Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Theoretische Physik III: Quantenmechanik
Prof. F.Wegner, Universität Heidelberg, SS04
5. Übungsblatt, Präsenzübung 21.05.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 24.05.04
P4. 3 dim. harmonischer Oszillator P4. 3–d harmonic Oscillator
Der 3 dimensionale harmonische Oszilla- The three dimensional harmonic oscillator
tor ist beschrieben durch den Hamilton is described by the Hamiltonian
Operator
H =
3
1 2 mX
p +
ω 2 x2
2m
2 i=1 i i
i) Geben Sie die Eigenfunktionen und
Eigenwerte an.
Diskutieren Sie die
Grenzfälle ω1 ω2 , ω3 und ω1 , ω2 ω3 .
ii) Setzen Sie ω1 = ω2 = ω3 . Bestimmen
Sie die drei niedrigsten Eigenwerte und
deren Entartungsgrad. Wieviele Entartungen hat ein beliebiger Eigenwert EN ?
i) Determine the eigenfunctions and the
eigenvalues. Discuss also the limiting
cases ω1 ω2 , ω3 and ω1 , ω2 ω3 .
ii) Set ω1 = ω2 = ω3 . Determine the three
lowest eigenvalues and their degree of degeneracy. What is the degree of degeneracy of an arbitrary eigenvalue EN ?
H12. Teilchen im Gravitationsfeld
Ein Teilchen unter dem Einfluß einer
konstanten Kraft (z. B. eines Gravitationsfeldes) wird beschrieben durch die
Schrödinger Gleichung Operator
H12. Particle in a gravitation field
A particle in a field of constant force
(i. e. gravitation field) is described by the
Schrödinger equation
d
ih̄ ψ(x, t) =
dt
h̄2 d2
−
+ mgx ψ(x, t) .
2m dx2
!
Zeigen Sie, dass man sich eine Lösung Show that one can obtain a solution of this
dieser Gleichung aus einer Lösung ψ0 (x, t) equation from the solution ψ0 (x, t) of the
der Schrödingergleichung des freien Schrödinger equation of a free particle
Teilchens
ih̄
d
h̄2 d2
ψ0 (x, t) = −
ψ0 (x, t)
dt
2m dx2
beschaffen kann. Setzen Sie dafür an
Use the ansatz
ψ(x, t) = ψ0 (x + gt2 /2, t)eiφ(t)−iaxt
und bestimmen Sie a und φ(t). Hinweis:
Bezeichnen Sie die Ableitung nach dem ersten Argument von ψ0 mit ψ00 und nach
dem zweiten Argument mit
ψ̇0 . (5 P)
and determine a and φ(t). Hint, denote
the derivatives of ψ0 in the first argument
as ψ 0 and the derivative in the second argument as ψ̇0 . (5 P)
H13. Potetialstufe
H13. Potentialstep
Betrachten Sie den Hamilton Operator für Consider the Hamiltonian for a particle in
ein Teilchen in einem Stufenpotential
a potential of the form of a step function.
H =
p2
+ V (x) ,
2m
V (x) = V0 θ(x) .
i) Berechnen Sie die auslaufende Welle
ψout für eine einlaufende Welle der Form
ψin = Aθ(−x)eikx + Bθ(x)e−iqx
Setzen Sie an
i) Calculate the outgoing wave ψout for an
incoming wave of the form
,
k>
q
2mV0 /h̄ ,
q > 0, real .
Make the ansatz
ψout = Cθ(−x)e−ikx + Dθ(x)eiqx
und bestimmen Sie C und D. (3 P)
ii) Berechnen Sie die Stromdichten jC , jD .
Welcher Zusammenhang besteht zwischen
jA , jB , jC und jD . (2 P)
and determine C and D. (3 P)
ii) Calculate the current densities jC and
jD . What is the relation between jA , jB ,
jC and jD . (2 P)