VektorenMatrizen

Unterrichtshilfe
Matrizen
Skriptum
WBG
Privat
01.01.2011
Brigitte Wessenberg
2012
Inhalt
1. Grundbegriffe zu Matrizen
Übungen
3
4
2. Rechnen mit Matrizen
a) Addition und Subtraktion
b) Multiplikation und Division mit einer Zahl
Übungen zu a, b
c) Multiplikation von 2 Matrizen
Übungen
d) Anhang: Matrizen mit EXCEL
6
6
6
8
10
13
LÖSUNGEN im Beiheft
Technologie: In diesem Skriptum sind GTR (TI82stats) und CAS (Ti89) kurz mit beschrieben, weil sie in der HUM am häufigsten verwendet werden.
Ähnlich arbeiten aber andere GTR und CAS-Taschenrechner auch. DAHER NICHT ALS WERBUNG für TI-Rechner zu verstehen!
Zusätzlich empfohlen wird Geogebra in der neuesten Version, Tabellenkalkulationsprogramme, Rechenprogramme wie wiris,
maxima etc, die man frei über Internet bekommen kann. Sie sind im Skriptum häufig für Grafiken und Berechnungen verwendet worden.
Quellenangaben: Es wurde nichts original übernommen, aber Inspirationen und Hinweise zu Aufgabenarten stammen aus
folgenden Büchern und Websites – daher für weiterführenden Studien anzuraten:
Mathe mit Gewinn (Hinkelmann, Böhm, Hofbauer ua), hpt-verlag, Mathematik HAK (Schneider, Thannhauser ua.) Trauner-Verlag
Mathematik verstehen 5 (Malle, Ramharter ua) Öbv-Verlag, Mathematik 1 und 2 (Sidlo, Puhm u.a.) hpt-Verlag, Lehrbuch der Mathematik 5 (Reichel, Malle u.a.)
Hpt/öbv Verlag, Mathematik Oberstufe 1 Novak, Reniets-Verlag, Vektorielle Analytische Geometrie, Laub/Teller I, LHU, J. Lindauer-Verlag
www.mathe-trainer.com, http://delphi.zsg-rottenburg.de/la1.html, http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/
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Matrizen
1. Grundbegriffe zu Matrizen
Eine Matrix ist ein Zahlenschema, mit dem zahlenmäßige Zusammenhänge übersichtlich dargestellt
werden können. Sie wird mit Großbuchstaben bezeichnet.
Ein Beispiel:
Eine Firma vertreibt 4 Produkte P1, P2, P3, P4. Die Firma berichtet über die Verkaufszahlen in den ersten 2 Monaten.
Tabellarische Darstellung:
Darstellung als Matrix: Produkt x Monat
Zeilen x Spalten
Die Matrixelemente
A ist eine so genannte 4 x 2 Matrix, sie hat 4 Zeilen und 2 Spalten. Die Zeilen werden zuerst benannt! Die Elemente
der Matrix bezeichnet man mit Indizes: a11 … Element 1. Zeile, 1. Spalte = 124 a32 … Element 3. Zeile, 2. Spalte = 81
Spalten und Zeilen der Matrix haben eine unterschiedliche Aussage.
Die Elemente der 1. Spalte geben die Verkaufszahlen aller Produkte im 1. Monat,
die Elemente der 1. Zeile geben die Verkaufszahlen des Produkts P1 in beiden Monaten an.
TI82stats:
Eingabe: Matrix / EDIT /Enter / 4 x 2 / Enter / 1. und 2. Zahlenzeile eingeben, jeweils mit Enter
bestätigen/ Quit
Aufruf der Matrix: Matrix / Names/ Nummer, unter der die Matrix gespeichert wurde.
ODER Eingabe im Hauptfenster eckige Klammer und mit Zeilen in eckigen Klammern:
[ [124,75][298,56][214,81][178,102] ] STOMATRIX-Taste und Buchstaben aussuchen.
