Musterbeispiel: Lineare Optimierung

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Stochastik
14. Mai 2016
Teil 1: Deskriptive Statistik
Was ist ein diskretes Merkmal?
Ein diskretes Merkmal hat abzählbar viele
Ausprägungen, meist also eine Anzahl.
Was ist ein stetiges Merkmal?
Ein stetiges Merkmal hat Ausprägungen, die ein
reelles Intervall darstellen.
Jeder Merkmalswert aus R ist möglich.
Z.Bsp. Messwerte
In der Praxis macht man oft durch Klassenbildung
aus stetigen Merkmale wieder eine diskrete
Verteilung.
Was ist die absolute und relative Häufigkeit
eines diskreten Merkmals?
hi = Error! = Error!
n ....... Anzahl aller Merkmalswerte
hi ........... relative Häufigkeit des i-ten Merkmalswertes
xi
Hi ...... absolute Häufigkeit des i-ten Merkmalswertes xi
m ...... Anzahl aller Merkmalswerte xi (oder Klassen)
Welche Zentralmaße gibt es?
1. Arithmetisches Mittel
AM =
Error! = Error!xi hi
Anwendbar bei linearen Modellen
2. Modus (Modalwert)
MW = Wert mit der höchsten Häufigkeit
3. Median (Zentralwert)
ZW = in einer geordneten Liste der in der Mitte
stehende Merkmalswert
n ungerade  ZW ist der Error!. Wert in der
geordneten Liste
n gerade  ZW ist das AM aus dem Error!. und
Error!+ 1. Wert der geordneten Liste.
Liegt eine Liste mit kumulierten Häufigkeiten vor, dann
ist der ZW der erste Wert bei dem die kumulierte
Häufigkeit von 0,5 überschritten wird.
4. Geometrisches Mittel
m
GM =
=
 Hi
i 1
m
 xiH i 
i 1
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m
x h
i i
i 1
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Anwendbar bei geometrischen oder exponentiellen Vorgängen.
5. Harmonisches Mittel
m
H
HM =
i 1
m
Hi
x
i 1
i
i

1
hi

i 1 xi
m
Anwendbar bei hyperbolischen Modellen
Beispiel 1:
In der Firma Injustice mit 20 Angestellten gibt es folgende Einkommensverteilung:
Jahreseinkommen in USD
0 – 20 k
ab 20 bis 40 k
ab 40 bis 60 k
Anzahl d. Personen
8
6
5
200 k
1
Erstellen Sie eine Tabelle mit Klassenmittel, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, kumulierter relativer
Häufigkeit.
Stellen Sie die sogenannte Lorenzkurve dar (kumulierter Anteil des Einkommens als Funktion der kum.
Häufigkeit). Wie hoch ist der Gini-Koeffizient? Welchen Anteil des Firmeneinkommens verdienen die
reichsten 50 % der Belegschaft?
Berechnen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel und formulieren Sie eine populär verständliche
Presseaussendung zu diesen Daten. Formulieren Sie diese so, dass der Eindruck einer Firma entsteht, die
ihren Angestellten wenig (bzw. viel) bezahlt.
Beispiel 2:
Die Umsatzentwicklung eines Betriebes zeigt folgende Wachstumsraten:
5 Jahre lang + 25 %, 2 Jahre lang + 5 %, ein Jahr lang –10 %.
Berechnen Sie die mittlere Wachstumsrate. Wie hoch war der Index am Ende dieser 8 Jahre, wenn er am
Beginn 150 war.
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Beispiel 3:
Ein PKW fährt 60 % einer Strecke mit 80 km/h, 10 % mit 20 km/h und den Rest mit 120 km/h. Wie hoch ist
die mittlere Geschwindigkeit?
Welche Streuungsmaße gibt es?
1. Spannweite
Die Spannweite ist die Differenz zwischen größtem und
kleinstem Merkmalswert
2. Interquartilspannweite
Die Interquartilspannweite ist die Differenz zwischen
Median der oberen Hälfte (3. Quartil) und dem Median
der unteren Hälfte (1. Quartil).
3. Standardabweichung (Streuung)
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus dem
arithmetischen Mittel der Quadrate der Abweichungen
zum arithmetischem Mittelwert
  x  x 
n
i
s
i 1
2
Hi

n
H
i
i 1
Der Variationskoeffizient ist das Verhältnis Error!
Beispiel 4:
In der Firma Injustice mit 20 Angestellten gibt es folgende Einkommensverteilung:
Jahreseinkommen in USD
0 – 20 k
ab 20 bis 40 k
ab 40 bis 60 k
Anzahl d. Personen
8
6
5
200 k
1
Berechnen Sie Spannweite, Interquartilspannweite, Streuung und Variationskoeffizient.
Teil 2: Kombinatorik
Was ist eine Permutation?
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer
Menge auf sich selbst.
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Anschaulich:
Eine Permutation ist eine Anordnung (Reihenfolge wird beachtet) von n Elementen.
Wie viele Permutationen von n Elementen gibt es?
Pn = n! = 1 · 2 · 3 … · (n – 1) · n
Was ist 0! ?
0! = 1
Was ist eine Permutation mit Wiederholung?
Anschaulich:
Eine Permutation mit Wiederholung ist eine
Anordnung (Reihenfolge wird beachtet) von n
Elementen, die mit der Häufigkeit pi vorkommen.
Wie viele Permutationen mit Wiederholung von
n Elementen gibt es?
Pn,w = Error!
Was ist eine Variation?
Eine Variation ist eine Anordnung von n Elementen
auf k Plätze, wobei k < n gilt.
Es gibt
Vn,k = Error!
Was ist eine Variation mit Wiederholung?
Eine Variation ist eine Anordnung von n Elementen
auf k Plätze.
Elemente können beliebig wiederholt werden.
Es gibt
Vw,n,k = nk
Was ist eine Kombination?
Eine Kombination ist eine Auswahl von k
Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Die
Reihenfolge wird nicht beachtet.
Es gibt:
Cn,k = Error!= Error!
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Was ist der Binomialkoeffizient und welche
Eigenschaften hat er?
Der Term
(n;k) = Error! = Error!
heißt Binomialkoeffizient.
Er steht im Pascalschen Dreieck in der (n + 1). Zeile
als (k + 1). Wert
Symmetrie:
Spezielle Werte:
(n;k)
(n;0)
(n;1)
= (n;n – k)
= (n;n) = 1
= (n;n – 1) = n
Beispiel 5:
Wieviele Möglichkeiten gibt es einen Totoschein
auszufüllen? Wie viele 12-er, 11-er und 10-er tippt
man, wenn man alle Möglichkeiten ausfüllt?
Beispiel 6:
Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Spiel 6 aus 45? Wie viele 6-er, 5-er, 4-er, 3-er und 5-er mit Zusatzzahl
tippt man dann?
