Taxigeometrie Blatt 8

Pädagogische Hochschule Zürich
Taxigeometrie Blatt 8
1. Ein zweigliederiger mathematischer Ausdruck der Form a + b oder a – b heisst Binom.
• Wie sieht dementsprechend ein Trinom aus?
• Zählen Sie die drei wichtigen Binomischen Formeln («Ping-Pong»-Formeln in der Sprache der Schule) auf.
2. Multiplizieren Sie von Zeile zu Zeile mit (a + b), bereinigen und ordnen Sie die Summanden.
Setzen Sie danach ein: a = b = 1 und rechnen Sie aus; notieren Sie die Ergebnisse rechts aussen.
(a + b)0 =
1
=1
(a + b)1 =
1a+1b
=2
(a + b)2 =
1a2+2ab+1b2
= ____
(a + b)3 =
______________________
= ____
(a + b)4 =
________________________________
= ____
(a + b)5 =
___________________________________________
= ____
______ =
___________________________________________________________
= ____
3. In Aufgabe 2 haben Sie konkrete Beispiele für den
allgemeinen Binomischen Lehrsatz berechnet.
(a + b)n =
n  n n − k k
∑  a
b
k
k=0
 n n  n  n − 1  n  n − 2 2
 n  n − 1  n n
b + a
b + ..... + 
 ab
+ b
=  a +  a
 0
 1
 2
 n - 1
 n
«n tief k» und «n Fakultät» sind dabei so definiert:
 n
n!
 =
 k  k!(n − k)!
n! = n · (n–1) · (n–2) · (n–3) · …· 3 · 2 · 1
3.1 Machen Sie sich mit der (evtl. für Sie neuen) Schreibweise vertraut und berechnen Sie konkret:
 4
  =
 2
 4
  =
 3
 5
  =
 0
 5
  =
 1
 5
  =
 2
 5
  =
 3
 5
  =
 4
 5
  =
 5
 0
  =
 0
 6
  =
 2
 6
  =
 4
 3
  =
 7
 6
  =
 0
 6
  =
 6
 45 
 =
 6
3.2 Solche Ausdrücke «n tief k» heissen Binomial-Koeffizienten.
Welche Beziehungen zwischen ihnen haben Sie entdeckt?
Versuchen Sie diese Beziehungen allgemein, also mit n, (n–1), k, (k–1) usw. zu formulieren.
Sehen Sie den Zusammenhang zum Pascal-Dreieck; was bedeutet also dort n und was ist k?
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1
2
4. Das Pascalsche Dreieck steckt voller interessanter Zahlbeziehungen.
Ein erstes Beispiel:
Zählen Sie die Zahlen auf den markierten
«Neben-»Diagonalen zusammen.
1
1
1
Erkennen Sie diese berühmte Zahlenfolge und
ihre Gesetzmässigkeit?
Ergänzen Sie die Folge um ein paar weitere Glieder.
1
1
1
Fachbereich Mathematik
3
4
5
1
3
6
6
10
1
4
10
1
1
20
…
…
…
1
7
21
35
…
…
…
…
1
8
28
56
…
…
…
…
…
1
Siehe auch Aufgabe 3 Seite 32
in «Mathematik 8», LMV des Kt. ZH, 20013
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2
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15
Christian Rohrbach