E-Lehre2 1 - Uni Kassel

Das elektrische Potential und die elektrische Spannung
Die Bewegung einer Ladung in einem elektrischen Feld ist mit Arbeit verbunden.
r
r
Kraft auf eine positive Probeladung QP : F = QP ⋅ E
r r
r r
r
Verrichtete Arbeit entlang des Wegstückes ∆s : ∆W = − F ⋅ ∆s = −QP E ⋅ ∆s
r r
In inhomogenen Feldern: W = −QP ∑ Ei ⋅ ∆si
n
i =1
r r
bzw.: W = −QP ∫ E ⋅ ds
r2
r1
Energieerhaltung:
Der Arbeitsaufwand um
eine Ladung vom Punkt 1
zum Punkt 2 zu bringen
ist unabhängig vom Weg!
1
2
r2 r
∆W
r
= − ∫ E ⋅ ds
Definition: Elektrisches Potential ϕ =
Qp
r1
Elektrisches Potential am Ort r2 in Bezug auf den Ort r1.
r r
Wahl: ϕ = 0 im Unendlichen ϕ = − ∫ E ⋅ ds Einheit: 1 J/C = 1 V (Volt)
r2
∞
Arbeit um die Ladung QP vom Ort r1 zu dem Ort r2 zu bringen: W1, 2 = W1,∞ + W∞ , 2
Es gilt: ϕ1 =
W∞ ,1
QP
und ϕ 2 =
W∞ , 2
QP
mit W1, ∞ = −W∞ ,1 folgt:
W1, 2 = −W∞ ,1 + W∞ , 2 = −ϕ1QP + ϕ 2 QP = QP ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 )
Die Arbeit hängt von der Potentialdifferenz ab und ist unabhängig von der
Wahl des Nullpunktes!
Definition: Elektrische Spannung: U = ϕ 2 − ϕ1
r r r 1 r r r1 r r
U = − ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds
r2
∞
∞
r2
r1
r
r
Potential im Abstand r1 von einer positiven Punktladung: ϕ = − ∫ E ⋅ ds
r
Mit E =
∞
1
Q r
⋅ 2 ⋅ er und ϕ (∞) = 0 folgt:
4πε 0 r
r1 r
r ∞r r ∞
Q ∞1
Q
ϕ = − ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ dr = ∫ Edr =
dr
=
∫
4πε 0 r1 r 2
4πε 0
∞
r1
r1
∞
1 Q
 1
−
=
⋅
 r 
4
πε
r1
0 r1
Allgemein: Potential einer Punktladung im Abstand r : ϕ (r ) =
1
4πε 0
⋅
Q
r
• Eine frei bewegliche positive Probeladung bewegt sich von Orten höheren
Potentials zu Orten niedrigeren Potentials.
• Eine frei bewegliche negative Probeladung bewegt sich von Orten
niedrigeren Potentials zu Orten höheren Potentials.
Potentielle Energie der positiven Probeladung: E pot = QPϕ
Potentielle Energie der negativen Probeladung: E pot = −QPϕ
Eine freie Probeladung verschiebt sich immer so, dass ihre potentielle
Energie abnimmt.
Beispiel: Plattenkondensator
r
r
Kraft auf das gelöste Elektron: F = −eE
Arbeit, die das elektrische Feld am Elektron verrichtet:
-
W = F ⋅ d = eEd
Andererseits: W = e ⋅ ∆ϕ = e ⋅ U
⇒
-
+
d
E=
U
d
Beispiel: Welche Arbeit muss aufgebracht werden, um den Dipol um 180°zu
drehen?