TI89: Am einfachsten gibt man die Matrix in eckiger Klammer ein (Zeilen mit ; trennen)
[124,75;298,56;214,81;178,102] STOa1 gibt die Matrix a1 = A (s.oben)
Besondere Matrizen: Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte nennt man Vektoren.
Hat eine Matrix nur eine Zeile, so nennt man sie Zeilenvektor. Der Ausdruck Spaltenvektor bezeichnet
eine Matrix mit nur einer Spalte.
Man kann die Zeilen und Spalten vertauschen, dann erhält man die transponierte Matrix AT.
Die Interpretation der transponierten Matrix ist die gleiche, man hat in der Tabelle lediglich Zeilen und Spalten
vertauscht. Dies ist gelegentlich bei bestimmten Berechnungen von Vorteil.
TI82stats: Die Matrix aufrufen oder eingeben dann Matrix Math und dort 2 ( T )drücken/enter
TI 89: Matrix aufrufen oder eingeben/ MATH/Matrix 1 ( T ) drücken
3
Matrizen und Gleichungssysteme
Mit Hilfe einer Matrix lässt sich ein lineares Gleichungssystem kurz darstellen:
2x3, (Zeilen mal Spalten) die sogenannte erweiterte Matrix, enthält alle Zahlen des
geordneten
Gleichungssystems
2x - 3y = 2
3x + 2y = 29
Die quadratische Matrix enthält nur die Zahlen vor den Unbekannten und heißt
Koeffizientenmatrix.
Lösung des Gleichungssystems (beliebig viele Variable):
TI 82stat: MATRIX /EDIT "[A]" Zeilenzahl x Spaltenzahl eingeben.
Dann zeilenweise alle Zahlen des Systems eingeben / QUIT
MATRIX /Math/ B rref "reihenreduzierte Form" erscheint im Hauptfenster,
nochmals MATRIX aufrufen und [A] eingeben.
In unserem Beispiel erscheint folgendes Ergebnis:
[1 0 7
0 1 4]
Und das bedeutet: 1. Spalte steht für die erste Variable (x), 2. Spalte steht für die 2. Variable (y)
Ablesen der Lösung: Die 1. Zeile heißt 1x + 0y = 7 und 2. Zeile 0x + 1y = 4  Lösung (7|4)
TI 89: F2 / 1 solve /enter (2x-3y=2 and (aus catalog oder mit Buchstaben
schreiben) 3x + 2y = 29 , {x,y} )
Oder man kann die Funktion simult (aus CATALOG) verwenden mit
Koeffizientenmatrix, Spaltenmatrix der Ergebnisse.
Übungen zu 1
1. Stellen Sie die Matrix jeweils für folgende Problemstellung auf:
In einem Monat verbraucht die Firma Zipfer für ihre Bierherstellung in der 1. Woche 10 ME Hopfen, 6 ME Malz,
in der 2. Woche 8 ME Hopfen und 4 ME Malz und in der 3. Woche 8 ME Hopfen und 7 ME Malz und schließlich in
der 4. Woche 11 ME Hopfen und 9 ME Malz.
Geben Sie die Glieder a12, a32 und a14 an, falls sie existieren. Geben Sie dieselben Glieder in der transponierten
Matrix an. Erklären Sie den Unterschied zwischen den beiden Darstellungsweisen.
2. Interpretieren Sie die folgende Matrix A und erfinden Sie einen passenden Text dazu: Es ist eine Matrix, die 3
Produkte in den Zeilen und die benötigten Zutaten in ME pro Stück an Mehl, Zucker und Milch in den Spalten
beschreibt. Stellen Sie die transponierte Matrix auf und interpretieren Sie deren Aussage.
 10 6 3 


A   8 4 5
 8 7 3


3. Eine Fabrik stellt zwei Sorten von Osterhasen in "Blau" und "Gold" her und benötigt dazu die Rohstoffe:
Vollmilchschokolade, Marzipan und Nougat. Stellen Sie die Rohstoff-Matrix und deren transponierte Matrix auf.