Wie kann man Permutationen, Variationen, Kombinationen maschinell berechnen?
Schreibweise:
Excel:
Derive:
n!
=fakultät(n)
perm(n,n)
Error!
Error!
=variationen(n;k)
perm(n,k)
=kombinationen(n;k)
comb(n,k)
Teil 3: Elementare Wahrscheinlichkeit
Was ist Wahrscheinlichkeit?
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a) Definition nach Pascal:
W = Error!
b) Grenzwertdefinition:
W ist der Grenzwert der relativen Häufigkeit bei
n
c) Axiomatische Definition nach Kolmogorow:
einige Grundregeln der W.-rechnung werden als
Axiome benutzt und damit ein abstraktes Kalkül
der Wahrsch. aufgebaut. (unanschaulich aber als
einzige Definition wirklich exakt und
widerspruchsfrei)
Ist S ein sicheres Ereignis und i eine geeignete
Indexmenge und gilt:
(1)
P(S) = 1
(2)
P A i   P A i  ,
i I
(3)
i I
falls die Mengen Ai paarweise disjunkt sind
0  P( Ai )  1
Beispiel 7:
Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Würfeln mit 2 Würfeln. Der Merkmalswert soll die
gewürfelte Augensumme sein.
Was ist die Gewinnerwartung?
Unter der Gewinnerwartung versteht man:
Gewinnerwartung =
= Error!
= Gewinnquote * Gewinnwahrscheinlichkeit.
Bei einem fairen Spiel ist die Gewinnerwartung 1.
Beispiel 8:
Wie hoch ist die Gewinnerwartung, wenn beim Würfeln mit 2 Würfeln eine Quote von 5 für 2 gleiche
Augenzahlen ausgezahlt wird? Wie viel Geld hat der Spieler nach einer sehr hohen Anzahl von gleichen
Spielen, wenn er 1.000.000 GE eingesetzt hat?
Beispiel 9:
Beim Roulette-Spiel gewinnt man beim Einsatz auf 6
Zahlen gleichzeitig das 6-fache seines Einsatzes. Es
gibt 37 Zahlen im Kessel (0 bis 36). Wie hoch müsste
die Quote sein, damit das Spiel fäir ist?
Was ist der Additionssatz?
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Der Additionssatz gibt die Wahrscheinlichkeit für die Verknüpfung von Ereignissen durch „oder“ an:
Additionssatz („oder“):
W(A  B) = W(A) + W(B) – W(A  B)
Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
W(A B) ist die Wahrscheinlichkeit, daß A eintritt, wenn B schon feststeht.
Was ist der Multiplikationssatz?
Multiplikationssatz („und“):
W(A  B) = W(A) · W(B A)
Was ist der Satz von Bayes
(A-posterio-Wahrscheinlichkeit) ?
W( A B ) = Error!
Beispiel 10:
In einer Klasse von 30 Schülern sind 10 Burschen. 25 % der Mädchen und 30 % der Burschen sind
Brillenträger. Erstellen Sie ein Baumdiagramm und das Mengendiagramm für diese Situation und ermitteln
Sie:
a) den Anteil der Gruppe „Mädchen oder Brillenträger“.
b) den Anteil der Gruppe „Mädchen und Brillenträger“
c) den Anteil (die Wahrscheinlichkeit) der Brillenträger unter den Mädchen
d) die Wahrscheinlichkeit, daß man bei zufälliger Auswahl ein Mädchen unter den Brillenträgern auswählt
e) den Anteil der Brillenträger.
Beispiel 11:
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Susi sucht ein Schriftstück. Sie vermutet es mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit in einem Schreibtisch mit 5
Schubladen. Sie untersucht 3 davon und findet den Brief nicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit jetzt,
dass sich der Brief im Schreibtisch befindet?
Beispiel 12:
Eine Werbeagentur soll eine Zielgruppe Z in 2 Medien A (Auflage 16.000) und B (Auflage 40.000) bewerben.
Die Zielgruppe umfasst 50.000 Menschen. 40 % davon werden durch das Medium B erreicht, 16 % durch
das Medium A. 6 % der Zielgruppe wird durch beide Medien erreicht. 9.000 Personen beachten insgesamt
beide Medien. Erstellen Sie ein Mengendiagramm für diese Situation. Wie hoch ist die Nettowirkung auf die
Zielgruppe? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Person aus der Gruppe A, B und Z zufällig
auswählt, die beide Medien lesen oder der Zielgruppe angehört?
Beispiel 13:
In einem Wald gibt es Laub- und Nadelbäume. 30 % der Laubbäume und 80 % der Nadelbäume sind
Hartholzgewächse. Der Anteil der Laubbäume unter den Weichholzgewächsen ist 84 %. Wie ist das
Verhältnis Laub- zu Nadelbäume im Wald?
Teil 4: Diskrete Verteilungen
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Was ist eine diskrete Verteilung?
Eine Funktion, die jeder Anzahl k (die Variable ist
eine abzählbare Menge), mit der ein Ereignis in der
Stichprobe vorkommt ihre Wahrscheinlichkeit
zuordnet, heißt Dichte g(k) der Verteilung.
Die Funktion, die jeder Anzahl k die
Wahrscheinlichkeit, dass höchstens k
Merkmalsträger in der Stichprobe vorkommen,
zuordnet,
heißt Verteilungsfunktion G(k).
Dichte g(k):
Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau
k Merkmalträger vorkommen
Verteilung G(k):
Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe
höchstens k Merkmalträger vorkommen.
Wie ist der mathematische Zusammenhang
zwischen Dichte und Verteilung?
G(k) =  ;
k
; g(i)
i=0
Wie kann man W(zwischen a und b) mit der
Verteilung berechnen?
W(zwischen a und b) = G(b) – G(a–1)
Wie kann man W(mindestens a) berechnen?
W(mindestens a) = 1 – G(a–1)
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Was ist die Hypergeometrische Verteilung?
Aus einer endlichen, kleinen (unter 200)
Grundgesamtheit mit einem Anteil von Merkmalträgern
wird eine Stichprobe gezogen (ohne Zurücklegen).
Die Einzelwahrscheinlichkeit bei jeder Ziehung ändert
sich merklich.
Die Funktion H(k) heißt dann hypergeometrische
Verteilung.
Wie kann man die hypergeometrische Verteilung
berechnen?