−10
Dipol: q = 10 C, l = 4cm
A
B
ϕ A (r ) =
++
--
s m
s = 0,28
Q = −6 ⋅10 − 7 C
1
Q
= −2,07 ⋅10 4 V
4πε 0 ( s − l / 2)
1
Q
ϕ B (r ) =
⋅
= −1,80 ⋅10 4 V
4πε 0 ( s + l / 2)
⋅
W = + q (ϕ B − ϕ A ) + ( − q )(ϕ A − ϕ B ) = 2q (ϕ B − ϕ A ) = 0,54 ⋅10 − 6 J
Oder:
rA r
rA r
rA
r r
2qQ rA 1
r
r
W = −(+ q ) ∫ E ⋅ ds − (−q ) ∫ E ⋅ ds = 2q ∫ E ⋅ ds = 2q ∫ E ⋅ dr =
dr
∫
2
4πε 0 rB r
rA
rB
rB
rB
rB
2qQ
W=
4πε 0
rA
2qQ  1 1 
 1
 − +  = 2q (ϕ B − ϕ A )
−
=
 r 
4πε 0  rA rB 
rB
Elektrisches Feld und Potential
Entlang der elektrischen Feldlinien nimmt das Potential ab.
r r
r
Eine Probeladung wird in einem Feld um ds verschoben: dϕ = − E ⋅ ds = − E|| ds
dϕ
Daraus folgt: E|| = −
ds
Vektor, der die Richtung der größten Änderung einer skalaren
Funktion anzeigt: Gradient
r
 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
E = −gradϕ ( x, y, z ) = −∇ϕ ( x, y, z ) = − , , 
 ∂x ∂y ∂z 
Beispiel: ϕ = ( 2V/m 2 ) x 2 + (1V/m 2 ) yz
Elektrisches Feld am Ort (2m, 1m, 2m) ?
∂ϕ
= −4V/m 2 ⋅ x
∂x
∂ϕ
Ey = −
= −1V/m 2 ⋅ z
∂y
∂ϕ
Ez = −
= −1V/m 2 ⋅ y
∂z
Ex = −
r
r
r
r
E ( 2m,1m,2m) = −8V/m ⋅ e x − 2V/m ⋅ e y − 1V/m ⋅ e z
Übungen
1. Das elektrische Potential in einem Raumgebiet sei überall konstant.
Welche Aussage ist richtig?
•
•
•
r
E=0
Das elektrische Feld ist homogen mit E ≠ 0.
Das elektrische Feld ist radialsymmetrisch.
2. Richtig oder Falsch?
•
•
•
•
Wenn das el. Feld in einem Raumgebiet Null ist muss das el. Potential dort
ebenfalls Null sein.
Die elektrischen Feldlinien zeigen immer zu Gebieten mit niedrigerem
Potential.
Die Oberfläche eines beliebig geformten Leiters ist in der Elektrostatik
immer eine Äquipotenzialfläche.
Wenn das Potential an einem Raumpunkt etwa 100 V beträgt bewegen sich
dort vorhandene Ladungen immer.
3. Ein Potential sei gegeben mit: ϕ ( x) = 100V − (25V/m) x
r
Das elektrische Feld E beträgt:
r
r
E
=
−
(
25
V/m
)
e
•
x
r
r
• E = + ( 25V/m )e x
r
r
r
• E = 100Vxex − (25V/m) x 2 ex
Kapazität und Kondensatorschaltungen
Experiment: Verschiedene Kondensatoren werden bei verschiedenen
Spannungen aufgeladen.
Resultat: Q ~ U
Q = C ⋅ U Proportionalitätskonstante: Kapazität C, Einheit: 1 F (Farad)
U
1 Q
Für einen Plattenkondensator gilt: E =
⋅ und E =
d
ε0 A
1 Q U
Q
A
⋅ =
⇒
= C = ε0 ⋅
gleichsetzen:
ε0 A d
U
d
Die Kapazität eines Kondensators hängt
von dem zwischen den Platten
befindlichen Material (Dielektrikum) ab.
• Orientierungspolarisation
• Verschiebungspolarisation
Die Dielektrizitätszahl ε r gibt an um wie
viel das Dielektrikum die Kapazität
gegenüber dem Vakuum vervielfacht.
