Magnetostatik

Kapitel 4
Magnetostatik
4.1 Einleitung
Elektrostatische Felder
Quellen sind ruhende elektrische Ladungen.
Messbar durch die Kraft auf ruhende Testladung.
Magnetostatische Felder
Es gibt keine magnetischen Ladungen ∇B 0 In Multipolentwicklung verschwindet Mono magnetischer Dipol hat fundamentale Bedeutung.
polmoment
Das magnetostatische Feld wird durch einen stationären Strom erzeugt.
Messbar durch bewegte Ladung. Amperesches Gesetz: Kraft zwischen zwei stationären Strömen.
4.2 Der elektrische Strom (zur Erinnerung)
a.) Kontiunitätsgleichung
Ladungserhaltung in einem beliebigen geschlossenen Volumen V .
d
Q
dt
d
dt
Oberflächenstrom durch d f
d r ρ r t 3
jn
df
(4.1)
∂V
V
Aus dem Gaußschen Satz folgt andererseits
d 3 r div j
j nd f
∂V
V
(4.2)
V beliebig
∂ρ
div j
∂t 49
0
(4.3)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
50
b.) Stromfadenelement und Stromdichte
Mikroskopisches Bild (analog Punktladung): Stromfaden entlang Kurve C
I: Anzahl der Teilchen, die durch jede Fläche treten, die von C genau einmal durchstochen wird.
I
C
dl:Wegelement
Fläche
dl
r
Abbildung 4.1: Mikroskopisches Bild
I d l
t : Tangentialvektor an C.
I dl t
4.2. DER ELEKTRISCHE STROM (ZUR ERINNERUNG)
51
Makroskopisches Bild: Stormdichte analog zur Ladungsdichte in der Elektrostatik
Der Strom fließt nicht auf eindimensionalen Stromfaden, sondern gleichmäßig in einem Zylinder um C.
df
dl
Abbildung 4.2: Makroskopisches Bild - Strom fließt durch den Zylinder
df
d f t
Definiere die Stromdichte, so dass
j
jt
jd f
I
j: Richtung entlang des Stromfadens
Teilchen
j = Betrag: Zeit Flächenelement
senkrecht Stromrichtung
Betrachte das Flächenelement
df
tdf
Wir finden mit
dV
3
jd r
d 3 r d f dl
(4.4)
jt d f dl
(4.5)
I dl KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
52
c.) Beziehung zwischen Stromdichte und mikroskopischen Teilchen
df
Vereinfachter Ansatz: Im infinitesimales Testvolumen sei die Dichte ρ und die Teilchen haben alle die
Geschwindigkeit
v
vdt
dl
v vt Anzahl der Teilchen, die im Zeitinterval dt durch d f treten.
dN
ρ
d fv dt
schattiertes Volumen
j d f dt
(4.6)
j vρ
(4.7)
j ρv
(4.8)
Vollmikroskopische Theorie: N Teilchen q r i vi 1
∆V
ρ r v r N
∑
i 1 r i ∆V
qi vi δ r r i Für Ladungsstromdichte
d.) Energiebilanz bei Bewegung der Ladung im elektrischen Feld
Einzelne Ladung
dW
F dr q E r dr (4.9)
Leistung
P
dW
dt
q E r v r (4.10)
E r v r (4.11)
Kontinuierliche Ladungsverteilung
dP ρ r d 3 r
4.3. AMPERESCHES GESETZ
53
Wir setzen ein:
j
ρ r v r
P d 3 r j r E r (4.12)
V
Nehmen wir einen einzigen Stromfaden d 3 r j
Idl
P I dl E r I U (4.13)
4.3 Amperesches Gesetz
Experimentelle Tatsache: Zwischen zwei stromführenden Leitern existiert eine Kraft, die anziehend
ist, wenn die Ströme parallel sind und abstoßend, wenn sie antiparallel sind.
C1, I
C 2 , I2
1
dr2
dr 1
d F 12
r1
r12
r2
Abbildung 4.3: Darstellung Amperesches Gesetz
dF 12
µ0
I1 I2
r
dr1 dr2 312
4π
r12
(4.14)
von 2 auf 1 ausgeübte Kraft
F µ I1 I2
0 4π "!
