Tutorium zur Analysis 1 - Sommersemester 2011

Tutorium zur Analysis 1 - Sommersemester 2011
Franz X. Gmeineder - LMU München
Die vorliegende Sammlung von Aufgaben zur Analysis 1 ist im Sommersemester
2011 begleitend zur Vorlesung von Prof. Dr. Bley am mathematischen Institut der
Ludwig Maximilians Universität München entstanden und wurde von mir für mein
Tutorium verwendet. Für Fehler jeglicher Art wird keine Garantie übernommen.
München, Juli 2011
Franz X. Gmeineder
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Contents
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Erstes Tutorium - Schließen, vollständige Induktion . . . . . . . . .
Zweites und drittes Tutorium - Supremum, C, Abzählbarkeit . . .
Viertes Tutorium - Konvergenz, Bernoullische Ungleichung . . . .
Sechstes Tutorium - Grenzwerte, Normen, Reihenkoinvergenz . . .
Siebtes Tutorium - Reihenkonvergenz, Abgeschlossenheit, C . . . .
Achtes Tutorium - Topologien, Potenzreihen, Quotientenkriterium
Neuntes Tutorium - Hyperbelfunktionen, Kompaktheit . . . . . . .
Zehntes Tutorium - Sinus, Cosinus, Abstände, Differenzierbarkeit .
Elftes Tutorium - Differenzierbarkeit, Potenzreihen . . . . . . . . .
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1 Erstes Tutorium - Schließen, vollständige Induktion
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3
Erstes Tutorium - Schließen, vollständige Induktion
1. Ein Fehlschluss? Ich habe doch gesagt: Wenn sie kein Interesse an mir
hat, dann wird sie mich nicht anrufen. Sie hat mich nicht angerufen; sie
hat also kein Interesse an mir! Beurteile das aus Sicht der Logik.
2. Versprachliche folgende Aussage und beweise sie: Es seien A, B ⊂ R, dann
(∀a ∈ A ∀b ∈ B : a < b ) ⇒ A ∩ B = ∅
3. Zeige für zwei Teilmengen A, B ⊂ M der Menge M : M \ (A ∪ B) =
(M \ A) ∩ (M \ B).
4. Wir wollen beweisen, dass auf einer Party alle Gäste gleich heißen. Hierzu
machen wir eine vollständige Induktion. Dabei notiere n die Anzahl der
Gäste. Der Induktionsanfang ist klar: Wenn nur n = 1 Gast da ist, so
heißt er selbstverständlich genauso wie er selbst. Nun sei die Aussage für
natürliches n bewiesen, wir schließen auf n + 1: Sind n + 1 Gäste auf der
Party, so schicken wir den n + 1-ten Gast raus. Dann sind noch n Gäste
da - und nach Induktionsannahme haben diese alle denselben Namen. Nun
holen wir den n + 1-Gast wieder rein und schicken den 1. Gast raus. Wieder
sind nur n Gäste im Raum, und nach Induktionsvoraussetzung haben diese
denselben Namen. Da sich dieser aber bei den Gästen, die stets drinnen
geblieben sind, nicht geändert hat, folgt: Alle Gäste haben den selben Namen. Das ist natürlich Unsinn - aber wo liegt der Fehler?
5. Schreibe die ersten 5 Glieder der folgenden Summe S (n) aus
S (n) =
n
X
(−1)n−k · k 2
k=0
Zeige mittels vollständiger Induktion die folgende Identität
S (n) =
n · (n + 1)
2
6. Es seien N die natürlichen Zahlen und x, y ∈ N. Für x teilt y schreiben wir:
x|y
Das heißt also: x|y ⇔ ∃k ∈ N : y = k · x Versprachliche diese Aussage und
zeige dann mittels vollständiger Induktion:
∀n ∈ N : 133| 11n+1 + 122n−1
2 Zweites und drittes Tutorium - Supremum, C, Abzählbarkeit
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Zweites und drittes Tutorium - Supremum, C, Abzählbarkeit
1. Zum Supremum Es sei A 6= ∅ eine nichtleere Teilmenge von R. Zeige: Ist
A nach oben beschränkt, so ist −A nach unten beschränkt und es gilt
inf (−A) = − sup (A)
(2.1)