C = ε 0 ⋅ε r ⋅
A
d
Kondensatorschaltungen
1. Parallelschaltung
C3
C2
C1
Q1 = C1 ⋅ U
Q2 = C 2 ⋅ U
Q ges = Q1 + Q2 + Q3 = C ges ⋅ U
Q3 = C3 ⋅ U
⇒ C gesU = C1U + C 2U + C3 U
⇒ C ges = C1 + C 2 + C3
2. Reihenschaltung:
C1
C2
C3
U ges = U 1 + U 2 + U 3
U ges =
⇒
Q
Q Q Q
=
+
+
C ges C1 C 2 C3
1
1
1
1
=
+
+
C ges C1 C 2 C3
Energie und Energiedichte des elektrischen Feldes
Ein Kondensator wird mit einer Spannungsquelle aufgeladen, dann von der
Spannungsquelle getrennt und die Platten werden auseinander gezogen:
Q ⋅ d , d.h. U ~ d
A
Q und
⇒
U
=
C = ε0 ⋅
Es gilt: C =
ε0 ⋅ A
d
U
1 Q Zusätzlicher felderfüllter Raum: ∆V = ( d − d ) A
E= ⋅
2
1
ε0 A
Die zugeführte mechanische Arbeit wird im elektrischen Feld gespeichert.
Vorstellung: Eine Ladung wird in kleinen Portionen dQ auf die Platten eines
Kondensators gebracht und die Arbeit berechnet.
Q max
Gesamtarbeit: W =
∫ UdQ
0
Die während des Ladevorgangs am Kondensator anliegende Spannung ist:
Q mit 0 ≤ Q ≤ Q max
C
Q max
2
Q max
Q
1 Q max
1 1 2 
1 Qmax
⇒ W= ∫
dQ =
QdQ =  Q 
=
∫
C 0
C 2 0
2 C
0 C
U=
Die in einem Kondensator, im Raum zwischen den Platten, gespeicherte Energie
ist also:
1 Q2 1
1
W=
= QU = CU 2
2 C 2
2
Energiedichte w:
W 1 CU 2 1 ε 0 A U 2 1 ε 0U 2 1
2
w= =
=
⋅
=
=
ε
E
0
V 2 Ad
2 d Ad 2 d 2
2
Übungen:
1. Ein luftgefüllter Plattenkondensator ist an eine Batterie mit konstanter
Spannung angeschlossen. Wie ändert sich die in dem Kondensator
gespeicherte Energie, wenn der Abstand der Kondensatorplatten bei
weiterhin angeschlossener Batterie verdoppelt wird?
•
•
•
•
•
Die Energie vervierfacht sich.
Die Energie verdoppelt sich.
Die Energie bleibt unverändert.
Die Energie fällt auf die Hälfte.
Die Energie fällt auf ein Viertel.
2. Wie ändert sich die in dem obigen Kondensator gespeicherte Energie, wenn
dieser von der Spannungsquelle getrennt wird, bevor der Abstand der
Platten verdoppelt wird.
•
•
•
•
•
Die Energie vervierfacht sich.
Die Energie verdoppelt sich.
Die Energie bleibt unverändert.
Die Energie fällt auf die Hälfte.
Die Energie fällt auf ein Viertel.
3. Zwei zunächst ungeladene Kondensatoren mit den Kapazitäten C und 2C
werden über eine Batterie in Reihe geschaltet. Welche der folgenden
Aussagen ist richtig?
•
•
•
•
4.
Der Kondensator mit der Kapazität 2C wird mit einer doppelt so großen
Ladung geladen wie der Kondensator mit der Kapazität C.
Die Spannungen über beiden Kondensatoren sind gleich.
Die in beiden Kondensatoren gespeicherten Energien sind gleich.
Keine der Aussagen ist richtig.
Wie groß ist die Gesamtkapazität?
