Mathematik für Bioinformatiker I WS 12/13 8. ¨Ubung
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Mathematik für Bioinformatiker I 8. Übung Aufgabe 1: WS 12/13 Abgabe: 18.12.2012 bis 14:00 Uhr Rekursionen 1+4+3 Punkte Ein Baukasten enthält vier Sorten von Bausteinen (rote, blaue, gelbe und grüne). Alle Bausteine haben die gleiche Grundfläche (die man sich als ein Quadrat oder einen Kreis vorstellen kann). Alle roten und blauen Bausteine haben die Höhe 1 und alle gelben und grünen Bausteine haben die Höhe 2. Sei tn die Anzahl der verschiedenen Türme der Höhe n, die man durch einfaches Stapeln aus diesen Bausteinen aufbauen kann, wenn von jeder Sorte beliebig viele Exemplare zur Verfügung stehen: a) Beschreiben Sie tn durch eine lineare, homogene Rekursion mit ausreichend vielen Anfangsbedingungen. b) Finden Sie eine geschlossene Formel für tn und bestimmen Sie t11 und t12 mit Hilfe dieser Formel (Haskell mit Float–Typ und Runden). c) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N+ die Zahlen t2n−1 und t2n durch 2n teilbar sind. Aufgabe 2: Schubfachprinzip 1+2+3 Punkte a) Zeigen Sie, dass bei 17 Tipps in 6 aus 49 mindestens eine Zahl dreimal auftreten muss. b) Zeigen Sie, dass es bei 79 Tipps in 6 aus 49 mindestens einen Zweier gibt, der mehrfach vorkommt. c) Wie viele Tipps muss man bei 6 aus 49 abgeben, um sicher zu sein, dass es einen Dreier gibt, welcher mindestens in drei Tipps vorkommt. Aufgabe 3: Wahrscheinlichkeiten 7 Punkte Aus einem Skatspiel (32 Karten in den Farben Karo, Herz, Pik, Kreuz mit den Werten 7, 8., 9, 10, B, D, K, A) wird eine Menge M von 5 Karten zufällig gezogen (alle 5-Kombinationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Ereignis A: Alle vier Farben sind in M vertreten. b) Ereignis B: In M gibt es drei, aber nicht vier Karten der gleichen Farbe. c) Ereignis C: In M gibt es vier, aber nicht fünf Karten der gleichen Farbe. d) Ereignis D: Alle Karten in M haben die gleiche Farbe. e) Ereignis E: In M kommen genau drei Farben vor, aber keine Farbe dreifach. Die Wahrscheinlichkeiten sind als (gekürzte) Brüche anzugeben. Zur Überprüfung der Ergebnisse kann man sich an den folgenden Vorgaben orientieren: 1 1 ≤ Pr(A), Pr(B) ≤ 4 3 Pr(C) < 1 25 Pr(D) < 1 500 Pr(E) > 1 3