2. Komplexe Zahlen.
(a) Stelle die folgenden komplexen Zahlen zk ∈ C, k ∈ {1, 2, 3} in der Form
z = a + i · b dar:
z1 =
1
3 + 4i
, z2 =
, z3 = i3
1+i
2−i
(2.2)
(b) Zeichne die folgenden Punktmengen in der komplexen Zahlenebene ein:
M1 : = {z ∈ C| |z − 1| = |z + 1|}
1
M2 : = z ∈ C| |Re (z) | ≤ & Im (z) > 0
2
(2.3)
(2.4)
(c) Löse die Gleichung z 2 = i in C.
3. Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit und b-adische Darstellungen
(a) Zeige durch die explizite Angabe einer surjektiven Funktion φ : N → Z,
dass Z abzählbar ist.
(b) Überlege, warum Q abzählbar ist und folgere daraus: R\Q ist überabzählbar.
(c) Analog zur Darstellung einer reellen Zahl im Dezimalsystem können
wir eine reelle Zahl zu einer beliebigen anderen Basis n ∈ N + 2
darstellen.Dies nennt man die b-adische Entwicklung. Ermittle, welche
Zahl dargestellt wird durch die b-adische Entwicklung von
• 100, 10101 zur Basis b = 2
• 0, 34 zur Basis b = 7
Entwickle ferner den Bruch
1
5
zu den Basen b = 10, 2, 3, 5.
4. *** Das Cantorsche Discontinuum Es sei C0 : = [0, 1] ⊆ R. Es entsteht
Cn+1 aus Cn dadurch, dass wir aus jedem zusammenhängendem Intervall
aus Cn das mittlere, offene Drittel entfernen. Dabei sei natürlich n ∈ N0 .Wir
definieren
\
C: =
Cn
(2.5)
n∈N0
Zeige: C ist überabzählbar.
3 Viertes Tutorium - Konvergenz, Bernoullische Ungleichung
3
5
Viertes Tutorium - Konvergenz, Bernoullische Ungleichung
1. Zeige direkt anhand der Definition, dass die beiden unteren Folgen konvergieren:
• (an ) = 2 +
• (bn ) =
(−1)n
√
n
n−1
n+1
2. Oftmals verwenden wir den folgenden Satz, um Folgenkonvergenz zu beweisen: Eine monoton steigende, beschränkte Folge mit Werten aus R konvergiert. Überlege, warum dies plausibel ist und zeige damit: Die rekursiv
definierte Folge
√
a0 = 1 , an+1 = an + 2
(3.1)
konvergiert. Bestimme den Grenzwert!
3. Weise nach, dass eine komplexe Zahlenfolge genau dann gegen z ∈ C konvergiert, wenn die Folge der Real- und Imaginärteile jeweils in R konvergieren.
4. Finde eine Folge, die zwar keine Nullfolge ist, aber die Beziehung
∀ > 0∀N ∈ N∃n ∈ N : |an | < (3.2)
erfüllt.
5. *** Leite mittels der Bernoullischen Ungleichung einen Beweis für das Folgende her:
p ∈ (0, 1) ⇒ lim pn = 0
(3.3)
n→∞
Arbeite dabei direkt mit der Quantordefinition der Konvergenz.
4
Sechstes Tutorium - Grenzwerte, Normen, Reihenkoinvergenz
1. Zeige: limn→∞ n1/n = 1
2. (a) Wir betrachten den Rn als Prototyp für einen n-dimensionalen Vektorraum. Wir definieren die sog. p-Norm eines Vektors x ∈ Rn über
!1
n
p
X
||x||p :=
|xk |p
(4.1)
k=1
In der Tat ist dies für p ≥ 1 eine Norm. Ferner sei
||x||∞ : = max {|x1 |, · · · , |xn |}
(4.2)
die Unendlichnorm oder auch Maximumsnorm. Zeige:
lim ||x||p = ||x||∞
(4.3)
∀p ≥ 1 ∃N1 , N2 ∈ R+ : N1 ||x||1 ≤ ||x||p ≤ N2 ||x||∞
(4.4)
p→∞
5 Siebtes Tutorium - Reihenkonvergenz, Abgeschlossenheit, C
6
(b) Skizziere im Zweidimensionalen die Einheitskugeln/ Einheitssphären
bzgl. der 1-Norm (p=1) und der Unendlichnorm.