6
• C ges = ∑ Ci
i =1
−1
−1
• C ges = (C1 + C 2 + C3 ) + (C 4 + C5 + C 6 )
• C
ges
−1
1
 1
1
1 
1
1 
=  +
+  +  +
+ 
 C1 C 2 C3 
 C 4 C5 C 6 
C4
C5
C6
C1
C2
C3
−1
−1
−1
−1
• C ges = (C1 + C 4 ) + (C 2 + C5 ) + (C3 + C 6 )
Materie im elektrischen Feld
Wird der Raum, in dem sich ein elektrisches Feld befindet, mit einem
Dielektrikum gefüllt, so geht in allen Gleichungen ε 0 in ε 0 ⋅ ε r über.
Beispiele:
F=
1
4πε 0
E=
ϕ=
⋅
1
Q1Q2
r2
⋅
Q
4πε 0 r 2
1
Q
⋅
4πε 0 r
r r
Ψ = ε 0 ∫ E ⋅ dA
⇒
F=
⇒
E=
1
4πε 0ε r
1
4πε 0ε r
⋅
Q1Q2
r2
⋅
Q
r2
1
⇒
Q
ϕ=
⋅
4πε 0ε r r
⇒
r r
Ψ = ε 0ε r ∫ E ⋅ dA
Dielektrische Verschiebungsdichte (oder Elektrische Flussdichte oder
elektrische Verschiebung)
r
r
D = ε 0ε r E
ε r : relative Dielektrizitätskonstante,
Vakuum: ε r = 1
r
r
Bsp.: Ψ = ∫ D ⋅ dA
Gleichstromkreise: Der elektrische Strom
I=
S
t
r
o
m
s
t
ä
r
k
e
:
dQ
dt
dQ: Ladungsmenge, die in der Zeit dt durch die Fläche A tritt.
Einheit der Stromstärke: 1A (Ampère) = 1C/s
Jeder Fluss von elektrischen Ladungen ist ein Strom:
• Elektronen in einem Draht
• positive und negative Ionen in einem Elektrolyten
• Protonenstrahl in einem Beschleuniger
• Elektronenstrahl in einer Fernsehröhre
Konvention: Die positive Stromrichtung ist die Flussrichtung positiver
Ladungsträger.
Die Elektronen im Draht bewegen sich also entgegen der Stromrichtung!
Bewegung der Elektronen in einem Draht:
Ohne Spannung: Es ist kein elektrisches Feld vorhanden.
thermische, statistische Bewegung in alle Richtungen
r
r
Mit angelegter Spannung: Elektronen werden durch die Kraft F = −eE
beschleunigt und es erfolgen Stöße.
Es ergibt sich eine konstante Driftgeschwindigkeit vD gegen die Richtung
des elektrischen Feldes.
q
vD
A
v D ⋅ ∆t
V = A ⋅ v D ⋅ ∆t
n: Anzahldichte der Ladungsträger
Stromstärke: I =
∆Q n ⋅ Av D ∆t ⋅ q
=
= n ⋅ q ⋅ A ⋅ vD
∆t
∆t
Beispiel:
Wie groß ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem Kupferdraht
mit dem Radius r = 0,815 mm, in dem ein Strom von 1 A fließt?
Kupfer: 1 Leitungselektron pro Atom
3
Dichte: ρ = 8,93g/cm
molare Masse: M = 63,5g/mol
23
−1
Avogadrokonstante: N A = 6,02 ⋅10 mol
−19
Elementarladung: e = 1,6 ⋅10 C
Anzahldichte der Atome (und Elektronendichte) : n A =
Driftgeschwindigkeit:
vD =
ρ ⋅ NA
M
= 8,47 ⋅10 22 cm − 3
I
I
m
mm
= 2
= 3,5 ⋅10 −5 ≈ 0,04
A ⋅ n ⋅ e πr ⋅ n ⋅ e
s
s
Thermische Geschwindigkeit für Elektronen bei Zimmertemperatur:
vTh =
3kTZ
km
≈ 1200
mel
s
Widerstand und Ohmsches Gesetz
Elektrisches Feld im Inneren eines Leiters Kein elektrostatisches Gleichgewicht!
