TRIGONOMETRIE

TRIGONOMETRIE
Grundbegriffe
Die Sinus-, Kosinus- und Tangens-Funktion wird zum Berechnen des Zusammenhangs
zwischen Winkel und Länge verwendet. ACHTUNG: Es darf nur in einem rechtwinkeligen
Dreieck angewendet werden.
c
a
Alle drei Winkel in jedem
Dreieck haben zusammen 180°
α
b
Zuerst muss man die Begriffe Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse bestimmen. Die
Hypotenuse ist immer die längste Seite. Sie ist gegenüber des rechten Winkels (im Bild „c“).
Die anderen beiden (kurzen) Seiten sind die Katheten. Hier unterscheidet man Ankathete
und Gegenkathete. Man kann so nicht einfach sagen, welche Seite die An- und welche die
Gegenkathete ist. Das hängt immer vom Winkel ab:
•
•
Geht man im Bild von Alpha aus, ist „a“ die Gegenkathete, weil diese gegenüber dem
Winkel ist. „b“ ist die Ankathete, weil diese in Bezug auf Alpha anliegt!
Geht man im Bild von Beta (Winkel oben) aus, ist „a“ die Ankathete, weil diese bei
Beta anliegt, „b“ wäre dann die Gegenkathete.
Grundformeln (nur für rechtw. Dreiecke)
ACHTUNG: Sin, cos und tan bringt man auf die andere Seite, indem man dort sin-1, cos-1 und tan-1
schreibt.
© Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
Trigonometrie
Formeln für alle Dreiecke
Hat man kein rechtwinkeliges Dreieck, so kann man die oben genannten Formeln nicht
anwenden. Für diese Fälle gibt es den Sinussatz und den Cosinussatz.
𝑎
𝑏
𝑐
Sinussatz: sin⁡(𝛼) = sin⁡(𝛽) = sin⁡(𝛾)
(wobei man immer nur 2 der drei Ausdrücke verwendet)
Cosinussatz: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)
ACHTUNG: Die beiden Formeln müssen nicht immer genau so lauten. Es kann auch
𝐜
𝐚
vorkommen, dass statt 𝐬𝐢𝐧⁡(𝛄) plötzlich 𝐬𝐢𝐧⁡(𝛄) anzuwenden ist, je nachdem wie die Seiten und
Winkel eines Dreiecks beschriftet wurden (Bild unten). Also sollten die Formeln allgemein
eigentlich folgendermaßen lauten:
𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒⁡1
𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒⁡2
Sinussatz: sin⁡(𝑔𝑒𝑔𝑒𝑛ü𝑏𝑒𝑟𝑙𝑖𝑒𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟⁡𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙) = sin⁡(𝑔𝑒𝑔𝑒𝑛ü𝑏𝑒𝑟𝑙𝑖𝑒𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟⁡𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙)
Cosinussatz: Seite² = andere Seite1² + andere Seite2² - 2*andere1*andere2*cos(gegenüberliegender
Winkel der gesuchten Seite)
C
C
γ
b
a
α
w
β
A
𝑎
𝑏
a
β
B
c
α
A
𝑐
γ
B
x
𝑤
𝑥
𝑎
Sinussatz: sin⁡(𝛼) = sin⁡(𝛽) = sin⁡(𝛾)
Sinussatz: sin⁡(𝛾) = sin⁡(𝛼) = sin⁡(𝛽)
Cosinussatz:
Cosinussatz:
a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)
a² = w² + x² - 2*w*x*cos(β)
b² = a² + c² - 2*a*c*cos(β)
w² = a² + x² - 2*a*x*cos(γ)
c² = a² + b² - 2*a*b*cos(γ)
x² = a² + w² - 2*a*w*cos(α)
Beispiele mit Lösung
6
γ
30°
a
20°
c
6
γ
6
sin⁡(20)
= sin⁡(30) |*sin(30)
𝑎
γ = 180-30-20 = 130°
6
sin⁡(20)
* sin(30) = a
6
sin⁡(20)
8,77 = a
a
𝑐
= sin⁡(130) |*sin(130)
13,44 = c
Sinussatz ist hier nicht anwendbar => Cosinussatz
a² = 6²+9² - 2*6*9*cos(30) => a² = 23,469 => a = 4,84
30°
β
9
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Trigonometrie
Hintergründe der Winkelfunktionen
Hier wird kurz der Hintergrund erklärt, warum z.B. sin(90)=1 ergibt, oder warum tan(90)
nicht definiert ist. Zunächst stellt man sich einen Kreis mit dem Radius 1 vor. Man zeichnet
nun eine Linie mit dem vorgegebenen Winkel (im Bild schwarz) ein. Der Winkel wird immer
von der positiven x-Achse weg gemessen. Nun erhält man den Punkt P. Die y-Koordinate
dieses Punktes (also der senkrechte Abstand; blau) ist der Sinus-Wert, die x-Koordinate (also
der waagrechte Anstand; rot) ist der Cosinus-Wert. Der Tangens-Wert (goldene Linie) ergibt
sich, wenn man die schwarze Linie verlängert und mit einer gedachten senkrechten Linie –
die immer ganz rechts verläuft – schneidet. Wenn man nun die nachfolgenden Bilder
betrachtet fällt folgendes auf:
•
•
•
•
•
•
•
Je größer der Winkel zw. 0° und 90° wird, desto größer werden die Sinus- und
Tangens-Werte und desto kleiner werden die Cosinus-Werte (Bild 1 auf Bild 2).