12
c1
! c2 dr1 dr2 r 12
3
r12
Amperesches Gesetz
Si-System:
µ0
4π 10 #
F 12
7 Vs
As
1 2560 10 #
6
N
A2
F 21 : actio reactio
(4.15)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
54
I1
I2
d z2
r12
z
d z1
δ
z
x
Abbildung 4.4: Zwei parallele Drähte
Beispiel zwei parallele Drähte
r12
δ ey z ez
(4.16)
r12
$ δ2 z2
(4.17)
d r 1 dr2
d z1 d z2
(4.18)
Kraft von F2 auf Ebenen dz1
dF 12
µ0 I1 I2
dz1
4π
∞
#
dz
∞
δ ex
z ez
δ2 z2 3
2
(4.19)
Der Beitrag α ez verschwindet wegen des asymmetrischen Integranden.
dF 12
Kraft pro Länge
µ0 I1 I2
dz1 ex δ
4π
∞
dz
δ2 z2 2
#
% ∞
*
z
δ22
1
δ 2 & δ 2 ' z2 ( 2 ) ∞
))
))
3
∞
(4.20)
4.4. MAGNETISCHE FLUSSDICHTE B (MAGNETISCHE INDUKTION)
f12
dF12
dz
µ0 I1 I2
e 2πδ x
55
(4.21)
Definition des Stroms im Si-System:
I1
I2 1 A wenn pro Meter von F1 in einer Entfernung von δ = 1 m, die Kraft F
2 10 # 7 N beträgt.
4.4 Magnetische Flußdichte B (Magnetische Induktion)
Alternative Form des Ampereschen Gesetzes
Wir haben
dr 1 x dr 2 x r 12 dr 2 dr 1 r12 + r12 dr 1 dr 2 (4.22)
Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung 4.22 verschwindet, weil
c1
r
dr 1 312
r12
F 12
c1
1
dr1 ∇
r12
µ I1 I2
4π
c1
c2
d f rot grad
1
r12
F1
0
1
dr 1 x dr 2 x r 12 3 0
r12
(4.23)
(4.24)
Übergang von einer nichtlokalen Theorie (entspricht Coulomb-Gesetz in der Elektrostatik) zu einer
lokalen Theorie durch Einführung des magnetischen Feldes B (magnetische Flußdichte).
Definiere:
B2 r 1 µ0
,
von C2 erzeugtes Magnetfeld.
underlineF12 B
I2
4π
I1 dr 2 x r 12
3
r12
(4.25)
dr1 x B2 r1 (4.26)
c2
c1
VsA 1
m Am
Vs
m2
1 Tesla
Die Trennung der Integrationen entlang C1 und C2 ist in der alternativen Formulierung im Gegensatz
zur ursprünglichen möglich.
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
56
Beispiel: Magnetische Flußdichte eines geraden Leiters
I
r − r’
r’
ρ
r
0
B α eϕ
Abbildung 4.5: Flußdichte eines geraden Leiters
B r u0 F
4π
dr - x r r -.
/
/
r r- 3
(4.27)
c
In Zylinderkoordinaten
dr -
/
r rr r-
dz- ez
/
ρ eρ
dr - x r r - 1
B r 2
z z - ez
0 ρ2 z z - 2
ρ dz- eϕ
∞
µ0 Iρ
1
e
dz- 3
3
2
4π ϕ
ρ
z z- 2 4 2
∞
#
2
(4.28)
ρ2
µ0 I
e
2πρ ϕ
B-Linien sind konzentrische Kreise um dem Strom Orientierung durch Rechte-Hand-Regel gegeben.
4.5. DAS VEKTORPOTENTIAL
57
Verallgemeinerung für beliebige Stromdichten
I dr
j d3r
B r 5
µ0
4π
r r7
3
6 d r - j r - x 8 r # # r7:9 3
(4.29)
Biot-Savartsches Gesetz
und analog
F
3
4
d3r j r x B r 3
4
d3r ρ r v r x B r (4.30)
Lorentz-Kraft.
Einzelne Punktladung qi r i vi
j r 2
in 4 30 eingesetzt
Fi q i vi δ v v i B ri qi vi
(bekanntes Kraftgesetz).
4.5 Das Vektorpotential
Wir haben
/ r r- / 3 r r B r1
∇r /
µ0
4π
1
r r-
∇r
(4.31)
∇r /
d3r- j r- Übungen
/
A r
µ0
∇r
4π
1
/
r rj r -;
d 3 r- /
r r-
/
(4.32)
(4.33)
(4.34)
mit
A r <
j r -.
µ0
d 3r- /
4π
r rVektorpotential /
(4.35)
(4.36)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
58
Eichungen:
In der Elektrostatik gilt:
E
= ∇ϕ (4.37)
wobei ϕ nicht eindeutig ist.