r
E
A
U = ϕ a − ϕ b = E ⋅ ∆l
ϕa
∆l
ϕb
Für viele Materialien gilt: I ~ U , Proportionalitätskonstante: Leitwert G,
Einheit S (Siemens)
1 , Einheit Ω (Ohm)
Elektrischer Widerstand: R =
G
U
Ohmsches Gesetz: I = G ⋅ U =
R
U
Kein allgemeingültiges Naturgesetz!
Widerstand eines Drahtes: R = ρ ⋅
ρ : spezifischer Widerstand
1
σ = : spezifischer Leitwert
ρ
l
A
nichtohmscher Widerstand
U
R=
I
ohmscher
Widerstand
I
Die Stromdichte
r
E
I
Stromdichte : j =
I
A
ϕa
A
∆l
ϕb
A
⋅ U folgt: j = σ ⋅ E bzw.:
∆l
r
r
Allgemeine Form des Ohmschen Gesetzes j = σ ⋅ E
Mit U = ∆l ⋅ E und I = G ⋅ U = σ ⋅
r r
Elektrisches Feld ist nicht homogen über den gesamten Leiter: I = ∫ j ⋅ dA
A
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Der spezifische Widerstand hängt in guter Näherung linear von der Temperatur
ab: ρ (ϑ ) = ρ (ϑ = 20° C ) [1 + α (ϑ − 20°C )]
α : Temperaturkoeffizient des Widerstandes (tabelliert)
Beispiel:
−3
−1
Prozentuale Widerstandsänderung von Kupfer (α = 3,9 ⋅10 K ) , wenn
die Temperatur von 20 °C auf 30 °C steigt:
ρ 30°C − ρ 20°C
= α (30°C − 20°C) = 3,9 ⋅10 −3 K −1 ⋅10K
ρ 20°C
ρ 30°C − ρ 20°C
= 3,9 ⋅10 − 2 = 3,9%
ρ 20°C
Elektrische Leistung
A1
ϕ1
∆Q
∆l
A2
ϕ2
• Im Zeitintervall ∆t fließt die Ladung ∆Q durch die Fläche A1 in den Abschnitt
hinein. potentielle Energie der Ladung: W1 = ϕ1 ∆Q
• Im Zeitintervall ∆t fließt die Ladung ∆Q durch die Fläche A2 aus dem Abschnitt
hinaus. potentielle Energie der Ladung: W2 = ϕ 2 ∆Q
Abnahme der potentiellen Energie:
∆W = ∆Q(ϕ 2 − ϕ1 ) = ∆Q(− U ) ⇒ − ∆W = ∆Q ⋅ U
2
U
∆W ∆Q
Elektrische Leistung P : −
=
⋅U = I ⋅U = R ⋅ I 2 =
R
∆t
∆t
Joulesche Wärme: Wärmeenergie, die durch elektrische Verluste in einem
Leiter erzeugt wird.
Beispiel: Ein Strom von I = 3A fließt durch einen 12 Ω Widerstand.
2
2
Wie groß ist die elektrische Verlustleistung? P = R ⋅ I = 12Ω ⋅ 9A = 108W
Die Kirchhoffschen Regeln
Erste Kirchhoffsche Regel oder Knotenregel:
I2
I1
n
∑ Ii = 0
i =1
I3
Die Summe aller Ströme, die zu einem Knoten hinfließen, ist gleich der
Summe der Ströme, die von diesem Knoten wegfließen.
Ladungserhaltung
Zweite Kirchhoffsche Regel oder Maschenregel:
R1
m
i =1
j =1
∑ U Qi + ∑ IR j = 0
U Q1
U Q2
R3
n
R2
Beim Durchlaufen einer Masche in einem willkürlich festgelegten Umlaufsinn
ist die Summe aller Spannungen gleich Null.