Wir befassen uns nun mit den Normaxiomen.
(c) Nehmen wir an, wir fordern in N1 nur: ||x|| = 0 ⇒ x = 0 Folgt daraus
schon mit den restlichen Axiomen, dass || · || eine Norm definiert - also
insbesondere x = 0 ⇒ ||x|| = 0?
(d) Wenn wir eine Abbildung || · || : V → R gegeben haben, ist diese dann
bereits eine Norm, wenn sie die Axiome N1,N2,N3 erfüllt?
(e) *** Es sei V ein endlichdimensionaler R - Vektorraum und (W, || · ||W )
ein endlichdimensionaler, normierter R-Vektorraum. Ferner sei eine
lineare & injektive Abbildung f : V → W gegeben. Zeige: Es definiert
|| · ||V : V → R , ||v||V : = ||f (v) ||W
eine Norm auf V. Überlege, ob hierfür die Injektivität notwendig ist.
3. Untersuche die nachfolgenden reellen Reihen auf (absolute) Konvergenz.
∞
X
(−1)n
3n + 1
(4.5)
n=0
∞
X
2n2 − 2n − 1
3n3 − 1
n=0
2n
∞ X
2n4 + 1
3n4 + 1
(4.6)
(4.7)
n=0
5
Siebtes Tutorium - Reihenkonvergenz, Abgeschlossenheit, C
1. Überprüfe, ob die nachfolgenden Reihen konvergieren, absolut konvergieren
oder divergieren. Argumentiere genau!
∞
X
n=1
1
n + n2
∞ X
2n
n=1
∞
X
n
n
(−1)
(5.1)
· 2−3n−1
√
sin ( n)
(5.2)
5
(5.3)
(z − 1)n
(5.4)
n2
Bestimmte nun zusätzlich den Konvergenzradius von
n=1
∞
X
n=1
für komplexe z ∈ C.
6 Achtes Tutorium - Topologien, Potenzreihen, Quotientenkriterium
7
2. Abgeschlossenheit des Einheitsballs. In dieser Aufgabe versehen wir den Rn
mit der euklidischen Metrik (vgl. Tutorium 6). Es notiere B (0, 1) = : B den
n-dimensionalen Einheitsball in der euklidischen Metrik. Für diese Aufgabe
sei er abgeschlossen, d.h. B = {x ∈ Rn |||x|| ≤ 1}.
(a) Zeige: (B, deukl ) ist ein vollständiger metrischer Raum.
(b) Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir nennen A ⊆ X abgeschlossen,
falls für jede konvergente Folge (xn ) mit Werten aus A gilt: limn→∞ xn ∈
A. Zeige zunächst: Ist X vollständig bezüglich d, so ist A genau dann
vollständig, falls es abgeschlossen ist. Begründe damit nochmals, dass
in der obigen Situation (B, deucl ) ein vollständiger metrischer Raum ist.
3. Komplexe Zahlen Bestimme, welche Menge durch die folgende Parametrisierung
definiert wird:
n
o
E : = eiθ |θ ∈ [0, 2π)
(5.5)
Skizziere zudem die Menge
M : = {z ∈ C|1 < |z − i| < 2}
6
(5.6)
Achtes Tutorium - Topologien, Potenzreihen, Quotientenkriterium
1. Es sei (X, d) ein metrischer Raum und f : X → R eine stetige Funktion.
Zeige:
∀a ∈ R : A = {x ∈ X | f (x) ≤ x} ist abgeschlossen
(6.1)
Gilt selbiges auch für die Fixpunktmenge F = {x ∈ X |f (x) = x}?
2. Es notiere d nun die diskrete Metrik auf einer Menge X. Beschreibe, wie
die offenen Mengen bezüglich d in X aussehen.