ϕ- r 5 ϕ r λ mit ∇λ r 5 0 λ r 5 λ
(4.38)
ist auch Lösung.
In Magnetostatik
B ∇
A
(4.39)
Nicht eindeutig, Eichtransformation
A- r > A r mit beliebigem χ r ist möglich.
∇χ r wobei immer gilt ∇
∇χ 0
(4.40)
Beispiel: Homogenes magnetisches Feld B B 0 ez
A
∇
A
A-
A A- 1
B0 ? y x 0 oder A- B0 0 x 0 2
B0 0 0 1 1
1
B0 y x 0 @ ∇ B0 xy
2
2
1
A ∇χ mit χ B0 xy
2
Der Ausdruck
A r impliziert besondere Eichung
µ0
4π
d3r-
/
j r -.
r r-
/ ACoul
(4.41)
Coulomb-Eichung, in der x 0 gesetzt wird.
Diese Eichung setzt die Bedingung
∇A r 0
voraus.
Beweis: V schließt lokalisierte Stromdichteverteilung ein. Wir wenden den ersten Greenschen Satz
an.
4.5. DAS VEKTORPOTENTIAL
µ0
4π
∇r ACoul
µ0
4π
V
59
d3r- j r- ∇ /
d fnj /
1
r r-
1
r r-
/ 0 Oberflächenterm
∂V
/
(4.42)
µ0
4π
∇j
d3r
V
%
0 Magnetostatik
/
1
r r
/
(4.43)
Gilt für Coulomb-Eichung (sowie für die Klasse der Eichungen ∆χ 0 .
Wir haben für jede Komponente Ai des Vektorpotentials
µ0
4π
Ai r d 3 r-
/ ji r -; /
r r-
(4.44)
in Analogie zum elektrostatischen Potential
ϕ r 1
4πε0
∆A r µ j r i
0 i
d3r-
-.
/ ρr /
r r-
gilt immer, wenn ∆χ 0
(4.45)
(4.46)
in Analogie zu
∆ϕ r Für praktische Berechnungen geeignet.
1
ρ r ε0
(4.47)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
60
Beispiel: Das Vektorpotential eines geraden dünnen Leiters
C
I
z2
z’
dz’
A (x, y, z) = A z e z
r − r’
dr -
r
r’
dz- ez
(4.48)
x
z1
Für endliche z1 und z2 kein physikalisch erlaubtes Modell, da auf Grund der Kontiunitätsgleichung
z z ∞, dann physikalisch erlaubtes Modell.
∂ρ
1 2
∂t A 0
Coulomb-Eichung:
µ0 I
4π
A r 1
/ dr / Az ez
r r-
c
z2
µ0 I
Az
4π
#
$ z z- z z2
µ0 I
4π
µ0 I 3
z z2
arcsin h 4π
ρ
z1
1
dz-
#
z z1
du B
mit ρ2
ρ2
1
u2
x2 y2
mit z z-
rho2
arcsin h u
z z1
ρ
4
(4.49)
wobei
d
arcsin h ω dω
B
1
1 ω2
Diese Rechnung geht analog zur Potentialberechnung für einen homogen geladenen Draht.
(4.50)
4.5. DAS VEKTORPOTENTIAL
61
Berechne nach Gleichung I.30 in Mathematische Methoden
B
rot A ∇ Az xez
∂Az
∂Az
∂A
e e e ∂y x ∂x y
∂ρ ϕ
(4.51)
mit
3
4
∂Az ρ x y ∂x
ρ
∂Az ∂ρ
∂ρ ∂x
∂ρ 1
∂x 2
$ x2 y2 2x
$
x2
y2
x
ρ
(4.52)
analog
∂ρ
∂y
∂Az
∂Az
ex e
∂y
∂x y
y
ρ
∂Az 1
ye xey ∂ρ ρ x
CDD
∂Az
∂ρ
DDE
y
$
∂Az
e ∂ρ ϕ
ex
y2
x2
8 sin ϕ
9
F%GG
x
$
GG
e
2 y
8 y H
cos ϕ 9
x2
(4.53)
mit
eϕ
sin ϕex cos ϕ ey (4.54)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
62
y
sin ϕ
eϕ cos ϕ
ϕ
ϕ
x
Abbildung 4.6: Skizze
Betrachte weiterhin
d
arcsin h w 1
dw
∂Az
∂ρ
B
1
1
w
JI
2
µ0
4π
1
? 1 z z2
ρ2
z z1
ρ
1
0 1 # 0 1 # µ0 I
z z2
z z1
2
2
2
4πρ M $ ρ z z2 z z1 2 N
ρ
$
z z2 2
ρ
z ist endlich und ρ ist endlich. Betrachte z 2
z z2
oder w ρ
mit w ∂Az
∂ρ
= z1 z z1 2
ρ
? 1 z z1
ρ2 KL
(4.55)
∞.