Energieerhaltung
Widerstandsschaltungen
1. Reihenschaltung
R1
R2
R3
U ges = U 1 + U 2 + U 3
(Maschenregel)
U ges = IR1 + IR2 + IR3 = I ( R1 + R2 + R3 )
⇒
R ges =
U ges
I
= R1 + R2 + R3
2. Parallelschaltung
R3
I = I1 + I 2 + I 3
R2
U
U U U
= +
+
Rges R1 R2 R3
(Knotenregel)
R1
⇒
1
1
1
1
= +
+
R ges R1 R2 R3
Beispiel:
Wie groß ist der Widerstand zwischen den Punkten A und B?
24Ω
A
B
4Ω
5Ω
12Ω
RI
R II
1. Schritt:
1
1
1
4
1
=
+
=
=
⇒ RI = 3Ω
RI 4Ω 12Ω 12Ω 3Ω
2. Schritt:
RII = 3Ω + 5Ω = 8Ω
3. Schritt:
1
1
1
4
1
=
+
=
=
⇒ R AB = 6Ω
R AB 8Ω 24Ω 24Ω 6Ω
Der Ersatzwiderstand zwischen A und B beträgt 6 Ω.
Übungen:
1. Zwei Widerstände R1 und R2 werden parallel geschaltet. Es gilt: R1 >>R2.
Wie groß ist ungefähr der Ersatzwiderstand der Schaltung?
•
•
•
•
R1
R2
Null
Unendlich
2. Zwei Widerstände R1 und R2 werden hintereinander geschaltet.
Es gilt: R1 >>R2. Wie groß ist ungefähr der Ersatzwiderstand der Schaltung?
•
•
•
•
R1
R2
Null
Unendlich
3. Eine Reihenschaltung zweier identischer Widerstände ist an die
Klemmen einer Spannungsquelle angeschlossen, die dabei eine Leistung
von P = 20 W abgibt. Welche Leistung gibt die Spannungsquelle ab,
wenn dieselben Widerstände parallel geschaltet sind?
•
•
•
•
•
5W
10 W
20 W
40 W
80 W
Beispiel: Berechnung der Stromstärke
R1 = 5Ω
a
I
Ri1 = 1Ω
U Q1 = 12V
g
b
a b: − IR1
R2=
5Ω
b c: − IR2
c
d e: − IRi 2
d
c d: − U Q 2
U Q 2 = 4V
Ri 2 = 1Ω
f
R3 = 4Ω
0V
e
e f: − IR3
f g: + U Q1
g a: − IRi1
Maschenregel: − IR1 − IR2 − U Q 2 − IRi 2 − IR3 + U Q1 − IRi1 = 0
⇒
I=
⇒
I=
U Q1 − U Q 2
R1 + R2 + R3 + Ri1 + Ri 2
12V − 4V
8V
=
= 0,5A
5Ω + 5Ω + 4Ω + 1Ω + 1Ω 16Ω
Potentiale an den Punkten a bis g:
R1 = 5Ω
a
R2=
5Ω
I
Ri1 = 1Ω
U Q1 = 12V
c
g
d
f
0V
b
U Q 2 = 4V
Ri 2 = 1Ω
R3 = 4Ω
e
f: ϕ = 0
g: ϕ = 12V
a: ϕ = 12V - 0,5A ⋅1Ω = 12V - 0,5V = 11,5V
b: ϕ = 11,5V - 0,5A ⋅ 5Ω = 11,5V - 2,5V = 9V
c: ϕ = 9V - 0,5A ⋅ 5Ω = 9V - 2,5V = 6,5V
d: ϕ = 6,5V - 4V = 2,5V
e: ϕ = 2,5V - 0,5A ⋅1Ω = 2,5V - 0,5V = 2V
f: ϕ = 2V - 0,5A ⋅ 4Ω = 2V - 2V = 0V
Leistungsbilanz:
R1 = 5Ω
a
b
R2=
5Ω
I
Ri1 = 1Ω
U Q1 = 12V
c
g
d
f
0V
e
R3 = 4Ω
U Q 2 = 4V
Ri 2 = 1Ω
Quellenspannung der ersten Batterie: PQ1 = U Q1 ⋅ I = 12V ⋅ 0,5A = 6 W
2
2
Verlustleistung am Innenwiderstand der Batterie: PRi1 = I ⋅ Ri1 = (0,5A) ⋅1Ω
⇒ PRi1 = 0,25W die erste Batterie gibt eine Leistung von 5,75 W ab.
