleinerer Seifenblase herrscht größerer Überdruck!!
24
2
3
Kapillarität (Kapillarkräfte)
Versuch Kapillarkräfte: Werden Glasröhren in Wasser
gehalten, so steigt das Wasser hoch, je dünner die Röhre,
desto höher. Grund auch hier ein minimales Gleichgewicht
zwischen Oberflächenenergie und potentieller Energie.
Annahme: Auf der Innenwand der Röhre bildet sich ein ganz
dünner Benetzungsfilm.
mfl
Vfl
d
h
25
Durch Aufsteigen der Flüssigkeit verringert sich die Oberfläche
um A=dh (Zylinderabschnitt, schwarze Linien). D.h. die
Oberflächenenergie verringert sich um
Esurf = A = dh
Allerdings erhöht sich die potentielle Energie um
Epot=mflgh = Vflflgh= (hd2/4) flgh
Gleichgewicht hat man, wenn beide Energien gleich sind:
dh = gh2fld2/4
 4=ghfld

h=4/(gdfl)
z.B. Kapillare mit 1mm Durchmesser, Wasser: h=3cm
26
Beispiel: Form der Flüssigkeitsoberfläche an Gefäßwand
Vereinfachung: schräger Abschnitt, keine Idealkurve
Epot
H
h
H
h
L : Länge der Wand
Gesamtenergie links:
E = HL+HL = 2HL
1
Gesamtenergie rechts: E  2 L( H  h)  2Lh  gLh3
6
2 2
Energie wird minimal bei h 
= 4.5mm für Wasser
g
27
Grenzflächenspannung
Eigentlich ist das Konzept der Oberflächenspannung ungenau:
Es liegt zumeist auch Materie auf der Oberfläche (Luft, Gas,
Festkörper) aber mit anderen Wechselwirkungen als in der
Flüssigkeit.
Fres0
Materie 1
Fres=0
Materie 2
Einführung der Grenzflächenspannung
12
28
Beispiel: Bei einem Flüssigkeitstropfen auf einer festen Platte
gibt es DREI Grenzflächenspannungen: (1) Platte –
Flüssigeit (2) Platte – Dampf (bzw Luft) und (3) Flüssigkeit
– Dampf (bzw Luft).
Das Verhältnis dieser drei Spannungen (pf , pd , fd)
bestimmt, ob und wie eine Substanz benetzt wird:
pd  pf = fdcos()

