Übersicht über kombinatorische „Figuren“

Modul Kombinatorik GS | Baustein 2
Übersicht über kombinatorische „Figuren“
Allgemeines, fundamentales Zählprinzip der Kombinatorik
Auf das Verständnis kommt es an:
Es geht um „geschicktes“ Bestimmen von Anzahlen
Beispiele
Flächeninhalt
6 Reihen mit je 5 Platten (Rechteck)
Speisekarte
2 Vorspeisen, 3 Hauptgerichte, 2 Nachspeisen
Wahlmöglichkeiten
V
H
N
2
Insgesamt
3
2
2 ∙ 3 ∙ 2 = 12 Möglichkeiten der Menüwahl
Turmbau drei Farben (weiß, rot, blau) jede Farbe genau einmal verwenden
Wahlmöglichkeiten
1. Etage
2. Etage
3. Etage
3
Insgesamt
2
1
3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 unterschiedliche Türme
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Ziffernschloss
Zwei gleichteure Zahlenschlösser. Welches Schloss ist sicherer- hat mehr
Einstellmöglichkeiten?
1. Schloss vier Ringe mit je sechs Ziffern
Ring 1
Ring 2
Ring 3
Ring 4
6
6
6
6
Einstellmöglichkeiten
6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296
2. Schloss drei Ringe mit je acht Ziffern
Ring 1
Ring 2
Ring 3
8
8
8
Einstellmöglichkeiten
8 ∙ 8 ∙ 8 = 512
Welche weiteren Darstellungsmöglichkeiten sind möglich?
Allgemein: Für zu besetzende Stellen gibt es jeweils eine wohl definierte Anzahl von
Möglichkeiten, diese Anzahlen werden multipliziert.
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Wie findet man einen rechnerischen Ausdruck/ eine „Formel“?
Beispiel
Die Flagge hat 3 Felder und es stehen 4 Farben zur Verfügung.
Wie viele Möglichkeiten des Färbens, wenn...
 jede Farbe nur einmal verwendet werden darf?
Lösung: 4∙ 3 ∙2 = 24 Möglichkeiten

„nur“ die Bedingung existiert, dass benachbarte Felder nicht in der
gleichen Farbe gefärbt sein dürfen.
Lösung: 4 ∙ 3 ∙ 3 = 36 Möglichkeiten
Wie sieht jeweils ein passendes Baumdiagramm aus?
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Permutation ohne Wiederholung
Anordnungsproblem, alle vorhandenen Elemente werden in jedem Fall benötigt
und die Reihenfolge ist wichtig.
Beispiel
Wie viele dreistellige Zahlen können aus den Ziffern 2,4,6 gebildet werden?
Jede Ziffer darf nur einmal verwendet werden.
Lösung – wie ermitteln? Welche Darstellung möglich?
Auflistung aller Lösungen
246
264
426
462
Baumdiagramm
Rechnerisch
3∙2∙1=6
624
642
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Aufgabe
Wie viele Möglichkeiten hat Frau Meier ihre vier Kinder für ein Foto
aufzustellen?
Einordnen (Ist dieses Problem als Permutation einzuordnen?)
Alle Elemente/ Kinder werden jeweils benötigt
 ohne Wiederholungen -Wiederholungen sind nicht zulässig/möglich
Die Reihenfolge ist wichtig - es ist ein Unterschied, ob Max an erster oder an
vierter Stelle steht.
Lösung
1. Stelle 4 Kinder
2. Stelle 3 Kinder
3. Stelle 2 Kinder
4. Stelle 1 Kind
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 Möglichkeiten
Weitere Lösungsdarstellungen?
Allgemein Permutation von n Elementen (ohne Wiederholung)
P n = n ∙ (n-1) ∙ (n-2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1 = n!
Möglicher Bezug zu Baustein Kombinatorik 1
Bei welchen der bisherigen Beispielen handelt es sich um Permutationen?
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Permutation mit Wiederholung
Beispiel
Welche und wie viele vierstellige Zahlen können aus den Ziffern 2, 4 und 6
gebildet werden, wenn die 6 zweimal auftreten soll?
Lösung: 2664
2646
2466
4662
4626
4266
6624
6264
6246
6642
6426
6462
Es gibt es 12 Möglichkeiten.
Überlegungen
Wären es 4 verschiedene Ziffern hätten wir 24 Möglichkeiten (4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Permutation ohne Wiederholung).
Da die 6 doppelt vorkommt, ist durch 2 zu dividieren (die beiden Sechsen können nicht
unterschieden werden).
Würde eine Zahl (allgemein ein Element) dreimal auftreten, so ist durch
6 = 2 ∙ 3 zu dividieren.
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Variation ohne Wiederholung (auch geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen)
Auswahlproblem, nicht alle Elemente werden verwendet, es kommt aber auf
die Reihenfolge an.
Beispiel:
An einen 400 – m Lauf nehmen 8 Läufer teil. Wie viele Möglichkeiten der
Belegung der ersten drei Plätze gibt es?