Formel:
h(k) = Error!
h(k)
Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe
genau k Merkmalträger auftreten
Parameter:
N Umfang der Grundgesamtheit
M Anzahl der Merkmalträger in der Grundgesamtheit
n Umfang der Stichprobe
Derive:
Datei – Laden – Zusatzdatei – Probabil.mth
hypergeometric_density (k,n,M,N) bzw.
hypergeometric_distribution(k,n,M,N)
Excel:
=hypgeomvert(k;n;M;n)
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Beispiel 14:
Aus einem Kartenspiel mit 20 Karten, 4 davon sind Asse, werden jeweils 5 Karten ohne Zurücklegen
gezogen. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus, wie hoch ist der Erwartungswert und wie sind die
Quoten für ein Gewinnspiel bei „fairem Spiel“ anzusetzen? Wie hoch ist die Gewinnerwartung, wenn für die
Ziehung von mindestens 2 Assen für eine Einsatz von EUR 100,-- 300,-- ausbezahlt werden? Wer gewinnt
wieviel nach 1.000 solcher Spiele?
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Was ist die Binomialverteilung?
Aus einer endlich großen Grundgesamtheit mit einem
Anteil von Merkmalträgern wird eine Stichprobe
gezogen.
Die Einzelwahrscheinlichkeit bei jeder Ziehung ändert
sich nicht.
Die Funktion B(k) heißt dann Binomialverteilung.
Wie kann man die Binomialverteilung berechnen?
Formel:
b(k) = (n;k) pk (1 – p)n–k
b(k)
Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe
genau k Merkmalträger auftreten
Parameter:
p Einzelwahrscheinlichkeit
n Umfang der Stichprobe
Derive:
Datei – Laden – Zusatzdatei – Probabil.mth
binomial_density (k,n,p) bzw.
binomial_distribution(k,n,p)
Excel:
=binomvert(k;n;p;0)
=binomvert(k;n;p;1)
Wie entsteht die Biniomialverteilung aus der
Hypergeometrischen Verteilung?
Wenn der Umfang der Grundgesamtheit genügend
groß ist, kann man die HG durch die BV ersetzen.
Mathematisch ist das der Grenzübergang:
M
mit
p = lim;
N→∞
Error!
Wie groß sind Mittelwert (Erwartungswert) und
Streuung der Binomialverteilung.
Da die Häufigkeiten (=Wahrscheinlichkeiten) berechnet
werden, kann man Mittelwert und Streuung aus den
Parametern berechnen:
=
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µ=np
n p (1 – p)
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Beispiel 15:
Bei einem Roulettespiel (Zahlen von 0 bis 36) setzt Otto Gambler immer auf 6 Zahlen (z.Bsp. 4 bis 9). Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er bei 10 Spielen nie bzw. mindestens 3 mal gewinnt?
Wie oft muß er spielen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % mindestens 2 mal gewinnt?
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Was ist die Poissonverteilung?
Aus einer endlich großen Grundgesamtheit mit einem
nicht quantifizierbaren Anteil von Merkmalträgern wird
eine undlich große Stichprobe gezogen.
Die Einzelwahrscheinlichkeit bei jeder Ziehung ist
praktisch Null.
Der Erwartungswert µ der Verteilung ist aber angebbar.
Die Funktion P(k) heißt dann Poissonverteilung.
Wie kann man die Poissonverteilung berechnen?
Formel:
p(k) = Error!
p(k)
Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe
genau k Merkmalträger auftreten
Parameter:
µ Erwartungswert der Verteilung
Derive:
Datei – Laden – Zusatzdatei – Probabil.mth
poisson_density (k,µ) bzw.
poisson_distribution(k,µ)
Excel:
=poisson(k;µ;0)
=poisson(k;µ;1)
Wie entsteht die Poissonverteilung aus der
Binomialverteilung?
Wenn der Umfang der Stichprobe genügend groß und
der Anteil p möglichst klein ist, kann man die BV durch
die PV ersetzen. Mathematisch ist das der
Grenzübergang:
n   und p  0 mit
np  µ
Wie groß sind Mittelwert (Erwartungswert) und
Streuung der Binomialverteilung.
Da die Häufigkeiten (=Wahrscheinlichkeiten) berechnet
werden, kann man Mittelwert und Streuung aus den
Parametern berechnen:
Erwartungswert = µ
=µ
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Beispiel 16:
a) Die Anzahl der Fehler in einer Schularbeit ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 7. Der Notenschlüssel ist:
Sehr gut bei weniger als 3 Fehler, Nicht genügend bei mehr als 12 Fehler. Befriedigend zwischen 7 und 9
Fehler (incl.). Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten für Sehr gut, Befriedigend und Nicht genügend?
b) Der Lehrer will nicht mehr als 5 % negative Beurteilungen geben. Auf welchen Wert muß er den Mittelwert
der Fehler bringen, um das zu erreichen?
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Teil 5: Stetige Verteilungen
Was ist eine stetige Verteilung?
Die Verteilungsfunktion F(x) einer stetigen
Zufallsvariablen x aus dem Intervall [a / b] gibt die
Wahrscheinlichkeit an, dass das Ereignis einen Wert
zwischen a und x annimmt.
Welche Bedingungen muss eine stetige Verteilung
erfüllen?
Die Verteilungsfunktion F(x) muss die sogenannten
Normierungsbedingungen erfüllen:
F(a) = 0
und
F(b) = 1
Was geschieht, wenn das Definitionsintervall [a,  )
ist?
In diesem Fall muss die Verteilungsfunktion F(x) für x
  konvergieren, d.h. der Grenzwert lim;
F(x)
x→∞
muss existieren und gleich 1 sein.
Was ist die Dichte einer stetigen Verteilung?
Die Dichte f(x) ist die 1. Ableitung der
Verteilungsfunktion.
f(x) = Error!
und daher
F(x) = Error! mit der Anfangsbedingung F(a) = 0
oder
F(x) = Error!
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Werte
zwischen c und d annimmt ist:
W(c  x  d) = F(d) – F(c) = Error!
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable
höchstens den Wert c annimmt ist:
W(x  c) = F(c) = Error!
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable
mindestens den Wert c annimmt ist:
W(x  c) = 1 – F(c) = Error!
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Zufallsvariable genau den Wert c annimmt?
Diese Fragestellung ist unzulässig.
Welche Bedeutung haben die Werte der Dichte
f(x)?
Der Wert der Dichtefunktion ist ein Maß für die Größe
der Wahrscheinlichkeit für eine kleine Umgebung von
x. Ihr Maximum zeigt z.Bsp. den wahrscheinlichsten
Wert an. Ihre Werte sind jedoch nicht als
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Wahrscheinlichkeiten für Punktereignisse interpretierbar!
Wie ist die geometrische Interpretation von Wahrscheinlichkeit?
Die Größe der Fläche unterhalb der Dichtefunktion zwischen den Werten c und d ist ein Maß für die
Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert aus dem Intervall [c / d] annnimmt.
Was meint man mit der Formulierung „wahrscheinlichster Wert“?
Eigentlich ist damit ein Wert der Zufallsvariablen gemeint, dessen beliebig kleine Umgebung im Vergleich zu
anderen Umgebungen eine maximale Eintrittswahrscheinlichkeit hat.