Verlustleistung in den Widerständen R1 bis R3:
PR ( Last ) = I 2 ⋅ ( R1 + R2 + R3 ) = (0,5A ) 2 ⋅14Ω = 3,5W
In die zweite Batterie eingespeiste Leistung:
PQ 2 = (ϕ c − ϕ e ) ⋅ I = (6,5V − 2V ) ⋅ 0,5A = 2,25W
2
Davon werden PRi 2 = I ⋅ Ri 2 = 0,25W am Innenwiderstand in Wärme
umgesetzt, der Rest als chemische Energie gespeichert.
RC-Kreise:
Schaltungen, die einen Widerstand und einen Kondensator enthalten.
Entladen eines Kondensators:
I
+ Q0
− Q0
Schalter offen: U 0 =
R
Q0
C
Bei t = 0 wird der Schalter geschlossen.
U 0 Q0
=
R RC
dQ
Die Ladung auf dem Kondensator nimmt ab. Strom im Zeitintervall dt: I = −
dt
Q
Q dQ
dQ
Q
Maschenregel:
− IR = 0 ⇒
+
R=0 ⇒
=−
C
C dt
dt
RC
Anfängliche Stromstärke: I 0 =
1
1
Trennung der
−
−
t+A
t
dQ
1
1
RC
RC
Variablen und
=−
dt ⇒ ln Q = −
t+A ⇒ Q=e
=e
eA
Q
RC
RC
Integration:
Anfangsbedingungen ⇒ Q0 = e A ⇒ Q (t ) = Q0 ⋅ e
t = 0: Q = Q0
1
−
1
t
RC
charakteristische
Zeitkonstante τ
1
t
−
dQ Q0 − RC t U 0 − RC t
⇒ I (t ) = −
=
⋅e
=
⋅e
= I 0 e τ , τ = RC
dt RC
R
Laden eines Kondensators:
I
U
Schalter offen, Kondensator ungeladen.
Bei t = 0 wird der Schalter geschlossen.
+
−
Anfängliche Stromstärke: I 0 =
R
U
R
dQ
Q
Q
dQ
⇒ U=
R+
= 0, I = +
dt
C
C
dt
dQ
dQ
1
CU − Q =
RC ⇒
=
dt
dt
CU − Q RC
Maschenregel: U − U R − U C = U − IR −
Trennung der
Variablen und
Integration:
Anfangsbedingungen ⇒ CU = e
t = 0: Q = 0
t
−
t
⇒ − ln(CU − Q ) =
+ A ⇒ CU − Q = e RC e − A
RC
−A
⇒ CU − Q = CU ⋅ e
−
t
RC
t
t
−
−




⇒ Q = CU 1 − e RC  ⇒ Q = Qmax 1 − e RC 




t
t
t
−
dQ Qmax − RC U − RC
⇒ I=
=
= e
= I 0e τ
e
dt
RC
R
Entladen eines Kondensators:
Q
I
Q0
I0
Q(t ) = Q0 ⋅e
−
t
RC
I (t ) = I 0 e
−
t
RC
t
t
Laden eines Kondensators:
Q
I
I0
QMax
t
−


RC 

Q = Qmax 1 − e



I (t ) = I 0 e
t
−
t
RC
t