 : Benetzungswinkel
1) Vollständige Benetzung (Tropfen zerläuft) wenn pd  pf >
fd
(kein  möglich)
2) Teilweise Benetzung (Tropfen kontaktiert Platte)
fd > pd  pf >  fd
3) Keine Benetzung: fd > pd  pf
29
Hydrodynamik
Fließende Flüssigkeit ist äußerst kompliziert:
a) Man kann keine „einfache“ Geschwindigkeit definieren.
Statt dessen ist die Geschwindigkeit i.a. vom Ort und von
der Zeit abhängig (Stromlinien und Bahnlinien)
Bahnlinien: wo befindet sich ein Teilchen zu welchem
Zeitpunkt
Stromlinien: mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein
Teilchen am Ort (x,y,z)
Bei stationären Flüssigkeiten (Geschwindigkeiten sind zwar
orts- aber nicht zeitabhängig) sind Bahn und Flusslinien
identisch.
30
Bahnkurven schwarz, Flusslinien die verbundenen Tangenten der magenta Linien
31
b) Teile der Flüssigkeit können von a nach b fließen oder
auch immer nur im Kreis (Rotation)
c) Die Flüssigkeit kann kompressibel sein
d) Es kann innere Reibung geben (Viskosität )
Es sollen jetzt nur ideale Flüssigkeiten untersucht werden:
keine Kompressibilität, keine Viskosität
Dicke x1
Dicke x2
p1, u1
p2 , u2
Fläche A1
Fläche A2
Volumen muss beim
Durchströmen erhalten
bleiben (inkompressibel),
also:
V1/t = V2/t 
A1x1/t = A2x2/t 
A1u1 = A2u2
ui : Geschwindigkeiten
32
D.h.: wenn sich ein Rohr verjüngt, erhöht sich die
Durchflussgeschwindigkeit.
D.h. aber für die kinetische Energie der bewegten Massen:
Ekin,1 = ½ m1u12 = ½ Vu12
Also für
A 2 < A1 :
und
Ekin,2 = ½ m1u22 = ½ Vu22
u2 > u1 : Ekin,2 > Ekin,1
Natürlich gilt auch hier Energieerhaltung. D.h. die zusätzliche
Kinetische Energie Ekin=Ekin,2-Ekin,1 muss von irgendwo
herkommen, nämlich aus der Druckarbeit
W = -pV
W=W2 -W1 = (p1-p2)V = Ekin = Ekin,2 - Ekin,1 = ½ V(u22 –u12)
33
Also gilt:
p1V + ½Vu12 = p2V + ½Vu22
 p1 + ½u12 = p2 + ½u22
dieses ist nun für alle möglichen Kombinationen p1, p2 richtig
also gilt allgemein:
p + ½u2 = p0 = const
im Gravitationsfeld kann man den ersten Term noch auftrennen in „künstlich angelegten Druck“ und „Schweredruck“:
p + gh + ½u2 = const
sog Bernoulli-Gleichung (Energiesatz für Flüssigkeiten)
34
Anwendung: Wie schnell strömt Flüssigkeit aus einem kleinen
Loch.
Versuch höhenabhängiger
Wasserdruck (Schweredruck)
Wasserdruck hat verschiedene
Ausströmgeschwingkeiten zur
Folge
p0
x
h
Wenn Loch klein ist: x sehr klein,
d.h. u10 und hinter Loch ist
p2  0 (p0 : Luftdruck)
p0 + gh + 0 = p0 + 0 + ½u2
also: u = (2gh)½
35
Ausströmgeschwindigkeit bei Druck mit Kolben:
p
x
Wenn Loch klein ist: x sehr klein,
d.h. u10 und hinter Loch ist
p2  0.
p + 0 = 0 + ½u2
also: u = (2p/)½
Weitere Bernoulli- Experimente (bei Verengung sinkt der
Druck, bei Erweiterung steigt er)
Untere Platte
wird angezogen
(Querschnitt
steigt, Druck
steigt
Druck an der
Verengung ist
kleiner
36
Auftrieb bei Flugzeugflügel:
a) symmetrischer Flügel
v1, p1
v,p
v1, p1
Luft strömt mit Geschwindigkeit v auf Flügel, Verengung der
Flusslinien nahe der Flügeloberfläche  höhere Geschwindigkeit v1 an den Flügeloberflächen  Druckerniedrigung am
Flügel, aber symmetrisch (oben und unten)  kein Auftrieb
37
b) asymmetrischer Flügel
v1 , p1
v,p
v2 < v1 also p2 > p1
Luft strömt mit Geschwindigkeit v auf Flügel, Verengung der
Flusslinien nahe der Flügeloberfläche  höhere Geschwindigkeit v1,v2 an den Flügeloberflächen aber unten weniger
verengt, d.h. v1 > v2  oben niedrigerer Druck als unten 
Sog nach oben.
38
Versuch: Auftrieb mit rotierendem Ball
Ball kann mit Pressluft schräg angeblasen werden und bleibt
in der Luft „hängen“ wenn er dabei rotiert. Grund:
Der Ball reißt Luft mit, oben wird die Geschwindigkeit
schneller,unten langsamer (Magnus Effekt)  Auftrieb
nicht rotierend
kein Auftrieb
rotierend
Auftrieb
39
Nichtideale Flüssigkeit (innere Reibung, Viskosität)
Bei einer idealen Flüssigkeit (Viskosität =0) können sich die
Flüssigkeitsvolumina unabhängig voneinander bewegen.
An der „Grenzfläche“ zwischen beiden gibt es kein Beeinflussung beider Teile. Sie gleiten aneinander vorbei.
Reale Flüssigkeit: Moleküle beeinflussen sich untereinander:
unmöglich
real
40
Flüssigkeitsmoleküle „reiben“ aneinander oder an Wänden
Anderes Beispiel: Feste Wand mit Flüssigkeitsfilm der Dicke z.
Darauf gleitet eine Platte der Fläche A mit der Geschwindigkeit u. Um die Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten benötigt
man eine ständig wirkende Kraft F
F
A
u
z
Wand ruht
An der Wand haben die Flüssigkeitsmoleküle die
Geschwindigkeit 0 an der bewegten Platte u. Dazwischen
ein lineares
Geschwindigkeitsprofil und es gilt:




u
du
mit  : Viskosität ( allgemeiner F  A
)
F  A
z
dz
41
Viskosität ist für Flüssigkeiten relativ stark temperaturabhängig, da „heisse“ Moleküle weniger miteinander wechselwirken (und besser aneinander vorbei gleiten) z.B. Wasser
0°C = 1.82 (mN)s/m2 = 0.0182 Poise = 18.2mP
20°C = 1.03 (mN)s/m2 = 10.3 mP
100°C = 0.29 (mN)s/m2 = 2.9 mP
(T)  exp(b/T)
oder Glyzerin :
oder Luft:
glyc = 1.53 Ns/m2
Luft = 17(N)s/m2
Beispiel:Flüssigkeit strömt durch Rohr (Länge L, Radius R)
p1
R
L
p2
r
42
Für die Reibungskraft an einem Sub-Zylinder mit Radius r
muss gelten:
Fr = AM(du/dr) : AM Mantelfläche = 2rL
ist im Gleichgewicht identisch zu der Druckkraft auf den SubZylinder:
Fp = (p1-p2)AK : AK Kopffläche = r2
also : 2rLdu/dr = (p1-p2)r2
 du/dr = r(p1-p2)/(2L)
integrieren: u(r)=(r2/2)(p1-p2)/(2L)+u0
Bedingung u(R)=0 also
u(r)=(r2-R2)(p1-p2)/(4L)
43
D.h. Parabolisches Geschwindigkeitsprofil, das Rohr wird nicht
vollständig für den Materietransport ausgenutzt. Aussen wird
weniger Materie transportiert als innen.
Der Materialtransport dV/dt (Volumen pro Zeit) ergibt sich
zu:
R
 ( p1  p2 ) R 4
dV
 u (r )  2rdr 
Hagen-Poiseuille
dt 0
8L

