Rabin - Lehrstuhl für Informatik der RWTH Aachen

Algorithmische Kryptographie
Kapitel 6
Public-Key-Systeme: Rabin
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik 1
30. Januar 2009
Das System nach Rabin
Grundlagen
Körper
Endliche Körper
Definitionen
Quadratwurzel
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Rabin Verfahren
Aufbau
Entschlüsselung
Sicherheitsaspekte
Unterschriften mit dem System von Rabin
Das System nach Rabin
Grundlagen
(6:1)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Idee
n =p·q
◮
Der Algorithmus nutzt auch die Grundidee, daß die
Multiplikation von Primfaktoren leicht, das Faktorisieren aber
ein schweres Problem ist.
◮
Schweres Problem: Faktorisieren von n.
◮
Schweres Problem: Bestimmen der diskreten Quadratwurzel.
◮
Schweres Problem: Löse x 2 ≡ c mod n.
◮
Leichtes Problem: Löse x 2 ≡ c mod n mit Hilfe von p, q
◮
Wichtig: Arbeite mit großen Zahlen.
Das System nach Rabin
Körper
Grundlagen
(6:2)
Walter Unger
Definition
Es sei K 6= ∅ eine Menge mit 2 Verknüpfungen
(a, b) 7→ a + b : K × K → K und (a, b) 7→ a · b : K × K → K .
K = (K , +, ·) heißt Körper, wenn gilt:
1. (K , +) ist abelsche Gruppe (d.h. + ist assoziativ, kommutativ,
neutrales Element bzgl. + ist 0K . Jedes Element besitzt ein Inverses
bzgl. +).
2. (K , ·) ist kommutatives Monoid (d.h. · ist assoziativ, kommutativ,
neutrales Element bzgl. · ist 1K ).
3. Es gilt das folgende Distributivgesetz: Für alle a, b, c ∈ K ist
a · (b + c) = a · b + a · c.
4. 1K 6= 0K .
5. Jedes Element außer 0K besitzt ein Inverses bzgl. ·.
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Endliche Körper
Grundlagen
(6:3)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Endliche Körper
◮
F(q): Endlicher Körper mit q Elementen, wichtig in der
Kryptographie
◮
Bekannt: q = p h für eine Primzahl p und h ∈ N.
◮
Eine geeignete Darstellung der Elemente von F(q) wird später
behandelt.
Das System nach Rabin
Definitionen
Grundlagen
(6:4)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Definition
1. Für einen Körper K heißt K ∗ := K \{0} die Einheitengruppe von K . Die
Einheitengruppe von F(q) wird mit F ∗ (q) bezeichnet.
2. Ein Element g ∈ F ∗ (q) heißt ein erzeugendes Element (bzw. Generator)
von F ∗ (q), g.d.w. für jedes a ∈ F ∗ (q) existiert ein x ∈ Z mit g x = a (in
F ∗ (q)).
3. Für ein Element a ∈ F ∗ (q) heißt ord(a) := min{r ∈ N | ar = 1} die
Ordnung von a.
Bemerkung:
1. Es gibt genau ϕ(q − 1) Generatoren g .
2. Die Zahl x heißt auch der diskrete Logarithmus von a zur Basis g .
3. Es ist bekannt, daß die Berechnung des diskreten Logarithmus (wenn g , a
und q bekannt sind) so schwer ist wie Faktorisierung.
Das System nach Rabin
Definitionen
Grundlagen
(6:5)
Walter Unger
Beispiel
p=7
ord(1) = 1
ord(2) = 3
ord(3) = 6
(21 = 2, 22 = 4, 23 = 1)
(31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1)
ord(4) = 3
ord(5) = 6
ord(6) = 2
Erzeugende Elemente: 3,5
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Definitionen
Grundlagen
(6:6)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Aussagen und Definitionen
◮
F ∗ (q) ist zyklisch.
◮
Es gibt ϕ(q − 1) erzeugende Elemente in F ∗ (q).