Zwischen 90° und 180° werden die Sinus-Werte wieder kleiner, die Tangens- und
Cosinus-Werte sind negativ (Bild 3).
Zwischen 180° und 270° werden die negative Cosinus-Werte wieder kleiner, die
Sinus-Werte werden negativ, und die Tangens-Werte positiv (Bild 4).
Zwischen 270° und 360° werden die Cosinus-Werte wieder positiv, die Sinus-Werte
bleiben negativ, werden aber kleiner, und die Tangens-Werte sind wieder negativ
(Bild 5).
Die Werte für Sinus und Cosinus schwanken zwischen 0 [z.B. sin(180), oder cos(90°)]
und 1 [z.B. sin(90), oder cos(180°)], die Werte für Tangens können auch größer als 1
sein (Bild 2).
Der Tangens hat für die Winkel 90° und 180° keinen Wert, da hierbei die schwarze
Linie parallel zur goldenen verläuft und somit nie schneidet.
Die Werte für sin, cos und tan wiederholen sich. So ist der Sinus-Wert für die Winkel
30° und 150° gleich groß (weil 150° eigentlich 30° von der negativen x-Achse nach
oben gerechnet sind; vgl. Bild6).
160
20
20
°
© Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
20
20
°
Trigonometrie
Winkelzusammenhänge
90-α
180-α
180°
90°
α
α
α
α
Sonstige Begriffe zu Winkel
Tiefenwinkel
Horizontalwinkel
Höhenwinkel
In diversen Büchern steht die Formel: sin(α)² + cos(α)² = 1.
Diese muss man nicht auswendig lernen, es reicht wenn
man den Einheitskreis und den Lehrsatz des Pythagoras
kennt. 1 ist nämlich der Radius (schwarze Linie). Also
rote²+blaue²=schwarze².
Winkel in verschiedene
Einheiten umrechnen
Üblicherweise werden Winkel im Gradmaß (Altgrad)
angegeben. Der volle Winkel dabei beträgt 360°, der halbe 180° und ein rechter Winkel 90°.
Diese Grad kann man aber auch noch in kleinere Einheiten einteilen. Grad werden – gleich
wie Stunden – in Minuten und Sekunden eingeteilt.
•
•
1° = 60‘ (Winkelminuten)
1‘ = 60“ (Winkelsekunden)
So sind zum Beispiel 72,5° => 72° 30‘.
Eine weitere Form der Maßangabe stellt das Bogenmaß dar. Hier beträgt ein voller Winkel
(also 360°) genau 2π, 180° wären demnach 1π usw. Man kann das Bogenmaß händisch
berechnen, indem man in die folgende Formel einsetzt:
Winkel im Bogenmaß =
Winkel⁡im⁡Gradmaß∗α
180
Mit dem Taschenrechner kann man aber problemlos zwischen den Winkelsystemen mit der
Taste „DRG“ umschalten. Beispiel: 50° ins Bogenmaß umrechnen: TR auf Bogenmaß (rad)
umstellen (im Mode-Modus), 50 und den Zusatz „°“ eingeben, Enter-Taste drücken.
Eine weitere Form eines Gradsystems ist das Neugradsystem. Es wird häufig in der
Landvermessung einsetzt und in „gon“ angegeben. Hier hat ein voller Winkel (360°) 400 g, ein
halber 200g usw. Ein gon sind 0,9°.
© Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd.
Trigonometrie