Wie ist die transponierte zu interpretieren?
Rohstoffe in Gramm/Sorte
Vollmilchschokolade
Marzipan
Nougat
Blau
50
0
40
4
Gold
0
50
40
4. Stellen Sie die folgenden Gleichungssysteme in Matrixform dar, lösen Sie das System mit Technologie und
interpretieren Sie die Lösung.
5. Stellen Sie die folgenden Gleichungssysteme in Matrixform dar, lösen Sie das System mit Technologie und
interpretieren Sie die Lösung.
6. Eine Firma hat zwei Sorten Kaffee zum Mischen zur Verfügung. Mischt man 300 kg der ersten Sorte mit 200 Kilo der 2. Sorte
so bezahlt der Kunde €4 760.-, mischt man hingegen 200 kg der 1. Sorte mit 300 kg der zweiten Sorte so sind die Kosten um
€ 320.- geringer.
a) Wie viel Kilogramm von jeder Sorte wird eingekauft? Formulieren Sie den Ansatz in Matrixform und als lineares
Gleichungssystem und lösen Sie das System mit Technologieeinsatz.
b) Berechnen Sie den Kilopreis der beiden Kaffeesorten und interpretieren Sie das Ergebnis.
7. Eine Möbelfabrik stellt 3 Sorten von Möbel M1, M2, M3 zum Selbstaufbau her. Jedes Bauteil der Möbelstücke wird
zunächst zugeschnitten, dann mit Bohrungen versehen und zum Schluss werden alle Teile verpackt.
Für das Zuschneiden bei M1 benötigt die Maschine 20 Minuten, bei M2 50 Minuten und bei M3 45 Minuten. Um
die Bohrungen anzubringen, benötigt man für M1 10 Minuten, für M2 5 Minuten und für M3 15 Minuten; die
Verpackung benötigt bei M1 5 Minuten, bei M2 15 Minuten und bei M3 10 Minuten.
Für einen Großauftrag sind für das Zuschneiden 120 Stunden geplant; für die Bohrungen 35 Stunden und 50
Minuten und für das Verpacken 30 Stunden und 50 Minuten.
a) Wie viele Möbelstücke jeder Sorte können hergestellt werden? Erstellen Sie die Erweiterungsmatrix für dieses
Problem!
b) Lösen Sie die Aufgabe mit Technologieeinsatz und interpretieren Sie das Ergebnis.
8. Für eine Münze soll eine neue Legierung verwendet werden, die aus 43% Nickel, 38% Kupfer und 19% Zinn
besteht. Die neue Legierung soll aus zwei alten Legierungen, die noch in großer Menge vorrätig sind, und aus
reinem Kupfer gewonnen werden.
Legierung 1: 50% Nickel, 30% Kupfer, 20% Zinn
Legierung 2: 60% Nickel, 10% Kupfer, 30% Zinn
a) Berechnen Sie die benötigten Anteile der Legierung 1 und 2 und des reinen Kupfers.
Erstellen Sie das Gleichungssystem und die Erweiterungsmatrix für dieses Mischungsproblem!
b) Lösen Sie die Aufgabe mit Technologieeinsatz und interpretieren Sie das Ergebnis.
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2. Rechnen mit Matrizen
a) Addition und Subtraktion:
Ein Betrieb stellt 3 Güter her G1, G2, G3. Er liefert sie an 4 Filialen F1, F2, F3, F4.
Die Übersicht über die in 2 Monaten an die Filialen gelieferten Mengen wird in Matrizenform GxF angegeben.
Die Schreibweise GxF oder kurz GF bedeutet, dass die Güter in den Zeilen zu lesen sind, die Filialen in den Spalten.
Die Gesamtlieferung in diesen 2 Monaten:
Matrizen können addiert, bzw. subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ (n x m) sind.
