Tafel Lineare Kongruenzen

Tafelübung: Suche die Lösungen des Gleichungssystems
a x1 + b x2  f1 mod p
c x1 + d x2  f2 mod p
p ist Primzahl → Zu jedem Koeffizienten  0 existiert ein
multiplikatives Inverses.
Wir schreiben das System als A x  f .
Die Determinante des Systems ist
D  ( a d – b c ) mod p.
Ist D  0 mod p, dann ist die Lösung des Systems:
x1 = (f1 d – f2 b)  D -1 mod p,
x2 = (f2 a – f1 c)  D -1 mod p
analog wie in der gewöhnlichen Linearen Algebra.
Beispiel 1:
Zu lösen sei
3 x1 + 5 x2  2 mod 11
7 x1 + 2 x2  9 mod 11 .
Es ist D  - 29  4 mod 11, also D -1  3 mod 11, und damit
x1  - 41  3  9 mod 11
x2  13  3  6 mod 11.
Beispiel 2:
Das System
8 x1 + 5 x2  2 mod 11
x1 + 2 x2  9 mod 11
hat dagegen keine Lösung, weil
D = 8  2 – 5  0 mod 11 und Rang (A | f ) = 2 ist.
Beispiel 3:
Für das System
8 x1 + 5 x2  2 mod 11
x1 + 2 x2  3 mod 11
ist der Rang (A | f ) = 1.
Dieses System hat 11 Lösungen. Bestimmen Sie alle
Lösungspaare !
Antwort:
0, 7
1, 1
5, 10
6, 4
10, 2
2, 6
7, 9
3, 0
8, 3
4, 5
9, 8
Bestimmen Sie den Kern der Abbildung A.
Antwort:
{(0,0), (1,5), (2,10), (3,4), (4,9), (5,3), (6,8), (7,2), (8,7), (9,1),
(10,6)}.
Die Dimension des Kerns ist 1: Jeder Vektor aus Kern A
kann z.B. als Vielfaches des Basisvektors (1,5) mod 11
geschrieben werden.
Bestimmen Sie das Bild der Abbildung A.
Antwort:
{(0,0), (1,7), (2,3), (3,10), (4,6), (5,2), (6,9), (7,5), (8,1), (9,8),
(10,4)}.
Die Dimension von Bild A ist 1: Jeder Vektor aus Bild A
kann z.B. als Vielfaches des Basisvektors (1,7) mod 11
geschrieben werden.
Nicht jede Matrix M hat Eigenwerte aus dem Grundkörper:
Die Matrix
M1 =  3 7 
 2 5 
hat die Eigenwerte 1 = 2 und 2 = 6 ;
dagegen hat die Matrix
M2 =  2 7 
 9 5 
keine Eigenwerte aus dem Grundkörper; denn die
charakteristische Gleichung für M2 ist
2 – 7 x + 2  0 ,
bzw.
( - 9) 2  4 – 2  2 mod 11.
2 ist jedoch ein quadratischer Nicht-Rest modulo 11 (keine
Zahl in dieser Restklasse ergibt quadriert die 2).
Um die Eigenwertgleichung auch hier lösen zu können,
muss der Restklassenkörper Z / 11 Z erweitert, ein
Element x mit x2 = 2 adjungiert werden.
Aufgabe: Bestimmen Sie alle Eigenvektoren der Matrix M1.