◮
Die Aussage, daß jedes Element in F ∗ (p) erzeugendes Element ist,
ist falsch! (s.o. für p = 7)
◮
Ein erzeugendes Element in F ∗ (p) heißt auch Primitivwurzel
modulo p.
Das System nach Rabin
Quadratwurzel
Grundlagen
(6:7)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Definition
◮
Sei p Primzahl, p > 2.
◮
Sei a ∈ F ∗ (p).
◮
Falls ein x ∈ F ∗ (p) existiert mit a = x 2 , so heißt a quadratischer
Rest modulo p.
◮
Ansonsten heißt a quadratischer Nichtrest modulo p.
Das System nach Rabin
Quadratwurzel
Grundlagen
(6:8)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Bemerkungen
◮
Sei p Primzahl, p > 2.
◮
Da F ∗ (p) ∼ (Z/pZ)∗ , ist a mit 1 6 a 6 p − 1 ein quadratischer
Rest modulo p, g.d.w. die Kongruenz
x 2 ≡ a (mod p)
hat eine Lösung x.
◮
x heißt auch Quadratwurzel von a modulo p. Mit x ist auch −x
Quadratwurzel von a modulo p.
◮
Weiter gibt es dann (p − 1)/2 quadratische Reste und (p − 1)/2
quadratische Nichtreste modulo p.
◮
Die quadratischen Reste lassen sich berechnen als (i 2 ) mod p für
1 6 i 6 (p − 1)/2.
Das System nach Rabin
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
Grundlagen
(6:9)
Walter Unger
Definition
Bemerkung: a quadratischer Rest modulo p, falls ∃x : x 2 ≡ a (mod p).
Sei a ∈ Z, p Primzahl, p > 2. Das Legendre-Symbol ( pa ) ist definiert als

µ ¶ 
a
=

p
0, falls p|a
1, falls a quadratischer Rest modulo p
−1, falls a quadratischer Nichtrest modulo p
Theorem:
[Eulersches Kriterium]
Sei a ∈ Z, p Primzahl, p > 2. Dann gilt:
( pa ) ≡ a(p−1)/2 (mod p).
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Grundlagen
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
(6:10)
Walter Unger
Theorem
Seien p, q Primzahlen, p, q > 2. Seien a, b ∈ Z. Dann gilt:
1. ( p1 ) = 1
(p−1)/2
=
2. ( −1
p ) = (−1)
a
b
3. ( ab
p ) = (p) · (p)
½
1, falls p ≡ 1 (mod 4)
−1, falls p ≡ 3 (mod 4)
4. ( pa ) = ( pb ), falls a ≡ b (mod p)
5.
a2
(p)
= 1, falls p 6 | a
6. ( p2 ) = (−1)(p
2
−1)/8
=
½
Z
Rabin Verfahren
1, falls p ≡ 1, 7 (mod 8)
−1, falls p ≡ 3, 5 (mod 8)
7. Quadratisches Reziprozitätsgesetz:
(
−( pq ), falls p ≡ q ≡ 3 (mod 4)
(p−1) (q−1)
( qp ) = (−1) 2 2 · ( pq ) =
( pq ), sonst
Das System nach Rabin
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
Grundlagen
(6:11)
Walter Unger
Erweiterung
Hier:
Verallgemeinerung des Legendre-Symbols.
Definition:
◮
Sei a ∈ Z und n ∈ N ungerade.
◮
Sei n = p1e1 . . . pkek die Primfaktorzerlegung von n.
◮
Dann ist das Jacobi-Symbol ( na ) definiert als:
³a´
n
=
Ziel:
Effiziente Berechnung von ( na ).
µ
a
p1
¶e1
· ... ·
Z
Rabin Verfahren
µ
a
pk
¶ek
.
Das System nach Rabin
Grundlagen
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
(6:12)
Walter Unger
Theorem:
Seien m, n ∈ N ungerade. Seien a, b ∈ Z. Dann gilt:
1. ( 1a ) = 1
a
b
)
=
(
)
·
(
2. ( ab
n
n
n)
a
3. ( mn
) = ( ma ) · ( na )
4. ( na ) = ( bn ), falls a ≡ b (mod n)
5. ( n1 ) = 1
(n−1)/2
)
=
(−1)
=
6. ( −1
n
7.