Überlegungen
 Offensichtlich werden nicht alle „Elemente“ benötigt, es können nur 3 der 8 Läufer
die ersten drei Plätze belegen.
 Wiederholung ist nicht möglich, ein Läufer kann nicht zweimal durchs Ziel laufen.
 Die Reihenfolge ist wichtig, 1. oder 3. zu sein ist ein Unterschied.
Lösung
Für Platz 1 gibt es 8, für Platz 2 dann noch 7 und Platz 3 noch 6 Möglichkeiten des
Einlaufs. Damit insgesamt:
8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 Möglichkeiten
Weitere Darstellungsmöglichkeiten?
Allgemein:
n ∙ (n-1) ∙ (n-2) ∙ … ∙ (n – (k-1))
(Bez. Vn(k) )
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Variation mit Wiederholung (auch geordnete Stichprobe mit Zurücklegen)
Beispiel
Es gibt Steckwürfel in drei unterschiedlichen Farben (rot, blau, gelb).
Wie viele unterschiedliche Dreiertürme können gebaut werden?
Einordnen
 Auswahlproblem, nur drei Steine werden genommen
 Wiederholung ist möglich Farben können mehrfach auftreten)
 Reihenfolge ist wichtig: r – b – g ist anders als g – r – b
Lösung: Stein 1: 3 Möglichkeiten
Stein 2: 3 Möglichkeiten
Stein 3: 3 Möglichkeiten
insgesamt 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33 = 27 Möglichkeiten
Allgemein: k Elemente aus n auswählen, Wiederholungen sind möglich,
die Reihenfolge ist wichtig
nk Möglichkeiten
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Kombinationen ohne Wiederholung (auch ungeordnete Stichprobe ohne
Zurücklegen)
 nicht alle Elemente werden verwendet
 es kommt nicht auf die Reihenfolge an
Beispiel:
Es sind 5 verschiedene Punkte gegeben, von denen nicht drei auf einer Geraden liegen.
Wie viele Geraden (Verbindungsstrecken) können gezeichnet werden?
(Händeschütteln als analoges Problem)
Einordnen
 Es handelt sich um ein Auswahlproblem: 2 aus 5 Punkten wählen
 Wiederholung nicht möglich, denn wählt man zweimal A kann keine Gerade
gezeichnet werden.
 Die Reihenfolge ist unwichtig, die Geraden AB und BA sind identisch (Händeschütteln)
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Lösung(smöglichkeiten)
(1) Zeichnerische Lösung
Geraden zählen
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Lösung(smöglichkeiten)
(2) Auflistung
AB
BC
CD
AC
BD
CE
AD
BE
DE
AE
Insgesamt : 10 Möglichkeiten
Möglichkeiten sind zu addieren.
Fundamentalprinzip (Multiplikation) kann hier nicht angewendet werden.
Baumdiagramm nicht möglich. Warum nicht?
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Lösungsmöglichkeiten
(3) Rechnerisch (Formel)
Jeder Punkt (5) kann mit 4 anderen Punkten verbunden werden, wenn diese
Linien zu unterscheiden wären, gäbe es also 5 ∙ 4 = 20 Möglichkeiten.
Dabei wird jede Möglichkeit aber doppelt gezählt, es muss also durch 2
dividiert werden.
Es gibt also 20 : 2 = 10 Möglichkeiten, wie wir bereits festgestellt haben.
Weiterführung: Dreiecke zeichnen, bei 5 Punkten gibt es insgesamt
(5 ∙ 4 ∙ 3) : (2 ∙ 3) = 60 : 6 = 10 Möglichkeiten.
Allgemein: k Elemente aus n Elementen auswählen, Reihenfolge ist
nicht wichtig, keine Wiederholdung
n!
(n  k )! k!
Möglichkeiten
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Kombinationen mit Wiederholung (auch ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen)
Beispiel:
Wie viele Steine hat ein Dominospiel, bei dem die Punktbilder von 0 bis 6 auftreten?
Einordnen
 Auswahlproblem, es werde je zwei Punktbilder für einen Stein ausgewählt.
 Wiederholung ist möglich, es gibt Steine, auf denen ein Punktbild zweimal auftritt.
 Reihenfolge ist unerheblich, da Steine beliebig gedreht werden können.
Lösungsmöglichkeit - Auflisten
0|0
0|1
0|2
0|3
0|4
0|5
0|6
1|1
1|2
1|3
1|4
1|5
1|6
2|2
2|3
2|4
2|5
2|6
3|3
3|4
3|5
3|6
4|4
4|5
4|6
5|5
5|6
6|6
28 Möglichkeiten
Fundamentalprinzip (Multiplikation) nicht anwendbar, Baumdiagramm nicht möglich
Man kann für die Berechnung eine Formel herleiten:
(nur der Vollständigkeit halber)
(n  k  1)!
(n  k )! k!
Möglichkeiten