IJ
B Wir erhalten die Rechtehandregel
µ0 I
4πρ
z2
z2
0 ρ2 z22 0 ρ2
∂A
µ0 I
ey eϕ ∂ρ
2πρ
µ I
0
KL 2πρ
2
z
1
(4.56)
4.6. MAXWELL-GLEICHUNGEN DER MAGNETOSTATIK
63
I
I
B α ρ
Abbildung 4.7: Skizze
4.6 Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik
a.) differentielle Form
∇B ∇ ∇
A 0
(4.57)
Setze A ACoul
∇
∇r
µ0 j B
3
ACoul 4
∇
∇r % ∇ r A ∆rA
0
# µ0 j
b.) integrale Form
∇B 0
B
B
V
V
Abbildung 4.8: Skizze
(4.58)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
64
Gaußscher Satz
0
Bd f
magnetischer Fluß durch die
geschlossene Oberfläche ∂V
∂V
V
∇
d 3 r ∇B (4.59)
B µ0 j
j
F
F
Abbildung 4.9: Skizze
Stokesscher Satz
d f∇
B
Bdr µ0
d f j µ0 I
∂F
F
Bdr µ0 I
∂F
Manchmal bequem zu verwenden.
Manchmal sehr nützlich für praktische Berechnungen.
(4.60)
4.6. MAXWELL-GLEICHUNGEN DER MAGNETOSTATIK
65
Bsp.: homogen durchflossener Draht
z
j (r)
ρ
R
j r 2
x
$ x2 y2
I
ρ P R
ez O πR2
0 ρQ R
Das Vektorpotential hat die Form
ρ
eϕ
F
eϕ
A r A ρ ez
oF
und damit
B r 5 rot A B ρ eϕ y
Wähle F als konzentrischen Kreis in x-y-Ebene mit Radius ρ.
dr ρdϕeϕ
µ0 I ρ 2
Bdr
∂F
2πρ B ρ µ0 I ρ 2πρ
B ρ 2
I ρ 5
B ρ 5 µ0 I
2π
SUT
2π
0
(4.61)
ρ
I
R
B ρ eϕ
ρdϕeϕ
Q R
SUT
für
R
ρ2
I
R2
1
ρ
ρ
R2
ρ
ρ
für
ρ
V R
(4.62)
Q R
V R
(4.63)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
66
B(
)[
µ0 I
]
2π
1
vgl. homogen
geladene Kugel
ρ
1
R
Abbildung 4.10: Skizze
j (ρ)
µ I
[ 0 ]
2π
1
I
I(ρ)
I
ρ
R
1
Abbildung 4.11: Skizze
4.7 Magnetische Multipolentwicklung
4.7.1 Magnetisches Moment
r
WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WX
Y WY
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YW
YWXYX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YW
YWXYX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YW
YWXYX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YW
YWXYX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YW
YWXYX
W YX
W YX
W YX
W YX
W r’YX
W YX
W YX
W YX
W YW j (r’) = 0
YWXYX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YX
W YW
YWXYX
r -[Z
r
Coulomb-Eichung:
A r µ0
4π
d3r-
/
j r -;
r r-
/
(4.64)
4.7. MAGNETISCHE MULTIPOLENTWICKLUNG
/
1
r r-
/
1 r r1
\\
r r3 2 µ0 1
d 3 r- j r - 4π O r
A r
67
(4.65)
1
r3
d 3 r - rr - j r - ^]"
(4.66)
Theorem: Gegeben f r g r - die Ableitung ist eine kontinuierliche Funktion
div f g j <
% 0
jgrad f g f g div j
f j grad g
d 3 r div f g j <
g j grad f
f g j d f 0
∂V
V
d 3 r f j∇g
V
g j∇ f
(4.67)
Sei
a.) f
1
g xi i 1 2 3
∇f 0
Monopolterm verschwindet
d 3 r jei
∇g ei
d 3 r ji
0
(4.68)
keine magnetischen Ladungen.