Man addiert bzw. subtrahiert die entsprechenden Elemente. Das Ergebnis ist wieder eine Matrix
vom Typ (n x m).
b) Multiplikation und Division mit einer Zahl:
Der Betrieb möchte im 3. Monat das Ergebnis des 1. Monats verdreifachen. Man stellt sich vor, dass
man an alle Filialen die dreifache Menge der Güter G1, G2 und G3 sendet.
Die neue Liefermenge: 3  GF
Matrizen werden mit einer Zahl multipliziert (dividiert), indem man jedes Element mit dieser Zahl
multipliziert (dividiert).
TI82stat:
Mit Matrix/ Edit die Matrix erzeugen. Im Hauptfenster [A]*Zahl eingeben.
TI89: Matrix erzeugen, mit Zahl multiplizieren
Übungen zu 2ab
1. Die Nettopreise eines Unternehmens für 3 Produkte P1,P2,P3 in 3 Filialen F1,F2,F3 betragen:
 122 112 120 


PF=  214 200 220 
 168 170 165 


Berechnen Sie die Bruttopreise mit 20% Mehrwertsteuer.
2. Die Verkaufszahlen von 3 Produkten, die von einer Firma in den Monaten Juni und Juli in Wien und in Bregenz
verkauft werden, sind in den beiden Matrizen PM(W) und PM(B) aufgelistet:
 124 112 
 89 62 




PM(W)=  298 195  und PM(B)=  131 51 
 214 202 
 109 74 




6
 Wie groß sind die Unterschiede in den Verkaufszahlen beider Städte? Beurteilen Sie die Veränderung verbal.
 Berechnen Sie die Gesamtverkaufszahlen der Firma in den beiden Monaten.
 Die Firma möchte durch Werbemaßnahmen den Absatz in Wien um 20 % und in Bregenz um 15% steigern.
Wie groß wäre der gesamte Absatz der Firma, wenn dieses Ziel erreicht würde.
3. Der Kostenvoranschlag für die Herstellung von 2 unterschiedlichen Produkten benennt die Kosten K1 und K2 in
den ersten beiden Quartalen: Q1: € 50,- und € 79,- bzw. Q2: € 90,- und € 115,-.
Durch Einsparungsmaßnahmen sollen die Kosten generell um 3% gesenkt werden.
 Argumentieren Sie, was diese Zahlen im Kostenvoranschlag aussagen. Welche Gründe für die
Kostenerhöhung können Sie anführen?
 Erstellen Sie die neue Kostenmatrix.
4. Eine Firma verkaufte in den vergangenen 2 Jahren in drei Ländern L1, L2, L3 folgende Mengen von 2
P1 und P2:
Vorletztes Jahr:
Letztes Jahr:
PxL L1
L2
L3
PxL L1
L2
L3
P1 800 3 600 2 000
P1 1 250 2 500 0
P2 700 2 000 900
P2 1 000 1 400 900
Produkten
 Beschreiben Sie den gesamten Export beider Jahre in die einzelnen Länder mit Hilfe einer Matrix.
 Beschreiben Sie die Veränderung des Exports in den beiden Jahren und beurteilen Sie diese Veränderung
verbal.
 Für das laufende Jahr erwartet man eine generelle Zunahme um 1.2%. Erstellen Sie die Exporttabelle.
5. Eine Firma erzeugt 2 Typen von Motoren M1 und M2 an 2 gleichartig ausgerüsteten Fabriken. An 5 Tagen T1 bis
T5 der Woche ist die Produktion in Stück laut folgender Tabelle:
1. Fabrik
MxT T1 T2 T3 T4 T5
M1 36 34 38 35 18
M2 30 28 32 29 15
2. Fabrik
MxT T1 T2 T3 T4 T5
M1 16 15 11 10 5
M2 11 8 9 7 4
 Berechnen Sie die Gesamtproduktion der Firma in den beiden Fabriken.
 Beschreiben und beurteilen Sie den Unterschied in den beiden Produktionsstätten.
 In der 2. Fabrik sollte die Produktion um mindestens 25% angekurbelt werden. Welcher Produktionsmengen
entspricht dies?