Man kann diese Zufallsvariable als Maximum von f(x) berechnen. Notwendig dafür ist das Verschwinden der
1. Ableitung von f(x) an dieser Stelle.
c ist wahrscheinlichster Wert 
Error!(c) = 0 oder Error!(c) = 0
Wie berechnet man Erwartungswert und Streuung einer stetigen Verteilung?
µ = Error!
 = Error!
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Beispiel 17:
a) Die Dichtefunktion der Wartezeit auf eine Straßenbahn sei von folgender Form: f(x) = n · e- kx im Bereich
[0 /  ). x ist die Wartezeit in Minuten. k ist so zu ermitteln, daß die Wahrscheinlichkeit, weniger als 5
Minuten zu warten 60 % beträgt.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 15 Minuten zu warten?
c) Der Verkehrsstadtrat möchte eine Maximalwartezeit garantieren. Welche Zeit kann er veröffentlichen,
wenn nur 10 % aller Fälle diese Wartezeit übertreffen werden, dh. daß er mit 90 %-iger Sicherheit recht
behält.
d) Wie hoch ist der Erwartungswert der Verteilung?
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Teil 6: Die Normalverteilung
Was ist die Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung. Sie
entsteht immer dann, wenn zufällige Abweichungen
von einem „normalen“ Wert auftreten.
Ihre Dichte hat die Gleichung:
µ, (x) = Error! e Error! für x  (–  / + )
Dabei ist µ der Mittelwert und  die Streuung der
Verteilung.
Welche Eigenschaften hat der Graph der
Normalverteilungsdichte?
Keine Nullstellen
Strebt gegen 0 für x   
Symmetrisch zum Mittelwert
Sieht aus wie eine Glocke, daher
Gaußsche Glockenkurve
Was ist die Standardisierung?
Die Standardisierung ist eine
Koordinatentransformation:
0,45
0,4
0,35
z = Error!
dabei wird µ = 0 und  = 1 und
0,1(z) = (z) = Error! e Error!
0,3
0,25
0,2
0,15
Wie berechnet man Wert der Normalverteilung?
Die Dichtefunktion der Normalverteilung (Gaußsche
Glockenkurve) ist analytisch nicht integrierbar. Die
Werte der Verteilungsfunktion stehen nur in
Tabellenform (standardisierte NVT - also µ = 0 und  =
1) oder in Programmpaketen zur Verfügung:
0,1
0,05
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
EXCEL:
(x) = Error!= NORMVERT(x; µ; ; 1)
Derive:
(x) = Error! = normal(x, µ, )
normal(x) ist die standardisierte Form
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Beispiel 18:
Die Brenndauer von Glühlampen ist normalverteilt mit dem Mittelwert µ = 580  30 %. Die Fehlerangabe
basiert auf einem 3  - Intervall. Es werden 8.000 Stück geliefert. Wieviele Glühlampen werden eine
Brenndauer von
- weniger als 600 h
- mehr als 500 h
- zwischen 400 und 700 h
Beispiel 19:
Bei der Befüllung von Behältern ist der Sollwert 2.400 g  10 %. Alle Füllungen außerhalb dieser Grenzen
gelten als Ausschuss. Es werden 100.000 Stk. erzeugt und ein Stück Ausschuss erzeugt Kosten von EUR
1,50. Wie hoch sind die Ausschusskosten, wenn die Abfüllmaschine
- mit 7 % um den Mittelwert 2.400 g streut
- mit 7 % um den Mittelwert 3.000 g streut.
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Was ist ein Konfidenzintervall?
h sei die beobachtete relative Häufigkeit eines
Ereignisses E im Rahmen einer Versuchsserie und 
eine (große) Wahrscheinlichkeit.
Die Menge aller p, deren  - Schätzbereich S(p) den
Wert
h
enthält,
heißt
Vertrauensintervall
(Konfidenzintervall) für die Wahrscheinlichkeit von E
mit der (statistischen) Sicherheit , kurz  Vertrauensintervall für p
Das heißt, es handelt sich um die Umkehrung
folgender Aufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit p eines Merkmalwertes in der
Grundgesamtheit ist bekannt. In einer Stichprobe tritt
dann dieses Merkmal mit der Wahrscheinlichkeit 
zwischen den Grenzen h1 und h2 auf. Das Intervall [h1;
h2 ] heißt  - Schätzbereich. Wir suchen nun jene
Werte von p, deren Schätzbereiche noch die bekannte
Häufigkeit h enthalten.
Wie wird das Konfidenzintervall berechnet?
exakte Variante:
man verwendet die standardisierte Normalverteilung
und errechnet aus
2 (z) – 1 = γ
zuerst z.
man ersetzt µ = np und  = n p (1 – p) und löst die
Gleichung:
z = Error!= Error!
nach p. Die beiden Lösungen für p stellen die Grenzen
des Vertrauensbereichs dar.
Näherungsvariante:
für genügend großes n gilt:
1p2 = h  z · Error!
wobei h der Anteil der Merkmalträger in der Stichprobe
ist.
Welche gebräuchliche Signifikanzniveaus gibt es?
Aus dem Signifikanzniveau  ist der z - Wert durch den
Ansatz 2 (z) – 1 =  berechenbar. In der Praxis üblich
sind folgende z - Werte incl. der Sprachregelung:
z=1
 = 68 %
z=2
 = 95 %
signifikant
z=3
 = 99,7 %
hoch signifikant
3  - Unschärfen sind bei wissenschaftlichen
Untersuchungen üblich.
Welche Bedeutung haben die Grenzen des
Konfidenzintervalls?
Mit der Wahrscheinlichkeit γ liegt der wahre Anteil der
Merkmalträger in der Grundgesamtheit zwischen den
Grenzen des Konfidenzintervalls. Man kann also den
wahren Anteil nur mit einer „statistischen Unschärfe“
bestimmen.
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Stochastik
14. Mai 2016
Beispiel 20:
Die Firma macht eine Stichprobenerhebung mit dem Umfang 200 und erhält einen Wert von 170 sehr
zufriedenen Kunden! Wie groß ist das Konfidenzintervall auf dem Signifikanzniveau 3 - . Wie hoch ist die
Irrtumswahrscheinlichkeit?
Was ist eine Prüfplankurve?
Aus einer Grundgesamt mit dem Merkmalsanteil p wird
eine Stichprobe vom Umfang n gezogen. Die
Stichprobe wird als angenommen bezeichnet, wenn die
Anzahl der Merkmalträger in der Stichprobe kleiner als
eine Annahmekennzahl c ist. Die Funktion:
Annahmewahrscheinlichkeit(p) = W(X  c) (p) heißt
Prüfplankurve (oder Operationscharakteristik).
Die Prüfplankurve ist also die Funktion, die dem
wahren
Merkmalträgeranteil
die
Annahmewahrscheinlichkeit zuordnet.
