Dichteverteilung

Druck im Mittelpunkt der Erde: P(r=0) = const. = 175 GPa
stimmt nur größenordnungsmäßig mit „wirklichem“ Wert P(r=0) = 360 GPa überein.
Die nächste Abbildung zeigt den Druckverlauf berechnet nach dem PREM-Modell.
400
Druckverlauf im Erdinneren
Druck (GPa)
300
200
100
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Erdradius (km)
Wie man sieht, stimmt der innere Druckverlauf (im Kern) bis etwa zum Mantel recht
gut mit  überein. Dort wird auch der lineare Verlauf von g(r) gut wiedergegeben.
D.h. im Kernbereich scheint die Annahme konstanter Dichte eine ganz gute
Näherung zu sein.
Dichteverteilung
Im Nachfolgenden sehen wir die Dichteverteilung nach dem PREM-Modell.
3
Dichte (kg/m )
14000
Dichte nach PREM-Modell
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1000
2000
3000
4000
Radius (km)

5000
6000
7000
d/dr = d/dP dP/dr
mit dP/dr = - g(r)(r)  d/dr = - g(r)(r) d/dP
(*)
der Kompressionsmodul K:= - V dP/dV
die Kompressibilität :=K-1
mit V=m/
dV = - m d/2
 K =  dP/d

damit wird die Gleichung (*) zu
d/dr = - g(r)(r)2/K
und mit g(r) von oben gilt
r
d/dr = - 4G(r)2/r2K(r’)r’2dr’
Adams-Williamson-Gleichung
o
Die Adams-Williamson-Gleichung ist eine nichtlineare Integrodifferentialgleichung
und ist im allgemeinen nicht analytisch lösbar!
Noch dazu hängt der Kompressionsmodul K vom Druck P und damit von der Dichte
ab. d.h. K = K() und damit kann man die Gleichung nur lösen, wenn man für K()
einen geeigneten Ansatz hat.
D.h. in diesem sogenannten Selbstkompressionsmodell kann man alle Größen
berechnen, wenn man K() kennt.
Ein oft verwendeter Ansatz ist:
K() = C n
D.h. je größer die Dichte, umso härter wird das Material (mehr dazu später).
Mit diesem Zusammenhang nimmt die Adams-Williamson Gleichung dann folgende
Form an:
d/dr [ r2 n-2 d/dr ] = -(4G/C)r2 
... Emden´s Gleichung (wurde ursprünglich
entwickelt, um das Innere von Sternen zu
berechnen).
Die Emden´s Gleichung hat im allgemeinen keine analytische Lösung.
Laplace hat 1825 die Emden´s Gleichung für n=2 aufgestellt, indem er angenommen
hat:
dP/d= C 
d.h. K() =2
Damit wird die Emden´s Gleichung zu:
d/dr [r2 d/dr ] = -(4G/C) r2 

definieren: A2:= 4G/C
(r) =(r=0) sin(Ar)/Ar
dann kann man die Lösung von (*) schreiben als
da K=C 2  C = K/2 mit K~150 GPa und  ~5000 kg/m3 wird C~6000 Nm4/kg2
damit wird A ~ 3.7x10-4 /km
Die Abbildungen zeigen den Verlauf K() und K(P) und 1(P)~V(P) aus dem PREMModell
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
3
Dichte (kg/m )
1600
Kompressionsmodul (GPa)
Kompressionsmodul (GPa)
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
100
200
Druck (GPa)
300
400
-1
3
 (m /kg)
0.0004
0.0002
0.0000
0
100
200
300
400
Druck (GPa)
In der nächsten Abbildung sehen wir die Lösungen von (*) für einige Werte von A.