6. Vier Schülerinnen bekommen ein monatliches Taschengeld G1 und einen Lohn G2 für Nachhilfestunden an
jüngere Kolleginnen während des gesamten Jahres.
SxG G1 in € / Monat G2 in €/Monat
S1
50
43
S2
45
37
S3
48
56
S4
60
19
.
 Berechnen Sie, wie viel jede Schülerin pro Jahr Taschengeld und Lohn einnimmt.
 Beurteilen Sie, wer insgesamt im Jahr am meisten einnimmt und wer am wenigsten.
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c) Multiplikation von 2 Matrizen
Ein Unternehmen stellt die Produkte P1, P2 und P3 aus den Ausgangsstoffen A1 und A2 her.
Es möchte 7 Mengeneinheiten (ME) von P1, 5 ME von P2 und 8 ME von P3 erzeugen.
Man benötigt die folgenden Mengen der Ausgangsstoffe:
1. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A1 wird für die gewünschte Produktion benötigt?
Die Antwort ist einfach: 5  7 + 3  5 + 5  8 = 90
Das entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren! Die erste Zeile versteht sich als Zeilenvektor.
2. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A2 wird für die gewünschte Produktion benötigt? Das entspricht wieder der
Skalarmultiplikation des Zeilenvektors (2. Zeile) mal Spaltenvektor
Beide Fragen können in einem Schritt durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
geklärt werden:
2x3 mal 3x1  2x1
Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor:
Man multipliziert eine Matrix mit einem Spaltenvektor, indem man jede Zeile der Matrix
mit dem Spaltenvektor skalar multipliziert. ZEILE mal SPALTE.
Bedingung: Anzahl der Spalten in der Matrix = Anzahl der Zeilen des Vektors.
Grafische Darstellung des Produktionsprozesses - Gozintograf:*)
Der Ausdruck Gozinto stammt von „goes into“ und meint einen gerichteten Graphen, der beschreibt,
aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen.
Der Produktionsprozess kann einstufig oder mehrstufig sein, wobei Rohstoffe, Zwischenstoffe und
Fertigteile beteiligt sein können. Der Gozintograf zeigt, wie diese Teile mengenmäßig miteinander
verbunden sind.
TI82stats:
Matrix und Spaltenvektor mit MATRIX/EDIT erzeugen und [A]*[B] im Hauptfenster eingeben
TI89: Matrix und Spaltenvektor und mit * verbinden
______________________________________________________
*) Die Darstellungen sind unterschiedlich: Die Felder sind rund oder eckig, von links nach rechts, von oben nach unten und von unten
nach oben. Im Skriptum werden übungshalber unterschiedliche Darstellungen verwendet.
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Stellen wir uns vor, dass die Produkte P im vorherigen Beispiel mit einer Zwischenstufe A aus Rohstoffen R
hergestellt sind:
1 Stück A1 benötigt 3 ME R1 und 4 ME R2
1 Stück A2 benötigt 6 ME R1 und 2 ME R2
Die folgende grafische Darstellung veranschaulicht die Situation:
Die Berechnung des gesamten Rohstoffbedarfs erhält man durch die Multiplikation der
„Rohstoffmatrix“ mit der „Ausgangsstoffmatrix“.
Multiplikation von 2 Matrizen:
Damit man Matrizen miteinander multiplizieren kann, muss die Anzahl der Spalten der 1. Matrix der Anzahl der
Zeilen in der 2. Matrix entsprechen
Die Reihenfolge der Multiplikation darf man nicht vertauschen!
TI82stats: Die beiden Matrizen editieren: Matrix /Edit und [A] * [B] im Hauptfenster eingeben
TI 89: Beide Matrizen eingeben und stornieren, dann a1*b1. Wenn man die Matrizen nur einmal braucht, dann kann
man auch die Klammerausdrücke gleich multiplizieren.