Die Formel für die Prüfplankurve ist:
Annahmewahrscheinlichkeit =
W(X<c) = Error!
Was ist das Produzentenrisiko?
Das Produzentenrisiko ( - Fehler, Fehler erster Art) ist
die Wahrscheinlichkeit, daß die Stichprobe (Lieferung)
abgelehnt wird, obwohl p den Bedingungen entspricht.
Was ist das Konsumentenrisiko?
Das Konsumentenrisiko ( - Fehler, Fehler 2. Art) ist
die
Wahrscheinlichkeit,
daß
die
Stichprobe
angenommen wird, obwohl p den Bedingungen nicht
entspricht.
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Stochastik
14. Mai 2016
Beispiel 21:
Die Firma vereinbart mit ihrem Konsumenten für die Annahme einer Lieferung eine Überprüfung durch eine
Stichprobe vom Umfang 30 mit einer Annahmekennzahl 6. Zeichnen Sie eine Prüfplankurve für diese
Situation. Wie hoch ist das Konsumentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 25 %? Wie hoch ist
das Produzentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 15 %?
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Stochastik
14. Mai 2016
Lösungen
Beispiel 1:
In der Firma Injustice mit 20 Angestellten gibt es folgende Einkommensverteilung:
Jahreseinkommen in USD
0 – 20 k
ab 20 bis 40 k
ab 40 bis 60 k
Anzahl d. Personen
8
6
5
200 k
1
Erstellen Sie eine Tabelle mit Klassenmittel, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, kumulierter relativer
Häufigkeit.
Stellen Sie die sogenannte Lorenzkurve dar (kumulierter Anteil des Einkommens als Funktion der kum.
Häufigkeit). Wie hoch ist der Gini – Koeffizient? Welchen Anteil des Firmeneinkommens verdienen die
reichsten 50 % der Belegschaft?
Berechnen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel und formulieren Sie eine populär verständliche
Presseaussendung zu diesen Daten. Formulieren Sie diese so, dass der Eindruck einer Firma entsteht, die
ihren Angestellten wenig (bzw. viel) bezahlt.
Einkommen
abs.
Häufigk.
rel.
Häufigk.
kum. Eink.
rel.kum.Eink.
kum. r.H.
10
30
50
200
8
6
5
1
0,40
0,30
0,25
0,05
80,00
260,00
510,00
710,00
0
0,11
0,37
0,72
1,00
0
0,40
0,70
0,95
1,00
Summen
20
1
Wenn Sie gut verdienen wollen: Injustice –
Durchschnittseinkommen 35.500 USD, die Hälfte
der Leute verdient mehr als 20.000 USD.
Anteil am Einkommen kum.
2 * Fläche unter der Lorenzkurve = 2 B = 0,4 · 0,11 + 0,48 · 0,3 + 1,09 · 0,25 + 1,72 · 0,05 = 0,5465
Gini-Koeffizient = Error! = 1 – 2B = 0,4535 = 45 %
Modus = 10
Lorenzkurve
Median = 20
1,2
AM = Error! = 35,5
Anteil der reichsten 50 % = Error! = Error! = 0,80
1
Die reichste Hälfte der Angestellten verdient 80 %
0,8
der Lohnsumme!! (die reichsten 5 % sogar 28 %)
Injustice – zahlt an den Großteil der Leute nur
0,6
10.000 USD jährlich!
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Anteil der Belegschaft kum .
Beispiel 2:
Die Umsatzentwicklung eines Betriebes zeigt folgende
Wachstumsraten:
5 Jahre lang + 25 %, 2 Jahre lang + 5 %, ein Jahr lang –10 %.
Berechnen Sie die mittlere Wachstumsrate. Wie hoch war der Index am Ende dieser 8 Jahre, wenn er am
Beginn 150 war.
GM = Error! = Error! = 1,149
also 14,9 %
Index = 150 · 3,028 = 454,2
Beispiel 3:
Ein PKW fährt 60 % einer Strecke mit 80 km/h, 10 % mit 20 km/h und den Rest mit 120 km/h. Wie hoch ist
die mittlere Geschwindigkeit?
–1
0
0
0
HM = 6;80 + 1;20 + 3;120
= 66,7 km/h


Beispiel 4:
In der Firma Injustice mit 20 Angestellten gibt es folgende Einkommensverteilung:
Jahreseinkommen in USD
0 – 20 k
ab 20 bis 40 k
ab 40 bis 60 k
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200 k
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Anzahl d. Personen
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8
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6
5
1
Berechnen Sie Spannweite, Interquartilspannweite, Streuung und Variationskoeffizient.
Spannweite = 200 – 10 = 190
Interquartilspannweite = 50 – 10 = 40
Standardabweichung =
= Error! = 40,9
Variationskoeffizient = Error! = 115 % (sehr hoch)
Beispiel 5:
Wieviele Möglichkeiten gibt es einen Totoschein auszufüllen? Wie viele 12-er, 11-er und 10-er tippt man,
wenn man alle Möglichkeiten ausfüllt?
Variation mit Wiederholung = 312 = 531.441
1 Zwölfer,
beim Elfer darf ein Tipp falsch sein, dafür gibt es 12 Möglichkeiten, also 12 Elfer
beim 10-er dürfen 2 Tips falsch sein, 10 richtig, also 2 f und 10 r in 12 Stellen anordnen: Permutation mit
Wiederholung: Error!= 66.
Beispiel 6:
Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Spiel 6 aus 45? Wie viele 6-er, 5-er, 4-er, 3-er und 5-er mit Zusatzzahl
tippt man dann?
Beim Lotto werden aus 45 Zahlen 6 ausgewählt, wobei die Reihenfolge nicht von Bedeutung ist:
Es handelt sich also um eine Kombination:
c(45;6) = (45;6) = 8.145.060.
Für die „5-er mit Zusatzzahl“ folgende Überlegung:
Um 5 richtige zu tippen, muß man 5 von 6 richtigen Zahlen erraten und für jede dieser Kombinationen auch
eine aus den verbleibenden 39 falschen, also
(6;5) (39;1) = 6 · 39 = 234
Zusätzlich ist noch die Zusatzzahl richtig zu tippen. Dafür gibt es noch 39 Möglichkeiten, nur eine davon ist
richtig, also: Anzahl der „5-er mit ZZ“ = Error!= 6
Analog 11.115 Vierer und 182.780 Dreier
Beispiel 7:
Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Würfeln mit 2 Würfeln. Der Merkmalswert soll die
gewürfelte Augensumme sein.
W(2) = W(12) = Error! W(3) = W(11) = Error! W(4) = W(10) = Error! W(5) = W(9) = Error!
W(6) = W(8) = Error! W(7) = Error!