3. *** Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir nennen T ⊆ P (X) eine Topologie auf X, falls gilt
• (T1) ∅, X ∈ T
• (T2) (A, B ∈ T ) ⇒ A ∩ B ∈ T
• (T3) Für alle Indexmengen I gilt: (∀ι ∈ I : Aι ∈ T ) ⇒
S
ι∈I
Aι ∈ T
Es notiere nun O (d) das System aller bezüglich d offenen Mengen aus X.
Zeige: Es definiert O (d) eine Topologie auf X.
4. Potenzreihen -Hyperbolische Funktionen. Wir definieren den Sinus und Cosinus hyperbolicus (zu deutsch: Hyperbelsinus/ Hyperbelcosinus) zu
∞
X
x2k+1
sinh (x) =
(2k + 1)!
k=0
(6.2)
7 Neuntes Tutorium - Hyperbelfunktionen, Kompaktheit
∞
X
x2k
cosh (x) =
(2k)!
8
(6.3)
k=0
Zeige das Folgende:
(a) Für alle x ∈ C sind die beiden Funktionen wohldefiniert und insbesondere absolut konvergent.
(b) ∀x ∈ R : sinh2 (x) + 1 = cosh2 (x).
(c) ∀z ∈ C : cos (z) = cosh (iz) & sin (z) = sinh(iz)
i
Note: Damit haben wir einen universellen Zusammenhang zwischen
Hyperbel und Kreis hergestellt - dieser offenbart sich nur im Komplexene, im Reellen bleibt er sozusagen verborgen.
(d) Zeichne die Graphen von x 7→ sinh (x) und x 7→ cosh (x), wobei x ∈ R
sei.
5. Klausuraufgabe. Aufgabe 3 aus Übungsklausur von Prof. Donder aus dem
Wintersemester 2009/2010: Zeige, dass die Folge
(2n)!
(6.4)
(xn ) =
n2n
eine Nullfolge ist. (Merke Dir das Argument sehr gut, es ist in vielen Fällen
sehr nützlich!)
7
Neuntes Tutorium - Hyperbelfunktionen, Kompaktheit
1. Zeige: ∀z ∈ C : cos (z) = cosh (iz) & sin (z) = sinh(iz)
. Dabei sind mit
i
sinh, cosh der Hyperbel(co)sinus und mit sin, cos die trigonometrischen Pendants gemeint (vgl. letztes Tutorium vom 24.06.2011).
Definition der Kompaktheit
Eine Teilmenge A ⊂ X eines metrischen Raumes (X, d) heißt kompakt,
wenn es zu jeder offenen Überdeckung (Ui )i∈X von A endlich viele Indices
i1 , · · · , ik ∈ I gibt, so dass
[
A⊂
Uil
l=1,··· ,k
gilt. Dabei heißt eine Familie (Ui )i∈I eine offene Überdeckung, falls stets
Ui ∈ X, alls Ui offen sind und
[
A⊂
Ui
i∈I
gilt.
8 Zehntes Tutorium - Sinus, Cosinus, Abstände, Differenzierbarkeit
9
2. Zum Einspielen. Wir betrachten (Q, deukl ) (vgl. letzte Tutoriumsblätter).
Entscheide für die folgenden Mengen, ob sie in diesem metrischen Raum
abgeschlossen oder offen sind:
A = Q ∩ (−1, 1)
und B = Q ∩ (−π, π)
(7.1)
3. Zeige, dass
B1 (0) = {x ∈ Rn | ||x||2 < 1}
(7.2)
nicht kompakt ist - und zwar direkt anhand der Definition.
4. Ist N kompakt in R bezüglich der euklidischen Standardmetrik?
5. Wir bedienen uns folgender Charakterisierung von Kompaktheit in metrischen
Räumen: Eine Teilmenge A ⊆ X , wobei (X, d) ein metrischer Raum ist,
ist kompakt genau dann, wenn jede Folge mit Werten aus A eine Teilfolge
besitzt, die gegen einen Wert aus A konvergiert. Zeige: Jeder vollständige,
metrische Raum ist kompakt.
6. *** Zeige: Die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen eines
metrischen Raumes ist wieder kompakt. Widerlege durch ein Gegenbeispiel,
dass die Aussage für unendlich viele kompakte Teilmengen nicht mehr stimmt.