( n2 )
(n2 −1)/8
= (−1)
=
½
½
1, falls n ≡ 1 (mod 4)
−1, falls n ≡ 3 (mod 4)
1, falls n ≡ 1, 7 (mod 8)
−1, falls n ≡ 3, 5 (mod 8)
8. Quadratisches Reziprozitätsgesetz:
( mn )
= (−1)
(m−1) (n−1)
2
2
· ( mn )
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
Grundlagen
(6:13)
Walter Unger
Bemerkung:
◮
( na ) = 1 6⇒ a ist quadratischer Rest modulo p.
◮
2
sp.: ( 15
) = ( 32 ) · ( 52 ) = (−1) · (−1) = 1, aber 6 ∃x : x 2 ≡ 2 (mod 15).
Aufgabe:
Berechne ( na ) für a ∈ Z, n ∈ N ungerade.
Algorithmus:
Falls a < 0 : ( na ) = (−1)(n−1)/2 · ( −a
n )
n
)
Falls a > n : ( na ) = ( a mod
n
Berechne ( na ) für 0 < a < n.
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Grundlagen
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
(6:14)
Walter Unger
Beobachtung:
Seien a ∈ Z, n ∈ N ungerade mit 0 < a < n.
1. Sei a = 2e · n′ , n′ ungerade. Dann gilt:
µ e ′ ¶ µ ¶e µ ′ ¶
³a´
n
2 ·n
2
·
=
=
n
n
n
n
=
=
2. ( n0 ) =
½
e· n
2 −1
³n´
· ′
n
¶
µ
′
′
2
n−1 n −1
n mod n
e· n 8−1
2
2
· (−1)
·
(−1)
n′
mit 0 < n mod n′ < n′ 6 a < n.
(−1)
1, falls n = 1
0, sonst
8
· (−1)
(n−1) (n′ −1)
2
2
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
Grundlagen
(6:15)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Algorithmus:
JACOBI(a, n)
{0 6 a < n; n ungerade}
1) t ← 1
2) while (a 6= 0) do
3)
while (a mod 2 = 0) do
4)
a ← a/2
5)
if (n mod 8 = 3) or (n mod 8 = 5) then
t ← −t
6)
interchange(a, n)
7)
if (a mod 4 = 3) and (n mod 4 = 3) then t ← −t
8)
a ← a mod n
9) if (n = 1) then return(t) else return(0)
Das System nach Rabin
Grundlagen
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
(6:16)
Walter Unger
Beispiel:
„
−2819
4177
«
=
=
=
=
« „
«
„
«
„
«
„
«
„
« „
«
2819
2819
4177
1358
2
679
·
=
=
=
=
·
4177
4177
4177
2819
2819
2819
2819
«
„
«
„
«
„
«
„
«
„
«
„
2819
103
679
61
103
679
=+
=
=−
=−
=−
−
2819
679
679
103
103
61
„ «„ «
„ «
„ «
„ «
„ «
„ «
2
21
61
19
21
2
42
=−
=
=
=
=
−
61
61
61
21
21
19
19
−1
„
Z
Rabin Verfahren
−1
(Da 4177 Primzahl, ist also −2819 quadratischer Nichtrest modulo 4177.)
Aufwand:
O((log a) · (log n)). (Analyse analog zum Euklidischen Algorithmus)
Beachte:
¡a¢
Berechnung von n erfolgt ohne Faktorisierung von a oder n (außer dem
Herausziehen von 2er-Potenzen).
Das System nach Rabin
Legendre-Symbol und Jacobi-Symbol
Grundlagen
(6:17)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Bemerkung:
1. JACOBI(a, n) stellt einen effizienten Test dar zur Bestimmung, ob a
quadratischer Rest modulo n, falls n Primzahl.