Beispiel 8:
Wie hoch ist die Gewinnerwartung, wenn beim Würfeln mit 2 Würfeln eine Quote von 5 für 2 gleiche
Augenzahlen ausgezahlt wird? Wie viel Geld hat der Spieler nach einer sehr hohen Anzahl von gleichen
Spielen, wenn er 1.000.000 GE eingesetzt hat?
GE = 5 · Error! = 0,83…
Der Spieler hat nur noch um 830.000 GE, d.h. auf lange Sicht verliert er ca. 17 % (ein Sechstel) seines
Einsatzes.
Beispiel 9:
Beim Roulette-Spiel gewinnt man beim Einsatz auf 6 Zahlen gleichzeitig das 6-fache seines Einsatzes. Es
gibt 37 Zahlen im Kessel (0 bis 36). Wie hoch müsste die Quote sein, damit das Spiel fäir ist?
GE = 1 = Q · Error!  Q = Error!= 6,16…
man müsste das 5,17-fache als Gewinn zusätzlich zum Einsatz bekommen.
Beispiel 10:
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In einer Klasse von 30 Schülern sind 10 Burschen. 25 % der Mädchen und 30 % der Burschen sind
Brillenträger. Erstellen Sie ein Baumdiagramm und das Mengendiagramm für diese Situation und ermitteln
Sie:
f) den Anteil der Gruppe „Mädchen oder Brillenträger“.
g) den Anteil der Gruppe „Mädchen und Brillenträger“
h) den Anteil (die Wahrscheinlichkeit) der Brillenträger unter den Mädchen
i) die Wahrscheinlichkeit, daß man bei zufälliger Auswahl ein Mädchen unter den Brillenträgern auswählt
j) den Anteil der Brillenträger.
a) W(w  B) = W(w) + W(B) – W(wB) = Error! = Error!
oder aus dem Baumdiagramm:
Regel: Die Astbeschriftungen sind die bedingten
Wahrscheinlichkeiten. Die Endwahrscheinlichkeit ergibt sich aus der
Summe der Produkte der durchlaufenen bedingten
Wahrscheinlichkeiten.
W(W  B) = Error! = 0,766… = Error!
b) W(w  B) = Error! = 0,166… = Error!
c) W(B w ) = 0,25
(lt. Angabe - dieser Wert wird in das
Baumdiagramm eingezeichnet)
d) Satz von Bayes:
W(w B ) = Error!=
= Error!= Error!= 0,625
e) W(B) = Error! = Error!= 26,7 %
Beispiel 11:
Susi sucht ein Schriftstück. Sie vermutet es mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit in einem Schreibtisch mit 5
Schubladen. Sie untersucht 3 davon und findet den Brief nicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit jetzt,
dass sich der Brief im Schreibtisch befindet?
W(in S / nicht in 1,2, 3) = Error! 
0,62
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich
der Brief noch im Schreibtisch
findet, obwohl er in den Laden 1,2
und 3 nicht ist, beträgt nur mehr 62
% (um 18 Prozentpunkte gesunken)
Beispiel 12:
Eine Werbeagentur soll eine Zielgruppe Z in 2 Medien A (Auflage 16.000) und B (Auflage 40.000) bewerben.
Die Zielgruppe umfasst 50.000 Menschen. 40 % davon werden durch das Medium B erreicht, 16 % durch
das Medium A. 6 % der Zielgruppe wird durch beide Medien erreicht. 9.000 Personen beachten insgesamt
beide Medien. Erstellen Sie ein Mengendiagramm für diese Situation. Wie hoch ist die Nettowirkung auf die
Zielgruppe? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Person aus der Gruppe A, B und Z zufällig
auswählt, die beide Medien lesen oder der Zielgruppe angehört?
Nettowirkung =
= Error! = 50 %
oder
= 16 % + 40 % – 6 % = 50 %
W((A  B)  Z) = Error! = 0,78
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14. Mai 2016
Beispiel 13:
In einem Wald gibt es Laub- und Nadelbäume. 30 % der Laubbäume und 80 % der Nadelbäume sind
Hartholzgewächse. Der Anteil der Laubbäume unter den
Weichholzgewächsen ist 84 %. Wie ist das Verhältnis Laub- zu
Nadelbäume im Wald?
W(L / W) = Error! = 0,84 
0,7x + 0,2 – 0,2x = 0,83…x 
– 0,3…x = – 0,2  x = 0,6 1 – x = 0,4
60 % Laub- und 40 % Nadelbäume. Verhältnis L : N = 1,5
50 % mehr Laub als Nadelbäume
Beispiel 14:
Aus einem Kartenspiel mit 20 Karten, 4 davon sind Asse, werden jeweils 5 Karten ohne Zurücklegen
gezogen. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus, wie hoch ist der Erwartungswert und wie sind die
Quoten für ein Gewinnspiel bei „fairem Spiel“ anzusetzen? Wie hoch ist die Gewinnerwartung, wenn für die
Ziehung von mindestens 2 Assen für eine Einsatz von EUR 100,-- 300,-- ausbezahlt werden? Wer gewinnt
wieviel nach 1.000 solcher Spiele?
Parameter:
N = 20 M = 4 n = 5
h(0) = Error! = 0,282
h(1) = Error! = 0,470
h(2) = Error! = 0,217
h(3) = Error! = 0,031
h(4) = Error! =
0,001
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht so aus:
0 Asse
28,2 %
1 As
47,0 %
2 Asse
21,7 %
3 Asse
3,1 %
4 Asse
0,1 %
Der Erwartungswert ist
0·0,282 + 1·0,470 + 2·0,217 + 3·0,031 + 4·0,001 = 1
Unter der Gewinnerwartung versteht man: Gewinnerwartung = Error! = Gewinnquote *
Gewinnwahrscheinlichkeit.
Bei einem fairen Spiel ist die Gewinnerwartung 1.
Faire Quoten wären daher:
0 Asse
1
2
3
4
As
Asse
Asse
Asse
3,549 =
1;0
282
2,130
4,614
32,300
969,000
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 Asse zu ziehen ist
h(2) + h(3) + h(4) = 0,249.
Gewinnerwartung = 3 · 0,249 = 0,746 bei einem Spiel.
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Bei 1.000 Spielen zu EUR 100,-- Einsatz ist der zu erwartende „Auszahlungsbetrag“ EUR 74.617,-- bei einem
Einsatz von EUR 100.000,-Die Gewinnerwartung für ein Spiel: „Mindestens 2 Asse“ mit der Quote 3 ergibt für 1.000 Spiele die
Gewinnerwartung – 25.383,--. Der Bankhalter gewinnt also EUR 25.383,--
Beispiel 15:
Bei einem Roulettespiel (Zahlen von 0 bis 36) setzt Otto Gambler immer auf 6 Zahlen (z.Bsp. 4 bis 9). Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er bei 10 Spielen nie bzw. mindestens 3 mal gewinnt?