Sei
b.) f
xi g xk i k 1 2 3
ei
∇f
jk
3 _
d 3 r xi jek
∇g ek
_ji xk jei
4 0
(4.69)
Wir definieren einen Vektor a mit dem Komponenten a k . Dann wird für ein festes i mit ak
multipliziert und über den Index k summiert. Wir erhalten
3
d 3 r xi ja ra ji 4 0
(4.70)
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
68
Weiterhin haben wir mit
b c
ac b ` ab c a
und damit
LS
RS
3 3
d r rr - j r - <
d r - r - r j r - \ 4 r r - j r - \
1
1
1
1
d 3 r - rr - j r - d 3 r - r - r - j r - \
LS
RS 2 2
2
2
0 wg. r a r7 a a r
1
r
d 3 r - r - j r - \ 2
# rb m
3
m 12 6 d 3 r - r - j r - 4
3
Magnetisches Moment
(4.71)
(4.72)
Wir bekommen
m
1
LS RS 2
r
r
r3
(4.73)
µ0 LS
4π r3
µ0 m r
4π r3
µ0
r
rot A rot m
4π
r3
r
µ0 3
r
m ∇ 3 c m∇ 3 4
4π
r
r
#
B r <
LS RS 0
d 3 r - rr - j r - A r <
m∇ 1
2
LS
B
1
LS RS 2
8 9
∆r 1r 4πδ r
nicht relevant, denn Entwicklung nur für größer r
1
1
m∇ r r m∇ 3
r3
r
1
1
m 3r mr 5
3
r
r
µ0 3 mr r m
3e
4π d r5
r
(4.74)
Elektrischer Dipol
E r hat die gleiche Struktur.
3 pr r
1
4πε0 d r5
p
r3 e
(4.75)
4.7. MAGNETISCHE MULTIPOLENTWICKLUNG
69
4.7.2 Beispiele
a.) Geschlossener ebener Stromkreis
y
d f = 1 (r x d r )
2
dr
c
m
r
3
1
d3r- r x j r 4
2
3
1
I r x dr 4 IFez
2
c
x
unabhängig von der Form der Leiterschlinge
b.) System von N Punktladungen qi bei r i
N
∑ qi vi δ r j r 2
1
i 1
m
3
d3r r x j r 4
2
3
1 N
qi d 3 r r x v i 4 δ r r i 2 i∑
1
1 N
qi r i x v i
2 i∑
1
Wenn für alle Teilchen
qi
Mi
q
2M
m
Gesamtdrehimpuls:
ri q
M
(4.76)
const N
∑ ri x%M i v i i 1
q
L
2M
(4.77)
li
L ∑ li
i
Gyromagnetisches Verhältnis
/
/
/ m/ q
(4.78)
L
2M
gilt für klassische und quantenmechanische Bewegung im Ortsraum. Für den Elektronenspin
gilt
γ
γ
/
/ m/
L
/
#
%g
g Faktor
ge
Für das Proton: g p
2 79.
q
2m
2 002
f
q
M
KAPITEL 4. MAGNETOSTATIK
70
4.7.3 Kraft und Energie einer lokalisierten Stromdichteverteilung im externen Magnetfeld
z
y
x
Abbildung 4.12: Skizze
Kraft
F
3
B r 1
F d3r j r
B 0
B r
4
r∇ B 0 3 3
d r j r B 0 d r r∇ B 0 3
j r
4
(4.79)
0
Die Stromverteilung sei vom externen Magnetfeld unabhängig.
Fi
r
3
∑ εi jk d 3 r r∇ B4 jk r jk
∑ εi jk d 3 r ∇B j r jk r jk
3
4
∑ εi jk d 3 r ∇B
j r j r k _
jk
r7
d 3 r - rr - j r - r
m
r-
g
r F i
∇B j
3
∑ εi jk ∇B j
jk
m4 k
3
∑ εi jk m ∇4 k B j 0 jk
(4.80)
(4.81)
4.7. MAGNETISCHE MULTIPOLENTWICKLUNG
3
∑ εi jk m
F
m ∇
F
∇ m B 0 \
3
71
∇ 4 j Bk 0 jk
m ∇
B 0
4i
(4.82)
B 0 m ∇B 0 ∇ mB 0 \
0
(4.83)
Die Kraft auf den elektrischen Dipol ist konservativ.
F
∇V mit V mB
magnetisches Moment richtet sich nach dem Magnetfeld aus (Kompass).
Der Vergleich mit dem elektrostatischen Ausdruck
V
q ϕext 0 h p E 0 \\
(4.84)