2. Dies liefert jedoch kein effizientes Verfahren, um eine Quadratwurzel
von a modulo p (d.h. x mit x 2 ≡ a (mod p)) zu berechnen.
3. Es gibt jedoch ein effizientes probabilistisches Verfahren hierzu.
4. Man kennt aber keinen effizienten Test zur Bestimmung, ob a
quadratischer Rest modulo n, falls n beliebig. (selbst wenn n = p · q)
Das System nach Rabin
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Grundlagen
(6:18)
Walter Unger
Satz
n = p · q, p, q prim, p, q > 2, p 6= q.
Es gilt:
◮
◮
◮
◮
◮
Z
Rabin Verfahren
a quadratischer Rest mod n
⇔ a quadratischer Rest mod p ∧ a quadratischer Rest mod q.
¡a¢
n = +1
³ ´ ³ ´
⇔ pa · qa = +1
³ ´ ³ ´
³ ´ ³ ´
⇔ pa = qa = +1 ∨ pa = qa = −1.
Das System nach Rabin
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Grundlagen
(6:19)
Walter Unger
Satz
Man kann zeigen:
◮
◮
◮
Für ¡genau
die Hälfte der Zahlen a mit 0 < a < n und ggT(a, n)=1
¢
gilt na = +1.
¡a¢
Für die andere Hälfte gilt: n = −1.
¡a¢
Genau die Hälfte der Zahlen, die n = +1 erfüllen, sind
quadratische Reste modulo n, und zwar genau die, für die
µ ¶ µ ¶
a
a
=
= +1.
p
q
Die andere Hälfte, d.h. diejenigen, für die
µ ¶ µ ¶
a
a
=
= −1 ,
p
q
sind quadratische Nichtreste modulo n.
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Grundlagen
(6:20)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Bemerkung:
◮
Es ist kein effizientes Verfahren bekannt, um die beiden obigen Fälle
zu unterscheiden,
◮
d.h. um zu bestimmen, ob a quadratischer Rest modulo n ist, es sei
denn, man kennt die Faktorisierung von n.
◮
(In letzterem Falle verwendet man 1.)
Das System nach Rabin
Grundlagen
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
(6:21)
Walter Unger
Beispiel:
n = 15, p = 3, q = 5.
a mit
³ ´
a
ggT (a, n) = 1
p
1
2
4
7
8
11
13
14
+
−
+
+
−
−
+
−
Z
Rabin Verfahren
a quadratischer
³ ´
a
q
¡a¢
n
Rest mod n
+
−
+
−
−
+
−
+
+
+
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
−
−
−
Das System nach Rabin
Grundlagen
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
(6:22)
Walter Unger
Annahme:
Man weiß, daß a, 0 < a < n, quadratischer Rest modulo n. D.h.
∃x : x 2 ≡ a
(mod n)
Sehr wichtige Aufgabe in der Kryptographie:
Finde x, d.h. eine Quadratwurzel von a modulo n.
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Grundlagen
(6:23)
Folgerungen:
◮
n = p · q, p, q prim, p, q > 2, p 6= q.
◮
a quadratischer Rest modulo n
◮
⇒ x 2 ≡ a (mod n)
◮
⇒ p · q | (x 2 − a)
◮
⇒ p | (x 2 − a) ∧ q | (x 2 − a)
◮
⇒ x 2 ≡ a (mod p) ∧ x 2 ≡ a (mod q)
◮
⇒ a quadratischer Rest mod p und q
◮
⇒ ∃y , z : (±y )2 ≡ a (mod p) ∧ (±z)2 ≡ a (mod q)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Das System nach Rabin
Grundlagen
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
(6:24)
Walter Unger
Bemerkung:
◮
y und z können probabilistisch in Polynomzeit berechnet werden.
◮
⇒ Für x muß gelten:
x ≡ ±y (mod p) ∧ x ≡ ±z (mod q).
◮
Der chinesische Restsatz liefert 4 Quadratwurzeln von a modulo n.