Wie oft muß er spielen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % mindestens 2 mal gewinnt?
Parameter: n = 10
p = Error!
b(0) = (10;0) Error!Error!= 0,17= Error!
Mindestens 3 mal gewinnen heißt: b(3) + b(5) + b(6) + … + b(10) = = 1 – b(0) – b(1) – b(2) =
=1 – (10;0) Error!Error!– Error!Error!Error!– Error!Error!Error!= 1 – 0,17 – 0,33 – 0,287 =
0,212
EXCEL:
BINOMVERT(k;n;p;Kumuliert)
Wenn Kumuliert = 0 dann liefert die Funktion den Einzelwert b(k), wenn Kumuliert = 1 dann liefert die
Funktion gleich den Wert der Verteilungsfunktion
B(k) = b(0) + … + b(k).
Also: W(3, …, 10) = 1 – B(2)
=1 – BINOMVERT(2;10;6/37;1).
Derive:
Datei – Laden – Zusatzdatei – Probabil.mth
W(mindestens 3 mal gewinnen) = W(k = 3, k = 4, k = 5, k = 6) = 1 – binomial_distribution(2,6,6/37)
Die Wahrscheinlichkeit, daß Otto Gambler nie gewinnt ist 17 % (d.h. bei ca. jeder 6 Serie von 10
Spielen kann das vorkommen).
Die Wahrscheinlichkeit, daß er mindestens 3 - mal gewinnt ist 21,2 %.
Ansatz:
0,99 = W(2;3;…n) = 1 – b(0) – b(1) = 1 – B(1)
0,01 = b(0) + b(1)
0,01 = (n;0) Error!Error!+ Error!Error!Error!
0;01 = Error!+ n Error!Error!
Dies ist eine transzendente Gleichung (Gemisch aus Polynom und Exponentialgleichung) und nur
näherungsweise zu lösen (SOLVER bzw. ZIELWERTSUCHE in EXCEL)
n = 38,63
in Derive einfacher: 1 – binomial_distribution(1,n,6/37) ........ Lösen nach n (nummerisch)
Otto Gambler muß mindestens 39 Spiele spielen, damit er mit 99 %-iger Sicherheit mindestens 2 mal
gewinnt!
Beispiel 16:
c) Die Anzahl der Fehler in einer Schularbeit ist poissonverteilt mit dem Mittelwert 7. Der Notenschlüssel ist:
Sehr gut bei weniger als 3 Fehler, Nicht genügend bei mehr als 12 Fehler. Befriedigend zwischen 7 und 9
Fehler (incl.). Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten für Sehr gut, Befriedigend und Nicht genügend?
d) Der Lehrer will nicht mehr als 5 % negative Beurteilungen geben. Auf welchen Wert muß er den Mittelwert
der Fehler bringen, um das zu erreichen?
Sehr gut - weniger als 3 Fehler:
W(0;1;2) = p(0) + p(1) + p(2) = Error!+ … = 0,001 + 0,006 + 0,022 = 0,030  Error!
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14. Mai 2016
oder: W(0;1;2) = POISSON(2;7;1) = 0,030 (EXCEL)
oder: poisson_distribution(2,7)
Befriedigend - 7 bis 9 Fehler:
1;2
W(7;8;9) = p(7) + p(8) + p(9) = P(9) – P(6) = 0,830 – 0,450 = 0,380 = 63
Nicht genügend - mehr als 12 Fehler:
1;37
W(13; 14; …) = 1 – P(12) = 1 – 0,973 = 0,027 = 03
Die Wahrscheinlichkeiten für die Beurteilungsstufen sind:
Sehr gut
3,0 %
Befriedigend
38,0 %
Nicht genügend
2,7 %
d.h. jede 34. Schularbeit ist ein Sehr gut, jede 2,6. Schularbeit ist ein Befriedigend, jede 37.
Schularbeit ist ein Nicht genügend.
b) Ermittlung von µ:
Ansatz:
W(13; 14; …) = 1 – P(12) < 0,05
0,95 < P(12)
Nachsehen in der Tabelle bzw. in EXCEL liefert µ = 7,69
oder: 1 – poissondistribution(12,m) und Lösen nach m
Der Fehlerdurchschnitt in der Klasse muß bei 7,7 liegen, damit nicht mehr als 5 % Nicht genügend
auftreten.
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14. Mai 2016
Beispiel 17:
e) Die Dichtefunktion der Wartezeit auf eine Straßenbahn sei von folgender Form: f(x) = n · e- kx im Bereich
[0 /  ). x ist die Wartezeit in Minuten. k ist so zu ermitteln, daß die Wahrscheinlichkeit, weniger als 5
Minuten zu warten 60 % beträgt.
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 15 Minuten zu warten?
g) Der Verkehrsstadtrat möchte eine Maximalwartezeit garantieren. Welche Zeit kann er veröffentlichen,
wenn nur 10 % aller Fälle diese Wartezeit übertreffen werden, dh. daß er mit 90 %-iger Sicherheit recht
behält.
h) Wie hoch ist der Erwartungswert der Verteilung?
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit W(X  x) an, d.h. die Wahrscheinlichkeit, daß der
Merkmalswert kleiner oder höchstens gleich x ist.
Der Zusammenhang zwischen Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x) ist:
F(x) = Error!
wobei f(x) in den nicht explizit angegebenen Bereichen den Wert f(x) = 0 annimmt.
Außerdem gelten die Normierungsbedingungen:
F(– ) = 0
F() = 1
F(x) = Error! = – Error!e–kx + C
Im Beispiel ist die Funktion f(x) = 0 im Bereich (–  / 0)  F(0) = 0 = – Error!+ C  C = Error!
aus F() = 1  1 = C (wegen e–kx  0)
W(X  5) = 0;6 = F(5) = – Error!e–k5 + C
Es ergibt sich also:
C=1
C = Error!
0;6 = – Error!e–k5 + C
1;5
0;6 = – e – 5k + 1  ln 0;4 = – 5k  k = 0;183 = 5
C k = n  1 · 0,183 = n = 0,183
F(x) = 1 – e – 0,183 x
Die Wahrscheinlichfunktion für die Wartezeit lautet: F(x) = 1 – e – 0,183x für x [0; ) und F(x) = 0 sonst.
Die Dichte dieser Funktion ist: f(x) = 0,183 · e – 0,183x = Error!
b) Mehr als 15 Minuten warten:
W(X > 15) = 1 – W(X  15) = 1 – F(15) = 1 – 1 + e – 0,183 · 15 = 0,064
Mit 6 % Wahrscheinlichkeit wartet man länger als 15 Minuten auf die Straßenbahn.
c) 90 % aller Fälle:
F(x) = 0,9 = 1 – e – 0,183 · x  x = 12,6
Stadtrat: „Sie warten bestimmt nicht länger als 13 Minuten auf die Straßenbahn!“
Diese Aussage hält mit einer Sicherheit von 90 %.
d) Mittelwert: Der Mittelwert oder Erwartungswert einer stetigen Verteilung ist EW = Error!,daher: Error!