8
Zehntes Tutorium - Sinus, Cosinus, Abstände, Differenzierbarkeit
1. Leite die Additionstheoreme für cos (x + y) , sin (x + y) mittels der Eulerschen Identität her. Berechne damit die Werte sin (x) , cos (x) , tan (x) an
den Stellen π/3 und π/4.
2. *** Zeige zuerst, dass
∀n ∈ N :
n
x
Y
sin (x)
=
cos
2n sin (x/2n )
2k
(8.1)
k=1
Benutze hierbei (natürlich mit Begründung) sin (z) = 2 sin (z/2) cos (z/2),
mit z ∈ R. Verwende das, um
n
x
Y
sin (x)
cos v
= lim
n→∞
x
2
(8.2)
v=1
zu zeigen. Wie folgt damit, dass
q
p
2 p
= 1/2 · 1/2 + 1/2 1/2 · · · · ?
π
(8.3)
3. Abstände von Mengen. Es sei (X, d) ein metrischer Raum; Für A, B ⊂ X
definieren wir den Abstand
dist (A, B) = inf {d (a, b) | a ∈ A , b ∈ B}
(8.4)
9 Elftes Tutorium - Differenzierbarkeit, Potenzreihen
10
(a) Finde A, B ∈ C, sodass A ∩ B = ∅, aber dist (A, B) = 0.
(b) Finde (X, d), A, B ⊂ X abgeschlossen mit A∩B = ∅, aber dist (A, B) =
0.
(c) Sei B ⊂ X. Zeige: Ist x ∈ X mit dist ({x} , B) = 0, dann ist x ∈ ∂B.
(D.h. ∀r > 0 Ur (x) ∩ B 6= ∅.)
4. Differenzierbarkeit. Zeige durch direkte Anwendung der Definition, dass die
Abbildung
1
(8.5)
f : R \ {0} 3 x 7→ 2 ∈ R
x
auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist. Berechnung dort
die Ableitung f 0 (x) = (Df ) (x).
9
Elftes Tutorium - Differenzierbarkeit, Potenzreihen
1. Berechne die Ableitungen der folgenden Funktionen. Gib überdies an, wo
die Funktionen wie auch ihre Ableitungen definiert und stetig sind.
f (x) = xx
g (x) = exp −πx2
(9.1)
x3 − x2
h (x) = Pn
, n∈N
k k
k=0 2 x
(9.2)
(9.3)
2. Ableitung der Umkehrfunktion
(a) Mache Dir klar, wie Du Dir kurz und bündig die Formel für die Ableitung
der Umkehrfunktion herleiten kannst. Formuliere zudem die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Formel.
(b) Leite Dir mittels Teilaufgabe (1) die Ableitung der Arcus-CosinusFunktion (d.h. die Umkehrfunktion der Cosinus-Funktion) her:
x 7→ arccos (x) , x ∈ (−1, +1)
(9.4)
(c) Wir definieren nun erneut den Cosinus hyperbolicus für x ∈ R, aber
nun rigoros durch :
ex + e−x
cosh (x) =
(9.5)
2
Zeige mittels Taylorentwicklung - insbesondere durch Beweis für die
Koeffizienten der Potenzreihe (etwa vollständige Induktion), dass gilt:
cosh (x) =
∞
X
x2k
(2k)!
k=0
Argumentiere genau, etwa auch mit dem Lagrange-Restglied.
(9.6)
9 Elftes Tutorium - Differenzierbarkeit, Potenzreihen
11
(d) Berechne mittels (5) direkt die Ableitung der Umkehrfunktion. Bestimme dann einen expliziten Term für die Umkehrfunktion. Wir nennen sie den Area Cosinus Hyperbolicus.
(e) Ermittle das Taylorpolynom der Umkehrfunktion vom Grad 2 - einmal direkt, einmal über einen Potenzreihenansatz und das CauchyProdukt.
3. Differenzierbarkeit Ist die Funktion
1
f (x) = x · sin
, x 6= 0
x
2
f (0) = 0
in x = 0 stetig differenzierbar?
(9.7)