◮ (z.B.: ∃ eindeutig bestimmtes x ∈ {0, 1, . . . , n − 1} mit x ≡ y
(mod p) ∧ x ≡ z (mod q)
◮ ⇒ x 2 ≡ y 2 ≡ a (mod p) ∧ x 2 ≡ z 2 ≡ a (mod q)
◮ ⇒ p | (x 2 − a) ∧ q | (x 2 − a)
◮ ⇒ p · q | (x 2 − a) (da p, q teilerfremd)
◮ ⇒ x 2 ≡ a (mod n)
◮ ⇒ x Quadratwurzel modulo n
◮
Es gilt: Die 4 Quadratwurzeln lassen sich schreiben als
±u, ±w , wobei u 6≡ ±w
Z
Rabin Verfahren
(mod n).
u und w wie oben werden als unterschiedliche Quadratwurzeln
modulo n bezeichnet.
Das System nach Rabin
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Grundlagen
(6:25)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
2 wichtige Fakten für die Kryptographie:
1. Die Kenntnis zweier unterschiedlicher Quadratwurzeln u und w
derselben Zahl a modulo n erlaubt die Faktorisierung von n. (D.h.
die Kenntnis eines quadratischen Restes a modulo n erlaubt
probabilistisch die Faktorisierung von n in Polynomzeit.)
2. Falls p ≡ q ≡ 3 (mod 4), so besitzen zwei unterschiedliche
Quadratwurzeln u und w derselben Zahl a modulo n verschiedene
Jacobi-Symbole:
³w ´
³u ´
=−
.
n
n
Das System nach Rabin
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
Grundlagen
(6:26)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
1. Beweis:
1. Es gilt: (u + w )(u − w ) = u 2 − w 2 ≡ a − a = 0 (mod n).
2. ⇒ n | (u + w ) · (u − w )
3. Da u 6≡ ±w (mod n), gilt: n 6 | (u + w ) ∧ n 6 | (u − w ).
4. ⇒ ggT(u + w , n) ∈ {p, q} (Läßt sich effizient berechnen mittels
Euklidischem Algorithmus.)
Das System nach Rabin
Grundlagen
Detaillierte Betrachtung des kryptographisch wichtigen Falls
(6:27)
Walter Unger
2.Beweis:
1. Es gilt: u 2 ≡ a ≡ w 2 (mod n).
⇒
⇒
2.
(i)
oder (ii)
oder (iii)
oder (iv )
u 2 ≡ w 2 (mod p) ∧ u 2 ≡ w 2 (mod q)
u ≡ w (mod p) ∧ u ≡ w (mod q)
u ≡ w (mod p) ∧ u ≡ −w (mod q)
u ≡ −w (mod p) ∧ u ≡ w (mod q)
u ≡ −w (mod p) ∧ u ≡ −w (mod q)
3. Da u 6≡ ±w (mod n), gilt (ii) oder (iii). Da p ≡ q ≡ 3 (mod 4), folgt:
◮
falls u ≡ w (mod p) ∧ u ≡ −w (mod q) gilt:
„ «
u
n
◮
„ « „ «
„ « „
«„ « „
« „ «
„ «
u
u
w
−w
w
−1
w
w
=
·
=
·
·
·
(−1) ·
p
q
p
q
p
q
q
n
falls u ≡ −w (mod p) ∧ u ≡ w (mod q) gilt:
„ «
u
n
Z
Rabin Verfahren
„ « „ «
„
« „ «„
« „ « „ «
„ «
u
u
−w
w
−1
w
w
w
=
·
=
·
·
·
(−1) ·
p
q
p
q
p
p
q
n
Das System nach Rabin
Aufbau
Grundlagen
(6:28)
Walter Unger
System von Rabin
◮
◮
Bei dem System von Rabin wird als Einwegfunktion
verwendet: ZZn → ZZn mit m 7→ m2 mod n.
Aufbau:
◮
◮
◮
Z
Rabin Verfahren
Man bestimmt zwei große Primzahlen p, q mit p, q ≡ 3
(mod 4).