Tipp:
Um aus einem Text die Matrizen richtig zu übersetzen und die Reihenfolge festlegen zu können, empfiehlt es sich,
den Vorgang gleich zu Beginn in Matrizenkurzschreibweise darzustellen.
z.B. in diesem Beispiel: R x A  A x P  R x P: Zeilen von R multipliziert mit Spalten von A oder auch in der folgenden
Schreibweise:.
Am,n . Bn,p = Cm,p
9
Übungen zu 2c
1. Für die Sportwoche gibt es für die 4 Klassen A, B, C, D das Angebot zwischen Sportarten: Tennis, Reiten oder
Windsurfen. Die Anmeldungsliste:
SxK
Tennis
Reiten
Surfen
A
10
9
11
B
8
12
10
C
6
13
11
D
-10
20
Die Kursteilnahme kostet pro Person für Tennis € 210, für Reiten € 105,- und Surfen € 150,-.
a) Stellen Sie die passende Schüler-Matrix und den Spalten-Vektor für die Kosten auf.
b) Berechnen Sie, wie viel Geld in den einzelnen Klassen eingesammelt werden muss.
c) Stellen Sie einen Zeilenvektor für die Kosten auf. Argumentieren Sie, wie Sie den Zeilenvektor mit der SchülerMatrix multiplizieren können, um auch die Gesamtkosten für die einzelnen Sportarten zu erhalten.
2. Blusen werden in den Größen G: S, M, L und XL auf 3 Maschinen mit den Arbeitszeiten Z1, Z2, Z3
in Minuten pro Stück erzeugt. Die Zeiten sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:
GxZ
S
M
L
XL
Z1
3.5
3.6
4.2
4.3
Z2
1.1
1.4
1.6
2
Z3
0.5
0.6
0.7
0.7
Es werden an einen Textilmarkt 110 S-, 150 M-, 220 L- und 100 XL-Blusen geliefert.
a) Stellen Sie die Arbeitszeitmatrix ZxG für die einzelnen Größen auf.
b) Stellen Sie den Liefervektor so auf, dass er zur Arbeitszeitmatrix für eine Matrizenmultiplikation passt.
c) Wie viele Stunden (gerundet auf ganze Zahlen) wird jede der 3 Maschinen insgesamt für diese
Produktionsmenge beansprucht?
d) Erstellen Sie eine grafische Darstellung des Produktionsprozesses (einen Gozintografen).
3. Eine Firma erzeugt Keramikartikel in 3 verschiedenen Typen K1, K2, K3 und stellt diese in 2 Fabriken mit den
Arbeitszeiten in Stunden Z1 und Z2 in 4 unterschiedlichen Arbeitsgängen mit den Stundenlöhnen von L1 bis L4 in
Euro her.
Übersicht in Tabelle:
ZxK K1 K2 K3
Z1 160 180 200
Z2 200 240 270
ZxL L1 L2
L3 L4
Z1 9.5 12
15 8.5
Z2 10 12.5 16 9
a) Erstellen Sie die grafische Darstellung (den Gozintografen) des Produktionsprozesses.
b) Berechnen Sie die gesamten Lohnkosten für die Herstellung der 3 Keramiksorten in den einzelnen Arbeitsgängen.
c) Argumentieren Sie, wie Sie die Gesamtkosten für die Herstellung der ersten Sorte Keramik und wie Sie die
Gesamtkosten überhaupt ermitteln können. Wie hoch sind die Kosten?
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4. Aus zwei Rohstoffen R1 und R2 werden 3 Zwischenprodukte Z1, Z2, Z3 hergestellt. Aus den 3 Zwischenprodukten
entstehen dann 2 Endprodukte E1 und E2.
Der jeweilige Materialverbrauch in Kilogramm zur Erzeugung von einer Mengeneinheit ME der Endprodukte kann
den folgenden Tabellen entnommen werden:
ZxR R1 R2
ZxE E1 E2
Z1 2
4
Z1 2 4
Z2 3
1
Z2 4 2
Z3 5
2
Z3 5 3
a) Zeichnen Sie eine grafische Darstellung des Produktionsprozesses (Gozintografen.)
b) Man möchte 25 ME beider Endprodukte erzeugen. Wie viele Rohstoffmengen sind dafür notwendig?
