8. Tutorium zur Vorlesung Analysis I im WS 11/12

Prof. Dr. Patrizio Neff
Essen, 21. Dezember 2011
Dirk Damjantschitsch
Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen
Campus
Essen
8. Tutorium zur Vorlesung Analysis I im WS 11/12
Aufgabe 1:
10-adische
Wir wollen
Brüche betrachten. Ein Dezimalbruch heiÿt periodisch, wenn sich
n ∈ N
die Koezienten für genügend groÿe
regelmäÿig wiederholen. Zeigen Sie, dass für
Brüche dieser Art
0, a1 . . . an p1 p2 . . . pd p1 p2 . . . pd . . .
=10−n (10n−1 a1 + . . . an ) + 10−n (10d−1 p1 + 10d − 2p2 + . . . pd )
gilt, wobei
10d − 1 = 99 . . . 9
mit
d
1
10d − 1
Neunen ist.
Zeigen Sie nun, dass jede reelle zahl
r ∈ [0, 1]
genau dann rational ist, wenn sie eine periodi-
sche Dezimalbruchentwicklung besitzt.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl in einen Dezimalbruch entwickelt werden kann von der Form
±a−n a−n+1 . . . a−1 a0 , a1 a2 . . .
Aufgabe 3:
Wir wollen für eine reelle Zahl
0 < r = r0 < 1, dann
Folge (ρn )n∈N gibt mit
Sei
r ∈ [0, 1] den unteren Rest
und den oberen Rest denieren:
denieren wir den unteren Rest
d(r) = (α1 , α2 . . .)
10 · ρn−1 = αn + ρn ,
wobei
αn ∈ {0, 1, . . . 9}
und
0 ≤ ρn < 1
10 · rn−1 = an + rn ,
wobei
an ∈ {0, 1, . . . 9}
und
0 < ρn ≤ 1
wenn es eine
Analog denieren wir
Jetzt denieren wir
D (d(r)) :=
∞
X
αk
,
−k
10
k=1
∞
X
ak
D d(r) :=
10−k
k=1
Dann wollen wir beweisen:
für jede reellwertige Zahl
r ∈ [0, 1]
gilt
d(r) ≤ d(r),
und die folgenden Aussagen sind gleich-
wertig:
1.
d(r) 6= d(r)
2. Es gilt
0<r <1
(αn )n∈N
D((αn )n∈N ) = D((an )n∈N ).
genau zwei Folgen
m, n ∈ N mit r =
(an )n∈N in {0, . . . 9}N mit
und es gibt Zahlen
und
Machen Sie sich zunächst klar, wie
d
und
d
entstehen.
m
. In diesem Fall gibt es
10n