Dazu testet man Zahlen der Form 4k + 3 auf die
Primzahleigenschaft.
Dann setzt man n = p · q.
◮
Die Verschlüsselungsfunktion ist EnRabin : ZZn → ZZn mit
EnRabin (m) 7→ m2 mod n.
◮
Die Entschlüsselungsfunktion ist DnRabin : ZZn → ZZn .
Das System nach Rabin
Entschlüsselung
Grundlagen
Z
Rabin Verfahren
(6:29)
Walter Unger
System von Rabin
n = p · q,
p, q ≡ 3 (mod 4)
EnRabin (m) 7→ m2
DnRabin : ZZn → ZZn
◮
Zur Entschlüsselung wird der Chinesische Restklassensatz verwendet.
◮
Nach diesem gibt es eine Funktion ϕ : Z n → Z p × Z q mit
c 7→ (c mod p, c mod q) mit der die verschlüsselte Nachricht zerlegt
werden kann.
◮
Nun können die Wurzeln modulo p bzw. q bestimmt werden.
◮
Je nachdem, ob c eins der p oder q teilt, ergeben sich 2 oder 4
Wurzeln.
◮
Diese sind dann Kandidaten für den verschlüsselten Text.
Das System nach Rabin
Entschlüsselung
(6:30)
Grundlagen
Walter Unger
System von Rabin
n = p · q,
◮
Z
Rabin Verfahren
Um diese dann noch eindeutig zu identifizieren, gibt es unter
anderen zwei Möglichkeiten:
p, q ≡ 3 (mod 4)
EnRabin (m) 7→ m2
DnRabin : ZZn → ZZn
1. Falls die verschlüsselte Nachricht aus einer natürlichen Sprache
ist, kann man die richtige Botschaft direkt erkennen.
2. Falls die verschlüsselte Nachricht nicht aus einer natürlichen
Sprache ist, dann werden zusätzliche Informationen zur
Unterscheidung
der Wurzeln bei der Übertragung zugefügt,
¡m¢
z.B. n und das erste Bit der Nachricht.
Das System nach Rabin
Sicherheitsaspekte
Grundlagen
(6:31)
Walter Unger
Sicherheitsaspekte:
n = p · q,
p, q ≡ 3 (mod 4)
EnRabin (m) 7→ m2
DnRabin : ZZn → ZZn
◮
Das System von Rabin ist so sicher, wie die Faktorisierung
schwer ist.
◮
Rabin zugreifen kann, so kann
Falls man auf den Algorithmus Dp,q
man n faktorisieren.
Dazu gehe man wie folgt vor.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Wähle m mit 0 < m < n.
Setze c := m2 mod n.
Rabin
Setze y := Dp,q
(c).
Falls m 6≡ ±y (mod n) kann n faktorisiert werden.
beachte:
◮
◮
◮
n|u 2 − v 2 = (u + v )(u − v )
n 6 |(u + v ) und n 6 |(u − v )
Teiler von n: ggT(u + v , n)
Z
Rabin Verfahren
Das System nach Rabin
Unterschriften mit dem System von Rabin
Grundlagen
(6:32)
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger
Unterschriften
◮
Um eine Unterschrift mit dem System von Rabin zu erzeugen,
verwendet man eine Hashfunktion h : M × {0, 1}k → ZZn mit
(m, x) 7→ h(m, x).
◮
Dazu wählt man zufällig x bis h(m, x) ein Quadrat in ZZn ist.
◮
Danach bestimmt man die Wurzel y von h(m, x).
◮
Die Unterschrift ist dann (m, x, y ).
◮
Diese Unterschrift wird durch h(m, x) ≡ y 2 (mod n) getestet.
Das System nach Rabin
Unterschriften mit dem System von Rabin
Grundlagen
(6:33)
Fragen
◮
Wie ist das System von Rabin aufgebaut?
◮
Wie wird beim System von Rabin entschlüsselt?
◮
Wie sicher ist das System von Rabin?
Z
Rabin Verfahren
Walter Unger