5. Eine Firma erzeugt zwei Sorten von Fenstern F1 und F2. Sie bestehen aus den Rohstoffen: Holz H, Glas G und
Kunststoff K.
Die Firma erzeugt die Fenster an 2 Standorten in NÖ und in OÖ, hat jedoch unterschiedliche Kosten K1 und K2 in
Geldeinheiten GE pro Fenster, weil die Rohstoffpreise in den Ländern unterschiedlich sind.
FxR H G K
F1 3 1 2
F2 3 2 4
KxR H G
K
K1 8 1
6
K2 10 1.5 7
a) Zeichnen Sie einen Gozintografen.
b) Wie viel Kosten fallen in beiden Bundesländern an?
6. Ein Betrieb fertigt Endprodukte E1 bis E3 aus den Rohstoffen R1 und R2 und den Zwischenprodukten Z1 und Z2
nach folgendem Gozintografen an (Zahlen in Mengeneinheiten ME):
a) Stellen Sie tabellarisch RxZ und ZxE zusammen.
b) Berechnen Sie die Matrix RxE und interpretieren Sie das Ergebnis.
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7. *) In einem Produktionsbetrieb werden zwei Typen von Endprodukten E1 und E2 aus drei verschiedenen Typen von
Zwischenprodukten Z1, Z2, Z3 hergestellt, die jeweils aus vier verschiedenen Grundsubstanzen G1, G2, G3, G4
bestehen. Der Gozintograf zeigt die Zusammenhänge dieser zweistufigen Fertigung.
a) Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Grundsubstanzen und den Zwischenprodukten in einer
Verbrauchsmatrix A an, sowie den Zusammenhang zwischen den Zwischenprodukten und den Endprodukten in
einer Verbrauchsmatrix B.
b) Wie kann man für jedes Endprodukt den Grundstoffbedarf ermitteln? Erklären Sie, wo man den Grundstoffbedarf
ablesen kann.
c) Geben Sie für das Element c22 der Ergebnismatrix genau an, wie es errechnet wird.
8. *) In einem Unternehmen werden aus vier verschiedenen Rohstoffen R1, R2, R3 und R4 zwei unterschiedliche
Zwischenprodukte Z1und Z2 hergestellt. Aus diesen Zwischenprodukten werden drei verschiedene Endprodukte E1,
E2 und E3 erzeugt.
Der Bedarf an Rohstoffen für jede Mengeneinheit ME der Zwischenprodukte und den Bedarf an
Zwischenprodukten für jede Mengeneinheit der Endprodukte ist in den folgenden Bedarfsmatrizen angegeben:
Z1
Z2
R1  2

R2  3
R3  1

R4  2
4

1
3

0
E1 E2
E3
Z1  2 4 1


Z2  2 3 4 
a) Erstellen Sie den Gozintografen
b) Berechnen Sie, wie viel Mengeneinheiten der einzelnen Rohstoffe im Endprodukt enthalten sind.
*)Die Aufgaben stammen aus der BISTA-Broschüre HAK 2008 des BM:UKK (Tania Koller), leicht verändert.
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Anhang: Matrizen und EXCEL
Inverse Matrix:
Die Matrix wird in den Zellen eingegeben. Dann wird darunter oder daneben ein gleich großer
Zellenbereich markiert.
Aus der Formelkategorie wählt man Mathematik… und sucht dort die Funktion MINV/OK
Im Fenster gibt man den markierten Bereich ein.
WICHTIG: nicht Ende drücken!! sondern STRG+UMSCHALT+ENTER!
Die inverse Matrix wird dann im markierten Bereich ausgegeben.
Matrizenmultiplikation:
Die beiden Matrizen am besten in der folgenden Forme eingeben:
Gleichungssystem lösen ist mit solver einfacher als mit Matrizen!
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