= k x Error! – Error! = – x e – kx – Error! Error! = 0 – ( – Error!) = Error!= 5;5
Im Durschschnitt wartet man 5,5 Minuten auf die Straßenbahn!
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14. Mai 2016
Beispiel 18:
Die Brenndauer von Glühlampen ist normalverteilt mit dem Mittelwert µ = 580  30 %. Die Fehlerangabe
basiert auf einem 3  - Intervall. Es werden 8.000 Stück geliefert. Wieviele Glühlampen werden eine
Brenndauer von
- weniger als 600 h
- mehr als 500 h
- zwischen 400 und 700 h
µ = 580 und  = 58 (10 % von 580)
- weniger als 600:
Excel: = NORMVERT(600;580;58;1)
derive:
normal(600,580,58)
W(x  600) = 0,633
- mehr als 500:
Excel: = 1 – NORMVERT(500;580;58;1)
derive
1 – normal(500,580,58)
W(x  500) = 0,916
- zwischen 400 und 700:
Excel: = NORMVERT(700;580;58;1)–NORMVERT(400;580;58;1)
Derive: normal(700;580;58) – normal(400;580;58)
W(400  x  700) = 0,98
Die Wahrscheinlichfunktion für die Brenndauer sind:
weniger als 600 h
63,3 %
mehr als 500 h
91,6 %
zwischen 400 und 700 h
98,0 %
Beispiel 19:
Bei der Befüllung von Behältern ist der Sollwert 2.400 g  10 %. Alle Füllungen außerhalb dieser Grenzen
gelten als Ausschuss. Es werden 100.000 Stk. erzeugt und ein Stück Ausschuss erzeugt Kosten von EUR
1,50. Wie hoch sind die Ausschusskosten, wenn die Abfüllmaschine
- mit 7 % um den Mittelwert 2.400 g streut
- mit 7 % um den Mittelwert 3.000 g streut.
Der erlaubte Bereich ist 2.400 g  10 % = 2.400  240 = [2.160 / 2.640 ]
Die Maschine füllt mit µ = 2.400 g, also genau im Sollwert, streut jedoch mit 7 %, dh.  = 168
Der Anteil der Nichtausschussware ist daher:
W(2.160  X  2.640) = 0,844
Der Ausschussanteil beträgt daher 15,6 % und die Kosten 0,156 · 100.000 · 1,5 = 23.400,-Die Maschine erzeugt einen Ausschussanteil von 15,6 % und die Kosten dafür betragen EUR 23.400,-!
Die Maschine füllt mit µ = 3.000 g, also weit über dem Sollwert und streut mit 7 %, dh.  = 210
Der Anteil der Nichtausschussware ist :
W(2.160  X  2.640) = 0,044
Der Ausschussanteil beträgt daher 95,6 % und die Kosten 0,956 · 100.000 · 1,5 = 143.400,-Die Maschine erzeugt einen Ausschussanteil von 95,6 % und die Kosten dafür betragen EUR
143.400,--!
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14. Mai 2016
Beispiel 20:
Die Firma macht eine Stichprobenerhebung mit dem Umfang 200 und erhält einen Wert von 170 sehr
zufriedenen Kunden! Wie groß ist das Konfidenzintervall auf dem Signifikanzniveau 3 - . Wie hoch ist die
Irrtumswahrscheinlichkeit?
Dies führt auf den Ansatz:
2 (z) – 1 = 
Im Beispiel ist z = 3 (lt. Angabe)  daher 99,7 %.
Eigentlich ist dann folgende Gleichung zu lösen:
3 = Error!= Error!= Error!
9 (200 p (1 – p)) = (170 – 200 p)2
1.800 p – 1.800 p2 = 28.900 – 68.000 p + 40.000 p2
41.800 p2 – 69.800 p + 28.900 = 0
liefert die Lösungen:
p1 = 0,76 und p2 = 0,91
dh. der wahre Anteil liegt mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,3 % im Intervall [76 % / 91 % ].
Schneller kommt man bei halbwegs großem n mit folgender Näherung zum Ziel:
1p2 = h  z · Error!, wobei h der Anteil der Merkmalträger in der Stichprobe ist.
Also:
h = Error!= 0,85 und
1p2 = 0,85  3 · Error! = 0,85  3 · 0,025 = Error!
Die Firma kann auf dem Signifikanzniveau von 99,7 %, (mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
0,3 %) mit einem Anteil von mindestens 77 % und höchstens 93 % zufriedener Kunden rechnen.
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Stochastik
14. Mai 2016
Beispiel 21:
Die Firma vereinbart mit ihrem Konsumenten für die Annahme einer Lieferung eine Überprüfung durch eine
Stichprobe vom Umfang 30 mit einer Annahmekennzahl 6. Zeichnen Sie eine Prüfplankurve für diese
Situation. Wie hoch ist das Konsumentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 25 %? Wie hoch ist
das Produzentenrisiko bei einem wahren Ausschussanteil von 15 %?
Im Beispiel ist
c=6
n = 30
daher
W (X < 6) = Error!
Werte erhält man entweder durch einen programmierbaren Taschenrechner oder durch EXCEL:
= NORMVERT(0;1;(6-30*A2)/(30*A2*(1-A2))^0,5;1)
oder Derive:
normal((6 – 30p)/  (30 p (1 – p)))
Vernünftig sind p - Werte um den Wert Error!.
Für diesen Wert hat die Operationscharakteristik
immer den Wert 0,5.
Das Konsumentenrisiko beträgt für p = 0,25:
W (X < 6) = Error! = (– 0,63 ) = 0,264
Das Produzentenrisiko beträgt für p = 0,15:
W (X < 6) = 1 – Error! = 1 – (0,766 ) =
1 – 0,78 = 0,22
Das Konsumentenrisiko beträgt bei einem wahren Ausschussanteil von 25 % 26,4 %, d.h. der
Konsument wird mit einer Häufigkeit von 26,4 % Lieferungen akzeptieren, weil in der Stichprobe
weniger als 6 von 30 (= 20 %) Ausschussstücke vorhanden sind, obwohl die Ausschusshäufigkeit in
der Grundgesamtheit 25 % beträgt.
Das Produzentenrisiko beträgt bei einem wahren Ausschussanteil von 15 % 22 %, d.h. der Produzent
wird Lieferungen zurückbekommen, weil 22 % der Lieferungen mehr als 6 von 30 Ausschussstücke
enthalten, obwohl der wahre Ausschussanteil nur 15 % beträgt (also besser als gefordert ist)
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