Verdoppelt man also den Rohrdurchmesser, dann kann man
bei gleicher Druckdifferenz die 16fache Menge Flüssigkeit
hindurchpumpen.
Versuch Stokes’sche Reibung: Kugeln mit Radius r sinken
in zähflüssigem Öl mit konstanter Geschwindigkeit. Die Kugel
reisst Flüssigkeit etwa im Abstand r von der Oberfläche
Flüssigkeit mit (also z von oben etwa r )
44
fallende Kugel
r
ruhende Flüssigkeit
ruhende Flüssigkeit
also F  4r2u/r = 4ur
genaue Rechnung (Gesetz von Stokes) ergibt:
F=6ur
Also gilt für konstant sinkende Kugel der Masse m (Dichte
k) in der Flüssigkeit mit der Dichte fl :
Gewichtskraft-Auftrieb = Stokes : 4/3r3(k-fl)g=6ur
also
u
2 g (  k   fl )r
2
9
45
also : je größer Kugel, je schwerer sie ist und je weniger
viskos und je leichter die Flüssigkeit, desto schneller sinkt
die Kugel.
z.B. Luft, r = 20cm Mensch = 1000kg/m3
also
u  20*1000*0.04/10/ 20e-6  4e6 m/s
völliger Quatsch, da Gesetz nur für langsame Strömungen
gilt!! (laminar)
Für schnellere Strömungen (Schiff, Turbolenzen erlaubt):
u 3 fl
Prandtl-Reibung: F  A
r
1
oder extrem turbolent Newton-Reibung : F  cw  fl Au 2
2
(cw,Kugel  1 , keine Abhängigkeit von  , umensch,luft100m/s)
46
d.h.: Der Strömungswiderstand ist bei laminarer Strömung
wesentlich kleiner (Kraft = constu) als bei turbolenter
Strömung (Kraft = konstu2). Blutadern sind z.B. so
dimensioniert, dass Strömung laminar ist.
Versuch turbolente + laminare Strömung (mit
Zigarettenrauch)
Bei kleiner Gasgeschwindigkeit:
Stromlinien wohldefiniert und
statisch: Laminar
Bei großer Gasgeschwindigkeit:
Stromlinien nicht wohldefiniert
und zeitlich veränderlich:
Turbolent
47
Abschätzung wann laminar und wann turbolent durch sog.
Reynolds-Zahl
Re = fluX/
X : typische Systemlängenskala
(z.B. Rohrdurchmesser, Kugeldurchmesser)
Ist Re größer als ein (systemabhängigiges) Rekrit , dann
hat man turbolente Strömung, sonst laminare.
z.B. für Rohre gilt allgemein: Rekrit  1000
für Rohre ist X = Durchmesser des Rohrs
d.h. für Wasser in einem 1cm starken Rohr gilt:
ukrit = Rekrit/(fld)  (1e-31000/(10000.01))m/s = 0.1m/s
48
Für alle Geschwindigkeiten oberhalb ukrit bilden sich
Turbolenzen.
Also folgende Bedingungen für laminare Strömung:
a) kleine Systemsabmessungen (Wirbel passen nicht ins
System)
b) grosse Viskositäten (Wirbel werden durch innere Reibung
stark gedämpft)
c) kleine Durchflussgeschwindigkeiten (Wirbel können sich
gar nicht erst ausbilden)
d) kleine Dichten der Flüssigkeit
49
Kurzer Abriss: Deformierbarer Körper
Wird an einem Faden (Länge L, Querschnitt A, Durchmesser
D) mit der (nicht zu großen) Kraft F gezogen, so dehnt er sich
elastisch um L:
L = (1/EM)L(F/A) oder L/L = (1/EM)(F/A)
EM ist der sog. Elastizitätsmodul
(für Metalle typischerweise EM  100109N/m2 )
z.B. 1m langer Cu-Draht mit 1mm2 Querschnitt dehnt sich
bei Belastung mit 1kg um (1/(100109))19.81/10-6 m
0.1 mm
Auch das Volumen kann sich leicht änderen:
V/V = [(1-2)/EM](F/A)
: Poisson Zahl
[0.15...0.5]
50
 = 0.5 : Volumen ändert sich nicht.
Zusammenhang mit der Kompressibilität:  = 3(1-2)/EM
Man kann einen Körper auch scheren. Der Körper verbiegt
sich um einen Winkel  mit
F
 = (1/GM)(F/A)

A
GM : Torsionsmodul (Schubmodul)
Zusammenhang mit EM und  :
EM = 2G(1+)
51